Lista 1

Mestrado Profissional em Matemática – PROFMAT
Exercícios de revisão
Alunos: Edivan, Ethiamara, Hélder, Paulo Aírton, Valtércio, Zaigla
Teresina, 8 de julho de 2011
1. Os pontos racionais  x, y  (isto é, com ambas as coordenadas x, y 
equação x 2  y 2  1 são todos os pontos da forma
t
 x, y   1, 0 e
) da circunferência de
 t 2  1 2t 
x
,
y

   2 , 2  com
 t 1 t 1 
.
2. Seja f :  uma função tal que f ( x  y)  f ( x)  f ( y) para quaisquer x, y  . Prove que se
existir algum número b tal que f (b)  0 , então f é identicamente nula. Prove também que nenhum
valor f ( x) pode ser negativo. Portanto, ou f é identicamente nula ou f ( x)  0 para todo x  .
3. Seja  :

uma função crescente tal que  ( x  y)   ( x)   ( y) para quaisquer x, y 
.
Prove que  (0)  1 , que o número a   (1) é maior do que 1 e que  ( x)  a para todo x real.
x
4. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às
23h30min e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8º. Uma hora mais
tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1º. A temperatura do quarto era mantida
constante a 20. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte.
Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é 36,5º.
5. Na caverna de Lascaux, na França, famosa pelas notáveis pinturas feitas em suas paredes por
homens pré-históricos, foram encontrados pedaços de carvão vegetal, nos quais a radioatividade
do C14 era 0,145 vez a radioatividade normal num pedaço de carvão feito hoje. Calcule a idade do
carvão encontrado na caverna e dê uma estimativa para a época em que as pinturas foram feitas.
6. Uma das mais conhecidas escalas de Fechner é a que mede a sensação de ruído. Ela é definida
por L  120  10log10 l , onde L é a medida da sensação de ruído em decibéis (dB) e l é a
intensidade sonora, medida em W / m2 . Duas bandas de “heavy metal” provocam um ruído de
quantos decibéis acima do ruído provocado por uma banda?
p
p
com p e q inteiros primos entre si e q  0 . Se
é raiz da equação polinomial
q
q
an xn  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 , na variável x e com coeficientes inteiros, então p é divisor de a0 e
q é divisor de an .
b) Calcular sen 3x em função de sen x .
c) Obtenha um polinômio de coeficientes inteiros que admita sen 10º como raiz.
d) Prove que sen 10º é irracional.
7. a) Seja
8. Encontrar uma equação com coeficientes inteiros cujas raízes incluem os números:
a) 2  3
b) 2  3 3
9. Dado o polinômio F ( x)  xn  an1 x n1  ...  a1 x  a0 com coeficientes inteiros a0 , a1 , ..., an 1
, e dado também que existem quatro inteiros distintos a, b, c, d tal que
F (a)  F (b)  F (c)  F (d )  5 , mostre que não existe um inteiro k tal que F ( x)  8 .
10. Encontre um polinômio P( x) tal que seja divisível por x 2  1 e P( x)  1 seja divisível por
x3  x 2  1 .
11. Prove que, se o polinômio P( x)  an xn  an1 x n1  ...  a1 x  a0 , com coeficientes inteiros, tem
valores ímpares para x  0 e x  1 , então a equação P( x)  0 não pode ter raízes inteiras.
12. Um determinado polinômio tem resto 2 na divisão por x  1 , e resto 1 na divisão por x  2 . Qual
deve ser o resto desse polinômio na divisão por  x  1 x  2  ?