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Exercícios de APA
Algumas considerações:
Para concluir esta introdução, estabelecemos algumas convenções de notação. Denotaremos por N o
conjunto {0, 1, 2, 3, ...} dos números naturais (que coincide com o dos inteiros não-negativos). O
conjunto N - 0 será denotado por N>. O conjunto dos números reais será denotado por R. O
conjunto dos reais não-negativos e o dos reais estritamente positivos serão denotados por R≥ e por
R> respectivamente.
Denotaremos por lg n o logaritmo de um número n na base 2. Portanto, lg n = log2 n.
1. Mostre que, para qualquer número inteiro positivo n tem-se n/2 ≤ teto(n/2) ≤ (n+1)/2.
TETO: O único inteiro i tal que i−1 < x ≤ i
2. Prove, por indução em k, que 20 + 21 + ··· + 2k = 2k+1−1.
3. Prove o seguinte fato por indução: Para todo número natural não nulo n tem-se 12 + 22 +
32 + ··· + n2 ≤ n3.
4. Prove o seguinte fato por indução: Para todo número natural não nulo n tem-se 12 + 22 +
32 + ··· + n2 = n (n+1) (2n+1)/6 .
5. Imagine uma dessas barras de chocolate retangulares que consiste em quadradinhos
dispostos em linhas e colunas. Uma tal barra pode ser quebrada ao longo de uma linha ou de
uma coluna produzindo assim duas barras menores. Qual o número mínimo de quebras
necessário para reduzir uma barra com m linhas e n colunas aos seus quadradinhos
constituintes?
6. Imagine uma jarra contendo um certo número de bolas brancas e bolas pretas. Agora repita
o seguinte procedimento enquanto ele fizer sentido: retire duas bolas da jarra; se as duas
tiverem a mesma cor, coloque uma bola branca na jarra; se as duas tiverem cores diferentes,
coloque uma bola preta na jarra. Qual a cor da última bola a sobrar na jarra?
7. Faz sentido dizer que "f(n) está em Ο(n²) para n ≥ 4"?
8. Fica bem dizer que "f(n) está em Ο(n²) com c = 12 e n0 = 4"?
9. Discuta a seguinte definição alternativa da classe Ο: "Dizemos que f está em Ο(g) se
existem números positivos c, n0 e n ≥ n0 tais que f(n) ≤ c g(n)."
10. Discuta a seguinte definição alternativa da classe Ο: "Dizemos que f está em Ο(g) se existe
um número natural n0 tal que f(n) ≤ c g(n) para algum número positivo c e para todo n ≥ n0."
11. [Interessante] A cláusula "n suficientemente grande" na definição da classe Ο é supérflua
quando estamos lidando com funções estritamente positivas. De fato, suponha que f é Ο(g)
e g(n) > 0 para todo n natural e mostre que existe um número positivo c′ tal que f(n) ≤ c′ g(n)
para todo n natural.
12. Critique o seguinte raciocínio: "A derivada de 4n2+2n é 8n+2. A derivada de n2 é 2n.
Como 8n+2 > 2n, podemos concluir que 4n2+2n cresce mais que n2 e portanto 4n2+2n não é
Ο(n2)." Critique o seguinte raciocínio: "A derivada de 4n2+2n é 8n+2. A derivada de 9n2
é 18n. Como 8n+2 ≤ 18n para n ≥ 1, podemos concluir que 4n2+2n é Ο(9n2)."
13. É verdade que 10n = Ο(n) ? É verdade que 10n2 = Ο(n) ? É verdade que 10n55 = Ο(2n) ?
14. É verdade que n2 + 200n + 300 = Ο(n2) ?
15. É verdade que n2 − 200n − 300 = Ο(n) ?
16. É verdade que (3/2)n2 + (7/2)n − 4 = Ο(n) ? É verdade que (3/2)n2 + (7/2)n − 4 = Ο(n2) ?
17. É verdade que n3−999999n2−1000000 = Ο(n2) ?
18. Seja (nk) o número de combinações de n objetos tomados k a k. Mostre (n2) = Ο(n2).
Mostre que (n3) = Ο(n3). É verdade que, para qualquer número natural k ≤ n, tem-se
(nk) = Ο(nk) ?
19. É verdade que 2n+1 está em Ο(2n) ? É verdade que 3n está em Ο(2n) ?
20. É verdade que log2n = Ο(log3n) ? É verdade que log3n = Ο(log2n) ?
21. É verdade que teto(lg n) = Ο(lg n) ?
22. Prove que n = Ο(2n). (Sugestão: use indução matemática para provar que n ≤ 2n para todo n
suficientemente grande.)
23. Prove que lg n está em Ο(n).
24. Prove que n é Ο(2n/4). (Sugestão: use indução matemática para provar que n ≤ 2n/4 para todo
n suficientemente grande.)
25. Prove que 4 lg n está em Ο(n).
26. Prove que 100 lg n − 10n + 2n lg n está em Ο(n lg n).