Avaliação no 1

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso
Campus Universitário de Sinop
Departamento de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo I
1ª Avaliação – 2013/1
1) Calcule os limites abaixo: (3,0)
x 2 + (1 − a )x − a
x →a
x −a
1+ x − 1
b) lim
x →0
−x
3− 5+x
c) lim
x →4 1 − 5 − x
a) lim
2) Calcule p de modo que a função abaixo seja contínua. (1,0)
e 2 x , x ≠ 0
f (x) =  3
 p − 7, x = 0
3) Dadas as funções f ( x ) = x 2 + Ax e g ( x ) = Bx , determinar A e B de tal
forma que (1,0)
f ′( x ) + g ′( x ) = 1 + 2 x

2
f ( x ) − g ( x ) = x
4) Dada a função f (t ) = 3t 2 − 4t + 1, determinar f (0) − t ⋅ f ′(0) . (1,0)
(
5) Determinar a equação da reta normal à curva y = 3 x 2 − 4 x
abscissa x = 2 . (1,0)
)
2
6) Determinar em que pontos a reta tangente à curva
perpendicular à reta 4 x − 3 y + 1 = 0 . (1,0)
no ponto de
y 2 = 2x 3 é
7) Se f
e g forem as funções cujo gráfico está a seguir, onde
P ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) , Q( x ) = f ( x ) g ( x ) e C( x ) = f (g ( x )) , determine: (a) P ′(2) ,
(b) Q′(2) e (c) C ′(2) . (3,0)
Prof. Rogério Dias Dalla Riva
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Departamento de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo I
2ª Avaliação – 2013/1
1) Calcule um valor aproximado para a raiz de
(2,0)
4
623 , usando diferencial.
2) Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto. Uma vai para o
leste a 3 km/h e a outra, para o norte a 2 km/h. Quão rápido está variando
a distância entre as pessoas após 15 minutos? (2,0)
3) Um retângulo é delimitado pelos eixos x e y e pelo gráfico de y =
6−x
,
2
conforme figura abaixo. Quais o comprimento e a largura do retângulo
que maximizam sua área? (2,0)
y
y = (6 - x)/2
x
4) Determine dois números positivos cujo produto seja 192 e a soma do
primeiro com o triplo do segundo seja mínima. (2,0)
5) Trace o gráfico da função y = x 4 − x . Rotule os interceptos, os
extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas. Determine o
domínio e a imagem da função. Mostre, também, o quadro resumo. (2,0)
6) Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir
esquematiza a posição das indústrias, bem como a posição de um
encanamento retilíneo, já existente. Em que ponto do encanamento deve
ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser
utilizada seja mínima? (2,0)
A
B
a = 4 km
b = 2 km
Reservatório
C = 12 km
Prof. Rogério Dias Dalla Riva
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Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo I
3ª Avaliação – 2013/1
1) Calcular f ′(0) , se f ( x ) = e − x cos ( 3 x ) . (1,0)
2) Prove que f ′(1) =
3+2 3
x
, sendo f ( x ) = ln(1 + x ) + arc sen   . (2,0)
6
2
3) Calcular a derivada de ordem 100 da função y = sen x . Explique seu
raciocínio. (1,0)
4) Calcular a derivada da expressão a cos2 ( x + y ) = b , onde a e b são
constantes. (1,0)
5) Calcular a derivada primeira da expressão f (θ ) = sen2θ + cos2 θ . (1,0)
6) Determinar os pontos de inflexão e os intervalos onde a função
f ( x ) = 2 x ⋅ e −3 x tem concavidade voltada para cima ou para baixo. (2,0)
1
7) Calcular lim x 1− x . (2,0)
x →1
8) Prove que a derivada primeira da expressão y = ln
1 + sen x
é a função
1 − sen x
sec x . (1,0)
9) Sabendo que existe uma única raiz real em x 3 + 3 x 2 − 10 = 0 e que está
situada no intervalo ( −3,3 ) , determine o seu valor aproximado com
quatro casas decimais. (1,0)
10) Calcule a meia-vida de um material radioativo se, após 1 ano,
permanecem 99,57% da quantidade inicial. (1,0)
Prof. Rogério Dias Dalla Riva
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