Fundamentos da Eletrostática Aula 18 O Vetor Deslocamento Elétrico

O Vetor Deslocamento
Fundamentos da Eletrostática
Aula 18
O Vetor Deslocamento Elétrico
Prof. Alex G. Dias
Prof. Alysson F. Ferrari
vetor deslocamento
Denimos na aula passada o
D (r) = ε0E (r) + P (r) .
E é o campo elétrico total, gerado por todas as cargas (livres
polarizadas), enquanto que P é o vetor polarização, que descreve
Note que
e
o momento de dipolo médio por unidade de volume no dielétrico. A
propriedade fundamental do vetor deslocamento elétrico é que sua
divergência corresponde à densidade de cargas livres,
∇ · D = ρf .
Podemos agora nos lembrar da equação da eletrostática no vácuo
∇·E=
e ser levados a pensar que
D
ρ
ε0
depende unicamente das cargas livres,
ignorando completamente a existência de cargas polarizadas. Poderíamos até ser tentados a escrever uma forma integral para
de
ρf ,
1
D (r) =
4π
?
ˆ
dqf0
r − r0
3
|r − r0|
D em termos
.
Tal intuição não sobrevive a um exame mais atento. Anal, embora
a
divergência
de
D
não envolve
ρP
, a densidade de cargas polari-
zadas está relacionada com a polarização
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1
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P,
que por sua vez entra
1
D.
não está correta.
diretamente na denição de
Incidentemente, é por isso que a
estudado é sucientemente simétrico para que possamos usar a forma
expressão acima
Conforme o teorema de Helmholtz
integral desta equação, ou seja,
nos ensina, um campo vetorial é conhecido uma vez que conhecemos
divergente e seu rotacional.
que ∇ × D = 0, já que
seu
∇×
1
4π
ˆ
dqf0
r−r
A expressão acima para
!
0
=
3
|r − r0|
D
implicaria
˛
S
1
4π
ˆ
dqf0 ∇ ×
|
r−r
!
0
3
|r − r0|
{z
}
D · da = qS .
Já vimos um exemplo na aula passada, vejamos agora outro.
= 0,
=0
mas, calculando da denição
∇ × D = ∇ × {ε0E (r) + P (r)} = ε0∇ × E (r) + ∇ × P (r)
| {z }
=0
= ∇ × P (r)
e não necessariamente
1
4π
´
dqf0
∇ × P (r) = 0.
Então a expressão
?
D (r) =
r−r0
não vale em geral justamente devido a presença da
|r−r0 |3
polarização no vetor deslocamento em outras palavras, por que ele
depende
também da carga polarizada.
Aplicada com o devido cuidado, contudo, a relação
∇ · D = ρf
pode ser usada para calcular
cargas polarizadas
ρP .
D,
mesmo sem sabermos nada sobre as
Isto acontece, por exemplo, quando o sistema
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2
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3
Um exemplo com simetria cilíndrica
Observe que isso vale para qualquer
fora do dielétrico (
ρ > R), P = 0
tamente longo, com densi-
tante
λ,
envolto em um
cilindro de raio
R
terial dielétrico.
de ma-
Suponha
que o dielétrico não tenha nenhuma polarização que não a induzida
pelo campo gerado pelo o.
Este fato garante que, seja qual for a
polarização induzida no material, ela necessariamente terá a mesma
simeria cilíndrica do problema. Daí podemos utilizar uma superfície
como na gura, com o mesmo eixo de simetria, comprimento
ρ
que pode ser menor ou maior que
R.
S
L e raio
Devido à simetria,
Em particular, para pontos
e portanto
E (ρ > R, θ, z) =
Considere um o inni-
dade linear de carga cons-
ρ.
ε 0 E = D,
λ
ρ̂ .
2πε0ρ
Dentro do dielétrico, contudo, não conhecemos
mente, não sabemos calcular
para o vetor deslocamento
D
E
ou seja,
P
e, consequente-
mesmo que a expressão encontrada
continue ser válida.
Pergunta: argumentamos, anteriormente, que
em geral
o conhecimento apenas de
para determinar
D.
A raiz do problema está no
fato de que, em geral,
posteriori,
D apenas
ρf não basta
∇ × D 6= 0.
Analizando
a
porque neste caso foi possível calcular
a partir de
ρf ?
D (r) = D (ρ) ρ̂ ,
e portanto
˛
S
D · da = D (ρ) × 2πρL
por outro lado, a carga contida em
S
é simplesmente
q = λL
e portanto
D (r) =
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λ
ρ̂.
2πρ
4
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5
O Vetor Deslocamento e a Solução de
Introduz-se, assim, um novo elemento na teoria a polarização
P.
Problemas Eletrostáticos
Agora não basta conhecer
ρP
também
ρf
para determinar
ou, equivalentemente,
P.
E é preciso saber
Um esquema inicial para esta
situação é, portanto:
Começamos neste curso considerando situações em que conhecemos todas as cargas presentes no sistema informação que genericamente pode ser dada por uma distribuição de carga
pode-se calcular o campo elétrico
já estudados.
E (r)
ρ (r).
Dado
ρ (r),
por qualquer dos métodos
A situação reversa também vale:
conhecendo-se
E
podemos encontrar a distribuição que gera tal campo elétrico pela
lei de Gauss,
∇ · E = ρ/ε0.
deslocamento elétrico D.
Introduzimos, na aula passada, o vetor
Conceitualmente, a resolução de um
D,
obtemos diretamente
ρf
problema eletrostático, nesta situação, é tão simples quanto indicado
A partir de
no esquema abaixo.
necessariamente, já que somente em condições muito especiais o
conhecimento apenas de
ρf
mas a recíproca não vale
permite calcular
D.
Representamos este
fato com uma seta pontilhada:
Na presença de dilétricos, a situação complica-se porque temos que
dividir as cargas
ρ
em duas categorias:
ρf
são as cargas livres, cuja
distribuição tipicamente conhecemos em detalhe, e
ρP
descreve as
polarizadas, que são acúmulos de carga dentro de um dielétrico
devidas ao alinhamento parcial de dipolos. ρP é devido às cargas
cargas
O conhecimento de
E
P
e
permite obter
fundamentais que existem nos átomos que compõem o material, mas
a recíproca não vale em geral: conhecer
não podemos e sequer queremos descrever a posição de cada uma
E
dessas cargas trabalhamos com
médias
que descrevem os campos
macroscópicos que podemos medir. Podemos dizer, assim, que
modelam
P e ρP
macroscopicamente a estrutura microscópia extremamente
complexa do material dielétrico.
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e
P,
D
D
mas, novamente,
não nos permite calcular
a menos que já tenhamos alguma informação sobre
conhecer
P
é o mesmo que conhecer
que já havíamos indicado:
menos que conheçamos
ρP
P.
Mas
e recaímos no problema
não temos como resolver o problema a
ρP .
Um possível diagrama que representa
esta situação:
6
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nexão que faltava para resolver em geral um problema eletrostático
na presença de dielétricos.
Para obter a relação constitutiva, temos
que investigar e/ou fazer suposições sobre a natureza microscópica
do material. Note que este não é necessariamente um trabalho fácil:
os dipolos presentes no material sentem o efeito do campo elétrico
total
E = Ef + EP ,
incluindo a contribuição
polarização material; ou seja, a polarização
P
EP
devida à própria
depende não só do
campo externo, mas do campo que ela mesma produz.
P (E)
Em geral, não temos como resolver o problema eletrostático a
menos que conheçamos
conhecemos
P,
ρf
e
ρP
de antemão.
E
responsável por alinhar os dipolos elementares presentes no dielétrico ou seja, depende justamente do campo
signica resolver esta complexa inter-relação entre o campo
elétrico e a polarização presente no material.
Por outro lado, não
já que a polarização depende do campo elétrico
Determinar
Um diagrama que representa, portanto, o esquema conceitual geral
da eletrostática é o seguinte:
E que pretendemos descobrir!
Para resolver este problema, temos que investigar a natureza do
dielétrico estudado, e descobrir a relação entre o campo elétrico
e a polarização induzida ou seja, a relação
dada esta relação, conhecemos também
D
P = P (E).
total
Uma vez
como função de
E,
ou
seja,
D = ε0E + P (E) = D (E) .
D é suciente para determinar E e P (E) e, mesmo se não podemos calcular D a partir de ρf ,
temos uma relação entre ρf , P e E que permite resolver inteiramente
o problema eletrostático, uma vez dado ρf .
Portanto, neste caso, o conhecimento de
A
importância
da
relação
constitutiva
não
é
surpreendente:
é chamada relação constitutiva do di-
implesmente, ela nos diz que não temos como resolver um problema eletrostático envolvendo um material dielétrico sem conhecer
algumas propriedades do material dielétrico em particular, a resposta
elétrico, e ela é uma modelagem da resposta do meio dielétrico à
do material à aplicação de um campo elétrico, que é justamente a
aplicação de um campo elétrico.
informação contida na relação
A relação
D = D (E)
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A relação constitutiva provê a co8
s
D = D (E).
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χe
Dielétricos Lineares
seja
adimensional :
ela é chamada de
suscetibilidade elétrica
do
material em questão.
No caso de dielétricos lineares, o vetor deslocamento é dado por
A relação
P = P (E)
em geral não é simples de ser obtida. Para
D = ε0 E + P = ε 0 E + ε0 χ e E
muitos materiais, contudo, valem os seguintes argumentos,
•
do material alinham-se de forma totalmente aleatória e daí
P (E = 0) = 0;
•
= ε0 (1 + χe) E
na ausência de um campo elétrico externo, os dipolos elementares
ou seja, a
relação constitutiva para dielétricos lineares é dada simples-
mente por
E externo, os dipolos elementares tendem a se
na direção de E, induzindo portanto uma polarização na
na presença de um
alinhar
D (r) = εE (r)
ε = ε0 (1 + χe)
mesma direção do campo aplicado;
•
a magnitude da polarização induzida no material é proporcional à
magnitude do campo elétrico aplicado.
ε0 de permissividade do vácuo,
permissividade do material em questão.
Chamávamos
chamada de
e por isso
ε
é
É uma grandeza
que mede o quanto o material se polariza frente a um campo elétrico
Estas observações implicam que a relação
entre
P
e
E
externo. Em muitas ocasiões, também costuma-se chamar
é dada simplesmente por uma
ε
= 1 + χe
ε0
constante multiplicativa, ou seja,
P = ε0 χ e E ,
de
a
lineares.
A constante
ε0
dielétricos
aparece na equação para que a constante
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do meio em questão.
D e P são proporcionais
P são proporcionais,
No caso de dielétricos lineares, portanto,
em todos os pontos do dielétrico.
Materiais que obedecem este tipo de equação são ditos
constante dielétrica
10
E.
Como consequência, obviamente
D = εE
⇒
D
e
P = ε0 χ e E =
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ε0
χeD ⇒
ε
11
P=
e portanto,
χe
D
1 + χe
Mas novamente, é preciso ter cuidado. Tal expressão só pode valer se
∇ × D = 0.
Como
é proporcional a
P,
isto é o mesmo que
˛
χe
χe
ρP = −∇ · P = −
∇·D=−
ρf
1 + χe
1 + χe
ρP = −
D
∇×P=0⇒
χe
ρf
1 + χe
para
qualquer
curva
dade
não é satisfeita
fechada
em
Γ
P · dl = 0 ,
Γ.
geral
Agora,
na
fronteira
tal
do
identidielético.
Considere, como na gura, a inou seja, a densidade
volumétrica
terface entre o dielétrico e o vá-
de carga polarizada é proporcional à
cuo. Claramente,
densidade de carga livre presente no dielétrico.
ρP = 0, e toda
densidade supercial σP .
Se não existe carga livre no dielétrico,
polarizada aparece na forma de uma
caso,
E
e, encontrando
E,
ϕ
com as condições de contorno adequadas encontramos também
tamente o problema eletrostático. Caso
acima nos fornece
ρP ,
P e D, resolvendo compleρf 6= 0, a equação derivada
e novamente levando em conta as condições
de contorno adequadas, podemos determinar
P.
Neste
E e, por conseguinte, D
Fica claro, assim, como o conhecimento da relação constitutiva
nos permite efetivamente resolver o problema, dado o conhecimento
sobre
Γ
pode ser obtido resolvendo-se à equação de Laplace para o
potencial eletrostático
e
˛
carga
ρf .
Como agora
D
é proporcional à
E,
poderíamos pensar que nal-
mente podemos escrever
?
D (r) =
1
4π
ˆ
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dqf0
r−r
para a curva considerada, o que signica que
∇ × D 6= 0
3
|r − r0|
.
nesta região.
Se o dielétrico é
innito
(ou se é sucientemente grande para
podermos desconsiderar sua fronteira), aí sim vale que
∇×P =
Neste caso,
∇ · D = ρf
12
e logo
e
∇ × D = 0.
0
∇ × P 6= 0
E são proporcionais, como pode ser ∇ × E = 0 e
mesmo assim ∇ × D 6= 0? O que acontece é que a constante de
proporcionalidade entre E e D não é a mesma em materiais diferentes,
por isso podemos ter ∇ × D 6= 0 na fronteira do dielétrico.)
(Se
D
P · dl 6= 0
e
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∇×D=0
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implica que
D (r) =
e, como
E=
1
4π
ˆ
dqf0
Como
0
r−r
3
|r − r0|
ε = ε0 (1 + χe)
1
ε D,
1
E (r) =
4πε
ˆ
dqf0
r − r0
3
|r − r0|
χe é positivo, vemos que ε > ε0 e, como ε aparece no denominador,
o campo elétrico acima é menos intenso do que o correspondente no
e
.
vácuo.
Podemos também calcular a divergência do campo elétrico,
∇·E=
=
=
=
A razão é muito simples de enten-
1
(ρf + ρP )
ε0
1
χe
1−
ρf
ε0
1 + χe
1
1
ρf
ε0 1 + χe
1
ρf
ε
der: mergulhada no dielétrico, a carga
q
polariza o meio ao redor, gerando uma
distribuição de cargas de sinal oposto
próximas de
q,
o que por sua vez anula
parte do campo gerado por
q.
Este efeito
de amortecimento também chamado
de blindagem da carga elétrica é tão
mais importante quanto maior o valor de
χe
ou seja, quanto mais polarizável é
o meio, o que é absolutamente razoável.
Note que estas expressões são idênticas às que temos para a
eletrostática no vácuo, exceto pela troca da permissividade ε0 por ε.
Por exemplo, para uma carga
temos
E (r) =
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q
pontual localizada na origem,
q r
.
4πε r3
14
Em suma: para cargas mergulhadas num dielétrico linear innito,
o único efeito do dielétrico é blindar parcialmente as cargas elétricas,
de modo que o campo elétrico é idêntico ao que seria gerado no vácuo,
exceto pela intensidade do campo, que é menor.
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Leitura obrigatória: Condições de contorno
Para ter uma idéia de valores, na tabela abaixo aparecem
os valores da constante dielétrica
materiais diferentes.
ε
ε0
= 1+χe para vários
na presença de superfícies carregadas
Para estudar as condições de contorno do vetor deslocamento na presença
de superfícies carregadas, vamos considerar o mesmo tipo de conguração que
usamos anteriormente, quando tratamos
do campo elétrico: calculando o uxo de
D através do pequeno cilindro da gura,
usando que
˛
V
D · da = (carga
livre em
V)
temos, por um lado,
˛
ˆ
cilindro
D · da =
σf da = σf A ,
e, por outro lado,
˛
cilindro
D · da = (D1 − D2) · n ,
ou seja,
(D1 − D2) · n = σf ,
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16
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17
expressão que relaciona a descontinuidade da componente perpendicular do deslocamento elétrico com a densidade de
carga livre
Considerando uma superfície com densidade de
na
carga livre σf ,
superfície.
temos sempre
(D1 − D2) · n = σf
Para estudar as condições de con-
Dk1 − Pk1 = Dk2 − Pk2
torno para a componente tangencial, partimos de
n
1.
Na primeira expressão,
região
2
para a região
é um vetor que vai da
∇×D = ∇×P ⇒ ∇×(D − P) = 0 ,
Para o caso particular de dielétricos lineares, temos que
o que por sua vez implica que, para qualquer curva fechada como na
gura,
D = εE = ε0 (1 + χe) E
˛
Γ
(D − P) · dl = 0 .
Mas já vimos que, no limite
componentes tangenciais do
ε → 0, isto implica a
vetor D − P, ou seja,
e
P=
χe
D
1 + χe
ou seja,
continuidade das
D−P= 1−
χe
D
1 + χe
1
=
ε0 (1 + χe) E
1 + χe
Dk1 − Pk1 = Dk2 − Pk2
= ε0 E
Podemos escrever assim as condições de contorno mais gerais para
dielétricos lineares,
podemos escrever as condições
de contorno em termos unicamente do campo elétrico:
problemas envolvendo dielétricos:
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Portanto, para
18
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19
Leitura adicional: O Tensor Suscetibilidade
(ε1E1 − ε2E2) · n = σf
Elétrica
Ek1 = Ek2
Na seção anterior, tratamos o tipo mais simples de dielétrico, em
que a polarização induzida é proporcional ao campo aplicado. Vamos
agora procurar generalizar a noção de dielétrico linear e, ao fazêlo, veremos como esta categoria de material pode ser generalizada
para modelar uma ampla gama de materiais, pelo menos em primeira
aproximação.
Começamos supondo que a função
P (E) para um dado material,
que não conhecemos, seja sucientemente bem-comportada para que
possa ser expandida em série em torno de
E = 0, ou seja, escrevendo
Pi = Pi (E1, E2, E3) = Pi (Ej )
, j = 1, 2, 3
temos que
3
X
∂Pi Pi (Ej ) =Pi (0) +
Ej
∂E
j
E
=
0
j=1
+
3
X
j,k=1
∂Pi Ej Ek + · · ·
∂Ej ∂Ek E=0
(no que segue, vamos indistintamente chamar as componentes cartesianas de um vetor
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20
A
como
A1 , A2
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e
A3
ou
Ax, Ay , Az ).
21
Em primeiro lugar, supondo que o material não possua polarização
na ausência de campo externo, podemos assumir que
Pi (0) = 0.
Por outro lado, se o campo elétrico é sucientemente fraco, podemos
desconsiderar termos quadráticos ou de maior ordem em
E,
restando
assim apenas os termos lineares,
∂Px
∂Px
∂Px
Ex +
Ey +
Ez
∂Ex
∂Ey
∂Ez
Py (E) =
∂Py
∂Py
∂Py
Ex +
Ey +
Ez
∂Ex
∂Ey
∂Ez
Px (E)

 Py (E)  = ε0

Pz (E)
|
onde um fator
ε0
{z
χe
1 ∂Px
ε0 ∂Ez
1 ∂Py
ε0 ∂Ez
1 ∂Pz
ε0 ∂Ez

1 0 0
χe  0 1 0  ,
0 0 1
χe
é da


Em materiais que não são
isotrópicos, como por exemplo cristais, em que os átomos estão muito
rmemente presos a uma rede cristalina, o material é mais facilmente
polarizável em certas direções do que em outras; neste caso, o tensor
Podemos escrever esta relação em forma matricial,
1 ∂Px
ε0 ∂Ey
1 ∂Py
ε0 ∂Ey
1 ∂Pz
ε0 ∂Ey

a relação com que trabalhamos antes.
onde subentende-se que todas as derivadas são tomadas no ponto
1 ∂Px
ε0 ∂Ex
1 ∂Py
ε0 ∂Ex
1 ∂Pz
ε0 ∂Ex
tensor de segunda ordem, o chamado tensor de suscetibilidade
elétrica do meio em questão, denotado pelo símbolo χe.
um
P = ε0χeE ,
∂Pz
∂Pz
∂Pz
Pz (E) =
Ex +
Ey +
Ez .
∂Ex
∂Ey
∂Ez

Os nove elementos da matriz
o que leva justamente a
Px (E) =

adimensionais.
acima são as componentes, no sistema de coordenadas escolhido, de
forma
que escritos de forma explícita, nos fornecem

1 ∂Pi
ε0 ∂Ej sejam todos
Vemos que o caso mais simples possível para a matriz
3
X
∂Pi Ej ,
Pi (Ej ) =
∂E
j
E
=
0
j=1
E = 0.
forma
χe
não assumirá a forma tão simples como acima.
Por m, do desenvolvimento acima, vemos como dielétricos lineares
não são um caso tão particular quanto poderíamos pensar em

princípio, qualquer material pode ser aproximado como um dielétrico
 Ex
  Ey  ,

Ez
}
linear desde que o campo externo
E
seja fraco o suciente.
foi fatorado para que a matriz de elementos da
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