Lista de Matemática Discreta Indução Exercício 1. Considere o

Lista de Matemática Discreta
Indução
Exercício 1. Considere o predicado sobre os números naturais P(n) : “Se n > 1 então n2 > n”. Prove
P(0). Em que método de prova se encaixa sua demonstração?
Exercício 2. Seja P(n) um predicado a respeito do natural n e seja n0 um número natural fixo. Prove:
Se P(n0 ) é verdade e (P(n0 ) e P(n0 + 1) e · · · e P(k)) → P(k + 1) é verdade para todo k ≥ n0 , então a
sentença P(n) é verdadeira para todo n ≥ n0 .
Exercício 3. Prove usando indução que:
1. para todo n ≥ 1, 9 + 9 · 10 + 9 · 102 + · · · + 9 · 10n−1 = 10n − 1.
2. Desigualdade de Bernoulli: para todo n ≥ 2, (1 + a)n > 1 + na, para todo real a > −1 não nulo.
3. Desigualdade de Bernoulli: para todo n ≥ 0, (1 + a)n ≥ 1 + na, para todo real a > −1.
4. para todo n ≥ 1, 1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + · · · + 1/(n · n + 1) = 1 − 1/(n + 1).
5. para todo n ≥ 3, ((n + 1)/n)n < n.
6. para todo n ≥ 1, (1 + 1/1)(1 + 1/2) · · · (1 + 1/n) ≤ n + 1
7. para todo n ≥ 1, an < 1 para todo 0 ≤ a < 1
8. para todo n ≥ 1,
1 · 3 · · · (2n − 1)
1
1
≤
≤√
2n
2 · 4 · · · (2n)
n+1
9. para todo n ≥ 1, Se x1 , x2 , . . . , xn são números reais então
|x1 + x2 + · · · xn | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · |xn |
Exercício 4. Ache uma falha na seguinte prova por indução de que todos os marcianos são da mesma cor.
Vamos provar por indução sobre o número de marcianos em Marte. (não vale contestar a existência
de marcianos)
Base. Se o número de marcianos é 1, todos os marcianos são da mesma cor.
Passo. Suponha que existem n marcianos numerados de 1 até n. Removendo um marciano m ∈
{1, . . . , n} de Marte temos, pela hipótese do passo indutivo, que os n − 1 marcianos restantes são
da mesma cor. Resta descobrir a cor do marciano m. Removendo um marciano ` ∈ {1, . . . , n}
com ` , m temos, pelo mesmo motivo, que os marcianos restantes, inclusive m, são da mesma
cor. Portanto, todos os marcianos 1, . . . , n são da mesma cor.
Exercício 5. Qual a falha na seguinte prova de 6n = 0 para todo n ≥ 0.
Base. Se n = 0 então 6n = 0.
Passo. Suponha que 6k = 0 para todo 0 ≤ k < n. Tome a, b < n números naturais tais que n = a + b.
Portanto, 6n = 6a + 6b e pela hipótese indutiva 6a = 0 e 6b = 0, logo 6n = 0.
1
(a)
(b)
Figura 1: (a) Ladrilho em L. (b) Grade de quadrados 22 × 22 .
Exercício 6. Para todo natural n, mostre que uma grade de quadrados 2n × 2n com qualquer um de
seus quadrados removidos pode ser coberta por ladrilhos de tamanho fixo em forma de L (conforme
Figura 1(a)).
Exercício 7 (Variante do Princípio de Indução). Seja P(n) um predicado sobre os naturais, m > 0
natural e n0 um natural. Prove:
Se
1. P(n0 ), P(n0 + 1), . . . , p(n0 + (m − 1)) verdadeiros,
2. para todo k ≥ n0 , P(k) → P(k + m) é verdadeiro,
então para todo n ≥ n0 , P(n) é verdadeiro.
Exercício 8. Prove usando a variante de indução acima que qualquer valor maior ou igual a oito pode
ser obtido com cédulas de 5 e 3 reais. (Dica: bases 8,9,10 e m = 3)
Exercício 9. Prove usando indução que todo número natural não-nulo pode ser expresso como soma
de potências distintas de 2
Exercício 10. Prove usando indução que se n > 3 pontos distintos sobre um círculo são conectados
consecutivamente com segmentos de reta, então a soma dos ângulos internos do polígono resultante
é (n − 2)180.
Exercício 11. Num conjunto de 2n moedas de ouro temos uma que é falsa, ou seja pesa menos que
as outras. Mostrar, por indução, que e possível achar a moeda falsa com n pesagens usando uma
balança de dois pratos sem usar peso.
Exercício 12 (Variante do Princípio de Indução). Seja P(n) um predicado sobre os naturais. Prove:
Se
1. P(n) é verdadeiro para todo n potência de 2,
2. para todo k, P(k + 1) → P(k) é verdadeiro,
então para todo n, P(n) é verdadeiro.
Exercício 13. Prove usando indução que existem 2n seqüências de n bits. Deduza que o número de
subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2n .
Exercício 14. Prove usando indução as seguintes afirmações para os números de Fibonacci
(a) F02 + · · · + Fn2 = Fn Fn+1 , n ≥ 0.
(b) F0 + · · · + F2n = F2n+1 , n ≥ 0.
(c) Fn−1 Fn+1 + Fn2 = (−1)n+1 , n ≥ 1.
(d) Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n .
(e) F5n é divisível por 5.
(f) F3n é par.
(g) F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n .
2
Exercício 15. Encontre f (1), f (2), f (3), e f (4) se f (n) for definido recursivamente por f (0) = 1 e para
n > 0, f (n + 1) = 2f (n) .
Exercício 16. Determine se cada uma das definições propostas é uma definição recursiva válida de
uma função f : N → Z. Se f está bem definida, encontre uma fórmula para f (n) e prove que sua
fórmula é válida
1. f (0) = 0, f (n) = 2f (n − 2) para n ≥ 1.
2. f (0) = 1, f (n) = f (n − 1) − 1 para n ≥ 1.
3. f (0) = 2, f (1) = 3, f (n) = f (n − 1) − 1 para n ≥ 2.
4. f (0) = 1, f (1) = 2, f (n) = 2f (n − 2) para n ≥ 2.
5. f (0) = 1, f (n) = 3f (n − 1) se n é ímpar e n ≥ 1 e f (n) = 9f (n − 2) se n é par e n ≥ 2.
Exercício 17. Use indução matemática para provar que uma função F definida pela especificação de
F(0) e uma regra para obtenção de F(n + 1) a partir de F(n) está bem definida.
Exercício 18. Use indução para provar que uma função F definida especificando F(0) e uma regra
para obter F(n + 1) dos valores F(k) para k = 0, 1, 2, . . . , n está bem definida.
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