x - NEBM

ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P0 – REVISÕES
1.
Calcular lg 8 sabendo que log28 = 3 e lg 2 = 0.30103
2.
Calcular:
 27 
log 2  
8 
3
c) ln 1000, sabendo que lg 1000 = 3 e ln 10 = 2.3025851
a)
log 3 27
b)
3.
Calcular o valor de x, sabendo que ℮x = 10x ˙ lg 1000
4.
Logaritmizar as seguintes expressões:
a) y = senx cos x
e 2 x (x + 2)
3
c) y =
5.
x2 +1
x 5 3 x − 2 tgx
101!
99 !
Resolva a equação:
7.
Calcule:
a) P5
y=
b)
6.
b)
n!
(n − 1)!
c)
y=
(n + 2)!
n!
(3n + 3)! = 720
7
A
c)
3
C
8
5
d)
C
8
3
Quantas permutações é possível efectuar com três elementos distintos:
a) Sem repetição
9.
x3( x + 2 )
e x senx
Calcular:
a) y =
8.
y=
b)
b)
Com repetição
Quantos números de 4 algarismos é possível escrever com os algarismos 2, 3, 4 e 5 :
a) Sem repetição
b) Com repetição
c) Sem repetição e começando por 5
10.
De quantas maneiras um grupo de 6 pessoas se podem dispor:
a) Numa fila de 6 cadeiras
11.
b)
Ao redor de uma mesa circular
Não sendo permitidas repetições e considerando os seis dígitos, 2, 3, 5, 6, 7 e 9
a) Quantos números de três algarismos podem ser formados?
b) Quantos destes são menores que 400?
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EXERCICIOS
P0 – REVISÕES
c) Quantos são pares?
d) Quantos são ímpares?
e) Quantos são múltiplos de 5?
12.
a) Quantas placas podem ser feitas se cada uma contém duas letras diferentes seguidas
de 3 algarismos diferentes?
b) Idem, se o primeiro algarismo não puder ser zero?
13.
Quantos produtos de três factores é possível gformar com os números primos 2, 3, 5, 7 e
11?
14.
De quantas maneiras pode ser escolhida, numa turma com 12 alunas e 8 alunos, uma
comissão formada por 2 alunos e 3 alunas?
15.
Prove que
C =C
16.
Prove que
C
17.
Utilizando o método de Indução Matemática, prove que:
n
n
p
n− p
n +1
p
= C p −1 + C p
n
n
b) ( 1 + k ) n ≥ 1 + nk ∀n ∈ ℵ e k > 0
a)
1 + 3 + 5 + .......+ (2n-1) = n2
c)
n
 n
Prove que: ( a + b ) n = ∑  a n − k b k
k =0  k 
xn–yn é múltiplo de x – y, ∀n ∈ ℵ
d)
(2x + y)5
18.
Desenvolva e simplifique:
19.
Calcule o domínio e o contradomínio das funções:
a)
y = x +1
c)
f(x)=
20.
x +1
x−2
b)
f ( x ) = 3 x +1
d)
 x
f ( x ) = arcsen lg 
 10 
Verificar, se são pares ou ímpares, as seguintes funções:
a)
f ( x ) = 3 ( x + 1) + 3 ( x − 1)
c)
f ( x) =
2
2
b)
1+ x 
f ( x ) = log 

1− x 
x2 − x
1+ x
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EXERCICIOS
P0 – REVISÕES
21.
Sendo f ( x ) = (x 2 − 1)e x + ln(1 + x ) , calcular f(0) e f(1)
22.
Se f ( x ) =
23.
Calcular a função inversa das funções:
a)
24.
y = 3 1 − x3
b)
y = lg
x
2
Escrever na forma explícita, em ordem a y :
a)
25.
1
, achar f { f [ f(x) ] }
1− x
x 2 − arccos y = π
b)
10x + 10y = 10
Determine os zeros e os campos positivo e negativo, das funções:
a)
f ( x ) = x 3 − 3x
 2x 
f ( x ) = ln

1+ x 
b)
26.
Se f ( θ ) = tgθ , verifique a igualdade:
27.
Se f ( x ) = log
28.
Sendo sen 45º = 2
29.
Deduza as seguintes identidades trigonométricas:
a) cos 2 x =
f ( 2θ ) =
2
, e sen 30º = 1 , calcular sen 15º
2
1
(1 + cos 2 x )
2
c) 1 + tg 2 x = sec 2 x
1 − [ f ( θ )]
 a+b 
f (a )+ f (b ) = f 

 1 + ab 
1− x
, verificar a igualdade:
1+ x
2
2 f (θ )
1
(1 − cos 2 x )
2
b)
sen 2 x =
d)
1 + cot g 2 x = cos ec 2 x
30.
Definir analiticamente a recta que passa pelos pontos A (1,3) e B (-2,5)
31.
Achar a função f(x) do 2º grau, se f(0)=1, f(1)=0 e f(3)=5
32.
Num triângulo de base b=10 e altura h=6, está inscrito um rectângulo. Exprimir a área
do rectângulo em função da sua base.
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EXERCICIOS
P1 – Números Reais. Topologia da Recta
P1.1. Números naturais. Indução Matemática.
1.
Demonstrar por indução matemática (recorrência) que:
n
a)
∑2
k
= 2 n +1 − 1
b)
12 + 2 2 + 32 + ... + n 2 =
k =0
n
c)
( a + b ) n = ∑ C ka n − k b k
n
e verificar que
k =0
C +C
n
n
0
1
n( n + 1 )( 2n + 1 )
6
+ .... + C n = 2 n
n
d)
.
x n − y n = x − y (isto é, x n − y n é múltiplo de x-y)
e)
n 2 > n + 1 , para n ≥ 2
f)
n ! > n 2 , para n ≥ 4
g)
n n > n ! , para n > 1
h)
( 1 + h )n ≥ 1 + nh , h > 0 e n ∈ ℵ
b)
f ( n ) = n!
2.
Definir por recorrência
a)
f ( n ) = a n , n ∈ℵ
c)
f ( n ) = 2n + 3
d) A sucessão de Fibonaci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
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EXERCICIOS
P1 – Números Reais. Topologia da Recta
P1.2. Números racionais.
1.
Escrever, sob a forma de quociente de dois números inteiros, os seguintes racionais:
2.
0, (7)
b)
0, (24)
c)
2, (123)
d)
0, 62(45)
Calcular os zeros racionais dos seguintes polinómios:
a)
P2(x) = 2 x2 + x – 1
c)
P4(x) = 4 x4 - 5 x2 + 1
3.
4.
a)
b)
P3(x) = x3 + 3 x2 - x – 3
b)
x4 - x3 - 4 x2 + 2 x + 4= 0
Calcular as raízes das equações:
a)
x 4 + x 3 - 5 x2 - 3 x = - 6
c)
2 x5 – 3 x4 – 7 x3 + 8 x2 + 6 x - 4= 0
Prove que Q é denso
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EXERCICIOS
P1 – Números Reais. Topologia da Recta
P1.3. Números irracionais. Números reais.
1. Mostre que
2 ,
3 ,
5 ,
7
e
3 + 2 não são números racionais.
2. Desenhe o chamado eixo real e enuncie o postulado de Dedekind.
3. Enuncie os Teoremas do Supremo e do Infimo.
4. Sejam x e y números reais e positivos. Prove que :
xy≤
x+ y
2
x7 −1
5. Prove que, se x > 1, x – 1 é divisível por x – 1. Calcule
x −1
7
6. Prove que, se x > y, x5 – y5 é divisível por x – y. Calcule
x5 − y5
x− y
7. Calcule:
a)
xn −1
x −1
c)
x5 +1
x +1
b)
xn − yn
x− y
d)
x5 + y5
x+ y
b)
x −1 = x + 3
8. Resolva as equações:
a)
x −1 = 2
9. Determine os subconjuntos de IR onde se verificam as seguintes desigualdades:
a)
x+3 ≤ 7
b)
x+3 > 2
c)
2x + 3 < 5
d)
x−2 >3
e)
x−2 < x+3
f)
x+5
>0
x −1
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EXERCICIOS
P1 – Números Reais. Topologia da Recta
P1.4. Elementos de topologia
1.
Indique:
Vε(2)
a)
2.
3.
4.
b)
V0.1(3)
A = {x ∈ ℜ : x − 2 < x + 1 ∩ ]− 3, 6]}
Considere o conjunto:
a)
Indique os majorantes, minorantes, supremo, ínfimo, máximo e mínimo de A
b)
Indique o interior, o exterior, a fronteira, a aderência, o derivado e os pontos
isolados do conjunto A
c)
A é um conjunto aberto ou fechado? Justifique.
Considere o conjunto:
A = {x ∈ ℜ : x − 2 < x + 1 ∩ [− 1, 5[}
a)
Indique os majorantes, minorantes, supremo, ínfimo, máximo e mínimo de A
b)
Indique o interior, o exterior, a fronteira, a aderência, o derivado e os pontos
isolados do conjunto A
c)
A é um conjunto aberto ou fechado? Justifique.
Considere o conjunto:
{
}
B = x ∈ Q : x3 < 2 ∧ x > 1 2
Determine os seus majorantes, minorantes, supremo, ínfimo, máximo e mínimo
5.
Calcule:
2
 1
U1 2 − n , 3 + n 
3
3
a)
b)
1
∞
c)
2
 1
U1 2 − n , 3 + n 
∞
d)
1
 1
I1 1 − n ,1 + n 
1


2
, 3+ 
n
2
1
I 2 − n , 3 + n 
1
∞
e)

I 2 − n
∞
f)

2
I 1 ,1 + n 
1
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EXERCICIOS
6.
Considere os intervalos:
P1 – Números Reais. Topologia da Recta
( n ∈ℵ )
6.1.
3
5

I n = 4 − , 4 + 
n
 n
6.2.
1
 2
I n = 1 − , 3 + 
n
 n
6.3.
3
 2
I n = 2 − , 2 + 
n
 n
6.4.
3

I n = 2 , 2 + 
n

a) Verifique se estão nas condições T.P.E.
∞
b) A
II
n
pode ter um único elemento? Justifique.
1
∞
c) Calcule
II
n
1
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EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
P2.1. Definições. Notações. Classificação.
1.
2.
3.
Escreva o termo geral das seguintes sucessões:
a)
1 1 1 1
1, , , , ,....
2 4 8 16
b)
1, -1, 1, -1, 1, -1, .....
c)
1 1 1 1
, , , ,....
2 3 4 5
d)
1, 2, 6, 24, 120, .....
e)
1 1 1 1
1,− , , − , ,....
2 4 8 16
f)
2  3  4  5
,   ,   ,  ,....
1  2  3  4
2
3
4
Classificar, quanto á monotonia, as seguintes sucessões:
a)
un = n n
c)
2n
vn =
n!
e)
u n = n ( −1 )
n
n +1
n
b)
wn =
d)
4n
dn =
n!
f)
wn =
n!
nn
Das sucessões seguintes, indique as que são limitadas, indicando os seus majorantes,
minorantes, supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
4n
n!
a)
un =
n
en
b)
un =
c)
un =
( −1 )n
n
d)
vn = n ( −1 )
e)
u n = ( −1 )n n
n
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EXERCICIOS
4.
P2 – Sucessões Numéricas
Indique os pontos de acumulação das sucessões seguintes e classifique-as quanto á sua
convergência
n +1
n
a)
un =
c)
wn = ( −1 )n +1
e)
vn = n ( −1 )
g)
n + ( −1 ) n
un =
n
i)
l)
n
 1
2 +
vn =  n
n

 n +1
b)
vn =
1
n
d)
un =
( −1 )n
n
f)
un =
n
en
h)
1

un =  n
1
 n
2
, n ímpar
j)
, n par
1

wn =  1
 3 n
, n ímpar
, n par
, n ímpar
, n par
 n2
, n ímpar

u n =  2n 2 + 1
 2n
, n par
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EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
P2.2. Limites de sucessões. Infinitésimos.
1.
2.
3.
n
1
=
n → +∞ 3n + 1
3
Prove pela definição de limite que lim
a)
Quantos termos da sucessão estão fora da Vε(1/3)? E dentro?
b)
Idem da V0.001(1/3)?
5n
5
=
n → +∞ 2n − 1
2
Prove pela definição de limite que lim
a)
Quantos termos da sucessão estão fora da Vε(5/2)? E dentro?
b)
Idem da V0.1(5/2)?
Prove pela definição de limite que u n =
1
é um infinitésimo.
1+ n
a)
Quantos termos da sucessão estão fora da Vε(0)? E dentro?
b)
Idem da V0.001(0)?
a)
Prove pela definição de limite que un =
b)
Quantos elementos são maiores que 0.01? E menores?
4.
5.
1
é um infinitésimo.
n +1
2
Estudar a evolução da sucessão u n = n n e provar que lim
n → +∞
Nota: Sugere-se que se utilize a expressão
n
n
n =1
n = 1 + α n , e provar que αn é um
infinitésimo quando n → + ∞
6.
Calcular:
a)
lim
n→ +∞
n
n2
b)
lim
n → +∞
n
1
n3
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EXERCICIOS
c)
e)
g)
lim
n → +∞
n
n
P2 – Sucessões Numéricas
2
d)
lim n 3
f)
lim n 10 6
h)
n → +∞
n → +∞
lim
n
a
lim
n
1
5
n →+∞
n → +∞
, a ∈ ℜ+
lim n 5n
n → +∞
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EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
P2.3. Operações algébricas com sucessões. Propriedades dos limites
1.
2.
1
1
1
, βn = 2 , γ n =
são infinitésimos (sucessões evanescentes).
n
n +1
n
Mostre que σ n = α n + β n + γ n também o é.
αn =
Se u n =
2n
n
e vn =
3n − 1
2n + 1
a) Calcule o lim u n e lim vn
n → +∞
n → +∞
b) Sendo S n = u n + vn , calcule o lim S n
n → +∞
c) Sendo p n = u n − vn , calcule o lim p n
n → +∞
d) Sendo qn =
un
, calcule o lim q n
vn
n → +∞
e) Sendo l n = 3u n + 2vn , calcule o lim l n
n → +∞
f)
Sendo f n = (u n ) , calcule o lim f n
3
g) Sendo g n = (u n )
vn
n → +∞
, calcule o lim f n
n → +∞
h) Sendo hn = 9u n + 8vn , calcule o lim hn
2
3
n →+∞
3.
a) Estude quanto á convergência as sucessões an = n 2 + n − 1 e bn = n 2 + 2n
b) Que pode dizer quanto á convergência de qn =
4.
an
bn
Estude quanto á convergência as sucessões:
a) α n = n 2 + 1 e
β n = 2n − 1
b)
bn =
αn
c)
βn
cn =
βn
αn
5.
a) Estude quanto á convergência as sucessões an =
n2
e bn = n
n +1
b) Que pode dizer quanto á convergência de d n = a n − bn ?
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EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
6. Considere as sucessões u n =
1
n
, vn = n !
se n ímpar
 3n
, wn = 
2n − 1 se n par
Diga se são possíveis, justificando, as composições que se indicam. No caso de
possibilidade, escrever a sucessão composta.
a)
un o vn
b)
vn o u n
vn o wn
c)
d)
wn o v n
Das composições indicadas, quais são subsucessões? Justifique
7. Considere as sucessões u n = n
, vn = 2n − 1 , wn = n !
Diga se são possíveis, justificando, as composições que se indicam. No caso de
possibilidade, escrever a sucessão composta.
a)
un o vn
b)
u n o wn
wn o v n
c)
d)
vn o wn
das composições indicadas, quais são subsucessões? Justifique
8. Considere a sucessão u n = 3n + 1
a) Classifique-a quanto à monotonia, ao confinamento e à convergência.
b) Calcule Sn (soma dos n primeiros termos de un) e estude-a quanto á convergência.
9. Considere a sucessão u n = 7 − 5n
a) Classifique-a quanto à monotonia, ao confinamento e à convergência.
n
b) Calcule S n = ∑ u n e estude-a quanto á convergência.
1
10. Estudar o comportamento da sucessão u n = x n
, n ∈ℵ e x ∈ ℜ
Sugestão: Utilizar a desigualdade de Bernoulli se x ≠ 1 : ( 1 + h )n ≥ 1 + nh
, h > −1
11. Considere as sucessões:
11.1.
1
un =  
 3
n −1
11.2.
5
vn =  
 3
n
11.3.
wn =
5
3n
11.4
an =
3
4 n+1
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EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
a) Classifique-as quanto à monotonia, ao confinamento e à convergência. Se
convergente, calcule o seu limite.
b) Calcule Sn (soma dos n primeiros termos).
c) Sn é convergente? Se convergente, calcule o seu limite.
n
12. Prove que lim
n → +∞
a n + b n = max{a ,b} , a ,b ∈ ℜ +
13. Calcule os limites das seguintes sucessões:
a)
an =
2n 5 + 4
n 5 + 2n 4 + 3n 2
3n 3 + 5n 2
2n 5 + 1
b)
bn =
c)
n 5 + 5n 2
cn =
100n 4 + 1000n 3
d)
dn = n n + n 5
e)
e n = n n 2 − n 0.5
f)
f n = n 3n + 5 n
h)
hn = n + 1 − n
j)
jn = 3 n + 1 − 3 n
n
∑ (2k + 1)
g)
gn =
i)
un =
l)
ln = n + n − n
n)
k =1
n2
n +1 − n
2 n + 1 − 2n
2
3
un
=C
n
3
mn
o)
vn
C
=
q)
q n = n 0.1 − n 10000
m)
n
3
3
n
=C
n
n
2
2
n
p
p
n
p)
pn =
∑ (1 + 2k )
k =1
C
n
2
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EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
 1
P2.4. Sucessões monótonas e limitadas. Sucessões encaixadas. Estudo da sucessão : en = 1 + 
 n
(Número de Nepper)
n
1. Provar que as seguintes sucessões são convergentes:
1
n +1
a)
un =
c)
n
vn = n
e
n+2
n +1
b)
wn =
d)
2 n −1
un =
n!
Sugestão: Provar que são monótonas e limitadas
2. Considere os intervalos:
2.1)
2
 1
I n = 1 − , 3 + 
n
 n
2.2)
3
 1
I n = 3 − , 4 + 
n
 n
2.3)
3
 2
I n = 5 − , 5 + 
n
 n
2.2)
1

I n =  5, 5 + 
n

a)
Verifique se estão nas condições do Teorema do Princípio do Encaixe
b)
A
∞
II
n
pode ter um único elemento ?
1
∞
c)
Calcule
II
n
1
3. Enuncie o teorema de Bolzano-Weierstrass e diga, justificando, se os seguintes conjuntos o
ilustram.
a)
1
X =
n
c)
ℵ

, n ∈ ℵ

b)
] − 2, 5 ]
d)
2

n
( −1 ) + 
n

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EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
4. Calcule, utilizando o teorema das sucessões encaixadas:
a)
n!
n → +∞ n n
c)
 1

1
1

+
+ ..... +
lim 

2
n → +∞
n2 + 2
n2 + n 
 n +1
d)
lim
b)
lim
n
n → +∞
n
∑k
e)
1
1
n+k
lim
n → +∞
, 1≤ k ≤ n
lim n log (n! )
n → +∞
n
 1
5. Mostre que a sucessão en = 1 +  , é convergente, estando o seu limite no intervalo
 n
] 2, 3 ] . Sugestão: Provar que en é limitada entre 2 e 3 e monótona crescente
6. Calcule:
n
a)
 n +1
lim 

n→+∞
 n 
c)
 2n + 1 
lim 

n →+∞
 2n 
n
e)
 1
lim 1 − 
n →+∞
 n
 k
lim 1 + 
n →+∞
 n
n
g)
i)
b)
d)
 2n 
lim 

n →+∞ 2n + 1


f)
 3
lim 1 + 
n →+∞
 n
h)
1 + 2 2 + 32 + .... + n 2
n →+∞
n3 + 1
n
[
]
lim 3 ln( n + 1 ) − ln( n 3 + 2n 2 )
n → +∞
n
 n 
lim 

n →+∞ n + 1


j)
n
n
lim
2 + 2 + 2 + 2 + ...... 2
lim
n → +∞
(n radicais)
l)
n
sen(n ! )
n → +∞ n + 1
m)
n)
4n
n → +∞ n!
o)
lim
lim
2
lim
n → +∞
n
n!
n!
n → +∞ n n
lim
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
e n +1
p)
2

lim 1 + n 
n → +∞
e 

r)
6
7
n 
 5
lim  + 2 + 2 + ..... + 2 
n → +∞ n 2
n 
n
n

q)
lim {n[ln( 2n + 3 ) − ln( 2n )]}
n → +∞
n
s)
lim
n→ +∞
n!
n
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P2 – Sucessões Numéricas
P2.5. Critérios de convergência. Sucessões de Cauchy.
1. Provar que se {un} for uma sucessão convergente é uma sucessão de Cauchy.
2. Provar que se {un} for uma sucessão de Cauchy é convergente.
3. Verifique se são de Cauchy as seguintes sucessões :
1
n
a)
un =
c)
lim n 3n + 2 n
e)
g)
n → +∞
cos(n ! )
wn =
n
n
n +1
b)
vn =
d)
un = n
f)
1
 n
vn = 
 1 2 n
se n ímpar
se n par
 1
se n ímpar
n

vn = 
 n (n + 1) se n par
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P3 – Séries Numéricas
P3.1. Estudo de algumas séries notáveis.
Averigue se as séries a seguir indicadas são convergentes ou divergentes e, se convergentes, calcule
a sua soma exacta (se possível) ou aproximada.
3n 2 + 10n
∑1 1000n 2 + 30n + 200
∞
∞
1)
∞
3)
ln 4
∑n
4
2)
∞
4)
7)
∑
∞
1
2 n + 3n−1
6n
1
∑1 n 2 + n
∞
 4
∑1  3 
8)
∑ 
∞
1
∞
10)
1
∑1 n 2 + 3n
n +1 n + 2
∑1 2n − 1 − 2n + 1
1
∑1 n n
17)
1
n
∞
14)
1 

∑1 ln1 + 2n 
16)
4 n−1 + 2 n+1
∑1 3n
18)
 n2 −1
∑1 ln n 2 


n
∞
∞
1
∑1 n 2 − n − 2
 n+ 2
∑n−
2
∞
15)
 3n + 2 n −1
1 
− n−1 
n −1
7 
 4
∑ ln n + 1 
∞
12)
∞
13)
n
1
∞
11)
n
6)
∞
9)
5
∑2
1
∞
2n
∑1 3n−1
n −1
1
1
5)
1
∑3
∞
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P3 – Séries Numéricas
P3.2. Critérios de convergência de séries de termos positivos.
Estudar a convergência das seguintes séries e, se convergentes, calcule a sua soma exacta (se
possível) ou aproximada.
∞
∞
1)
2n
∑1 n2
∞
3)
 1
∑1 1 + n 
2)
2n
∑1 n !
4)
∑
n2
∞
7)
6)
∑ (2n)!
∞
∑ 4n
1
8)
2
nn
∑1 4 n n !
2n + 1
∞
1
−1
10)
1
∑1 n 3 + 6n 2 + 11n + 6
∑ n (n + 1)
n 2 + 3n + 1
∑1 3n 3 + 2n 2
∞
12)
∞
13)
∞
2
∑1 n 2 + 4n + 3
∞
15)
∑
1
ln(n )
en
2
2
1
∞
11)
en
∞
1
9)
∑
1
n!
n2
(n + 1)2
∞
n!
∑1 n n
∞
 1
1 + 
 n
1
∞
5)
1
n4
∑ (1.02)
14)
n
1
∞
16)
∑
1
1 + 2n
4 n−1
17)
2 n+1
∑1 [(n + 1) !]n
18)
 n2 +1 
∑1  2n 2 + 1 


19)
e −1
∑1 e n
20)
4 n − 2 n−1
∑1 5n
21)
2 n+1 + 3n −1
∑1 4 n
22)
∑n
∞
∞
∞
n
∞
∞
∞
1
2
3
+n
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EXERCICIOS
P3 – Séries Numéricas
P3.3. Séries de termos positivos e negativos. Séries alternadas
1.
Estudar a convergência das séries :
∞
a)
∑
1
2.
sen(n )
n2
(− 1)n−1
∞
∑n
1
2
n −1
∑ (− 1)
1
∞
e)
∑ (− 1)
n −1
1
∑ (− 1)
n −1
1
n +1
n+2
∞
n2
1,1n
d)
n
3
∑ (− 1)n −1
n!
1
∞
1
n
f)
∑ (− 1)
n −1
1
2n
7 n (n + 1)
Considere as séries:
∞
n −1
∑ (− 1)
1
4.
∞
b)
+1
∞
c)
3.1)
b)
Verificar se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou
divergentes, as séries:
a)
3.
 π
cos n 
4
∑1 4 n 
∞
n+3
n(n + 2)
∞
3.2)
∑
1
(− 1)n−1
∞
3.3)
n
∑
1
a)
Prove que são convergentes
b)
Calcule a sua soma parcial para n = 10
c)
Calcule um limite superior do erro da aproximação
(− 1)n−1
3n−1
Para as séries seguintes, calcule a sua soma com erro não superior ao valor ε
indicado :
∞
a)
∑
1
∞
c)
∑
1
(− 1)n−1
n 2n
(− 1)n−1
en
,ε = 5 × 10
−4
b)
∞
(− 1)n−1
1
n!
∑
,ε = 0 ,001
,ε = 0 ,001
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EXERCICIOS
P4 – Funções Reais de Variável Real
P4.1. Definições. Notações. Domínio e Contradomínio. Algumas propriedades.
1.
a)
2.
Se f ( x ) = 1 + x 2 , calcular:
f(0)
b)
f(-3/4)
c)
f(-x)
d)
Se f ( x ) = arccos (lg x ) , calcular:
a)
f(1/10)
b)
f(1/x)
e)
(lg = logaritmo decimal)
f(1)
c)
f(10)
1+ x
 a+b 
, demonstrar que f ( a ) + f ( b ) = f 

1− x
 1 + ab 
3.
Se f ( x ) = log
4.
Sendo f ( x + 1 ) = ( x + 2) , determine f ( x − 1 )
5.
A função f(x) é linear. Achar esta função se f(-1) = 2 e f(2) = 3
6.
Achar a função polinomial do 2º grau se f(0) = 1, f(1) = 0 e f(3) = 5
7.
Indicar o domínio das seguintes funções:
8.
9.
1/f(x)
2
a)
f ( x ) = 3+ x + 4 7 − x
c)
f ( x ) = arcsen (lg
e)
 2x 
f ( x ) = arccos 

1+ x 
x
)
10
1
8− x − x−2
b)
f(x)=
d)
f ( x ) = log
2+ x
2− x
Indicar o domínio e contradomínio das funções:
a)
f ( x ) = 1− x2
b)
 x
f ( x ) = arccos  ln 
 2
c)
f ( x ) = ln (1 − e x )
d)
f ( x ) = sen(x ) − 1
Classifique quanto à paridade as seguintes funções.
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a)
10.
11.
f ( x ) = log
P4 – Funções Reais de Variável Real
2+ x
2− x
c)
f ( x ) = sen( x ) − cos( x )
e)
f(x)=
(
1 x
e + e−x
2
)
b)
f ( x ) = x2 − x
d)
3x 4 + 2 x 2 − 1
g( x ) =
x3
f)
f(x)=
(
1 x
e − e−x
2
)
Verifique se são periódicas as seguintes funções e, se periódicas, calcule o seu período:
a)
f ( x ) = 5sen(4 x )
b)
f ( x ) = x2
c)
f ( x ) = sen 2 (x )
d)
f ( x ) = sen 4 ( x ) + cos 4 ( x )
Determine a oscilação de f e classifique quanto á oscilação:
a)
f ( x ) = sen( x )
b)
f ( x ) = 1− x2
c)
f ( x ) = x2 +1
d)
 x
f ( x ) = arccos  ln 
 2
e)
f ( x ) = ln 1 − e x
(
)
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EXERCICIOS
P4 – Funções Reais de Variável Real
P4.2. Álgebra de funções. Composição de funções. Funções biúnivocas. Função Inversa. Função
Implícita. Monotonia.
1. Sendo f ( x ) = x −
a)
2
1
e g( x ) = x +
, definir:
x
x
6f+3g
b)
f
c)
f.g
g
 1 − x , x ≤ 1
 0 , x ≤ 2
e g( x ) = 
, definir:
2. Sendo f ( x ) = 
2 x − 1 , x > 1
− 1 , x > 2
a)
b)
f+g
f.g
3. Sendo f ( x ) = sen( x ) , g( x ) = x 2 e h( x ) = cos( x ) , determine:
a)
fοg
b)
gοf
d)
f ο (g ο h)
e)
(f ο g) ο h
gοg
c)
4. Escrever as funções compostas na forma y = f(x)
a) y = u 2 , u = sen( x )
b)
y = arctg( u ) , u = v , v = lg( x )
2u ,u ≤ 0
c) y = 
, u = x2 −1
 0 , x > 0
5. Mostre que as funções f e g, definidas por f ( x ) =
3x − 7
7+ x
e g( x ) =
são inversas.
x +1
3− x
6. Verifique se são biúnivocas as funções seguintes e, em caso afirmativo, determine a sua
inversa:
a)
f ( x ) = x3
b)
f(x)= x+
1
x
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1
x +1
c)
f(x)=
e)
f ( x) = x 2 − 1 / [0,+∞[
3
P4 – Funções Reais de Variável Real
d)
f(x)=
x+2
x +1
7. Determine, se possível, as funções implícitas nas equações seguintes, resolvendo y em
função de x
a)
3y − 3
= 1− x
4y + 7
c) 10 x + 10 y = 10
b)
xy − cos( xy ) = 0
d)
x + y = 2y
8. Estudar quanto á monotonia e construir os gráficos das funções
a)
f ( x ) = x3
b)
f ( x ) = x 2 −1
c)
f(x)=
1
x
d)
f(x)=
1
x2
9. Determine os zeros (raízes) e os campos positivos de y:
a) y = 1 + x
b)
y = 2 + x − x2
c) y = x 2 − x + 1
d)
y = x 3 − 3x
 2x 
e) y = lg 

1+ x 
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EXERCICIOS
P4 – Funções Reais de Variável Real
P4.3. Estudo de algumas funções importantes.
1. Construa os gráficos das funções:
a) y = 2 x + 1
c) y = a x 2 + bx + c
d) y = x 3
f)
y=3 x
se
b)
se
y = a x2
i)
a=1
a=2
ii)
a=½
ii)
a=-1
iii)
i)
ii)
a = 1, b = - 2, c = 3
a = - 2, b = 6, c = 0
e)
y= x
g)
y = 3 x2
2. Construir os gráficos das funções exponenciais
a) y = 2
x
c) y = e x
b)
1
y = 
 2
d)
y = e−x
x
3. Construir os gráficos das funções logarítmicas
a) y = lg( x )
b)
y = ln( x )
c) y = ln( − x )
d)
1
y = ln 
 x
4. Construir os gráficos das funções trigonométricas
a) y = sen( x )
b)
y = cos( x )
c) y = tg ( x )
d)
y = cot g( x )
e) y = sec( x )
f)
y = cosec( x )
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P4 – Funções Reais de Variável Real
5. Deduza as seguintes identidades trigonométricas
a) sen 2 ( x ) =
1
[1 − cos( 2 x )]
2
c) tg 2 ( x ) + 1 = sec 2 ( x )
e) tg ( 2 x ) =
1
[1 + cos( 2 x )]
2
b)
cos 2 ( x ) =
d)
cot g 2 ( x ) + 1 = cosec 2 ( x )
2tg ( x )
1 − tg 2 ( x )
6. Construa o gráfico das seguintes funções hiperbólicas
a) y = senh( x )
b)
y = cosh( x )
c) y = tgh( x )
d)
y = cot gh( x )
e) y = sec h( x )
f)
y = cosech( x )
7. Prove que:
a) cosh 2 ( x ) + senh 2 ( x ) = 1
b)
1 − tgh 2 ( x ) = sec h 2 ( x )
c) senh( x + y ) = senh( x ) cosh( y ) + senh( y ) cosh( x )
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EXERCICIOS
P4 – Funções Reais de Variável Real
P4.4. Limites de funções. Propriedades dos limites. Limites laterais.
Use a definição de limite para provar que lim (3 x + 7 ) = 1
1. a)
x → −2
Dado ε = 0.03 determine o valor de δ a que se refere a definição.
b)
Use a definição de limite para provar que lim (2 x − 1) = 3
2. a)
x→2
Dado ε = 0.001 determine o valor de δ a que se refere a definição.
b)
3. Prove pela definição de limite que:
a) lim x 2 = 4
x→2
c) lim
x →3
2x + 3
=2
x −1
b)
x2 − 9
=6
lim
x →3 x − 3
d)
2
lim x + 4 x = 1
x→2
(
)
4. Prove pela definição de limite que:
a)
b)
f ( x ) = x 2 − 4 é um infinitésimo quando x → 2
f(x)=
1
é um infinitamente grande x → - 2
x+2
5. Sejam lim f ( x ) = 4 e lim g ( x ) = 2 . Calcule o limite de y quando x → 3, indicando as
x →3
x →3
propriedades que aplicou:
a)
y = 3 f ( x ) + 4 g( x )
c)
y=
e)
y = f(x)
f(x)
g( x )
6. Sendo f ( x ) =
a)
f (3)
g( x )
b)
y = f ( x ). g( x )
d)
y=
f)
y = log [ f ( x )]
f ( x ). 2 g ( x )
x2 − 9
, calcule:
x −3
b)
lim f ( x )
x →3
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
7. Seja f ( x ) =
a)
P4 – Funções Reais de Variável Real
x 3 − x , calcule:
f (0)
b)
lim f ( x )
x →0
1
8. Achar os limites á direita e á esquerda de f ( x ) = arctg   , quando x → 0.
 x
Existe lim f ( x ) ?
x →0
9. Calcule o limite das funções, nos pontos que para cada uma se indicam
a)
2 x − 1 x < 1

f ( x ) =  2x
, x =1
x
≥
1
 x + 1
b)
 3x + 1

f ( x ) =  sen( 2 x )

x
x≤0
x>0
, x=0
10. Calcular os seguintes limites:
a) lim
3
x→3
c) lim
h →0
g) lim
x2 −1
(x + h )3 − x 3
h
h →0
e) lim
x 2 + 5x + 3
sen( x + h ) − sen( x )
h
(x + h )2 sen( x + h ) − x 2 sen( x )
h
h →0
i)
lim x cot g( x )
l)
lim
x →0
x →0 3
1+ x −1
1+ x −1
π 
n) lim (1 − x ) tg  x 
x →1
2 
b)
x5 −1
lim
x →1 x − 1
d)
lim
h →0
h
f)
lim
sen( x )
tg ( x )
h)
3 
 1
−

lim 
x →1  1 − x
1 − x3 
j)
 2x +1 − 3 

lim 

x→4
−
−
x
2
2


m)
lim
o)
 1
lim 1 − 
x →∞ 
x
x →0
x →0
(x + h )n − x n
x
1 − cos( x )
x
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EXERCICIOS
 2
p) lim 1 + 
x →∞ 
x
r) lim
x →0
t)
q)

1 

lim 1 +
f ( x )→∞ 
f ( x ) 
s)
lim
u)
e x −1
lim
x →0
x
x
1 1+ x
ln
x 1− x
lim x[ln(x + 1) − ln(x )]
x →∞
P4 – Funções Reais de Variável Real
x →0
f(x)
ln(1 + 10 x )
x
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P4 – Funções Reais de Variável Real
P4.5. Infinitésimos e suas propriedades.
1. Prove que são infinitésimos
a)
f ( x) = x 2 − 9 , quando x → 3
b)
f ( x) =
1
, quando x → ∞
x+2
2. Compare os seguintes infinitésimos simultâneos quando x → 0, e, se de ordens diferentes,
calcule a ordem do primeiro em relação ao segundo, indicando os que são equivalentes
a)
α ( x) = sen(3x)
b)
β ( x) = ln(1 + 3x)
c)
β ( x) = x 2
α ( x) = sen 4 x − x 5
e)
β ( x) = x 3 cos 1 x
α ( x) = x 3
β ( x) = 9 + x − 3
α ( x) = x 2
( )
d)
β ( x) = tg (3x)
α ( x) = sen(2 x)
f)
β ( x) = sen 2 x + x 4
α ( x) = ln(1 + x)
3. Prove que quando x → 0 :
a)
1−
1
1+ x
~
1
x
2
b)
1−
1
~x
1+ x
1+ x 3 −1 ~
c)
x3
2
4. Aplicando o principio de infinitésimos equivalentes, calcule :
a)
c)
lim
x →0
lim
x →0
sen 2 (2 x). ln(1 + 3 x)
( 1 + x −1).arcsen(6x)
b)
2
(
lim
x →0
)
x 4 + x 6 − 10 x 3 .sen(2 x)
x2
tg
. ln(1 + 4 x)
2
sen( x 2 ) + 3 x 6 + 3 x 9 + ln(1 + x 6 )
( 1 + x − 1)+ tg x
2
3
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P4 – Funções Reais de Variável Real
P4.6. Continuidade de funções. Classificação de descontinuidades. Algumas propriedades das
funções contínuas.
1. Verifique se são contínuas, nos pontos que para cada uma se indicam, as seguintes funções e
classifique os pontos de descontinuidade. Redefina as funções, em que encontrou
descontinuidades removíveis, de modo a que sejam contínuas nesses pontos.
a)
f ( x) = sen x , x = π
1
b)
f ( x) =
c)
x2 − 9
, x=3
f ( x) =
x−3
d)
x

f ( x) =  x
 1
e)
3 x − 2 , x ≤ 3
, x=3
f ( x) = 
 5− x , x > 3
f)
3x − 2 , x < 3
, x=3
f ( x) = 
 x+4 , x>3
g)
 sen(3 x)

f ( x) =  x
 3
2
,x≠0
,x=0
5 − x 2 + 16
,x=3
,x≠0 ,x=0
,x=0
,x=0
2. Calcule k de modo que f seja contínua em |R :
a)
 x4 − 1
, x ≠1

−
1
x
f ( x) = 

 k
, x =1
b)
 ln(2 x + 1)
,x≠0

x
f ( x) = 


k
,x=0
c)
 2 x −1
,x≠0

x
f ( x) = 

 k
,x=0
d)
 x + k , x ≤1
f ( x) = 
3x − 2k , x > 1
3. Prove que são pontualmente contínuas, no seu domínio, as seguintes funções:
a)
f ( x) = x 2
b)
f ( x) = x 4
c)
f ( x) = sen x
d)
f ( x) = cos x
e)
y = ln x
f)
y= x
4. Prove que f é uniformemente contínua, no intervalo indicado :
a)
f ( x) = x 2 , I = [2,3]
b)
f ( x) = x 3 , I = [3,3]
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P4 – Funções Reais de Variável Real
5. Mostre que f ( x) = x é contínua em |R. Construa o seu gráfico.
 x2
, se x ≤ 2
6. A função f ( x) = 
é contínua em |R ? Construa o seu gráfico.
2 x + 1 , se x > 2
7. A função f(x) é indeterminada quando x →0. Determinar f(0) de modo que f(x) seja contínua
quando x = 0 :
a)
f ( x) =
tg (5 x)
2x
b)
f ( x) = x 2 sen
1
x
c)
f ( x) = x cotg x
8. Prove que as seguintes funções têm pelo menos um zero nos intervalos que para cada uma se
indicam :
a)
f ( x) = x 3 + 2 x 2 + x − 3 , I = [0,2]
b)
g ( x) = x 5 − 4 , I = [0,2]
c)
h( x) = x 5 − x 3 − 2 , I = [1,2]
d)
 π π
f ( x) = 4 sen x + 1 , I = − , 
 2 2
Em algum caso existe apenas um zero ? Justifique
9. Prove que as funções indicadas em 8. assumem, nos intervalos indicados, os valores que
para cada uma se indicam:
a)
3
b)
20
c)
10
d)
2
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P5 – Cálculo Diferencial em |R
P5.1. Definição de derivada e sua interpretação geométrica e analítica. Derivabilidade e
continuidade. Derivadas laterais.
1.
2.
3.
Calcule, pela definição, no ponto que para cada uma se indica, as derivadas das funções:
1.1
f ( x) = x 3
1.3
f ( x) = e 2 x
x= 1
,
3
2
1.2
f ( x) = 2 x 2 + x + 1 ,
1.4
f ( x) = 3 x
,
x =1
x=0
a)
Diga qual o seu significado analítico e geométrico
b)
Escreva a equação da tangente ao gráfico no ponto correspondente ao x indicado
c)
Qual o ângulo que esta tangente faz com o sentido positivo do eixo das abcissas
Calcule pela definição, a função derivada de cada uma das seguintes funções:
a)
y = x3
b)
y = x 20
c)
y = 4x + 2
d)
y = e 3x
Calcule as derivadas laterais das seguintes funções, para x = 0, e diga, justificando, se
existe f ′(0)
a)
c)
4.
x= 3
,
f ( x) = x
f ( x) =
x
x
b)
f ( x) = x 2
d)
x 2 + 3 ,

f ( x) = 
 2x + 3 ,

x≤0
x >0
Calcule a função derivada das seguintes funções:
a)
c)
x 2

f ( x) = 
2 x

,
,
b)
 x 3 + 1 se x ≤ 0

f ( x) = 
cos x se x > 0

d)
2 x 2 + 2

f ( x) = 
 2x2 + 1

x≤0
x>0
,
 2x

f ( x) = 
x 2 + 1 ,

x <1
x ≥1
,
x <1
,
x ≥1
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
e)
1

 x sen x

f ( x) = 
 1


P5 – Cálculo Diferencial em |R
,
x≠0
,
x=0
5.
Demonstre que f ( x) = 3 x 2 não tem derivada no ponto x=0
6.
Considere a paràbola y = a x 2 + b . Calcule a e b de forma que a tangente à paràbola no
ponto (1,3) tenha o declive 4.
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EXERCICIOS
P5 – Cálculo Diferencial em |R
P5.2. Derivadas de algumas funções importantes.
1. Calcule, pela definição de derivada, as funções derivadas das funções:
a)
f ( x) = a x + b
b)
f ( x) = x n
c)
f ( x) = x
d)
f ( x) = sen x
e)
f ( x) = cos x
f)
f ( x) = e x
g)
f ( x) = e kx
h)
f ( x) = ln x
i)
f ( x) = a x
2. Calcular, pela definição de derivada, as derivadas das funções:
a)
f ( x) = x 2 e x
c)
f ( x) = e x sen x
b)
f ( x) = x 3 e 3 x
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P5 – Cálculo Diferencial em |R
P5.3. Regras de derivação. Derivada da função composta, da função inversa e da função implicita.
Derivadas de funções logarítmicas
1. Calcule as derivadas das seguintes funções:
a)
y = x 5 − 4x 3 + 2x − 3
b)
y = 3 sen x + 2 cos x
c)
y = x 3 sen x
d)
y = sec x
e)
y = tg x
f)
y = cotg x
g)
y = x 5 sen x + e 3 x ln x
h)
y=
i)
y=
j)
y = 5 e 3 x sen x cos x
l)
y = x 2 e x cos x
x 2 tg x
ex
x2
e 2x
2. Calcule, utilizando a regra da derivada da função composta, as derivadas das funções:
a)
y = (1 + 3 x − 5 x 2 )
c)
y = ln tg e 3 x
e)
 4x − 5 
y = tg 
+4
 x −1 
20
(
)
4 x −5
x −1
( )
3 2
33 2
x + e x + ln 3 x 2
2
b)
y=
d)
y = e 6 x + sen e 3 x + tg e 3 x
( )
( )
5
 4x − 5  2
+

 x −1 
3. Utilizando a regra da derivada da função inversa, calcular a derivada das funções:
a)
y = arcsen x
b)
y = arccos x
c)
y = arctg x
d)
y = arccotg x
4. Calcular as derivadas das funções, fazendo a sua prévia logaritmização:
5 x ( x + 2 ) x 5 tg x
a)
2
(
x + 1) x − 1
y=
( x + 4 )3 e x
b)
y=
c)
y = xx
d)
y = xx
5
3
x 2 + 1 e 2x
x
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
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e)
y = (cos x )
P5 – Cálculo Diferencial em |R
sen x
5. Nas equações seguintes está definida implícitamente y em função de x. Calcule
x+ y
a)
x y +e
=0
b)
c)
sen ( x y ) + x 2 y 3 − e xy = 0
d)
2
6. Calcular
x
2
2
3
+ y3 =1
dy
dx
x+ y + x− y =6
dy
das funções y, nos pontos indicados:
dx
a)
2 y = 1+ x y 3
x =1 e
b)
(x + y )3 = 27(x − y )
c)
ye y = e x +1
d)
y 2 = x + ln
, se
, se
y
x
y =1
, se
x=2 e
x=0 e
y =1
, se
x =1 e
y =1
y =1
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EXERCICIOS
P5 – Cálculo Diferencial em |R
P5.4. Diferencial. Aplicação das primeiras diferenciais em cálculos aproximados.
1. Calcular a diferencial das seguintes funções:
a)
y = x5
b)
y = e 2x
c)
y = 1+ x
d)
y = ln tg x
e)
y=x
f)
y = x 4 tg x
3
5
+ ex
2
2. Calcular a diferencial y = tg x , quando x =
π
3
e ∆x =
π
180
3. Calcular aproximadamente, utilizando a diferencial :
a)
sen 46º
b)
cos 62º
c)
sen 31º
d)
e 0, 2
e)
tg 43º
f)
1,2
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EXERCICIOS
P5 – Cálculo Diferencial em |R
P5.5. Derivadas e diferenciais de ordem superior.
1. Calcule as derivadas das diversas ordens da função: f ( x) = 15 x 4 − 8 x 3 + 3 x 2 − 2 x + 4
2. Calcular as derivadas, de 2ª ordem, das funções:
a)
y = ex
2
b)
y = sen 2 x
x 2 + 2x + 2
satisfaz à equação diferencial :
2
3. Demonstrar que y =
y = (arcsen x )
c)
2
1 + ( y ′) = 2 yy ′′
4. Mostre que a função y = x 2 e x satisfaz à equação diferencial :
2
y ′′ − 2 y ′ + y = 2e x
5. Mostre que a função y = C1 e − x + C 2 e −2 x , para qualquer valor das constantes C1 e C2,
satisfaz à equação diferencial y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 0
6. Calcule d 2 y e d 3 y das funções:
a)
y = tg x
b)
y = x2e x
7. Calcule as derivadas, de ordem n, das funções:
a)
y = (a x + b )
d)
y = x ex
n
b)
y = e 5x+2
e)
y= x
c)
y = ln x
8. Determinar as derivadas de 2ª ordem das funções, y = f ( x) dadas na forma ímplicita :
a)
x2 y2
+
=1
a2 b2
b)
y = x + arctg y
9. A equação x 4 − xy + y 4 = 1 define y como função de x. Calcule y ′′ no ponto (0,1)
10. A equação 2 y − xy 2 = 4 define y como função de x. Calcule y ′′(0) .
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P5 – Cálculo Diferencial em |R
P5.6. Propriedades das funções deriváveis: Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy.
1. Considere as funções e os intervalos que para cada uma se indicam:
1.1
f ( x) = x 2 + 2 , [− 1, 1]
1.2
g ( x) = 6 x 2 − x 3
1.3
h( x) = sen x , [0, π ]
1.4
f ( x) = x − x 3
, [0, 6]
, [− 1, 1]
a)
Mostre que as funções satisfazem ao teorema de Rolle, no intervalo indicado
b)
Calcule o valor de c a que o mesmo se refere
c)
Interprete gráficamente os resultados
2. Mostre que a função f ( x) = x 3 + 2 x − 2 tem um só zero no intervalo [0, 1]
3. Enuncie o teorema de Lagrange e mostre que f ( x) = x − x 2 satisfaz ao mesmo no intervalo
[-1, 2]
4. Verifique se f ( x) = x 2 − 2 x + 3 satisfaz às condições do teorema de Lagrange no intervalo
[1, 2]. Em caso afirmativo, calcule o valor de c a que o mesmo se refere. Interprete
gráficamente os resultados.
5. Verificar a validade das condições do teorema de Lagrange para a função f ( x) = x − x 3 no
segmento [-2, 1] e calcule o valor intermédio c.
6. Escreva a equação da recta tangente à curva representativa de f ( x) = x 2 − 3x e que é
paralela à secante que passa pelos pontos (2, -2) e (4, 4)
7. Seja f : |R → |R uma função da classe C 2 , tal que f (0) = a , f (1) = b , f (2) = 4a , f (3) = 4b
em a < b. Prove que existe c ∈ ] 0, 3[ , tal que f ′′( c ) > b − a
(Sugestão: utilize o teorema de Lagrange)
8. Enuncie o teorema de Cauchy e verifique que f ( x) = 2 x 2 − 1 e g ( x) = x 3 + x , satisfazem às
condições do teorema no intervalo [-1, 1] e calcule o valor de c a que o mesmo se refere.
9. Verifique se f ( x) = 2 x 2 − 2 e g ( x) = x 3 , satisfazem ao teorema de Cauchy no intervalo
[1, 2] e calcule o valor de c a que o mesmo se refere.
10. Verificar a validade das condições do teorema de Cauchy para as funções f ( x) = sen x e
[
g ( x) = cos x no segmento 0, π
2
] e calcular o valor de c a que o mesmo se refere.
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P5 – Cálculo Diferencial em |R
P5.7. Superação de indeterminações : regra de L’Hôpital-Bernoulli
1. Calcular os seguintes limites:
sen x − x
x3
c)
lim
e x − e −x − 2x
x →0
x − sen x
f)
lim
a)
lim
sen ax
sen bx
b)
lim
d)
lim
cos x
π − 2x
e)
lim
h)
2x3 + 5
x → +∞ x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1
x →0
x→
g)
π
2
xk
x →0 e x
lim
k ∈ℵ
x 2 sen
2. Mostre que lim
x →0
sen x
1
x
x →0
sen x
x → 0 arctg x
x →0
tg x − x
x − sen x
lim
não pode ser calculado pela regra de L’H.B. Calcule-o
directamente.
3. Mostre que lim
x →0
x − sen x
não pode ser calculado pela regra de L’H.B. Calcule-o
x + sen x
directamente.
4. Calcular :
a)
1 
 1
− 2
lim
x → 0 sen 2 x
x 

c)
lim[cos(2 x )]
b)
1
lim+  
x →0  x 
sen x
3
x →0
x2
d)
lim x x
x →0 +
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
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P5 – Cálculo Diferencial em |R
P5.8. Aplicação do cálculo diferencial ao estudo de funções
1. Calcular os extremos relativos e absolutos, intervalos de crescimento e de decrescimento das
funções:
a)
f ( x) = 2 x 2 − x − 1 /
c)
f ( x) = x 4 − 8 x 2 + 2
e)
f ( x) =
[− 2, 2]
/
[− 3, 3]
1 3 1 2
x − x − 2 x + 11 / [− 3, 3]
3
2
b)
f ( x) = x 3 − 3 x + 3 /
d)
f ( x) = x 2 e − x
f)
f ( x) =
x
3
x2 −1
 3 5
− 2 , 2 


[− 1, 3]
/
/
[− 2, 2]
2. Calcule o ponto da recta y = 2 x + 4 mais próximo da origem e a sua distância à origem
(Utilize a teoria dos extremos)
3. Determine o polinómio do 2º grau, que tem 1 como uma das suas raízes, que toma para x=0
o valor de –5 e que é minimo para x = − 3 .
4
4. Entre todos os rectângulos que se podem inscrever numa circunferência de raio R, determine
o de área máxima.
5. Prtende-se construir um depósito na forma de um prisma recto de base quadrada, com a
capacidade de 64000 litros, aberto superiormente.
Sabendo que o preço das paredes laterais é de 1 u.m./m2 e o do fundo é de 2 u.m./m2,
calcular as dimensões do depósito que minimizam os custos.
6. Uma empresa tem supermercados situados nas localidades A e B, que distam entre si 80
Km. Tem ainda um terceiro supermercado, situado em C, que dista 50 Km quer de A quer
de B.
A empresa pretende construir um armazém para abastecer os três supermercados num local
P, tal que a soma das distâncias PA, PB e PC seja a menor possível.
A que distância de C se deve situar o armazém ?
7. Determinar os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e de convexidade das
funções:
a)
y=e
−1
x
b)
f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 5
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EXERCICIOS
P5 – Cálculo Diferencial em |R
c)
y = x 4 − 8x 2 + 2
d)
y = x 2e−x
e)
y = e −x
f)
y =3 x+2
g)
y=
b)
f ( x) =
2
x
3
x 2 −1
8. Determine as assíntotas às curvas :
x 2 − 2x −1
x
a)
y=
c)
y=xe
e)
y = x + ln x
g)
y=
x
d)
y=
f)
y=
x 2 +1
x +1
x2
x2 −1
ln x
x
x
3
x 2 −1
9. Estudar as seguintes funções e desenhar os seus gráficos:
−1
a)
y=e
c)
f ( x) = ( x − 1)
e)
y=
x
ln x
x
3 3
x2
1 3
x − 2 x 2 + 3x + 1 / [− 1, 4]
3
b)
y=
d)
f ( x) = x 4 − 8 x 2 + 2 /
f)
y=
[− 3, 3]
x
3
x −1
2
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P6 – Sucessões de funções
Estude a convergência das seguintes sucessões de funções e determine o seu intervalo de
convergência e a sua função limite
1.
f n ( x) = x n
2.
f n ( x) = 1 − x n
3.
f n ( x) = ( x − 2) n −1
4.
f n ( x) =
6.
 x2 

f n ( x) =  2
 x + 1
8.
f n ( x) =
1
5.
f n ( x) =
7.
f n ( x) =
9.
 x
f n ( x ) = 1 + 
 n
(4 − x )n
1
1 + x 2n
1
(3 − x )n−1
n −1
xn
n!
n
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EXERCICIOS
1.
P7 – Séries de funções
Estude a convergência das seguintes séries e determine o seu intervalo de convergência e
a função limite:
∞
∑x
a)
∞
1
b)
n −1
∞
∑n x
e)
1
∞
∑
g)
1
∞
∑
j)
(2 + x )
2 n −1
 x2
∑1  1 + x 2

∞
h)
(
∞
xn
n
)



3n
∑
f)
1
n
(x − 2)n −1 + (x + 2)n −1
1
2.
∑ (− 1)
n −1
1
x2
n −1
1
∞
n −1
1
∑ (4 − x )
c)
1
1
d)
∞
n −1
∑ (x − 3)
(2 + x )
2 n −1
∞
x
∑ n(n + 1)
i)
1
∞
∑
l)
5n
1
(x + 3)n − (x − 2)n −1
4n
1
Estude, quanto à convergência, as séries:
∞
a)
∑ (− 1)
n −1
1
3.
1
n ln x
∞
b)
∑
1
(x + 1)n
n 2n
∞
c)
3n
∑ (2 − x ) (1 + 3n)
n
1
Calcule o centro de convergência, o raio de convergência e o intervalo de convergência
das seguintes séries de potências:
∞
a)
∞
∑ n xn
b)
1
(x − 1)n
∑1 ln (n + 2)
∞
d)
∞
n xn
∑1 n 3 − 1
c)
(x − 1)n
∑1 (2n + 1) 4 n
f)
1
n2 + n
∞
∞
e)
∑
(x − 2)n
∑ n ! (x − 2)
n
1
x n −1
∑1 n 3 n ln(n)
∞
g)
4.
Determine as séries de funções de x, que tenham por função limite as seguintes funções
e indique o intervalo em que o desenvolvimento é válido
a)
f ( x) =
2
2−x
b)
f ( x) =
1
3− x
c)
f ( x) =
x −3
x−4
d)
f ( x) =
x
1− x
e)
f ( x) =
x
1+ x 2
f)
f ( x) =
1
1 − 4x 2
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P7 – Séries de funções
P7.1. Séries de Taylor e Maclaurin
1.
a) Desenvolva em série de Maclaurin a função f ( x) = e x
b) Aproveite o resultado anterior para calcular o valor aproximado de e, com n=6 e um
limite superior do erro
2.
a) Desenvolva em série de Maclaurin a função f ( x) = sen x , e determine o seu raio de
convergência e intervalo de convergência.
b) Aplicar a fórmula de a) para calcular sen 20º e estimar o erro cometido (n = 3)
3.
a) Idem para f ( x) = cos x
b) Idem para cos 10º ( n = 4)
4.
a) Idem para f ( x) = ln (x + 1)
b) Idem para ln 2 (n = 6)
5.
1  1 + x  ∞ x 2 n −1
ln
=∑
2  1 − x  1 2n − 1
Obs. Muito mais rápidamente convergente que a anterior.
a) Deduzir da série do exercicio anterior que :
b) Calcular ln 2 com n = 6 e estimar o erro cometido.
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ANÁLISE MATEMÁTICA I
EXERCICIOS
P7 – Séries de funções
P7.2. Operações com séries de potências
∞
1. a)
Calcule o intervalo de convergência e a função limite da série
1
∑ (x − 2)
n −1
1
∞
b)
Calcule o intervalo de convergência e a função limite da série
∑ (x − 3)
n
1
c)
Calcule o intervalo de convergência e a função limite da soma das séries anteriores.
∞
2. a)
Calcule o intervalo de convergência e a função limite da série
∑ (− 1)
1
∞
b)
∑
Idem
1
c)
(x
1
n +1
x
2 ( n −1)
1
2
+ 2)
n −1
Idem da soma das duas séries anteriores
∑ (x
∞
3. Provar que
2n
)
− 2 xn =
1
x 2 + 2x
x 2 −1
, ∀x ∈ ] − 1, 1 [
4. Usando a derivação e a integração termo a termo, calcular a soma das séries
∞
∞
a)
xn
∑1 n
b)
∑nx
n −1
1
5. Utilizando o teorema da diferenciação termo a termo de uma série de potências, verifique
que:
a)
∂ x
e = ex
∂x
( )
b)
∂
(sen x ) = cos x
∂x
c)
∂
(cos x ) = − sen x
∂x
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