PREPARAÇÃO PARA OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 1ª

PREPARAÇÃO PARA OLIMPÍADA
DE MATEMÁTICA
1ª Fase
1ª Série
113
1ª Lista
01. A reta l 2 é concorrente com a reta l 1 e a reta l 3 é paralela à reta l 1 . As três são distintas e estão no mesmo plano.
Nesse plano, o número de pontos eqüidistantes das três retas
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 8
02. A diferença entre a maior e a menor raiz da equação
p2 − 1
= 0 é:
x2 − px +
4
a) 0
b) 1
c) 2
d) p
e) p + 1
03. Um triângulo eqüilátero ABC tem lado de medida 12.
Seja D o pé da perpendicular a BC pelo ponto A e E o ponto
médio de AD. Podemos concluir que a medida de BE é:
a) 18
b) 28
c) 6
d) 63
e) 98
04. As raízes reais da equação ax2 + bx + c = 0 são r e s.
Uma equação cujas raízes são ar + b e as + b é:
a) x2 − bx − ac = 0
b) x2 − bx + ac = 0
c) x2 + 3bx + ca + 2b2 = 0
d) x2 + 3bx − ca + 2b2 = 0
e) x2 + b(2 − a ) x + a2 c + b2 ( a + 1) = 0
05. São dados dois números a e b. Representamos por a M b
o número não inferior ao outro, e por a P b o número não superior ao outro. Das igualdades
I. a M b = b M a
II. a M (b M c) = (a M b) M c
III. a P (b M c) = (a P b) M (a P c)
são corretas:
a) I somente.
b) II somente.
c) I e II somente.
d) I e III somente.
e) as três.
06. A expressão
P+Q
P −Q
, na qual P = x + y e
−
P −Q
P+Q
Q = x − y, é equivalente a:
a)
x2 − y2
xy
b)
x2 − y2
2 xy
d)
x2 + y2
xy
e)
x2 + y2
2 xy
c) 1
07. Se 2 x − 3 y − z = 0 e x + 3 y − 14 z = 0, z ≠ 0, então o vax2 + 3 xy
lor de 2
é:
y + z2
20
a) 7
b) 2
c) 0
d) −
e) −2
17
08. A expressão (81)− (2
1
1
b)
a)
81
3
−2 )
equivale a:
c) 3
d) 81
e) 814
09. Considere as equações da forma x2 + bx + c = 0. Quantas
delas têm raízes reais e têm seus coeficientes b e c selecionados dentre os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
a) 20
b) 19
c) 18
d) 17
e) 16
10. No triângulo ABC, sejam α , β, γ as medidas dos ângulos
internos de vértices A, B, C, respectivamente. A altura relativa ao vértice C divide o ângulo C em dois ângulos de medidas
γ 1 e γ 2 , sendo este último adjacente ao lado a = BC. Se
β > α , temos:
b) γ 1 − γ 2 = α − β
a) γ 1 + γ 2 = α + β
d) γ 1 − γ 2 = β − α
c) γ 1 − γ 2 = α + β
e) γ 1 + γ 2 = β − α
11. O
resto
da
divisão
do
polinômio
4
3
2
3
2
x + 4 x + 6 px + 4 qx + r pelo polinômio x + 3 x + 9 x + 3 é
zero. O valor de ( p + q)r é:
a) −18
b) 12
c) 15
d) 27
e) 45
12. Numa corrida de 10 km, o primeiro colocado vence o segundo com uma diferença de 2 km e vence o terceiro com
uma diferença de 4 km. O segundo vence o terceiro com uma
diferença de:
1
1
3
a) 2 km
b) 2 km
c) 2 km
d) 2 km
e) 3 km
4
2
4
13. Um triângulo tem lados de medidas 2 − x, x e x + 1.
Então x pertence ao intervalo:
1
1
3
a) ⎤ 0; ⎤
b) ]1; 3]
c) ⎤ 0; ⎡
d) [2; 5[
e) ⎤ ; 1⎤
⎥⎦ 2 ⎥⎦
⎥⎦ 2 ⎥⎦
⎥⎦ 2 ⎢⎣
a
, a ∈ Z, b ∈ Z*, uma fração irredutível cujo valor é
b
0,36363636... .
Então (b − a )(b + a ) =
a) 15
b) 45
c) 114
d) 105
e) 150
14. Seja
$ ≅ FDR
$ , FD = 4, DR = 6,
15. Na figura a seguir, RFS
1
FR = 5 e FS = 7 .
2
O comprimento do segmento RS é:
a) indeterminado
b) 4
1
c) 5
2
d) 6
1
e) 6
4
16. São dados dois inteiros a e b tais que
( a + b 2 )3 = 20 + 14 2 . Então ( a + b)3 é igual a:
b) 6
c) 9
d) 27
e) 8 2
a) 2
17. O número de soluções (a, b, n) de n! = a! b! com a, b e n
inteiros positivos sendo a > 1 e b > 1 (por exemplo: 10! = 7! 6!)
é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) infinito
18. Para quantos valores inteiros de x o número
teiro?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
x2 + 4
é inx
e) 8
19. Seja N o menor natural múltiplo de 15 em cuja representação decimal são usados apenas os algarismos 0 e 8. A soma
N
é:
dos algarismos de
15
a) 12
b) 15
c) 16
d) 19
e) 20
20. Se x2 = x + 1, o valor de x 3 é:
a) 3x
b) 3 x + 1
c) 5 x − 1
d) 2 x + 1
e) 4 x + 3
21. Sendo x e y inteiros, o número de pares (x; y) que satisfazem a equação 2x − 3 y = 15 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) maior que 3.
x
1
14
26
a) 2
b) 3
c) 4
113
d) 5
e) 6
⎛ x⎞ ⎛ x + 1⎞
23. (PUC-C) A solução da equação ⎜ ⎟ + ⎜
⎟ = 0 é:
⎝ 2⎠ ⎝ 3 ⎠
a) 1 ou −4.
b) −1 ou 4.
c) 1.
d) −1.
e) n.r.a.
24. (EN) Sabendo-se que p e q são proposições, podemos afirmar que
( p ∧ q) ∨ ( p ∧ ~ q) ∨ (~ p ∧ q) ∨ ~ q é equivalente a:
b) q
a) p
d) V (tautologia)
c) p ∨ q
e) F (proposição logicamente falsa)
25. (FATEC) Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto
X = {1, 2, 3} tais que, simultaneamente,
A ∩ (C − B) = {1},
B ∩ ( A − C ) = {2},
C ∩ ( B − A ) = {3}.
Se Y = A ∩ B ∩ C, então:
a) Y = 0
b) Y = {1}
c) Y = {2}
22. Em um “quadrado mágico”, a soma dos números de cada
linha, coluna ou diagonal é constante. A seguir está um quadrado mágico incompleto. O número x é:
2
13
Preparação para Olimpíada de Matemática – 1ª série (1ª fase)
d) Y = {3}
e) n.d.a.