I - A linguagem matemática - MTM

I - A linguagem matemática
Introdução
A matemática funciona bastante nas várias formas de representação de objetos
matemáticos (um número, uma expressão matemática, uma proposição, uma função, etc.) e
nas mudanças de uma representação para outra.
Os objetos seguintes
36
72 2
, 9  4,
, 6 , 1.2.2.3.3, 18log2(4)
1
2
são várias representações do número 36.
A escolha de uma entre as várias formas de representação de um mesmo objeto
dependerá muito da necessidade e do contexto. Para efetuar, por exemplo, a operação 36 +
1
2
devemos reduzir ao mesmo denominador as frações envolvidas. Neste caso, podemos
72
transformar o número 36 em
, efetuando, em seguida, a operação indicada:
2
36 
1 72 1 73

 
2 2 2 2
É evidente que, em se tratando de um mesmo objeto, a forma como ele se apresenta,
pode torná-lo irreconhecível em um certo nível de ensino. Na situação acima, um aluno do
ensino fundamental (1o grau) reconhecerá o número 36 em 9  4 , mas não se pode dizer o
mesmo para a forma 18log2(4).
As mudanças de uma forma a outra dos objetos em matemáticas obedecem regras e
convenções, muitas delas serão estudadas na transcorrer deste livro.
1.1 Hierarquia nas operações
A hierarquia nas operações matemáticas é uma convenção importante no tratamento de
expressões matemáticas. No cálculo de expressões envolvendo as operações básicas, a
hierarquia é a seguinte :
o
1 - multiplicação ou divisão,
o
2 - adição ou subtração.
A quebra da hierarquia é determinada por parênteses (colchetes ou chaves).
Esta hierarquia nas operações não é gratuita, ela adotada por todos para que não haja
qualquer tipo de confusão. Por exemplo, sem esta convenção, o cálculo da expressão
2+3×4
poderia resultar 20 ou 14 dependendo da ordem em que as operação são tomadas. Seguindo a
convenção estabelecida na hierarquia das operações, esta expressão deve resultar 14. Mas se
alguém pretendesse obter 20, poderia rescrevê-la na forma (2 + 3) × 4. A inclusão destes
parênteses obriga a que a adição seja operada primeiramente.
Para o exemplo, 7 + 8 - 8, com duas operações em um mesmo nível hierárquico,
podemos efetuar da forma que acharmos mais conveniente:
7 + 8 - 8 = 15 - 8 = 7 ou 7 + 8 - 8 = 7 + 0 = 7
Em muitas linguagens de programação de computadores, no caso de operações que
situam-se em um mesmo nível hierárquico, elas são efetuadas da esquerda para a direita.
No exemplo, 8 ÷ 2 × 5 as operações ÷ e × estão em um mesmo nível hierárquico.
Qualquer que seja a ordem adotada nas operações, o resultado deverá ser o mesmo. Esta
expressão quando escrita na forma
8
×5
2
deixa bem claro como devem ser efetuadas tanto a multiplicação quanto a divisão:
8 5
40
× =
= 20
2 1
2
ou
8
× 5 = 4 × 5 = 20
2
1.2 - Fatoração e simplificação
A decomposição de um número em fatores primos é uma mudança na forma de um
dado objeto matemático com inúmeras conseqüências práticas na manipulação de expressões
matemáticas. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.2.1 Calcular
5 1

6 4
Fatoramos os números
6 = 1.2.3
4 = 1.2.2
para obtermos uma indicação de como reduzir ao mesmo denominador as frações acima. O
número procurado, ou seja, o denominador comum das frações, deve ser composto de pelo
menos dos fatores:
2×3, para dividir o 6;
2×2, para dividir o 4
Portanto, este número é o 12, composto minimamente dos fatores 2×2×3. Qualquer
múltiplo de 12, por exemplo, 36, é também um múltiplo comum (não o mínimo) de 6 e 4 e
poderia também ser utilizado para efetuar as operações na expressão proposta acima.
Assim, podemos escrever
5 1 10 3 13
 =


6 4 12 12 12
A fatoração nos deu a indicação necessária para a transformação adequada na
obtenção de frações equivalentes e de mesmo denominador:
5 10

e
6 12
1 3

4 12
Usamos a fatoração para determinar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou
mais números inteiros. O MMC é, geralmente, apresentado sob a forma de um algoritmo que
na maioria das vezes não deixa claro a idéia que está por traz. Para o exemplo acima, o
algoritmo é o seguinte:
4
2
1
1
6
3
3
1
2
2
3
2×2×3 =12
A fatoração é um dos procedimentos matemáticos de grande utilidade e de contínua
aplicação em praticamente toda vida escolar do estudante. Portanto, este procedimento deve
ser muito bem trabalhado.
A fatoração também pode ser utilizada também na determinação do Máximo Divisor
Comum (MDC). Por exemplo, o MDC de 36 e 20 é 2×3 = 6, conforme podemos concluir a
partir da fatoração de 36 e 30:
36 = 2×2×3×3
30 = 2×3×5
Os divisores comuns de 36 e 30 são 2, 3 e 6 que é o maior deles. O conhecimento do
30
maior divisor comum entre 36 e 20, permite, por exemplo passar da fração
para a fração
36
5
irredutível e equivalente :
6
30
30
6 5
=
36
36
6
6
De forma semelhante ao que foi feito com números inteiros, podemos proceder com
polinômios.
Um polinômio é uma expressão do tipo
p(x) = anxn + an-1xn-1+...+a1x + ao,
sendo an, an-1,...,a1, ao constantes.
1.2.1 - Simplificação de expressões numéricas
A simplificação é um procedimento matemático que transforma um objeto em um outro
objeto equivalente, numa forma mais simples. O termo “simplificar” carrega uma certa
ambigüidade, na medida em que não temos uma definição matemática que identifique um
objeto, mesmo equivalente, “mais simples” do que um outro. O termo simplificar em
matemática, nada mais é do que uma conveniência prática em muitos casos.
Na simplificação, uma propriedade tem um papel importante :
- a garantia da existência do elemento inverso multiplicativo para qualquer número real não
nulo.
Para todo real a  0, existe o número Error! , tal que, a × Error! = 1.
Exemplos 1.2.2 - Simplificar as expressões :
3
a) 5 × 20
3
3
Solução : 5 × 20 = 5 ×
= 5 × Error! × Error! = (5 × Error! ) × Error! = 1× Error! =
5 4
Error!
Na solução detalhada, usamos a transformação do 20 em 4×5, a propriedade associativa da
multiplicação e a da existência do elemento inverso multiplicativo. Observemos que todas as
operações envolvidas estão situadas em mesmo nível hierárquico.
1.2.2 - Simplificação de expressões com literais
As mesmas propriedades aplicadas na simplificação numérica podem ser também utilizadas
na simplificação de expressões literais. Neste caso, é de grande utilidade conhecer de
memória a forma fatorada de algumas expressões matemáticas mais freqüentes, tais como:
a2 - b2
(a + b)2
(a - b)2
= (a + b) (a - b)
= (a + b) (a + b)
= (a - b) (a - b)
= a2 + 2ab + b2
= a2 - 2ab + b2
Este reconhecimento deve ser exercitado nos dois sentidos para que a escolha da
transformação adequada seja mais automatizada.
Exemplos 1.2.3 - Simplificar
x2 - 4
a) x - 2 com x 2
Para x 2, temos
x2 - 4 (x + 2)(x - 2)
1
= (x + 2) [(x - 2) (x - 2)] = x + 2
x-2 =
x-2
Portanto,
para x  2,
x2 - 4
x-2 = x+2
Observe que esta igualdade só é válida para x  2. O objeto matemático,
x2 - 4
para x  2,
x-2
não é o mesmo do que o objeto
x+2
mas, é o mesmo para o caso
x + 2, com x  2
Usamos, neste caso, novamente a propriedade da existência do elemento inverso
multiplicativo e a transformação (fatoração) de x2 - 4 em (x + 2)(x - 2).
x2 - 2x +1
com (x2 - x) 0
x2 - x
Solução : para (x2 - x)  0, temos
b)
x2 - 2x +1
(x -1)(x - 1)
(x -1)
=
= x
2
x
(x
1)
x -x
a+1
a com a 0.
Para a0, temos
1
a(1
+
a)
a+1
=
= 1 + Error!
a
a
ou
a+1
a = Error! + Error! = 1 + Error!
c)
Portanto, para a0
a+1
a = 1 + Error!
Neste caso, qual é a forma mais simples ?
1.3 Resolução de equação.
Antes de iniciarmos propriamente o estudo sobre as equações e inequações, faremos uma
breve exposição sobre o cálculo de proposições, imprescindível neste estudo.
Nos textos de matemática fazemos uso de muitas palavras, as quais empregamos na nossa
linguagem do dia a dia, tais como: e, ou, qualquer, existe um..., existe ao menos um..., etc.
Para que não haja ambigüidade, em matemática estas palavras precisam ganhar um sentido
claro e bem definido.
Proposição binária
Chamamos de proposição toda oração declarativa ou conjunto de símbolos que exprimem um
pensamento com sentido completo e que verifica os axiomas seguintes :
- axioma da não contradição. Toda proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo.
- axioma do terceiro excluído. Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca um terceiro
caso.
Portanto, toda proposição tem um, e um só, dos valores: V (verdade), F (falsidade).
Exemplos 1.2.1
‘A lua é um satélite da terra’ é uma proposição V;
‘1 + 2 = 3’ é uma proposição V;
‘O número 8 é par’ é uma proposição V;
‘5 < 2’ é uma proposição F;
‘2x + 5 = 7’ não é uma proposição (não pode ser classificada em V ou F );
‘Para x = 1, 2x + 5 = 7’ é uma proposição V;
‘Para x = 2, 2x + 5 = 7’ é uma proposição F.
Operações com proposições
Operamos sobre as proposições, através de conectivos, com objetivo de compor novas
proposições.
Disjunção (v)
A disjunção de duas proposições quaisquer, estabelece uma nova proposição cujo valorverdade é F somente no caso em que ambas sejam falsas.
Exemplos 1.2.2
a) 6 > 5 v 6 = 5
resulta em uma proposição V, pois a proposição ‘6 > 5’ é Verdadeira.
b) 2 é ímpar v 7 é par
resulta em uma proposição F, pois ‘2 é ímpar’ é F e ‘7 é par’ também é F.
Conjunção de proposições (*)
A conjunção de duas proposições estabelece uma nova proposição que é verdadeira somente
no caso em que ambas sejam verdadeiras.
Exemplos 1.2.3
6 > 5 * 6 = 5 é uma proposição F, pois ‘6 = 5’ é F;
2 = 2 * 4 = 4 é uma proposição V, pois ambas são verdadeiras.
Sentenças abertas
Chamamos de sentença aberta em um conjunto A, uma expressão p(x) tal que, qualquer que
seja aA, p(a) é F ou V. Chamamos de Conjunto-Verdade, o conjunto de todos elementos de
A tais que p(a) é V.
Exemplo. Em N = {1, 2, 3, …}, a expressão
2x + 5 = 7
é uma sentença aberta, cujo conjunto-verdade é {1}. Podemos verificar facilmente que
somente para x = 1, 2x + 5 = 7 é uma proposição V.
Uma equação é uma sentença aberta. Resolver uma dada equação p(x) em um conjunto A, é
encontrar o conjunto-verdade de p(x) em A Tal procedimento nem sempre é tão óbvio
conforme pode deixar transparecer o exemplo seguinte:
2x + 5 = 7 <==> x = 1
A passagem da expressão 2x + 5 = 7 para a expressão equivalente x = 1, requer o
conhecimento e a manipulação correta de certas propriedades matemáticas :
Propriedades 1.3.1 Para os números reais a, b, c, temos :
a = b <==> a + c = b + c
<==> a - c = b - c
<==> a . c = b . c
<==> Error! = Error! , c  0
Estas propriedades nos dizem que não alteramos uma igualdade acrescentando (subtraindo,
multiplicando ou dividindo) uma mesma quantidade (não nula, no caso da divisão) em ambos
os membros da igualdade. Elas nos fornecem um instrumento para resolver alguns tipos de
equações.
Exemplo 1.3.1 Resolver em R
a) 2x + 5 = 7
Solução.
2x + 5 = 7
<==> 2x + 5 - 5 = 7 - 5
<==> 2x = 2
2x
<==> 2 = Error!
<==> x = 1
S = {1}.
b) 4x - 5 = x - 6
Solução.
4x - 5 = x - 6 <==> 4x - 5 + 5 = x - 6 + 5
<==> 4x = x - 1
<==> 4x - x = x - 1 - x
<==> 3x = - 1
3x -1
<==> 3 = 3
-1
<==> x = 3
<==> x = - Error!
S = {x  R / x = - Error! }
Propriedade 1.9.2 Para a e b reais, temos :
ab = 0 <==> a = 0 v b = 0
Esta propriedade pode ser generalizada para mais de dois números e nos fornece um
instrumento importante na resolução de equações.
Consideremos o exemplo. Resolver 4x2 - 4 = 0 em R.
Fatorando a expressão à esquerda da igualdade e em seguida aplicando a propriedade acima,
temos as equivalências
4x2 - 4 = 0
<==> (2x - 2)(2x + 2) = 0
<==> 2x - 2 = 0 v 2x + 2 = 0
A sentença aberta 2x - 2 = 0 v 2x + 2 = 0 é verificada para todo número real que satisfaz
pelo menos a uma das condições 2x - 2 = 0 ou 2x + 2 = 0. Portanto, a solução é dada pela
união do conjunto-solução de 2x - 2 = 0 com o conjunto-solução de 2x - 2 = 0.
Deste modo, temos
2x - 2 = 0 v 2x + 2 = 0 <==> x = 1 v x = -1
cuja solução é S = {1} U {-1} = {-1, 1}.
Neste exemplo vimos que o conjunto-solução de uma sentença aberta composta pela
disjunção (v) de duas sentenças abertas é dada pela união dos conjuntos-solução de cada uma
dessas sentenças abertas.
1.4 Resolução de inequação.
Propriedade 1.3.3 Sejam a, b, c números reais, temos :
a > b <==> a + c > b + c,
<==> a - c > b - c,
<==> a . c > b . c, com c > 0,
<==> a . c < b . c, com c < 0,
<==> Error! > Error! , com c > 0
<==> Error! < Error! , com c < 0.
De forma semelhante, podemos enunciar esta propriedade para os casos a  b,
a < b e a  b. Em resumo, esta propriedade se diferencia das propriedades 1.2.1, nos casos da
multiplicação e divisão por um número negativo.
Propriedades 1.9.4 Sejam a e b números reais, então :
ab > 0 <==> (a > 0 * b > 0)
ab  0 <==> (a  0 * b  0)
ab < 0 <==> (a < 0 * b > 0)
ab  0 <==> (a  0 * b  0)
v
v
v
v
(a < 0 * b < 0)
(a  0 * b  0)
(a > 0 * b < 0)
(a  0 * b  0)
Estas propriedades podem ser estendidas para o produto de três ou mais números.
A primeira dessas propriedades pode ser enunciada da seguinte maneira: o produto de dois
números é positivo se ambos são positivos ou se ambos são negativos. De forma análoga,
também podemos enunciá-las para a divisão, pois as “regras dos sinais” são as mesmas da
multiplicação.
Exemplos 1.9.2 Resolver as inequações :
a) 1 - 2x < 9
Solução
1 - 2x < 9
<==> 1 - 2x - 1 < 9 - 1
<==> -2x < 8
-2x 8
<==> -2 > -2
<==> x > -4
<==> x[(-4,+_)
b) x2 - 4 < 0
Solução 1
x2 - 4 < 0
<==> (x + 2)(x - 2) < 0
<==> ( x + 2 < 0 * x - 2 < 0 )
<==> (x < -2 * x < 2 )
<==> ( x < 2 )
<==> x[(-, -2] v x[[2, +_)
v (x+2<0 * x-2<0)
v ( x < -2 * x < 2 )
v ( x < -2 )
Este exemplo mostra claramente a utilização da conjunção e da disjunção de proposições :
- no caso da conjunção,
(x _ -2 e x _ 2 ) só é V para x _ 2, pois para qualquer ¢x[[2, +_) a proposição x _ -2 é
Verdadeira como também x _ 2 (a conjunção de duas proposições é verdadeira no caso em
que ambas são verdadeiras) ;
- no caso da disjunção,
( x _ 2 ou x _ -2 ) é V, pois, para x[(-_, -2] a proposição x _ -2 é verdadeira e para x[[2, +_) a
proposição x _ 2 é verdadeira (a disjunção de duas proposições resulta verdadeira se pelo
menos uma delas é verdadeira).
Este tipo de questão torna a sua solução cada vez mais complexa a medida que aumenta o
número de fatores envolvidos. Daremos a seguir, uma solução usando uma forma de
representação.
Solução 2
Temos que : x2 - 4 _ 0
<==> (x + 2)(x - 2) _ 0
Procuramos saber inicialmente qual é o sinal de (x + 2) e (x - 2). Uma vez conhecido estes
sinais, escolhemos o conjunto cujo produto seja positivo ou nulo (conforme pede o exercício),
ou seja, devemos escolher x, tal que,
{ x + 2 _ 0 e x - 2 _ 0 } ou { x + 2 _ 0 e x - 2 _ 0 }.
- sinais de (x - 2) e de (x + 2)
Sabemos que x - 2 = 0 <==> x = 2. Para valores superiores ou iguais 2, temos (x - 2) _ 0 e
para valores inferiores ou iguais a 2, temos (x - 2) _ 0. Podemos obter os sinais de (x + 2),
raciocinando de maneira análoga.
Estes sinais podem ser representados muito convenientemente da seguinte forma :
------------------x-2
---------0++++++
-2
++++++0--------2
x+2
(x - 2) (x + 2)
--------0++++++
2
+++++++++++++
--------0++++++
2
Fica claro nesta representação que
x2 - 4 _ 0
<==> (x + 2)(x - 2) _ 0
<==> x[(-_, -2] ou x[[2, +_)
3x - 1
c) x - 2 < 2, com x - 2 _ 0
3x - 1
Solução 1. x - 2 < 2, x - 2  0
<==> { 3x - 1 < 2(x - 2) * x - 2 > 0} ou {3x - 1 > 2(x - 2) * x - 2 < 0}
<==> { 3x -1 < 2x - 4 * x > 2} v {3x - 1 > 2x - 4 e x < 2}
<==> { x < - 3 * x > 2} v {x > - 3 * x < 2}
<==> { } v {-3 < x < 2}
<==> {-3 < x < 2}
<==> x[(-3, 2)
3x - 1
Solução 2. Com x _ 2, x - 2 < 2
3x - 1
<==> x - 2 - 2 < 0,
x-2_0
3x - 1 -2(x - 2)
<==>
< 0, x - 2 _ 0
x-2
<==> Error! < 0,
x-2_0
Sinais de (x + 3) e (x - 2) :
-----------------x-2
--------0++++++
2
x+3
(x + 3) / (x - 2)
---------0++++++
-3
++++++0--------3
Pela representação acima, temos :
< 0, com x - 2 _ 0
<==> x[(-3, 2).
Error!
E portanto,
3x - 1
x - 2 < 2, x _ 2
<==> x[(-3, 2)
+++++++++++++
--------0++++++
2
1.10 Equações e inequações envolvendo valor absoluto
Qualquer que seja a[R, existe -a[R, chamado de oposto de a, e reciprocamente, -a é o oposto
de a.
Se a > 0, temos -a < 0, e se a < 0, temos -a > 0.
Definição 1.10.1 Consideremos um número qualquer a[R, definimos o módulo de a,
representado por |a|, da seguinte maneira :
( |a| = 0, se a = 0 ) v ( |a| = a, se a > 0 ) v ( |a| = -a, se a < 0 )
A definição deixa claro que o módulo de um número real sempre é um número real positivo
ou nulo. Da definição decorre as propriedades seguintes :
Propriedade 1.10.1 (¢a[R), temos :
|a| = b, b _ 0
<==> (a)2 = b2
<==> a = b ou a = -b
Propriedade 1.10.2 (¢a[R) e (¢b[R), temos :
| ab | <==> | a | | b |
Propriedade 1.10.3 (¢a[R) e (¢b[R, b _ 0), temos
| Error! | <==> Error! com b _ 0
Estas propriedades são úteis na resolução de equações e inequações envolvendo valor
absoluto.
Exemplos 1.10.1. Resolver
a) | x - 2 | = 4
Solução 1.
<==> (x - 2)2 = 42
<==> (x - 2)2 - 42 = 0
|x-2|=4
<==> (x - 2 - 4)(x - 2 + 4) = 0
<==> (x - 6)(x + 2) = 0
<==> x = 6 v x = -2
Solução 2.
|x-2|=4
<==> x - 2 = 4 v x - 2 = -4
<==> x = 6 v x = -2
Faremos neste mesmo exemplo, uma representação da solução 2, que será muito prática na
resolução de outras equações mais complexas. Deixamos ao leitor a tarefa de estudar esta
representação.
x-2=0
2
|x-2|
- (x - 2)
(x - 2)
|x-2|=4
-(x -2) = 4
x-2=4
Solução
x=-2
{ -2 } e (-_, 2]
{ -2 }
x=6
{ 6 } e [2, +_)
{6}
Solução : { - 2, 6 }
Construção da tabela :
- primeira linha
- segunda linha
| x - 2 | = 0, para x = 2
| x - 2 | = x - 2, para x > 2
| x - 2 | = -(x - 2), para x < 2
|x-2|=4
-(x - 2) = 4
(x = 2)
x-2=4
(x = 6)
-(x - 2) = 2 * x 2
(x = 2)
x=2*x>2
(x = 6)
- terceira linha
- quarta linha, solução de
- quinta linha, solução de
Finalmente, a solução procurada é { - 2 } U { 6 } = { - 2, 6 }
b) | 2x + 3 | = x
Solução 1.
Para x _ 0, | 2x + 3 | = x
<==> ( 2x + 3 = x ou 2x + 3 = -x ),
<==> (x = -3 ou x = -1 ),
<==> { }
x_0
x_0
Representação
- Error!
2x + 3 = 0
2x + 3
-(2x + 3)
(2x + 3)
| 2x + 3 | = x
-2x - 3 = x
2x + 3 = x
Solução
x = -1
{ - 1 } e (-_, -3/2]
{ }
x = -3
{ -3 } e [-3/2, +_)
{ }
Solução : { }.
Solução 2. Para x _ 0,
| 2x + 3 | = x<==> (2x + 3)2 = x2
<==> (2x + 3)2 - x2 = 0
*x_0
<==> ( 2x + 3 - x )( 2x + 3 + x ) = 0
<==> ( x + 3 )( 3x + 3 ) = 0
*x_0
*x_0
*x_0
<==> ( x = -3 v x = -1)
<==> { }
c) |
*x_0
2x + 3
x | = 1, x _ 0
Solução 1.
2x + 3
| x |=1
| 2x + 3 |
|x| =1
<==> | 2x + 3 | = | x |,
<==> 2x + 3 = x ou 2x + 3 = -x
<==> {x = -3 ou x = -1}
<==>
*x_0
*x_0
*x_0
Solução 2. Para x _ 0,
| 2x + 3 | = | x |
<==> (2x + 3)2 = x2,
<==> (2x + 3)2 - x2 = 0,
*x_0
<==> ( 2x + 3 - x )( 2x + 3 + x ) = 0,
<==> ( x + 3 )( 3x + 3 ) = 0,
<==> {x = -3 ou x = -1}
*x_0
*x_0
*x_0
Representação
2x + 3 = 0
x=0
| 2x + 3 |
|x|
| 2x + 3 | = | x |
Solução
- 3/2
0
-(2x + 3)
-x
-2x - 3 = -x
x = -3
{-3} e (-_, -3/2]
{ -3 }
Solução : {x = -3 ou x = -1}
(2x + 3)
-x
2x + 3 = -x
x = -1
{-1} e [-3/2, 0)
{- 1}
2x + 3
x
2x + 3 = x
x = -3
{ -3} e [0, +_)
{ }
d) | 1 - 3x | + | 2 - x | = | 3 + x| - | x | + 1
Solução. Neste exercício, daremos apenas a solução utilizando a representação.
3+x=0
x=0
1 -3x = 0
2-x=0
|3+x|
-3
0
1/3
2
3+x
3+x
3+x
|x|
| 1 - 3x |
-(3 + 3 + x
x)
-x
-x
1 - 3x 1 - 3x
x
1 - 3x
x
-(1 - 3x)
|2-x|
A
2-x
B
2-x
D
2-x
E
x
-(1
3x)
-(2 - x)
F
2-x
C
O conteúdo de cada uma das células A, B, C, D, E, F :
A : | 1 - 3x | + | 2 - x | = | 3 + x| - | x | + 1
B : (1 - 3x) + (2 - x) = -(3 + x) - (-x) + 1
<==> 3 - 4x = -2
<==> x = 5/4
<==> { 5/4} e (-_, -3] <==> { }
C : (1 - 3x) + (2 - x) = (3 + x) - (-x) + 1
<==> 3 - 4x = 4 + 2x
<==> x = -1/6
<==> { -1/6 } e [-3, 0]
<==> {-1/6 }
D : (1 - 3x) + (2 - x) = (3 + x) - (x) + 1
<==> -4x + 3 = 3
<==> x = 0
<==> { 0 } e [0, 1/3] <==> { 0 }
E : -(1 - 3x) + (2 - x) = (3 + x) - (x) + 1
<==> 2x + 1 = 4
<==> x = 3/2
<==> { 3/2 } e [ 1/3, 2]
<==> { 3/2 }
F : -(1 - 3x) - (2 - x) = (3 + x) - (x) + 1
<==> 4x - 3 = 4
<==> x = 7/4
<==> { 7/4} e [2,+_) <==> { }
Do que precede, concluímos que : | 1 - 3x | + | x - 2 | = | 3 + x| - | x | + 1
<==> { x = -1/6 ou x = 0 ou x = 3/2 }
e) | 2x + 3 | < x
Representação
- Error!
2x + 3 = 0
| 2x + 3 |
| 2x + 3 | < x
-(2x + 3)
-2x - 3 < x
x > -1
x > -1 e x < -3/2
{}
Solução
(2x + 3)
2x + 3 < x
x < -3
x < -3 e x > -3/2
{}
Do que precede, temos
| 2x + 3 | < x <==> { }
f) | 2x + 3 | < | x |
Representação
2x + 3 = 0
x=0
-3/2
| 2x + 3 |
-(2x + 3)
(2x + 3)
2x + 3
|x|
-x
-x
x
| 2x + 3 | < | x |
-2x - 3 < -x
2x + 3 < -x
2x + 3 < x
x > -3
x < -1
x < -3
x > -3 e x< -3/2
(-3, -3/2)
x < -1 e -3/2 < x < 0
(-3/2, -1)
x < -3 e x > 0
{ }
Solução
0
Do que precede, temos que :
| 2x + 3 | < | x | <==> (-3, -3/2) ou (-3/2, -1)
g) | x - 1 | + | x - 4 | _ x + 1
Representação
x-1=0
x-4=0
|x-1|
|x-4|
| x - 1 | + |x - 4 | _ x + 1
Solução
1
4
-( x - 1 )
- (x - 4 )
-2x + 5 _ x + 1
x _ 4/3
x _ 4/3 e x _ 1
(-_, 1]
x-1
-(x-4)
3_ x+1
x_2
x _ 2 e 1_ x _ 4
[ 1, 2]
x-1
x-4
2x - 5 _ x + 1
x_6
x_6 ex_4
[ 6, +_)
Do que precede, temos que :
| x - 1 | + |x - 4 | _ x + 1 <==> { (-_, -2] ou [6, +_) }
1.11 - Resolução de equações e inequações envolvendo radicais
Consideremos um tipo de equação (ou inequação) onde a incógnita aparece em pelo menos
um radical. Exemplo : x - 1 = x - 3
É muito comum neste tipo de equação, fazer desaparecer os radicais por elevação ao quadrado
dos dois membros da equação. Tomemos por exemplo as equações seguintes :
x-1=x-3
x-1=3-x
Eliminando os radicais em cada uma das equações obtemos as equações
x - 1 = x2 - 6x + 9
x - 1 = x2 - 6x + 9
Constatamos que duas equações diferentes, após elevação ao quadrado, conduzem a uma
mesma equação. A operação de elevação ao quadrado não transforma uma equação em outra
equivalente, deste modo, é necessário que se enquadre a solução encontrada nas restrições da
equação inicial.
Examinemos com mais cuidado as operações efetuadas acima. Tomemos a primeira equação
como exemplo. Temos :
x - 1 = x - 3 <==>
x - 1 - (x - 3) = 0
<==> ( x - 1 - (x - 3)) ( x - 1 + (x - 3)) = 0 e ( x - 1 + (x - 3)) _ 0.
Observemos que se não atentarmos a detalhe acima podemos introduzir “soluções” a mais que
provém do fato de :
x - 1 + (x - 3) = 0 ou
x-1 = 3-x
Daremos a seguir algumas propriedades para orientar a resolução de equações e inequações
envolvendo raízes quadradas.
Propriedades 1.11.1
a) x = y
b) x < y
c) x _ y
d) x > y
e) x _ y
f) x > y
g) x _ y
Sejam x e y número reais :
<==> x = y2 e y _ 0 e x _ 0
<==> 0 _ x < y2 e y > 0
<==> 0 _ x _ y2 e y > 0
<==> (x _ 0 e y < 0) ou (x > y2 e y _ 0)
<==> (x _ 0 e y < 0) ou (x _ y2 e y _ 0)
<==> x > y _ 0
<==> x _ y _ 0
Exemplos 1.11.1 Resolver
a) x - 1 = x - 3
Solução. Temos : x - 1 _ 0 e x - 3 _ 0
<==> x - 3 _ 0 <==> x _ 3
Elevando-se ao quadrado ambos membros da equação acima obtemos :
x - 1 = x2 - 6x + 9 e x _ 3 <==> x2 - 7x + 10 = 0 e x _ 3
<==> (x = 5 ou x = 2) e x _ 3.
Portanto, a solução é { x = 5 }.
b) x - 1 = 3 - x
Solução. Temos : x - 1 _ 0 e 3 - x _ 0
<==> x _ 1 e x _ 3.
Como anteriormente, elevamos ao quadrado ambos membros da equação acima para obter a
equação :
x - 1 = x2 - 6x + 9 e (x _ 1 e x _ 3)
<==> x2 - 7x + 10 = 0 e (x _ 1 e x _ 3)
<==> { x = 5 ou x = 2 } e (x _ 1 e x _ 3)
Portanto, a solução é { x = 2 }.
c) x - 1 > x - 3
Solução. x - 1 > x - 3
<==> (x - 1 _ 0 e x - 3 < 0) ou ((x - 1) > (x - 3)2 e (x - 3)) _ 0
<==> (x _ 1 e x < 3) ou (x2 - 7x + 10 < 0 e x _ 3)
<==> (1 _ x < 3) ou (2 < x < 5 e x _ 3)
<==> (1 _ x < 3) ou (3 _ x < 5)
Portanto a solução é : 1 _ x < 5.
c) x - 3 > x - 1
Solução. Usaremos alguns colchetes com índices para mostrar com mais clareza a solução :
x - 3 > x - 1 <==> [ x - 3 = ( x - 1)2 ]1 e [ x - 1 _ 0]2 e x - 3 _ 0
<==> [ x = 2 ]1 e [ x _ 1 ]2 e x _ 3
<==> [ x _ 0 e x = 22]1 e [(x _ 1 e 1 < 0) ou (x _ 12 e 1 _ 0) ]2 e x _ 3
<==> [ x = 4 ]1 e [ x _ 1 ]2 e x _ 3
Portanto a solução é { x = 4}.
Exercícios
1 - Equacione os prolemas seguintes.
a) Achar o número que somado com a sua metade é igual a 37 ?
b) Qual é a fração equivalente a 7/2 cuja soma de seus termos é igual a 27 ?
c) Uma senhora saiu de casa com uma certa quantia em dinheiro. Na primeira loja gastou 3/4
do que possuía. Em seguida, em uma segunda loja ela dispendeu o dobro do que ainda
possuía, ficando devendo R$ 10,00. Quanto possuía antes de fazer as compras ?
d) Determinar x de modo que o quadrado e o triângulo equilátero tenham o mesmo perímetro.
Anexo 1 - Algumas propriedades dos números reais
Designaremos o conjunto dos números reais pela letra R.
Propriedade 1. Fechamento : o produto (usual) de dois números reais quaisquer é um único
número também real ; da mesma forma, a soma de dois reais quaisquer é um número único
real.
Propriedade 2. Comutatividade : se a e b são reais então
a+b=b+a
e
a.b = b.a
Esta propriedade pode ser estendida para um número finito de números reais.
Propriedade 3. Distributividade : se a, b, c são reais então
a +(b + c) = (a + b) + c
e
a.(b.c) = (a.b).c
Exemplo 1.1.2 Simplificar a expressão
1.7 Quais transformações são permitidas ?
São as regras (ou propriedades) matemáticas que vão nos dizer o que se pode ou não fazer na
manipulação de objetos matemáticos. O conhecimento destas regras é fundamental para que o
valor verdade não se altere.
Exemplo 1.7.1 A expressão x =
As expressões
4 significa, apenas a raiz quadrada positiva do número 4.
x = 4 e x2 = 4
não são equivalentes :
a primeira, tem solução {x = 2} e a segunda {x = 2 ou x = -2}. Isto mostra na verdade a
equivalência entre as expressões
{ x2 = 4 }
e
{ x = 4 ou x = - 4 }.
Esta última expressão escrita normalmente, por abuso de linguagem, na forma
x=± 4
1.8 Uso de regras (propriedades) e convenções
Algumas propriedades dos números reais que teremos como base nas transformações dos
objetos matemáticos, estão colocadas no anexo 1. Estenderemos também estas propriedades
no cálculo com expressões literais.