1. (Alternativa B) Seja o número de estudantes - ORM/SC

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
XVI OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA
PET – MATEMÁTICA
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CATARINA - U
FS
C
Gabarito 4 – 1 a fase de 2013
Nível 2
1. (Alternativa B) Seja o número de estudantes que conquistaram medalha de ouro.
Teremos assim:
60
o + 2o + 3o =
· 600 → 6o = 360 → o = 60
100
Logo o número de premiados com medalha de prata é 2o = 120 estudantes.
2. (Alternativa B) Observe que os números bacanas são da forma 0, 5 · n onde n é um
número inteiro. Veja ainda que o primeiro número bacana no intervalo é 2, 5 = 0, 5 · 5 e
o último é 33 = 0, 5 · 66. Então os números são: 0, 5 · 5, 0, 5 · 6, 0, 5 · 7, ..., 0, 5 · 66. Logo
existem: 66 − 5 + 1 = 62 números bacanas entre 2, 1 e 33, 3.
3. (Alternativa B) Inicialmente vejamos, através de um exemplo, como calcular a quantidade de divisores de um número inteiro qualquer. Seja o número 12 = 22 · 3. Seus divisores
são 20 · 30 = 1, 2 · 30 = 2, 22 · 30 = 4, 20 · 3 = 3, 2 · 3 = 6 e 22 · 3 = 12.
Portanto há (2 + 1) · (1 + 1) = 3 · 2 = 6 divisores. Assim, se a decomposição em fatores
primos de um número n for:
n = pk11 · pk22 · ... · plkl
Então a quantidade de fatores (incluindo 1 e n) é igual a (k1 + 1)(k2 + 1) · ... · (kl + 1). Como
10 = 10 · 1 = 5 · 2, os números com exatamente 10 divisores devem possuir no máximo dois
divisores primos.
Portanto os números que possuem exatamente 10 divisores positivos podem assumir apenas
uma das possíveis formas: p4 q ou p9 , onde p e q representam primos distintos. O menor
número ímpar da primeira forma é 34 · 5 = 405 , enquanto o segundo número é 39 , que é
bem maior do que 405. Logo, a resposta correta é 405.
4. (Alternativa C) Se a e b são as raízes da equação, pelo teorema de Pitágoras temos que
a2 + b2 = 25 . Pelas relações de Girad, a + b = m e ab = m + 5 . Assim,
√
4 + 140
2
±
m2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 25 + 2(m + 5) ⇒ m2 − 2m − 35 = 0 ⇒ m =
2
Como os catetos de um triângulo são positivos e a + b = m , podemos concluir que m > 0.
Portanto a única opção é m = 7.
5. (Alternativa B) Seja A = {1, 2, 3, ..., 25} o conjunto dado, e consideremos o subconjunto
de todos os quadrados perfeitos de A : P = {1, 4, 9, 16, 25}.Observe que o produto de
qualquer elemento de P por 1 é um quadrado perfeito. Consideremos um outro subconjunto
de A que contém o número 2 e todos os elementos de A que multiplicados por 2 dão
um quadrado perfeito e que não pertencem ao conjunto P : {2, 8, 18}. Analogamente
consideremos um subconjunto de A que contém o número 3 : {3, 12} e que não pertence
aos conjuntos anteriores. Idem para os némeros 5 e 6 (note que o número 4 formará
quadrados perfeitos com 9, 16, 25, que pertencem a P): {5, 20}, {6, 24}. A partir de 7 não
é possível obter quadrados perfeitos resultantes da multiplicãção de 7 com os elementos
de elementos de A.
Um subconjunto de A satisfazendo as propriedades do enunciado pode possuir no máximo um elemento de cada um dos conjuntos listados. Assim, tal subconjunto possui
no máximo 16 elementos. Um exemplo de um destes subconjuntos com 16 elementos é
{1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23}. Portanto, o número máximo de elementos de um subconjunto satisfazendo as propriedades do enunciado é de fato 16.
6. (Alternativa B) Seja n um número que possui 9 como maior divisor menor do que n.
Se n possuir pelo menos dois fatores primos (não necessariamente distintos) diferentes de
3, então esse número não irá satisfazer à condição do problema. Logo, se n não for uma
potência de 3, deverá assumir a forma 3x p . Neste caso, devemos ter 3p < 9 ⇒ p = 2 e
x = 2 e portanto n = 18 . Além disso, a única potência de 3 que possui a propriedade
procurada é 27. Portanto, existem apenas 2 números que possuem 9 como seu segundo
maior divisor.
7. (Alternativa D) Sejam a < b < c < d < e as massas dos cinco estudantes. Podemos
perceber que a + b = 90 e que d + e = 101.
Além disso, a soma das massas de todos possíveis pares representa o quádruplo da soma
das massas dos estudantes. Assim, a + b + c + d + e = 239. Logo, c = 48.