Primeira lista de exercícios

Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação
Disciplina: Álgebra Linear
Aluno(a):
Primeira lista de exercícios
1. Seja A uma quadrada n × n. Denimos o traço de A como sendo a soma dos termos que constituem
sua diagonal principal e o denotamos por tr (A). Demonstre que se A e B são matrizes n × n e
k ∈ R, então:
tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
b) tr (k · A) = k · tr (A)
c) tr (AB) = tr (BA)
a)
2. Se A e B são matrizes n × n invertíveis, então o produto AB é invertível e (AB)−1 = B −1 A−1 .
3. Se A é uma matriz invertível e AB = AC , então B = C .
4. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz A2 − 3A + I = O, então A−1 = 3I − A.
5. Mostre que se A e B são matrizes simétricas n × n e x ∈ R, então A + B e xA são matrizes
simétricas.
6. Mostre que se A é uma matriz quadrada, então:
a) AAt
é uma matriz simétrica
é uma matriz anti-simétrica
b) A − At
7. Verique que se At A = A, então A é simétrica e A = A2 .
8. Sejam A e B quadradas de mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre que (ABA−1 )3 =
AB 3 A−1 .
9. Demonstre que toda matriz triangular superior e simétrica é diagonal.
10. Se A é uma matriz anti-simétrica, mostre A2 é simétrica.
11. Se A é uma matriz quadrada e A4 = O, mostre que
(I − A)−1 = I + A + A2 + A3 .
12. Uma matriz quadrada
A chama-se matriz
cos θ −sen θ
é ortogonal.
sen θ cos θ
ortogonal
se AAt = At A = I . Verique que a matriz
13. Mostre que se A e B são matrizes ortogonais então AB e B −1 AB também o são.
14. Prove que se A é invertível, então At é invertível e (At )−1 = (A−1 )t .
15. Seja A uma matriz simétrica invertível. Demonstre que A−1 é simétrica.
16. Se A é uma matriz simétrica, mostre que a matriz 2A2 − 3A + I também é simétrica.
17. Sejam A e B matrizes n × n quaisquer. Mostre que se I − AB é invertível, então I − BA também
o é e que:
(I − BA)−1 = I + B(I − AB)−1 A
18. Quais das matrizes a seguir estão na forma escada? Justique todas as respostas.
1
0
2
0
3
1

1
(b)  0
0
0
0
0

0
0 
1

3
0
0

0
1 
0
(a)
1
(c)  0
0
4
2

1
(d)  0
0

1
(e)  0
0

1
 0
(f) 
 0
0
4
0
1

6
1 
3

0
1
0
0
0
1
1
2
3
4
1
0
0
6
0
1
0
2
2 

3 
1

2
4 
6

1
(g)  0
0

1
(h)  0
0
0
1
0

0
0 
3
10
0
0
0
1
0

0
−1 
0
19. Calcule o posto das matrizes abaixo:

0
 0
(a) 
 0
0
(b)
2
6
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0 

1 
0
1
3
5
15


1
2 1 0
(c)  −1 0 3 5 
1 −2 1 1


0 2 0 2
 1 1 0 3 

(d) 
 3 −4 0 2 
2 −3 0 1
20. Cada uma das matrizes ampliadas a seguir está em forma escada reduzida por linhas. Para cada
uma delas, analisando pelo posto, diga se o sistema linear correspondente possui uma única solução,
innitas soluções ou é impossível.


−2
5 
3
1

0
(c)
0


2
3 
1
(d)
1 0 0

0
1 0
(a)
0 0 1
1 4 0
(b)  0 0 1
0 0 0

0
2
1 −2 
0
0

−3
0
0
1 2 0 1
0 0 1 3
5
4

1 5 −2 0
 0 0 0 1
(e) 
 0 0 0 0
0 0 0 0

0 1 0
2
(f)  0 0 1 −1
0 0 0
0
21. Considere o sistema linear cuja matriz ampliada tem a forma

1
 −1
2

1 1
3 2 
x 3
2
4
−2
Para que valores de x o sistema tem uma única solução?
22. Considere o sistema linear cuja matriz ampliada tem a forma

1
 2
−1
a
2 1
5 3
1 α

0
0 
0
O sistema pode ser impossível? Explique.
b)
Para que valores de α o sistema tem innitas soluções?
23. Considere o sistema linear cuja matriz ampliada tem a forma

1 1
 1 2
1 3
a)
3
4
α

2
3 
β
Para que valores de α e β o sistema tem uma innidade de soluções?

3
6 

0 
0


b)
Para que valores de α e β o sistema é impossível?


−2
6 −1
3 −8
0 

0
5
4 
0
0
1
5
 0
24. Seja a matriz A = 
 0
0
Calcule det (A − λI4 ), onde I4 é matriz identidade de ordem 4
b) Se det (A − λI4 ) = 0, encontre os valores de λ
a)
Nota:
Os valores de
1
25. Mostre que a
a2
Nota:
λ
1
b
b2
encontrados acima são chamados de autovalores da matriz A
1
c
c2
= (b − a)(c − a)(c − b).
Este determinante é chamado de determinante de Vandermonde.
26. Sejam as matrizes

A=
2
0
−2
0
3
0


3
2 
−4
2
B= 0
0

−3
5
1 −3 
0
2

1
 2
C=
 1
1
3
5
3
3
1
2
8
2

1
2 

9 
2
Prove que as matrizes são invertíveis.
b) Determine A−1 , B −1 e C −1 utilizando a matriz adjunta correspondente.
a)
OBS:
Nas questões seguintes, consideraremos
A
e
B
matrizes quadradas de ordem
n.
27. Prove que det (AB) = det (BA).
28. Se AB = In , mostre que det (A) 6= 0 e det (B) 6= 0.
29. Prove que:
Se A = A−1 , então det (A) = ±1.
b) Se At = A−1 então det (A) = ±1.
a)
30. Mostre que, se A é uma matriz invertível e A2 = A, então det (A) = 1.
31. Se B é uma matriz invertível, mostre que det (B −1 AB) = det (A).
32. Mostre que, se An = 0, para algum número inteiro positivo n, então det (A) = 0.
33. Se A é uma matriz invertível, prove que adj (A) também é invertível e que
(adj A)−1 =
1
A = adj (A−1 ).
det (A)
34. Seja AB = AC . Mostre que, se A é invertível, então B = C .
35. Prove que det (AAt ) = det (A2 ).
f (x) f2 (x)
36. Mostre que se f1 (x), f2 (x), g1 (x) e g2 (x) são funções deriváveis e se W = 1
g1 (x) g2 (x)
0
f (x) f20 (x) f1 (x) f2 (x) dW
+ 0
= 1
g1 (x) g2 (x) g1 (x) g20 (x) dx
, então: