Lista de Exercícios – Progressão Aritmética

Lista de Exercícios – Progressão
Aritmética
Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo :
Extensivo Matemática – Aula 10 – Progressão Aritmética – (Parte 1 de 3)
Endereço: https://youtu.be/Bv8vRXpvp88
Gabaritos nas últimas páginas!
E1: Considere a sequência (3, 5, 7, 9, 11, 13...)
a) Qual o seu primeiro termo (a )?
b) Quanto vale a razão ( r )?
c) Descubra o valor de a .
d) Sabendo-se que 1037 é um termo da PA acima, qual posição ele ocupa na mesma?
e) Mostre através da fórmula do termo geral que 1140 não faz parte da PA.
f) Qual a soma dos 8 primeiros termos?
g) Sejam os termos a , a e a da PA acima. Qual a relação entre eles?
E2: Calcule o primeiro termo de uma PA de dez termos na qual o último termo vale 34 e a razão vale 3.
E3: Entre 23 e 58, interpolar seis números de forma que a nova sequência formada seja uma PA.
Encontre os termos e a razão.
E4: Encontre a soma dos 12 primeiros termos de uma PA sabendo que a 7ea
21.
E5. (Fatec 2016) Em 2015, um arranha-céu de 204 metros de altura foi construído na China em
somente 19 dias, utilizando um modelo de arquitetura modular pré-fabricada. Suponha que o total de
metros de altura construídos desse prédio varie diariamente, de acordo com uma Progressão Aritmética
( PA ), de primeiro termo igual a 12,5 metros (altura construída durante o primeiro dia), e o último
termo da PA igual a x metros (altura construída durante o último dia).
Com base nessas informações, o valor de x é, aproximadamente,
Lembre-se de que:
Soma da PA
( a + an ) ⋅ n
Sn = 1
2
a) 7,5. b) 8,0.
c) 8,5.
d) 9,0.
e) 9,5.
E6. (Faculdade Albert Einstein 2016) Suponha que, em certo país, observou-se que o número de
exames por imagem, em milhões por ano, havia crescido segundo os termos de uma progressão
aritmética de razão 6, chegando a 94 milhões / ano, ao final de 10 anos. Nessas condições, o aumento
percentual do número de tais exames, desde o ano da observação até ao final do período considerado,
foi de
a) 130%.
b) 135%.
c) 136%.
d) 138%.
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Aritmética
E7. (Uel 2016) Um estandarte é um tipo de bandeira que pode representar um país, uma instituição
civil ou religiosa, um clube de futebol, uma escola de samba. Uma artesã fez um estandarte e o enfeitou,
em sua parte inferior, com pedaços de fita de tamanhos diferentes. Sabendo que o menor pedaço de
fita mede 8 cm e que o comprimento dos pedaços de fita aumenta de 2,5 em 2,5 centímetros,
responda aos itens a seguir, desconsiderando possíveis perdas.
a) Considerando que o maior pedaço de fita mede 125,5 cm, quantos pedaços de fita foram utilizados
para confeccionar o estandarte?
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item.
b) Supondo que a artesã tenha utilizado 60 pedaços de fita, qual será o comprimento total dos pedaços
de fita utilizados?
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item.
E8. (Upe-ssa 2 2016) Brincando de construir sequências numéricas, Marta descobriu que em uma
determinada progressão aritmética, a soma dos cinquenta primeiros termos é S50 = 2.550. Se o
primeiro termo dessa progressão é a1 = 2, qual o valor que ela irá encontrar fazendo a soma
S27 + S12 ?
a) 312
b) 356
c) 410
d) 756
e) 912
E9. (Uem 2015) João financiou uma casa em um banco, e a forma de pagamento ficou descrita da
seguinte maneira: uma entrada de R$10.000,00 e mais 120 prestações mensais na forma de uma
progressão aritmética, sendo a primeira prestação no valor de R$1.600,00, a segunda no valor de
R$1.589,00, a terceira no valor de R$1.578,00, e assim por diante. Sobre o exposto, assinale o que
for correto.
01) A razão r dessa progressão aritmética é r = 11.
02) O valor da última prestação será de R$291,00.
04) O valor da 12ª prestação será de R$1.468,00.
08) O valor total da casa a ser pago por João será de R$123.460,00.
16) O termo geral dessa progressão aritmética pode ser expresso pela fórmula an = 1600 + 11n, com
n∈ ℕ *.
E10. (Unicamp 2015) Se (α1, α 2 ,..., α13 ) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é
78, então α 7 é igual a
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
E11. (Uerj 2016) Admita a seguinte sequência numérica para o número natural n :
a1 =
1
e an = an−1 + 3
3
Sendo 2 ≤ n ≤ 10, os dez elementos dessa sequência, em que a1 =
1
82
e a10 =
, são:
3
3
82 
 1 10 19 28 37
 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , a6 , a7 , a8 , a9 , 3 


A média aritmética dos quatro últimos elementos da sequência é igual a:
238
219
137
657
a)
b)
c)
d)
12
4
6
9
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E12. (Imed 2016) Em uma determinada Universidade, o cronograma de matrícula aos estudantes
calouros é organizado de acordo com a classificação no curso da graduação. No primeiro dia, são
matriculados oito estudantes calouros, no segundo dia, 11, no terceiro, 14 e assim sucessivamente,
formando uma progressão aritmética. Nessa situação, ao final do sétimo dia, o número total de novos
estudantes matriculados até o momento é igual a:
a) 119.
b) 164.
c) 225.
d) 239.
e) 343.
E13. (Unesp 2016) A figura indica o padrão de uma sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que
estão dispostas em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 m de comprimento. O padrão da
sequência se mantém até a última grade, que é feita com o total de 136,5 metros lineares de vigas.
O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em metros, foi
de
a) 4.877.
b) 4.640.
c) 4.726.
d) 5.195.
e) 5.162.
E14. (Ufrgs 2016) Considere a sequência de números binários 101, 1010101, 10101010101,
101010101010101... .
A soma de todos os algarismos dos 20 primeiros termos dessa sequência é
a) 52. b) 105.
c) 210.
d) 420.
e) 840.
E15. (G1 - ifpe 2016) Na fabricação de mesas de reunião, uma fábrica trabalha com vários modelos e
tamanhos. As mesas redondas são todas acompanhadas com uma certa quantidade de poltronas a
depender do tamanho da mesa, conforme a figura abaixo:
O primeiro modelo acompanha 3 poltronas, o segundo modelo acompanha 6 poltronas, o terceiro, 9
poltronas e assim sucessivamente, isto é, sempre um modelo de mesa acompanha 3 poltronas a mais
em relação ao modelo anterior.
Um cliente adquiriu uma unidade de cada um dos 10 primeiros modelos de mesa circular.
Como todo patrimônio da sua empresa é identificado a partir de uma etiqueta adesiva, quantos
adesivos devem ser confeccionados para que cada uma das mesas e poltronas adquiridas seja
devidamente etiquetada?
a) 165
b) 175
c) 30
d) 40
e) 10
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E16. (G1 - cp2 2015) Observe na figura a forma de se arrumar mesas e cadeiras.
O número de cadeiras necessárias quando se chegar a 50 mesas será
a) 102.
b) 104.
c) 106.
d) 108.
E17. (Upe 2015) Uma campanha entre microempresas, para ajudar o Hospital do Câncer, arrecadou
R$16.500,00. A primeira microempresa, a menor entre elas, doou a quantia de R$ 350,00; a
segunda doou R$ 50,00 a mais que a primeira, e cada uma das microempresas seguintes doou
R$ 50,00 a mais que a anterior.
Quantas microempresas participaram dessa campanha?
a) 08
b) 11
c) 15
d) 20
e) 35
E18. (Pucrj 2015) A soma dos números inteiros compreendidos entre 100 e 400, que possuem o
algarismo das unidades igual a 4, é:
a) 1200
b) 2560
c) 4980
d) 6420
e) 7470
E19. (Pucrj 2015) a) Quantos múltiplos de 13 há entre 100 e 200?
b) Quantos múltiplos de 17 há entre 1000 e 2000?
E20. (Ifsul 2015) Uma das maneiras mais utilizadas para expor latas de produtos nos supermercados é o
empilhamento, formando uma torre, conforme figura abaixo.
Suponha que, ao fazer um empilhamento, tenham sido utilizadas 100 latas na base. E, em cada fileira
seguinte, sejam sempre utilizadas 8 latas a menos que na fileira inferior.
A quantidade máxima de fileiras e latas na fileira do topo que esse empilhamento pode ter são,
respectivamente,
a) 8 e 6
b) 9 e 1
c) 13 e 4
d) 14 e 4
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E21. (Uece 2015)
Para qual valor
1 + 3 + 5 + … + 2n − 1 2014
é satisfeita?
=
2 + 4 + 6 + … + 2n
2015
a) 2016.
b) 2015.
c) 2014.
do
número
inteiro
positivo
n
a
igualdade
d) 2013.
E22. (Ime 2015) A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e
o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1. Determine a razão
da primeira progressão aritmética.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
E23. (Uerj 2015)
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta
ordem, uma progressão aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
a) −50
b) −40
c) −30
d) −20
E24. (Pucrj 2015) Os números a1 = 5x − 5, a2 = x + 14 e a3 = 6x − 3 estão em PA.
A soma dos 3 números é igual a:
a) 48
b) 54
c) 72
d) 125
e) 130
E25. (Ucs 2015) Uma fábrica fornece, a um supermercado, 1.000 unidades de seu produto por
R$ 3.000,00. Para cada mil unidades adicionais, ela cobra R$ 200,00 a menos do que cobrou do
milhar precedente. Dessa forma, para adquirir 8.000 unidades, o valor que o supermercado deverá
pagar será
a) R$ 12.600,00.
b) R$ 19.200,00.
c) R$ 18.400,00.
d) R$ 25.400,00.
e) R$ 26.100,00.
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E26. (Unisc 2015) A quantidade de números pares existentes entre 18 e 272 é
a) 124.
b) 125.
c) 126.
d) 127.
e) 128.
E27. (Ufsc 2015) Considere as informações abaixo:
A Segunda Família do Real
[...] é importante promover a renovação das notas do Real, para deixá-las mais modernas e protegidas.
As notas da Segunda Família do Real contam com novos elementos gráficos e de segurança, capazes de
impor obstáculos mais sólidos às tentativas de falsificação, além de promover a acessibilidade aos
portadores de deficiência visual, oferecendo mais recursos para o reconhecimento das notas por essa
parcela da população.
Qual é o custo da fabricação das notas da Segunda Família do Real?
1ª Família
2ª Família
Cédula
(custo por milheiro de cédulas)
(custo por milheiro de cédulas)
2 reais
172,84
175,30
5 reais
165,73
178,92
10 reais
145,81
182,29
20 reais
179,05
206,18
50 reais
180,48
238,27
100 reais
180,48
247,51
Disponível em: <www.bcb.gov.br> [Adaptado] Acesso em: 18 set. 2014.
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que:
01) Considerando a sequência das larguras das novas notas em ordem crescente, teremos uma
7
progressão aritmética cuja diferença entre os termos consecutivos é sempre
.
10
02) A nota de R$ 2,00 possui uma área maior do que 70% da área da nota de R$ 100,00.
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04) Para fabricar a quantia de R$ 100.000,00 em notas de R$ 20,00, da segunda família do real, será
5
do custo que se terá para fabricar a mesma quantia em notas
2
de R$ 50,00 dessa mesma família.
08) Os números de série das notas são criados de forma que não existam duas notas com o mesmo
número, ou seja, para cada nota há um número de série. Esse número de série é um código
constituído de duas letras e nove algarismos, como na figura. No controle da fabricação das cédulas,
os números de série também identificam o lote de fabricação. Suponha que, em certo lote de
cédulas, os seis primeiros algarismos sejam fixos e os demais sejam sempre algarismos primos.
Quanto às letras, são usadas apenas vogais distintas. Nessas condições, esse lote possui exatamente
3125 cédulas.
gasto um valor correspondente a
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Leia o texto para responder à(s) questão(ões).
Pesquisas mostram diferenças numéricas significativas entre as várias regiões do Brasil no que
diz respeito ao número de fiéis distribuídos pelos diversos grupos religiosos. Os católicos, por exemplo,
tem uma maior participação no total da população nas regiões Nordeste e Sul, ultrapassando 80% da
população no Nordeste contra uma média nacional de 74%. Por outro lado, Rio de Janeiro e Rondônia
são os estados com menor população de católicos. Considere que nos anos seguintes a publicação dos
dados constantes no quadro abaixo, o número de fiéis das religiões orientais cresceu 20% ao ano em
progressão geométrica enquanto que o número de fiéis afro-brasileiros cresceu 25% ao ano em
progressão aritmética.
Números de fiéis por grupos religiosos no Brasil
REGIÃO NORTE
Católicos
Evangélicos
Afro-Brasileiro
Orientais
Espiritualista
Outras Religiões
Sem Religião
TOTAL
Nº. DE FIÉIS
9.285.000
2.550.000
5.500
15.000
50.500
156.500
849.500
12.911.000
Fonte: Texto adaptado – www.mercator.ufc.br – Revista de Geografia da UFC, 2009.
E28. (Uepa 2015) O número de anos necessários para que a população de fiéis afro-brasileiros atinja a
marca de 16.500 fiéis pertence ao intervalo real:
a) [6; 8[
b) [8; 10[
c) [10; 12[
d) [12; 14[
e) [14; 16[
E29. (Unifor 2014) Suponha que o jardim da Praça Martins Dourado, no bairro Cocó em Fortaleza,
tivesse 60 roseiras plantadas ao lado de um caminho reto e separadas a uma distância de um metro
uma da outra. Para regá-las, o jardineiro que cuida da praça enche o seu regador em uma torneira que
também está no mesmo caminho das roseiras, só que a 15 metros antes da primeira roseira. A cada
viagem o jardineiro rega três roseiras. Começando e terminando na torneira, qual a distância total que
ele terá que caminhar para regar todas as roseiras?
a) 1780 m
b) 1790 m
c) 1800 m
d) 1820 m
e) 1850 m
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Aritmética
E30. (Uece 2014) Se a soma de k inteiros consecutivos é p, então o maior destes números em função de
p e de k é
p k −1
p k
p k +1
p k+2
a) +
.
b) + .
c) +
.
d) +
.
k
2
k 2
k
2
k
2
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Aritmética
Gabarito:
E1: Considere a sequência (3, 5, 7, 9, 11, 13...)
a) Qual o seu primeiro termo (a )?
R: 3
b) Quanto vale a razão ( r )?
R: 5 – 3 = 2
c) Descubra o valor de a .
a
a
n
1 r
a
3
11
1 ⋅2⇔a
3
10 2 ⇔ a
3
20 ⇔ a
23.
d) Sabendo-se que 1037 é um termo da PA acima, qual posição ele ocupa na mesma?
a
a
n
1 r
1037 3
n 1 2 ⇔ 1037 3 2n
R: Ele ocupa a 518ª posição na sequência.
2 ⇔ 1037
3
2
2n ⇔ 1036
2n ⇔ n
518
e) Mostre através da fórmula do termo geral que 1140 não faz parte da PA.
a
a
n
1 r
1140 3
n 1 2 ⇔ 1137 2n 2 ⇔ 1139 2n ⇔ n 569,5 Absurdo!
Os valores das posições são naturais, não faz sentido um número ocupar a “meia posição” ou algo
parecido. Logo, 1140 não faz parte da PA citada.
f) Qual a soma dos 8 primeiros termos?
Vamos calcular o a :
a
a
a
3
8
a
S
S
n
1 2⇔a
a
2
3
1 r
17
2
3
14 ⇔ a
17
⋅n
⋅8⇔S
10 ⋅ 8 ⇔ S
80
g) Sejam os termos a , a e a da PA acima. Qual a relação entre eles?
Se a, b, c são, nesta ordem uma PA, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois, ou seja,
b
"#$
"&' #"&(
%
%
. De maneira análoga, a
E2: Calcule o primeiro termo de uma PA de dez termos na qual o último termo vale 34 e a razão vale 3.
a
a
n
34
a
10
1 r
1 ⋅ 3 ⇔ 34
a
27 ⇔ a
7
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Lista de Exercícios – Progressão
Aritmética
E3: Entre 23 e 58, interpolar seis números de forma que a nova sequência formada seja uma PA.
Encontre os termos e a razão.
Se vamos interpolar 6 números entre o 23 e o 58 de forma que toda a sequência seja uma PA, então o
23 é o primeiro termo e o 58 passa a ser o oitavo termo.
a
a
n
1 r
58 23
8 1 r ⇔ 35 7r ⇔ r 5
Se a razão vale 5:
a % 23 5 28
a
28 5 33
a
33
a * 48 5 53
a ) 43 5 48
Logo, a PA vale : (23, 28, 33, 38, 43, 48, 53) e a razão vale 5.
5
38
a
7ea
E4: Encontre a soma dos 12 primeiros termos de uma PA sabendo que a R: 168
a
a
n
1 r
a
a
3
1 r⇔ 7
2r I
a
a
a
10
1 r ⇔ 21
a
Fazendo a equação II - I temos:
14 7r ⇔ r 2
Substituindo r na equação I:
7 a
2⋅2 ⇔a
3
Calculando o a %, temos:
a % 3
12 1 2 ⇔ a
a
S
S
a
a
a
2
25
⋅n
2
%
%
%
⋅ 12 ⇔ S
3
%
25
2
⋅ 12 ⇔ S
%
14 ⋅ 12 ⇔ S
Resposta da questão E5:
[D]
Calculando:
Sn = 204 =
(12,5 + x ) ⋅ 19 → x = 8,97 ≈ 9 metros
2
Resposta da questão E6:
[B]
Página 10 de 19
%
38
168
9r II
5
21.
43
Lista de Exercícios – Progressão
Aritmética
Calculando o primeiro elemento da PA de acordo com os dados do enunciado, tem-se:
an = a1 + (n − 1) ⋅ r
a10 = 94
n = 10
r=6
94 = a1 + (10 − 1) ⋅ 6 ⇒ a1 = 40
Ao final de 10 anos, o número de exames por imagem aumentou de 40 milhões por ano para 94 milhões
por ano. Isso representa um aumento de:
94 − 40 54
=
= 1,35 ⇒ 135%
40
40
Resposta da questão E7:
a) Os comprimentos dos pedaços de fita crescem segundo uma progressão aritmética de razão
2,5cm e primeiro termo igual a 8 cm. Logo, sabendo que o maior pedaço de fita mede 125,5cm,
temos
117,5
125,5 = 8 + (n − 1) ⋅ 2,5 ⇔ n =
+1
2,5
⇔ n = 48.
Portanto, foram utilizados 48 pedaços de fita.
b) O comprimento total pedido é dado por
59 ⋅ 2,5 

S60 =  8 +
 ⋅ 60 = 4905 cm.

2 
Resposta da questão E8:
[E]
Tem-se que
 a + a50 
 2 + a50 
S50 =  1
 ⋅ 50 ⇔ 2550 = 
 ⋅ 50

2

 2 
⇔ a50 = 100.
Daí, se r é a razão da progressão aritmética, então
a1 + 49 ⋅ r = 100 ⇔ r = 2.
Portanto, segue que
26 ⋅ 2 
11⋅ 2 


S27 + S12 =  2 +
 ⋅ 27 +  2 +
 ⋅ 12

2 

2 
= 756 + 156
= 912.
Resposta da questão E9:
02 + 08 = 10.
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Lista de Exercícios – Progressão
Aritmética
[01] INCORRETO. A razão da progressão aritmética é −11(1600 − 1589 = −11).
[02] CORRETO. Sabendo que a1 = 1600, n = 120 e r = −11 pode-se calcular a120 :
an = a1 + (n − 1) ⋅ r → a120 = 1600 + (120 − 1) ⋅ ( −11) → a120 = 291
Portanto, o valor da última prestação será de R$291,00.
[04] INCORRETO. Sabendo que a1 = 1600, n = 120 e r = −11 pode-se calcular a12 :
an = a1 + (n − 1) ⋅ r → a12 = 1600 + (12 − 1) ⋅ (−11) → a12 = 1479
Portanto, valor da 12ª prestação será de R$1.479,00.
[08] CORRETO. Sabendo que a1 = 1600, a120 = 291 e n = 120 pode-se calcular a soma de todos os
elementos da progressão aritmética, que representam o valor pago em prestações:
( a + an ) ⋅ n → S = (1600 + 291) ⋅ (120 ) → S = 113460
Sn = 1
120
120
2
2
Assim, o valor total pago na casa será:
V = entrada + parcelas
V = 10000 + 113460 → V = 123.460,00 reais
[16] INCORRETO. O termo geral da progressão pode ser expresso por:
an = a1 + (n − 1) ⋅ r → an = 1600 + (n − 1) ⋅ ( −11) → an = 1600 − 11n + 11 → an = 1611 − 11n
Resposta da questão E10:
[A]
Como α 7 é o termo médio da progressão aritmética, segue-se que 78 = α 7 ⋅ 13 e, portanto, temos
α 7 = 6.
Resposta da questão E11:
[B]
82 9 73
− =
3 3
3
73 9 64
a8 =
− =
3 3
3
64 9 55
a7 =
− =
3 3 3
a9 =
Portanto, a média aritmética dos 4 últimos termos será dada por:
82 73 64 55
+
+
+
3
3
3 = 274 = 137
M= 3
4
12
6
Resposta da questão E12:
[A]
Número de alunos matriculados:
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Aritmética
1º dia = 8 estudantes
2º dia = 11 estudantes
3º dia = 14 estudantes
e assim sucessivamente.
Logo, temos uma PA finita com 7 termos.
Portanto,
i. Termo geral da PA ⇒ an = a1 + (n − 1)r ⇒ a7 = a1 + 6r ⇒ a7 = 8 + 6 × (3) ⇒ a7 = 26
ii. Soma dos termos da PA finita: ⇒ Sn =
( a1 + an ) n ⇒ S
2
7
=
( 8 + 26 ) × 7 ⇒ S
2
7
=
( 8 + 26 ) × 7 = 119
2
Resposta da questão E13:
[C]
O número de vigas em cada grade cresce segundo a progressão aritmética (5, 9, 13, …, 4n + 1), com n
sendo um natural não nulo. Logo, se cada viga mede 0,5 m e a última grade foi feita com 136,5 metros
lineares de vigas, então
(4n + 1) ⋅ 0,5 = 136,5 ⇔ n = 68.
Portanto, o comprimento total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em
metros, foi de
 5 + 273 
⋅ 68 = 4.726.
0,5 ⋅ 
2 

Resposta da questão E14:
[D]
Soma dos algarismos do primeiro elemento: 1 + 1 = 2.
Soma dos algarismos do segundo elemento: 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
Soma dos algarismos do terceiro elemento: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6.
Portanto, as soma dos algarismos de cada elemento formam um P.A de razão 2.
E seu vigésimo termo será dado por:
a 20 = 2 + 19 ⋅ 2 = 40
E a soma dos termos será dada por:
2 + 40
S 20 =
⋅ 20 = 420
2
Resposta da questão E15:
[B]
A sequência definida pelas cadeiras é uma PA, logo temos:
an = a1 + (n − 1) × r ⇒ a10 = a1 + 9r ⇒ a10 = 3 + 9 × 3 ⇒ a10 = 30
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Aritmética
Portanto, a mesa de modelo 10 possui 30 cadeiras.
O total de cadeiras é: ( 3 + 6 + 9 + ... + 30 ) =
( 3 + 30 )10 = 165 cadeiras
2
Desta forma, o total de etiquetas é:
10 (mesas) +165 (cadeiras) = 175 etiquetas.
Resposta da questão E16:
[A]
A figura representa uma progressão aritmética cujo número de termos n é igual ao número de mesas e
a quantidade de cadeiras é igual ao valor de cada um dos termos, ou seja:
a1 = 4 

a2 = 6  r = a2 − a1 = a3 − a2 → r = 2
a3 = 8 
Assim, com uma P.A. de razão 2 o que se pretende descobrir é o valor do termo n = 50, ou a50 .
Pode-se portanto escrever:
an = a1 + (n − 1) ⋅ r
a50 = 4 + (50 − 1) ⋅ 2
a50 = 102
O número necessário de cadeiras quando houver 50 mesas será 102 cadeiras.
Resposta da questão E17:
[D]
Os valores doados constituem uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 350 e razão 50.
Logo, se n é o número de microempresas que participaram da campanha, então
(n − 1) ⋅ 50 

2
16500 =  350 +
 ⋅ n ⇔ n + 13n − 660 = 0

2

⇒ n = 20.
Resposta da questão E18:
[E]
O números inteiros compreendidos entre 100 e 400, que possuem o algarismo das unidades igual a 4,
formam uma P.A de razão 10.
(104, 114, 124, 134,…, 384, 394)
Determinando o número n de termos dessa P.A., temos:
394 = 104 + (n − 1) ⋅ 10 ⇒ n = 30
Calculando, agora, a soma destes 30 termos, temos:
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Aritmética
(104 + 394 ) ⋅ 30 = 7470
2
Resposta da questão E19:
a) Sabemos que 100 = 13 ⋅ 7 + 9.
Portanto, o maior múltiplo de 13 menor que 100 é 91.
O menor múltiplo de 13 maior que 100 será 91 + 13 = 104.
200 = 15 ⋅ 13 + 5.
Portanto, o maior múltiplo de 13 menor que 200 é 200 − 5 = 195.
Temos então a P.A. (104, 117,…, 195) dos n múltiplos de 13 que estão entre 100 e 200.
Determinando o valor de n, temos:
195 = 104 + (n − 1) ⋅ 13 ⇒ 15 = 8 + n − 1 ⇒ n = 8.
Temos então 8 múltiplos de 13 entre 100 e 200.
b) Procedendo da mesma maneira que no item acima, temos:
1000 = 58 ⋅ 17 + 14
1000 − 14 = 986
986 + 17 = 1003
2000 = 117 ⋅ 17 + 11
2000 − 11 = 1989
PA. (1003, 1020,…,1989) de n termos.
Determinando o valor de n, temos:
1989 = 1003 + (n − 1) ⋅ 17 ⇒ 117 = 59 + n − 1 ⇒ n = 59.
Temos então 59 múltiplos de 17 entre 1000 e 2000.
Resposta da questão E20:
[C]
Temos uma P.A. de primeiro termo 100, razão r = −8 e número de termos n.
Portanto, o último termo desta P.A poderá ser escrito por:
an = 100 + (n − 1) ⋅ ( −8)
Como o número de latas na última fila é um número positivo podemos escrever que:
an > 0
100 + (n − 1) ⋅ ( −8) > 0
−8n > −108
n < 13,5
Portanto, a quantidade máxima de fileiras é 13 e o número de latas nesta fileira será dada por:
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Aritmética
a13 = 100 + (13 − 1) ⋅ ( −8)
a13 = 4
Resposta da questão E21:
[C]
Tem-se que
 1 + 2n − 1 

n
1 + 3 + 5 + … + 2n − 1 2014
2
 = 2014
=
⇔ 
2 + 4 + 6 + … + 2n
2015
2015
 2 + 2n 

n
 2 
n
2014
⇔
=
1 + n 2015
⇔ n = 2014.
Resposta da questão E22:
[A]
Considerando as duas progressões aritméticas dadas, tem-se as duas PAs com os seguintes termos:
PA1 → a1 , a2 , a3 , a4 … an , da qual não sabe-se a razão nem o número de termos.
PA 2 → b1 , b2 , b3 → a1 , r , n → a1 , (a1 + 1) , (a1 + 2)
Conforme o enunciado, a PA 2 é formada por elementos da PA1. Assim, é fácil deduzir também as
seguintes relações em função da razão r :
r = a1 + 1 → a1 = r − 1
n = r +1
Pelas fórmulas de um termo qualquer de uma PA e de soma de todos os termos de uma PA, pode-se
deduzir:
(a + a ) ⋅ n
S= 1 n
e
an = a1 + (n − 1) ⋅ r
2
S=
[a1 + a1 + (n − 1) ⋅ r] ⋅ n (2a1 + nr − r) ⋅ n
=
2
2
Substituindo a1, n, r e S pelas relações deduzidas anteriormente (todas em função de r) e dados do
enunciado, tem-se:
[2 ⋅ (r − 1) + (r + 1) ⋅ r − r ] ⋅ (r + 1) → 488 = 2 ⋅ (r − 1) + (r + 1) ⋅ r − r ⋅ (r + 1)
244 =
[
]
2
488 = (2r − 2 + r 2 + r − r) ⋅ (r + 1) → 488 = (2r − 2 + r 2 ) ⋅ (r + 1) → 488 = r 3 + 3r 2 − 2
490 = r 3 + 3r 2 → 490 = r 2 ⋅ (r + 3)
Nota-se que 490 é múltiplo de 2, 5, 7 e 10. Fazendo as devidas substituições, percebe-se que o único
valor capaz de satisfazer a equação do terceiro grau acima é 7 :
490 = r 2 ⋅ (r + 3) = 72 ⋅ (7 + 3) = 49 ⋅ 10 = 490
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Aritmética
Logo, a raiz da primeira progressão aritmética apresentada no enunciado, cuja soma dos termos é 244,
é igual a 7.
Resposta da questão E23:
[A]
x + 10 + x + x − 10 = 390
3x = 390
x = 130
A P.A. então será determinada por: (140,130,120,…)
E seu vigésimo termo será dado por:
a20 = 140 + 19 ⋅ ( −10) = −50.
Resposta da questão E24:
[B]
Considerando a P.A. na ordem dada, temos:
P.A. (5x − 5, x + 14, 6x − 3)
Utilizando a propriedade de uma P.A, temos:
5x − 5 + 6x − 3
x + 14 =
⇒ 2x + 28 = 11x − 8 ⇒ −9x = −36 ⇒ x = 4
2
Logo, a P.A. será (15, 18, 21).
Portanto, a soma do três números será:
a1 + a2 + a3 = 15 + 18 + 21 = 54.
Resposta da questão E25:
[C]
Trata-se de soma de termos de uma PA de razão −200. Assim, pode-se escrever:
a8 = 3000 + (8 − 1) ⋅ ( −200) → a8 = 1600
S8 =
(3000 + 1600) ⋅ 8
→ S8 = 18400
2
Resposta da questão E26:
[C]
Seja n a quantidade de números pares entre 18 e 272, considerando a hipótese exclusive. O resultado
pedido corresponde ao número de termos da progressão aritmética (20, 22, …, 270).
Logo, segue que
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Aritmética
270 = 20 + (n − 1) ⋅ 2 ⇔ n = 126.
Resposta da questão E27:
01 + 02 = 03.
[01] Correta. Tem-se que
12,8 − 12,1 = 13,5 − 12,8 = 14,2 − 13,5 = 14,9 − 14,2 = 15,6 − 14,9 =
7
.
10
[02] Correta. A área da nota de R$ 100,00 é 15,6 ⋅ 7 = 109,2cm2 , enquanto que a área da nota de
R$ 2,00 é 12,5 ⋅ 6,5 = 81,25cm2 . Por conseguinte, a área da nota de R$ 2,00 é maior do que
0,7 ⋅ 109,2 > 76,44cm2 .
[04] Incorreta. Para fabricar a quantia de R$ 100.000,00 em notas de R$ 20,00, da segunda família
do real, será gasto o valor de 5 ⋅ 206,18 = R$ 1.030,90. Por outro lado, para fabricar a mesma
quantia em notas de R$ 50,00, será gasto o valor de 2 ⋅ 238,27 = R$ 476,54. Assim, a afirmação
está incorreta, pois
5
⋅ 476,54 = R$ 1.191,35.
2
[08] Incorreta. Vamos supor que sejam utilizadas apenas as vogais: a, e, i, o, u (após o novo acordo
ortográfico, y é considerado vogal e w pode ser consoante ou vogal, conforme o uso). Com relação
aos algarismos primos, tem-se: 2, 3, 5 e 7.
5
5
5!
Existem   =
= 10 modos de escolher duas vogais distintas. Há   = 10 maneiras de escolher
 2  2! ⋅ 3!
2
as posições das vogais. Escolhidas essas posições, as vogais ainda podem ser dispostas de P2 = 2! = 2
maneiras. Além disso, há 4 escolhas para cada uma das 3 posições que serão ocupadas por algarismos.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, segue que esse lote possui 10 2 ⋅ 2 ⋅ 43 = 12.800 cédulas.
Resposta da questão E28:
[B]
O número de fiéis afro-brasileiros após n anos é dado por bn = 5500 + 1375 ⋅ n, com n natural.
Queremos calcular o valor de n para o qual se tem bn = 16500. Desse modo, vem
16500 = 5500 + 1375 ⋅ n ⇔ 1375 ⋅ n = 11000
⇔ n = 8.
Portanto, temos 8 ∈ [8, 10[.
Resposta da questão E29:
[D]
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Aritmética
60
= 20 viagens. Além disso, as distâncias percorridas pelo jardineiro,
3
em cada viagem, constituem a progressão aritmética (34, 40, 46, …, 148). Portanto, segue que o
É fácil ver que o jardineiro fará
 34 + 148 
resultado pedido é igual a 
 ⋅ 20 = 1820 m.

2

Resposta da questão E30:
[A]
Último inteiro: x
Primeiro inteiro: x – k + 1
Calculando a soma desses inteiros, temos:
( x + x − k + 1) ⋅ k
2
x=
= p ⇔ 2x − k + 1 =
2p
⇔
k
p 1− k
+
k
2
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