Sequências - Exercícios - Avançado

Sequências - Exercícios - Avançado
1. (IME) Mostre que os números 12, 20 e 35 não podem ser termos de uma mesma progressão geométrica.
2. (IME) Três números, cuja soma é 126, estão em progressão aritmética e outros três em progressão geométrica. Somando os
termos correspondentes das duas progressões obtém-se 85, 76 e 84 respectivamente.Encontre os termos destas progressões.
Resposta:
PA (68, 42, 16) e PG (17, 34, 68)
ou
PA (17, 42, 67) e PG (68, 34, 17).
3. (IME) Seja a seqüência {vn}, n = 0, 1, 2 . . ., definida a partir de seus dois primeiros termos v0 e v1 e pela fórmula geral
vn = 6vn-1 – 9vn-2 , para n ≥ 2. Defina-se uma nova seqüência {un}, n = 0, 1, 2, . . . pela fórmula
vn = 3nun
a) Calcule un – un-1 em função de u0 e u1
b) Calcule un e vn em função de n, v1 e v0 .
c) Identifique a natureza das seqüências {vn} e {un} quando v1 = 1 e v0 =
Resposta:
a) u1 − u 0
b)
⎛1
⎞
u n = v 0 + n⎜ v1 − v 0 ⎟
3
⎝
⎠
⎡
1
⎛
⎞⎤
v n = 3 n ⎢ v 0 + n⎜ v 1 − v 0 ⎟⎥
⎝3
⎠⎦
⎣
c) PA e PG
4. (IME) Dada a função F:IN2 Æ IN, com as seguintes características:
F(0,0) = 1;
F(n,m+1) = q.F(n,m), onde q é um número real diferente de zero;
F(n+1, 0) = r + F(n,0), onde r é um número real diferente de zero.
2009
Determine o valor de ∑ F(i, i), i ∈ IN .
i =0
Resposta:
2009
∑
i =0
⎧2.010 + 2.019.045 r , q = 1
⎪
.
F(i, i) = ⎨ 1 − (1 + 2009 r )q 2.010
1 − q 2009
, q ≠1
+ rq
⎪
2
1
q
−
(1 − q )
⎩
1
3
5. (IME) Quatro cidades A, B, C e D, são conectadas por estradas conforme a figura abaixo. Quantos percursos diferentes
começam e terminam na cidade A, e possuem:
a) exatamente 50km?
b) n x 10 km?
Resposta:
3
b) a n = 3 n −1 + (− 1)n
4
a ) a 5 = 60.
(
)
6. (IME) Seja D o determinante da matrix A = [aij ] de ordem n, tal que aij = ⎟i – j⎟. Mostre que:
D = (–1)n–1 : (n – 1):2n–2
7. (IME) Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal que b2 ≠ 1.
∆n
⎛ b2 +1
b
0
⎜
⎜ b
b2 +1
b
⎜
2
=⎜ 0
b
b +1
⎜ ...
....
....
⎜⎜
0
0
⎝ 0
⎞
⎟
.... 0
0 ⎟
⎟
.... 0
0 ⎟
... ...
... ⎟
⎟
.... b b 2 + 1⎟⎠
0 .... 0
0
b
...
0
Resposta:
b 2n + 2 − 1
.
∆n =
b 2 −1
8. (IME) Seja um determinante definido por ∆1 = ⎟ 1 ⎟ e
1 1
1
−1 2 0
0 −1 2
∆n =
0 0 −1
0
0
0
1
0
0
2
b) ∆ n = 2 n − 1.
1
0
0
0
1
0
0
0
0 ... − 1 2
a) Pede-se a fórmula de recorrência (isto é, a relação entre ∆n e ∆n–1).
b) Calcule a expressão de ∆n em função de n.
Resposta:
a ) ∆ n = 2 n −1 + ∆ n −1
...
...
...
...
0
9. (OM) Seja n ∈ IN e
⎧⎪ x n +1 = x n 3 − 3x n
⎨
⎪⎩ y n +1 = y n 3 − 3y n
Se x 0 2 = y 0 + 2 , prove que
x n 2 = y n + 2 , ∀ n ∈ IN.
10. (OM) Seja
(
an
)n ∈ IN
P.G. . Determine os possíveis valores de a 1 e n , sendo dados a razão q da P.G. , o último
termo a n da P.G. e o produto Pn dos n primeiros termos da P.G.. Em particular resolva o problema para
q = 2, a n = 8 e P = 64.
Resposta:
( 2, 4 , 8)
ou ( 1, 2, 4, 8 ).
11. (OM) Seja n ∈ IN, n > 1 e
(
ak
)k ∈ IN
uma sequência tal que
1
⎧
⎪⎪a 0 = 2
⎨
⎪a k +1 = a k + a k , k = 0, 1, 2, ..., n − 1
⎪⎩
n2
Prove que a n < 1 .
12. (OM) Uma sequência é definida por
⎧a 1 = 8
⎨
⎩a n + 2 = a n +1 ⋅ a n
∀ n ∈ IN * . Determine os valores de n para os quais a n é um quadrado perfeito.
Resposta:
n ≡ 0 ( mod . 3)
13. Seja
⎧⎪a n +1 2 = a + 2 a n
, n ∈ IN
⎨
⎪⎩a 0 = 3a
Se a 2009 = a , prove que a = 0 ou a = 3 .
14. Seja
1
⎧
⎪⎪a n +1 = 1 + a , n ∈ IN
n
⎨
1
⎪a =
⎪⎩ 0
a
Se a 2009 = a , prove que a =
1± 5
.
2
15. Um lance de escadas entre dois andares tem 10 degraus. Uma pessoa pode subir 1 degrau ou 2 degraus no máximo de
uma vez, ou seja a cada passo.
a) De quantas maneiras diferentes esta pessoa pode subir esta escada.
b) De quantas maneiras diferentes esta pessoa pode subir esta escada, se obrigatoriamente deve pisar no sexto degrau.
Resposta:
a) 89 maneiras
b) 65 maneiras.
16. Seja a n =
n 3 −1
n 3 +1
, n ∈ IN e n > 1. Prove que:
n
∏a
k
k =2
17. Seja a n = 1 −
1
n3
>
2
.
3
, n ∈ IN e n > 1. Prove que:
n
∏a
k = 2009
k
>
2008
.
2009
π
, k ∈ Z. Define-se
2
sen ( r )
Tn =
cos (a n −1 ) cos (a n )
18. Seja (a n )n ∈ IN P.A. de razão r, tal que a n ≠ kπ +
Prove que:
2009
∑T
k
k =1
=
sen (2009r )
.
cos(a 2009 ) cos(a 0 )