Geometria Plana 2

Geometria Plana
•
Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem, não sendo colineares.
•
Interior do ângulo Ô :
•
•
•
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, apresentarem um lado em comum.
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não apresentam pontos internos comuns.
Ângulos opostos pelo vértice
•
•
Bissetriz de um ângulo divide um ângulo em outros dois ângulos iguais.
Ângulo reto
Ângulo agudo
Ângulo obtuso
•
•
•
•
Ângulos complementares: quando a soma de dois ângulos é 90°
Ângulos suplementares: quando a soma de dois ângulos é 180°
Ângulos nulos: quando os lados que formam o ângulo são semi-retas coincidentes (0°)
Ângulos rasos: quando os lados que formam o ângulo são semi-retas opostas (180°)
•
Classificação dos triângulos quanto aos lados:
Equiláteros quando há três lados congruentes
Isósceles quando há dois lados congruentes
Escaleno quando os lados não apresentam congruência
•
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos:
Retângulos quando há um ângulo reto
Acutângulos quando há três ângulos agudos
Obtusângulo quando há um ângulo obtuso
•
Dois triângulos são congruentes quando apresentam os mesmos ângulos e as mesmas medidas dos lados. Os casos de
congruência são:
LAL (Lado – Ângulo – Lado): “se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo
compreendido, então eles são congruentes”.
ALA (Ângulo – Lado – Ângulo): “se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos
a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes”.
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Exterior do ângulo Ô :
Página 1
•
•
LLL (Lado – Lado – Lado): “se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados então são
congruentes”
LAA (Lado – Ângulo – Ângulo): “se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes”.
RHL (Ângulo reto – Hipotenusa – Lado): “se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um
cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes”.
O maior lado é sempre oposto ao maior ângulo e vice-versa.
Tendo o triângulo:
Pode-se afirmar que: |
− |<
<
+
•
3 5, 4 6
- alternos internos:
1 7, 2 8
- alternos externos:
3 6, 4 5
- colaterais internos:
1 8, 2 7
- colaterais externos:
1 5, 2 6, 3 7, 4 8
- correspondentes:
•
Nos triângulos, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
=
+
•
A soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180°
•
•
Um quadrilátero tem duas diagonais, e a soma dos ângulos internos, assim como dos externos, é 360°.
Trapézio é um quadrilátero plano convexo que possui dois lados paralelos (as bases). Os outros dois lados não base
podem ser congruentes, formando um trapézio isósceles ou podem ser não congruentes, formando um trapézio
escaleno. E o trapézio que possui dois ângulos retos é chamado de trapézio retângulo.
+
+
=
!°
Propriedades dos trapézios:
%%%%, tem-se:
Em qualquer trapézio # $ (notação cíclica) de bases %#%%% $
#& + = + $& = 180°
As diagonais e os ângulos das bases de um trapézio isósceles são congruentes.
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•
Paralelogramo é um quadrilátero plano convexo que possui os lados opostos paralelos.
%#%%% //$
%%%% e #
%%%%//%%%%
$
Propriedades dos paralelogramos:
Ângulos opostos são congruentes: #& ≡ $& ≡
%%%%
Lados opostos são congruentes: %#%%% ≡ %$%%% %%%%
$≡#
•
Retângulo é um paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes.
#& ≡
≡ $& ≡
Propriedade dos retângulos:
As diagonais são congruentes
•
Losango é um paralelogramo que possui os quatro lados congruentes.
%#%%% ≡ %%%%
%%%%
$ ≡ %$%%% ≡ #
Propriedade dos losangos:
As diagonais são perpendiculares
•
Quadrado é um paralelogramo que possui os quatro ângulos e os quatro lados congruentes.
#& ≡
≡ $& ≡
%%%% ≡ %%%%
%%%%
#
$ ≡ %$%%% ≡ #
Propriedade dos quadrados:
Todo quadrado é retângulo e também é losango
•
Bases médias
do triângulo: quando um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo;
pois, assim, ele é a metade do terceiro lado e é paralelo a este lado.
do trapézio: quando um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos; pois,
assim, ele é igual à semi-soma das bases e é paralelo a estas.
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•
Pontos notáveis do triângulo:
Mediana é o seguimento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto a este vértice.
O comprimento da mediana pode ser calculado pela seguinte fórmula:
*+ = ,
- ²/- ²0+²
1
, sendo
o lado do triângulo que a mediana intercepta e
e os outros lados.
Uma mediana divide um triângulo em duas regiões de áreas iguais.
O encontro das medianas é o baricentro.
A distância do vértice ao baricentro é o dobro da distância do baricentro ao lado oposto.
Bissetriz interna é seguimento de reta que parte do vértice até o lado oposto e divide um ângulo em duas
partes iguais.
O comprimento da bissetriz interna pode ser calculado pela fórmula:
2+ =
-
/
3
4(4 − +), sendo 78 bissetriz interna traçado do vértice # ao lado oposto e 9o
semiperímetro do triângulo.
Teorema das bissetrizes internas: tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a
intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:
%%%% %%%%
=
%%%%%
:
: %%%%
O encontro das bissetrizes internas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita ao triângulo.
Bissetriz externa é o seguimento de reta que divide o ângulo externo em duas partes iguais.
O comprimento da bissetriz externa pode ser calculado pela fórmula:
2;+ = |
3
0 |
(4 − )(4 − ), sendo 78; bissetriz externa traçado do vértice # ao prolongamento do
lado oposto e 9o semiperímetro do triângulo.
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Mediatriz é seguimento de reta que passa pelo ponto médio de um lado e forma um ângulo reto com este.
O encontro das mediatrizes é o circuncentro, que é centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo ⇒ o ângulo oposto a este lado será reto.
Se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo ⇒ o ângulo oposto a este lado será acutângulo.
Se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo ⇒ o ângulo oposto a este lado será obtusângulo.
Altura é o seguimento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento traçado pelo
vértice oposto.
A altura pode ser calculada pela seguinte fórmula:
-
< = 34(4 − +)(4 − )(4 − ), sendo ℎ> a altura traçado do vértice C ao lado oposto e 9o semiperímetro
do triângulo.
O encontro das alturas é o ortocentro.
Triângulo acutângulo ⇒ o ortocentro é interno ao triângulo.
Triângulo retângulo ⇒ o ortocentro é o vértice do ângulo reto.
Triângulo obtusângulo ⇒ o ortocentro é externo ao triângulo .
Triângulo órtico é o triângulo formado a partir da ligação nos vértices D, E e F.
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•
Polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada.
3 lados → triângulo
4 lados → quadrilátero
5 lados → pentágono
6 lados → hexágono
7 lados→ heptágono
8 lados → octógono
9 lados → eneágono
10 lados →decágono
11 lados → undecágono
12 lados → dodecágono
15 lados → pentadecágono
20 lados → icoságono
Polígono simples divide o plano geométrico que o contém em duas regiões: a região interior ao polígono e a
região exterior a ele. Quando um polígono não é simples, chamamos de complexo.
Polígono convexo é o polígono que, quando se traça uma reta passando por dois de seus vértices consecutivos,
deixa os demais vértices num mesmo semiplano. Quando um polígono não é convexo, chamamos de côncavo.
Polígono equilátero possui lados congruentes.
Polígono equiângulo possui ângulos congruentes.
Um polígono convexo é regular se for equilátero e equiângulo simultaneamente.
Número de diagonais de um polígono de @ lados (@ ≥ 3):
B=
C(C − D)
-
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo de @lados(@ ≥ 3):
KL = (C − -).
!°
Soma dos ângulos externos de um polígono convexo:
KN = DO!°
Ângulo interno de um polígono regular:
+L =
(C − -).
C
Ângulo externo de um polígono regular:
+N =
!°
DO!°
C
+L + +N =
!°
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência e o centro dessas circunferências é o
próprio centro do polígono regular.
+ =
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DO!°
C
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PQRâ@TUVW
b
2
b√3
9óP a ( )
V YW(V)
XU YQ YW
b√2
2
b√2
hexágono
b√3
2
b
d-C = ,e(-e − 31e- − d-C ) , esta expressão permite saber o valor de um lado que seja múltiplo ao
•
valor de um lado já conhecido, por exemplo, do Vf (lado do hexágono), pode-se obter o de Vgh (lado do
dodecágono).
Dois polígonos são congruentes se têm ângulos e lados congruentes.
Dois polígonos são equivalentes se têm a mesma área.
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos congruentes e lados correspondentes proporcionais.
Circunferência é um conjunto de pontos de um plano, cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma
distância (não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância é o raio da circunferência.
•
%%%%
i$ > Q
%%%%
i$ = Q
%%%%
i$ < Q
i(jk , lk )$( , )Q RW = Q
⇒ o ponto i é exterior à circunferência
⇒ o ponto i está sobre o limite da circunferência
⇒ o ponto i é interior à circunferência
•
Corda, diâmetro e raio:
•
Arco de circunferência e semicircunferência:
•
•
Círculo é a união da circunferência com o seu interior.
Setor circular, segmento circular e semicírculo:
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•
•
Posição relativa de uma reta e uma circunferência:
Yn,o < Q ⇒ a reta será secante
Yn,o = Q ⇒ a reta será tangente
Yn,o > Q ⇒ a reta será exterior
Obs.: toda tangente a uma circunferência é
perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Posição relativa de duas circunferências:
Circunferências exteriores (I). Circunferências tangentes exteriores (II). Circunferências tangentes interiores (III).
Circunferências secantes (IV). Circunferência de menor raio e interior a outra (V). Circunferências concêntricas (VI).
(I)
•
•
(II)
(V)
(VI)
(III)
(IV)
%%%% , ambos tangentes a uma circunferência, com # Se de um ponto i conduzirmos os segmentos %%%%
i# i
%%%%
%
%%%
circunferência, então i# ≡ i .
na
Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos
outros dois.
p+q=r+s
•
Se um quadrilátero convexo é inscritível a uma circunferência seus ângulos opostos são suplementares
+
=
+: =
!°
!°
•
t
t = u = - =
•
u -
Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo.
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•
Um ângulo de segmento é a metade do ângulo central correspondente.
=
•
t
-
Ângulo excêntrico interior:
r=
•
- /-t
-
Ângulo excêntrico exterior:
r=
•
-
Teorema de Tales: “se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos
quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra”.
%%%%
%%%%
•
- 0-t
%%%%%%%
v v
= %%%%%%%
v v
Existe semelhança de triângulo quando dois triângulos possuem ângulos ordenadamente congruentes e os lados
homólogos proporcionais.
≡
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;
,
+
=
+;
≡
;
=
;
;
,
≡
;
=w
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Obs.:
•
•
•
se x = 1, os triângulos são congruentes (x é a razão de semelhança).
se a razão de semelhança de dois triângulos é x, então a razão entre dois elementos lineares homólogos éx.
Teorema fundamental: “se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois em pontos
distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro”.
Casos de semelhança:
“se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes”.
“se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos
compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes”.
“se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.”
Potência de ponto:
“se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das medidas das duas partes
de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra”.
%%%%). (y:
%%%%). (y
%%%%) = (y
%%%%%)
(y
%%%% e %%%%
“se por um ponto i exterior a uma circunferência conduzimos dois ‘segmentos secantes’ (i#
i$ ), então o
%%%%) pela de sua parte exterior (i
%%%% ) é igual ao produto da medida do
produto da medida do primeiro (i#
%%%% ) pela de sua parte exterior (i
%%%% )”.
segundo (i$
%%%%). (y:
%%%%). (y
%%%%) = (y
%%%%%) = (yz
%%%%)²
(y
•
Relações métricas e teorema de Pitágoras (triângulos retângulos)
I)
II)
III)
IV)
V)
•
Aplicações do teorema de Pitágoras
Diagonal do quadrado:
B = +√-
Altura do triângulo equilátero:
<=
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² = +. C; ² = +.*
<² = *. C
. = +. <
. < = . C; . < = . *
+² = ² + ²
+√D
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2NC =
+pNp||4|2p|
<L4|pNC}2+
7 @
cos
PT„
~•€
30°
1
2
√3
2
√3
3
=
+pNp|+B•+ NCpN
<L4|pNC}2+
p‚ =
45°
√2
2
√2
2
1
+pNp||4|2p|
+pNp|+B•+ NCpN
60°
√3
2
1
2
√3
Triângulos pitagóricos
sendo @ ∈ ℕ
•
Lei dos senos (qualquer triângulo):
•
+
=
2NC
2NC
=
2NC
= -e
Lei dos cossenos (qualquer triângulo):
² = +² + ² − -+ . ~•€
•
•
Reconhecimento da natureza de um triângulo:
² < ² + ² ⇒ triângulo acutângulo
² = ² + ² ⇒ triângulo retângulo
² > ²+
⇒ triângulo obtusângulo
sendo
o maior lado e lembrando que:
| − |< < +
Relação de Stewart:
+²s + ²r − q² = rs
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•
Comprimento de uma circunferência:
•
Comprimento de um arco de circunferência:
= -‡e
ˆ =
‡e
, 4+‰+ N*‚‰+}2
!
ˆ = e , 4+‰+ N*‰+BL+C|2
Obs.: ”chama-se radiano todo arco de circunferência cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência
que o contem”.
‰+B =
•
!°
≅ ‹Œ° Œ′
‡
Áreas de superfícies planas
Retângulo:
e
= . <
Ž
= +²
4
= . <
z
=
Quadrado:
Área do triangulo em função dos lados e do raio da
circunferência circunscrita:
K=
Área do triângulo em função de dois lados e do
seno do ângulo compreendido:
Paralelogramo:
Triângulo:
K=
. <
-
=
Trapézio:
= ‡. e²
Losango:
ˆ
=
Área de um setor circular de raio R e „ em
radianos:
+²√D
1
=
z‰+
(
+
-
- )<
B .B-
Polígono regular:
4|d
. . 2NC
-
Área do círculo:
Triangulo equilátero:
zN
+. .
1e
= 4. *
7 @YW9W7 aR9 Qía PQW a a YRY YW 9óP a
Área do triângulo em função dos lados:
K = 34(4 − +)(4 − )(4 − )
7 @YW9W7 aR9 Qía PQW , , W7V YW7YWPQRâ@TUVW
2Np|‰
=
e²
-
2Np|‰
=
e²‡
DO!
Área de um setor circular de raio R e „ em graus:
Área de um setor circular de raio R e do
comprimento L do arco:
2Np|‰
=
ˆe
-
Área do segmento circular em função do raio R, do
ângulo central „:
2N‚*
=
e( − 2NC )
-
Área da coroa circular:
|‰|+
= ‡(e- − ‰- )
Área do triângulo em função dos lados e do raio da
circunferência inscrita:
K = 4. ‰
7 @YW9W7 aR9 Qía PQW QWQ RW
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