Análise Combinatória O estudo da Análise Combinatória sempre

Análise Combinatória
O estudo da Análise Combinatória sempre constituiu sério obstáculo para alunos do 2º
grau.Calcada tradicionalmente entre definições e fórmulas, seu ensino habitua os estudantes
a um trabalho mecânico que, muitas vezes, exclui a compreensão do que estão fazendo.Em
virtude disso, nos basearemos no princípio multiplicativo, que nos dará um raciocínio
unificado, onde as fórmulas podem ser abandonadas.
Desta maneira, o aluno aprimorará o seu raciocínio-dedutivo, que deve ser o objetivo
primordial da Matemática.
Exercícios:
1. Três estradas, A, B e C, conduzem ao topo de um morro.De quantos modos uma
pessoa pode subir e descer o morro?
2. Suponhamos que no problema anterior a pessoa não queira descer o morro pela
mesma estrada que subiu.Quantos caminhos diferentes de ida e volta ela poderá
efetuar?
3. Num grupo de quatro rapazes e três moças, de quantos modos se pode escolher um
rapaz para presidente e uma moça para secretária de uma agremiação?
4. Responda:
a) De quantos modos diferentes podemos pintar 5 casas enfileiradas, dispondo
de três cores diferentes?
b) E se as casas vizinhas não puderem ser pintadas da mesma cor?
5. Num carro com cinco lugares mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas, das quais
três sabem dirigir.De quantos modos podemos dispor essas 6 pessoas em viagem?
6. Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos,
sendo um deles restaurante.Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão
restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de
modos diferentes de montar a composição é:
a)
b)
c)
d)
e)
120
320
500
600
720
7. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras de se entrar nele e sair por uma
porta diferente é:
a)
b)
c)
d)
e)
5
10
15
20
25
8. Numa estrada de ferro, há 10 estações.Quantos bilhetes deverão ser impressos de
modo que cada um deles contenha as estações de partida e de chegada?
9. Em um ônibus, há 5 lugares vagos.Duas pessoas tomam o ônibus.De quantos modos
diferentes elas podem se sentar?
10. Uma moça dispõem de 5 blusas e 4 saias.De quantos modos distintos ela pode se
vestir?
11. Numa cidade, 4 ruas estão sem nome.Existem 6 nomes para serem distribuídos a
essas ruas.Qual o número de maneiras diferentes de se atribuir os nomes?
12. Quantos números de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal?
13. Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados no sistema
decimal?
14. Os números de três algarismos, todos distintos, que existem no nosso sistema de
numeração são:
a)
b)
c)
d)
e)
650
615
640
649
648
15. O total de números pares, com três algarismos distintos, que podem ser formados
com os algarismos do conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 7 é:
a)
b)
c)
d)
e)
120
60
40
20
10
16. Chamam-se “palíndromos”, números inteiros que não se alteram quando é invertida
a ordem de leitura de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847).O número
total de palíndromos de cinco algarismos é:
a)
b)
c)
d)
e)
900
1.000
1.900
2.500
5.000
17. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, quantos números com algarismos distintos e menores
que 200 podemos formar?
Enunciado do princípio multiplicativo
Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, para cada uma dessas m
maneiras um segundo acontecimento, B, pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o
número de maneiras diferentes de ocorrer A seguido de B é m.n.
1. Um edifício possui 5 portas de entrada.De quantas maneiras diferentes estas portas
podem estar abertas?
2. Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco, mas, na hora de
digitar a senha, esquece-se do número.Ela lembra que o número tem 5 algarismos,
começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma
posição.O número máximo de tentativas para acertar a senha é:
a)
b)
c)
d)
e)
1.680
1.344
720
224
136
Anagrama: Qualquer seqüência de letras formadas a partir de uma palavra dada
(Rearranjo)
Exercícios:
1. quantos são os anagramas da palavra ZERO?
2. Quantos anagramas da palavra RENATO se podem formar de modo que cada
palavra comece por vogal?
3. Obter o número de anagramas da palavra REPÚBLICA nos quais as vogais se
mantêm nas respectivas posições?
4. Qual o número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminal por
vogal?
5. Qual o número de anagramas da palavra BOLINHA que começam por consoante e
terminam por vogal?
6. Considere as 720 permutações dos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
a) Quantas dessas permutações têm os números 1, 2 e 3 na ordem natural, isto
é, o 1 antes do 2 e o 2 antes do 3?
b) Em quantas dessas permutações o elemento que ocupa o terceiro lugar é
maior que os dois primeiros?
7. Com relação a palavra UNICAMP:
a) Quantos anagramas possuem as letras MP juntas, nessa ordem?
b) Quantos anagramas possuem as letras MP juntas?
8. Considere os anagramas da palavra VESTIBULAR:
a) Quantos possuem as letras VES juntas e nesta ordem?
b) Quantos possuem as letras VES juntas?
9. Considere os anagramas da palavra MORENA.Quantos deles têm as vogais juntas?
10. Têm-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de Matemática, 4 de Física e 3 de
Química.De quantos modos podemos dispô-los em uma estante, devendo os livros
de mesmo assunto permanecer juntos?
11. Cinco pessoas (A, B, C, D, E) vão se sentar em cinco cadeiras em fila.De quantos
modos podem fazer isso:
a) Sem restrições?
b) Se AB devem ficar juntas?
c) Sem que AB fiquem juntas?
Permutações com Repetição:
1. Quantos são os anagramas da palavra PERERECA?
2. Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com 5
símbolos, ode cada símbolo é a primeira letra do nome de cada um.Qual o número
total de siglas possíveis?
3. Com relação à palavra SUCESSO:
a)
b)
c)
d)
Quantos são seus anagramas?
Quantos começam por S e terminam por O?
Quantos têm as letras UC juntas, nessa ordem?
Quantos têm as letras UC juntas?
4.
Com uma letra A, uma letra B e um certo número de letras R, podemos montar 20
anagramas.Qual o número de letras R?
5. Quantos anagramas da palavra TERAPIA possuem as letras AA juntas?
6. Uma palavra possui n letras, das quais apenas 2 são iguais.120 anagramas desta
palavra possuem as letras iguais juntas.Calcule n.
Diferenciação Arranjos Simples e Combinação Simples:
Exercícios:
1. Com cinco professores, quantas comissões de três professores é possível formar?
2. A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4
japoneses.Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas?
3. Uma comissão de 5 pessoas é formada de membros de uma congregação que é
composta por 8 homens e 4 mulheres.De quantas maneiras é possível formar a
comissão, de modo que ela tenha:
a) Exatamente duas mulheres?
b) Pelo menos duas mulheres?
4. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes.Quantas comissões de 5 pessoas podem
ser formadas, contendo no mínimo um diretor?
5. Nove pessoas param para pernoitar num hotel. Existem três quartos com três lugares
cada. O número de forma que estas pessoas podem se distribuir entre os quartos é:
a)
b)
c)
d)
e)
84
128
840
1.680
3.200
6. Um aluno recebe instrução para responder oito de dez perguntas de um
teste.Quantas maneiras diferentes existem para ele escolher as perguntas a que ele
responderá?
7. Sejam quatro pontos, A, B, C e D, distintos de um plano, de modo que três
quaisquer não estejam alinhados.Quantas retas os pontos determinam?
8. Sobre uma circunferência, marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos.O número de
triângulos que podemos formar com os vértices nos pontos marcados é:
a)
b)
c)
d)
e)
3
7
30
35
210
9. Sobre um reta marcam-se três pontos e sobre outra reta, paralela à primeira,
marcam-se 5 pontos.O número de triângulos que obteremos unindo três quaisquer
desses oito pontos é?
10. De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos,de 1 a 30,
de modo que sua soma seja par?
11. Num zoológico há dez animais, dos quais devem ser selecionados 5 para ocupar
determinada jaula.Se entre há dois que devem permanecer juntos, encontre o total
de maneiras distintas de escolher os cinco que vão ocupar tal jaula.
12. Um total de 28 apertos de mão foram trocados no fim de uma reunião.Sabendo-se
que cada pessoa cumprimenta todas as outras, pergunta-se o número de pessoas
presente à reunião.
13. Numa primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador joga uma vez contra
todos os demais.Nessa fase foram realizados 78 jogos.Quantos eram os jogadores?
14. O número de comissões diferentes, de 2 pessoas, que podemos formar com n
diretores de uma empresa, é K.Se, no entanto, ao formar estas comissões, tivermos
que indicar uma das pessoas para presidente e outra para suplente, podemos formar
(K+3) comissões diferentes.Então, quanto vale n?
Exercícios Gerais:
1. Numa prova de Fórmula 1, disputam 20 carros.Quantos são os possíveis resultados
para o primeiro e segundo lugares?
2. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra EUROPA?
3. Quantos são os anagramas da palavra PARALELA?
4. Entre os seis vereadores de um partido, três serão escolhidos para representa-lo
numa convenção nacional. Quantas possibilidades de escolha existem?
5. Em cada concurso da sena são sorteados seis números, que formam a chamada
sena.Quantas senas diferentes existem em um cartão?