Aula 4[3]

08/04/2015
LEI DE GAUSS
Bacharelado em Engenharia Civil
Disciplina: Física III
Profa.: Drd. Mariana de F. G. Diniz
FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL
A palavra FLUXO origina-se do latim e significa
“fluir”.
O Fluxo de um campo vetorial pode ser
considerado como uma medida do fluxo ou da
penetração dos vetores do campo através de
um elemento de superfície, fixo ou imaginário,
localizado no campo.
• Do que se trata a Lei de Gauss?
• Por que é necessário a Lei de Gauss se a
Lei de Coulomb é suficiente para calcular
os campos elétricos?
Vamos considerar o campo de velocidade de
escoamento de um fluido.
• Imagine o escoamento de um fluido em
regime
permanente,
representado
especificando-se o vetor velocidade em cada
ponto.
A tela é colocada de modo que seu plano
fique perpendicular à direção de
escoamento do fluido.
Definindo-se agora o fluxo ɸ do campo de
velocidade de modo que seu valor
absoluto seja dado por:
ɸ = v.A
Supondo que uma tela retangular com área A
seja colocada na linha de escoamento do
fluido. Exemplo (a).
(1)
onde v é a intensidade da velocidade
no local em que está a tela.
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A unidade do fluxo é m3/s, e este poderia ser
considerado como a vazão de fluido que
passa através da tela.
Em termos de conceito de campo contudo, é
conveniente considerar o fluxo como uma
medida do número de linhas de campo que
atravessam a tela.
Observe
que
a
quantidade de fluido que
atravessa A no tempo Δt
é
a
mesma
que
atravessa A' (que é a
projeção de A em um
plano perpendicular
às
linhas de campo) . Assim
Em (b), a intensidade do fluxo é:
ɸ = v.A.cosƟ
(2)
Em (c) a tela foi girada até que sua superfície
fique paralela à direção da velocidade de
escoamento.
O Fluxo será nulo, onde Ɵ = 90º na
equação:
ɸ = v.A.cosƟ
(2)
Observe que nesse caso não há linhas de
campo atravessando a tela.
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A Lei de Gauss, refere-se ao Fluxo líquido
através de uma superfície fechada.
Assim, é importante estabelecer a
distinção entre um FLUXO NEGATIVO e
FLUXO POSITIVO que atravessa uma
superfície.
ɸ = v.A.cosƟ
(2)
⇓
Pode ser expresso em termos de
produto escalar entre os vetores v e A.
Cuja intensidade equivale a área da
superfície, e direção é perpendicular a ela.
Porém, a normal a uma superfície pode
ter dois sentidos opostos.
(o da figura (d) ou oposto a ele)
Por convenção, o sentido de A será
escolhido como o da normal saindo da
superfície.
Fluxo deixando o volume contido pela
superfície será considerado positivo e o
fluxo penetrando no volume será
considerado negativo.
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Com esta escolha, podemos escrever o
fluxo para uma superfície fechada
composta de várias superfícies (ex.:
figura 27-1 (e)) como:
ɸ = Σ v. A
(3)
Onde v é a velocidade na superfície. O somatório
abrange todas as superfícies individuais que
compõem a superfície fechada.
EXEMPLO 1
Considere uma superfície fechada da fig.
27-1e, que apresenta um volume
delimitado por cinco superfícies (1, 2 e 3
são paralelas às superfícies das fig. 271a, c e b, respectivamente, além de 4 e 5
que são paralelas às linhas de corrente
do escoamento).
Admitindo-se que o campo de velocidade é
uniforme, de modo a ter a mesma
intensidade, direção e sentido em todos os
pontos, determine o fluxo total através da
superfície fechada.
De acordo com o exemplo da figura acima,
notamos que o fluido sai através de A1 e A2
e entra por A3, A4 e A5
Todos esses conceitos estudados podem
ser considerando para um campo não
uniforme e superfícies com forma e
orientações arbitrárias.
Qualquer superfície arbitrária pode ser
dividida em elementos da área
infinitesimal
dA
que
sejam,
aproximadamente, superfícies planas.
O sentido de cada vetor dA é o do vetor
normal orientado para fora de cada
elemento infinitesimal, e o campo tem
um valor local v.
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O fluxo final é calculado computando-se a
contribuição de todos os elementos
infinitesimais – isto é através da
integração sobre toda a superfície.
ɸ = v.A
(4)
A conclusões obtidas anteriormente
permanecem válidas: se a eq. (4) for
calculada para uma superfície fechada,
então o fluxo é (1) nulo se a superfície
não engloba nenhuma fonte e nenhum
sumidouro;(2) positivo se a superfície
contiver fontes em seu interior, (3)
negativo se a superfície contiver
sumidouros.
BOA NOITE!
OBRIGADA!
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