Matemática - Educacional

Capítulo 1
Um pouco de História
Progressão Aritmética
HISTÓRIA DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
INTRODUÇÃO
As progressões foram estudadas desde povos antigos como os
babilônicos e egípcios. Inicialmente, procurou-se estabelecer
padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os egípcios
tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente
do rio Nilo, pois para poderem plantar na época certa, os
egípcios precisavam saber quando haveria inundação. Havia,
portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse
acontecimento.
Sequência
Podemos observar facilmente que o termo seqüência é
facilmente encontrado no nosso dia-a-dia. Vejamos alguns
explos:
a) As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si).
b) As quatro estações do ano: (primavera, verão, outono,
inverno).
Rio Nilo
c) Seqüência dos números triangulares
A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido
pela Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham
se mantido em semi-isolamento, enquanto a babilônia era o
centro das rotas de navios, e conseqüentemente, era um centro
de troca de saberes. No entanto, devemos lembrar que os
egípcios desenvolveram um papel primordial na preservação
de muitos papiros que contribuíram para o nosso
conhecimento atual sobre a Matemática.
O papiro Rhind (ou Ahmes) data aproximadamente de 1650
a.C. e nada mais é do que um texto matemático na forma de
manual prático que Papiro Rhind contém 85 problemas
copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um
trabalho mais antigo. Esse papiro foi adquirido no Egito pelo
egiptólogo escocês A. Henry Rhind, sendo mais tarde
comprado pelo Museu Britânico. O papiro Rhind foi publicado
em 1927. Tem cerca de dezoito pés de comprimento por cerca
de treze polegadas de altura. Porém, quando o papiro chegou
ao Museu Britânico ele era menor, formado de duas partes, e
faltava-lhe a porção central. Cerca de quatro anos depois de
Rhind ter adquirido seu papiro, o egiptólogo americano Edwin
Smith comprou no Egito o que pensou que fosse um papiro
médico. A aquisição de Smith foi doada À Sociedade
Histórica de Nova York em 1932, quando os especialistas
descobriram por sob uma camada fraudulenta à parte que
faltava do papiro de Ahmes. A Sociedade, então, doou o rolo
de pergaminho ao Museu Britânico, completando-se assim
todo o trabalho de Ahmes. O papiro Rhind é uma fonte
primária rica sobre a matemática egípcia antiga, deixando
evidências de que sabiam fazer a soma dos termos de uma
progressão aritmética.
O seguinte problema envolvendo progressões se encontra no
Papiro Rhind:
a expressão matemática que relaciona entre si os termos da
seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo à seqüência S cujo termo geral seja
dado por an = 2n + 15, onde n é um número natural não nulo.
Observe que se atribuindo valores para n, obteremos o termo
an (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 10, teremos
an = 2.10 + 15 =35, e portanto o vigésimo termo dessa
seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a
seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil
determiná-la.
Seja por exemplo à seqüência de termo geral an = n2 + 4n ,
para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá
ser escrita como:
(5, 12, 21, 32, ... ).
Papiro de Rhind
“Divida 100 pães entre cinco homens de modo que as partes
recebidas estejam em Progressão Aritmética e que um sétimo
da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas
menores”.
Por exemplo:
a6 = 60 porque a6 = 62 + 4.6 = 36 + 24 + 10 = 60.
B - CONCEITO DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
1 - RESUMO TEÓRICO
Chama-se Progressão Aritmética a toda seqüência numérica
cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior
somado com um valor constante denominado razão (r) .
A – DEFINIÇÃO
Exemplos:
Chamaremos de seqüência ou sucessão, a qualquer conjunto
ordenado. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado ( 3, 5, 7,
9, 11,..., 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o
segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim
sucessivamente. Repare que a seqüência acima ela é finita,
mas poderíamos apresentar seqüências que não fossem finitas.
A = ( 1, 6, 11, 16, ... ) razão = 5 (PA crescente)
B = ( -2,- 2,- 2,
... ) razão = 0 (PA constante)
C = ( 100, 80, 60, 40, ... ) razão = -20 ( PA decrescente)
Explo:
A seqüência (0, -2, -4, - 6, - 8,... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada da seguinte
forma:
(a1, a2, a3, ... , ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o
segundo termo, ... , an é o n-ésimo termo.
Por exemplo, na seqüência ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... )
podemos dizer que a2 = 6, a6 = 486, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos
obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever
uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência
acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é
igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja
C - TERMO GERAL DE UMA PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
an = a1 + (n – 1) . r
( Essa expressão é denominada termo geral da PA ).
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo
termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão.
D - PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a
média aritmética dos termos eqüidistantes deste.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos
extremos é constante.
E - SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros
termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida
facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
3) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60,
qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.
4) Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o
terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.
5) A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3
algarismos é?
É claro que também poderemos escrever a igualdade acima
como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a
8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a
8x124)
Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre
parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos
termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos
inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.
Daí então, vem finalmente que:
an = a1 + (n – 1) . r
poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma
PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
3 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a 1= 1, a
razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a 1000. Nestas
condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.
2) Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos
calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde se
conclui que - 80 = - 2n ,
1) Em um triângulo retângulo, os lados a, b , c estão, nessa
ordem, em progressão aritmética. com esses dados, pode-se
concluir que a razão dessa PA mede?
2) Quantos termos tem a P.A. (5, 9, 13,...,37)
3) Determine o 1º termo de uma P.A., onde se conhece: a 6 =
17 e r = -4.
4) Quantos múltiplos de 3 existem entre 10 e 95.
5) Encontre o termo geral da P.A. (12, 16, 20,...)
6) Calcule o oitavo termo da P.A.(-6, -2, 2,...)
7) Em uma P.A. a1 = 18 e a5 = 6. Calcule a razão.
8) O sétimo termo de uma P.A. é 75 e r = 11. Calcule o
primeiro termo.
9) Qual o vigésimo quinto termo da P.A.(2, 5, 8,...)?
10) Calcule a soma dos oito primeiros elementos da P.A.(3,
15, 27,...)
11) Calcule a soma dos elementos da P.A.(-8, -1, 6,...,41)
12) A soma dos termos de uma P.A. é 324. O 1º termo é 4 e o
último, 68. Quantos são os termos dessa P.A.?
13) Resolva a equação 2 + 5 + 8 +...+x = 126
14) Calcule a soma dos múltiplos de 4 compreendidos entre
10 e 90.
Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros,
o número de dias de duração deste tratamento nesta plantação
foi de:
a) 21
b) 22
c) 25
d) 27
e) 30
4. QUESTÕES DE CONCURSOS
6) (PUC) Três números estão em progressão aritmética. A
soma dos três números é 21. Assinale a opção que apresenta o
valor correto do termo do meio.
a) 2.
b) 6.
c) 7.
d) 5.
1) (UFF) Determine o terceiro termo negativo da seqüência
198, 187, 176, ...
2) (ITA) Considere um polígono convexo de nove lados, em
que as medidas de seus ângulos internos constituem uma
progressão aritmética de razão igual a 5°. Então, seu maior
ângulo mede, em graus,
a) 120
b) 130
c) 140
d) 150
e) 160
e) 2
3
7) (UNIRIO) Considere uma progressão aritmética de 4
elementos cujo primeiro elemento é log3. Sabendo-se que a
soma destes elementos é log5184, determine a razão desta
seqüência.
8)(UERJ)
3) (UFRRJ) Dez minutos após acender uma lâmpada, ela
começou a piscar a cada três minutos. Tem-se a previsão de
que após 100 piscadas, seguidas, a lâmpada queima.
Supondo que esta previsão esteja correta e que a lâmpada não
foi desligada após ser acessa, pode-se afirmar que a lâmpada
queimou após.
a) 200 minutos do acendimento.
b) 10 horas e 21 minutos do acendimento.
c) 3 horas e 17 minutos do acendimento.
d) 4 horas e 31 minutos do acendimento.
e) 5 horas e 7 minutos do acendimento.
4) (ITA) Seja a1, a2, ... uma progressão aritmética infinita tal
que
Determine o primeiro termo e a razão da progressão.
5) (UNIRIO) Um agricultor estava perdendo a sua plantação,
em virtude da ação de uma praga. Ao consultar um
especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao
dia, uma determinada quantidade de um certo produto, todos
os dias, da seguinte maneira:
primeiro dia: 1,0 litro;
segundo dia: 1,2 litros;
terceiro dia: 1,4 litros;
... e assim sucessivamente.
Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera ganhar
um pouco de tempo, acreditando que a munição do inimigo
acabe. Suponha então que, a partir do primeiro número falado
por Eddie, ele dirá, cada um dos demais, exatamente 3
segundos após ter falado o anterior, até que chegue ao número
determinado pelo seu comandante.
Assim, com sua estratégia, Eddie conseguirá ganhar um
tempo, em segundos, igual a:
a) 177
b) 188
c) 237
d) 240
9) (UFRRJ) Numa sala de aula, cada um dos 100 alunos
recebe um número que faz parte de uma seqüência que está em
progressão aritmética. Sabendo-se que a soma de todos os
números é 15.050 e que a diferença entre o 46º e o 1º é 135,
determine o 100º número.
10) (UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma
mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto,
disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria
de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia
de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior.
Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo
percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um
mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia
com a mesada de R$300,00.
11) (UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua
inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de
construção de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na
forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas
inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta
horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas
em uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três
níveis.
13) (UFRJ) Uma reta divide o plano em 2 regiões; duas retas
dividem- no em, no máximo, 4 regiões; três retas dividem-no
em, no máximo, 7 regiões; e assim sucessivamente. Em
quantas regiões, no máximo, 37 retas dividem o plano?
Justifique.
14) (UNICAMP) A ANATEL determina que as emissoras de
rádio FM utilizem as freqüências de 87,9 a 107,9 MHz, e que
haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com
freqüências vizinhas. A cada emissora, identificada por sua
freqüência, é associado um canal, que é um número natural
que começa em 200. Desta forma, à emissora cuja freqüência
é de 87,9 MHz corresponde o canal 200; à seguinte, cuja
freqüência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim
por diante. Pergunta-se:
a) Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma região],
respeitando-se o intervalo de freqüências permitido pela
ANATEL? Qual o número do canal com maior freqüência?
b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das
rádios comunitárias. Qual a freqüência do canal 285, supondo
que todas as freqüências possíveis são utilizadas?
15) (UFF) Dadas as progressões aritméticas (p1, p2,  , p51) e
(q1 , q2 , ,q51 ) tais que p1  p51  m e q1  q51  n , então
p1  p2 
 p51
q1  q2 
 q51
a)
b)
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis.
Determine o número de cartas que ele vai utilizar.
c)
d)
12) (UFRJ) Felipe começa a escrever números naturais em
uma folha de papel muito grande, uma linha após a outra,
como mostrado a seguir
Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas
as linhas:
a) determine quantos números naturais ele escreverá na 50•
linha;
b) determine a soma de todos os números escritos na 50•
linha;
c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha é
sempre o quadrado de um número ímpar.
e)
é igual a:
mn
mn
2
mn
m
n
mn
mn
Gabarito - Exercícios Propostos
1)a / 3
2) 9
3) 37
4) 43
5) R = 8 + 4n
6) 22
7) R = - 3
8) R = 9
9) 74
10) 360
11) 132
12) 37
13) 26
14) 1000
Gabarito – Questões de Concursos
1) - 33
2) e
3) e
4) a1 =
2

3
2
A razão é: r =
3
5) a
6) c
7) 1
8) c
9) 299
10)165
11) 2420 cartas
12) a) 99
b) 9.801
c) Seja q(n) a quantidade de números na n-ésima linha.
Observando que a quantidade de números na 1º linha é 1, na 2º
é 3, na 3º é 5, e assim sucessivamente, temos q(n) = 2n -1.
S = n + (n+1) + (n + 2) + ... + [n + q(n) -1]
S = q(n) . n + { 1 + 2 + ... + [q(n) -1] }
S = q(n) . n + { q(n). [(q(n) - 1]/2 }
Sabendo que q(n) = 2n - 1, vem
S = (2n -1)2.
13) Observemos, inicialmente, que, dadas n - 1 retas no plano,
sempre é possível encontrar uma enésima que as intercepte (de
fato: basta que o ângulo da nova reta com uma reta fixa seja
diferente dos que as retas já dadas fazem com a mesma reta
fixa) e não passe por nenhum dos pontos de interseção já
existentes.
Observemos, ainda, que, se o plano está dividido em k regiões
convexas e introduzimos uma nova reta, passamos a ter k + p
regiões convexas, onde p é o número de regiões atravessadas
pela reta.
Ora, se temos n - 1 retas dividindo o plano em SŠ÷• regiões e
introduzimos a enésima reta, esta, ao cruzar m retas (em
pontos outros que os de interseção destas), atravessa
exatamente m + 1 regiões. Como a nova reta pode, no
máximo, cruzar todas as n - 1 retas já existentes, passamos a
ter, no máximo, Sn - 1 + n regiões.
Para cada n Æ N, seja SŠ o número máximo de subdivisões
obtido com n retas. Então
Portanto, Sn = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + n) = 1 + [(1 + n)n/2] e,
para n = 37, obtemos S37 = 704.
14) a) 101 emissoras; canal de número 300.
b) 104,9 MHz
15) c