matemática - Curso Aprovação

MATEMÁTICA
INSS + MPU
PROF PEDRÃO
CONJUNTOS
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
É um agrupamento de elementos, e são representados
por letras maiúsculas do alfabeto latino e seus elementos
são dispostos entre chaves.
Ex: A = {vogais} = {a,e,i,o,u}
Existem duas outras formas de representação:
UNIÃO (U)
A = {x / x é vogal}
Compreensão
Como o próprio nome diz: vamos unir os conjuntos, ou
seja, “juntar” os elementos dos dois conjuntos.
Obs: Quando houver elementos repetidos, apenas um
deles “aparecerá” no conjunto.
Por diagramas:
Diagramas
INTERSECÇÃO ( ∩)
Consideramos apenas os elementos “em comum”.
Por diagramas:
A ∩B
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS (N)
São aqueles que a “natureza” nos ensina:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
NÚMEROS INTEIROS (Z)
São os Naturais e seus opostos:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}
Obs: Z* = números inteiros menos o zero
Z+ = inteiros não negativos (Z+ = {0, 1, 2, 3,...})
Z – = inteiros não positivos (Z – = {...,–3,–2,–1,0})
DIFERENÇA (–)
São os elementos que “aparecem” no primeiro conjunto
e que “não aparecem” no segundo conjunto.
Por diagramas:
A–B
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Um número racional Q pode ser definido como:
Q=
Z
Z*
Portanto, nos números racionais, além dos inteiros,
estão as “frações” e os decimais obtidos como resultado das
mesmas (exatos e não exatos periódicos).
NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
São os decimais não exatos e não periódicos.
Ex:
π(≅ 3,14 ), e(≅ 2,7 ), 2 (≅ 1,4 ), 3 (≅ 1,7 )
NÚMEROS REAIS (R)
Ao “juntarmos” os números racionais (Q) com os
irracionais (I), obtemos o conjunto dos números reais (R).
Por diagramas:
EXERCÍCIOS
01) Em uma turma de 60 alunos, 21 praticam natação e
futebol, 39 praticam natação e 33 praticam futebol.
a)Qual a porcentagem de alunos que praticam um, e
somente um, desses esportes?
b)Qual a porcentagem de alunos que não praticam nenhum
desses esportes?
02) Na escola do professor Golias, são praticadas duas
modalidades de esportes: o futebol e a natação. Exatamente
80% dos alunos praticam futebol e 60%, natação. Se a
escola tem 300 alunos e todo aluno pratica pelo menos um
esporte, então o número de alunos que praticam os dois
esportes é:
03) Em uma cidade com 40.000 habitantes há três clubes
recreativos: Colina, Silvestre e Campestre. Feita uma
pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 20% da
população freqüenta o Colina; 16% o Silvestre; 14% o
Campestre; 8% o Colina e o Silvestre; 5% o Colina e o
Campestre; e 4% o Silvestre e o Campestre. Somente 2%
freqüentam os três clubes. O número de habitantes que não
freqüentam nenhum destes três clubes é:
2010
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1
MATEMÁTICA
INSS + MPU
04) Um instituto de pesquisas entrevistou 1.000 indivíduos,
perguntando sobre sua rejeição aos partidos A e B.
Verificou-se que 600 pessoas rejeitavam o partido A; que
500 pessoas rejeitavam o partido B e que 200 pessoas não
tem rejeição alguma. O número de indivíduos que rejeitam
os dois partidos é:
05) Na seleção de operários da construção civil, foram
entrevistados 80 candidatos e constatou-se que:
45 desses candidatos sabiam lidar com pintura;
50 deles sabiam lidar com instalações elétricas;
50 sabiam lidar com instalações hidráulicas;
15 tinham habilidades nas três modalidades de serviço.
Todos os operários tinham habilidade em pelo menos uma
das modalidades acima. Foram contratados todos os que
tinham habilidade em exatamente duas modalidades.
Nessas condições, o número de candidatos contratados foi:
GABARITO – CONJUNTOS
PROF PEDRÃO
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Um número pode ser decomposto em fatores primos através
de divisões sucessivas.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois números são primos entre si quando o único divisor
comum é o 1.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O mmc entre números é o menor valor comum entre os
valores do conjunto intersecção dos múltiplos dos números.
MÁXIMO DIVISOR COMUM
O mdc entre números é o maior valor comum entre os
valores do conjunto intersecção dos divisores dos números.
01) a)50% b)15% 02) 120 03) 26000 04) 300 05) 35
MATEMÁTICA BÁSICA – MMC E MDC
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
# Por 2
Um número é divisível por 2 quando o algarismo das
unidades for par (0, 2, 4, 6, 8).
# Por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus
algarismos for divisível por 3.
# Por 4
Um número é divisível por 4 quando o número formado
pelos dois algarismos da direita for divisível por 4 ou quando
forem ambos iguais a zero.
# Por 5
Um número é divisível por 5 quando o algarismo das
unidades for 0 ou 5.
# Por 6
Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3
simultaneamente.
# Por 10
Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades
for zero.
NÚMEROS PRIMOS
Um número é primo quando admitir como divisores apenas
ele próprio e a unidade.
Ex: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
O número 1 não é primo e o 2 é o único número par que é
primo.
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
É o produto do número por um outro número.
Lembra da tabuada?
DIVISOR DE UM NÚMERO
São os números pelos quais podemos efetuar a divisão com
o resto sendo igual a zero.
2
2010
EXERCÍCIOS
01) Quais os 5 primeiros múltiplos de 7?
02) Quais o divisores de 18?
03) Faça a decomposição em fatores primos do número 420
04) Qual o mmc entre 18 e 24?
05) Três amigos encontraram-se num certo dia na cidade de
Florianópolis - SC e jantaram juntos. O primeiro deles visita
esta cidade a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o
terceiro a cada 5 dias. Estes três amigos marcaram de jantar
juntos novamente no próximo encontro. Este, deverá
acontecer após:
06) A tabela mostra aproximadamente a duração do ano
(uma volta completa em torno do Sol) de alguns planetas do
sistema solar, em relação ao ano terrestre.
Planeta
Duração do ano
Júpiter
12 anos terrestres
Saturno 30 anos terrestres
Urano
84 anos terrestres
Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano são
observados alinhados, de um determinado local na Terra,
determine, após essa ocasião, quantos anos terrestres se
passarão para que o próximo alinhamento desses planetas
possa ser observado do mesmo local.
07) Dois veículos partem juntos de um mesmo ponto,
percorrendo caminhos diferentes. O primeiro retorna ao
ponto de partida a cada 40min e o segundo, a cada 50 min.
Se ambos saíram às 20h, que horas eles estarão novamente
juntos?
08) Num saco de bolinhas de gude, Fernando notou que
elas poderiam ser divididas em grupos de 2, ou em grupos
de 3, ou em grupos de 4, ou, ainda, em grupos de 5, sem
que houvesse sobras em nenhum desses tipos de divisão.
Esse saco pode conter um número de bolinhas igual a um
múltiplo de:
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MATEMÁTICA
INSS + MPU
09) Pedro trabalha numa plataforma da Petrobrás onde ele
embarca de 12 em 12 dias. Sua namorada Maria trabalha
numa outra plataforma. Entretanto, Maria embarca de 18 em
18 dias. Se Pedro e Maria embarcaram juntos no último dia
17 de março do corrente ano, a próxima data em que este
fato ocorrerá novamente será.
10) Numa República, o presidente deve permanecer 4 anos
em seu cargo, os senadores 6 anos, e os deputados 4 anos.
Se em 1980 houve eleições para esses cargos, em que ano
se realizarão novamente as eleições para esses três cargos,
simultaneamente?
11) Qual o mdc entre 20 e 32?
12) Um comerciante de materiais para cercas recebeu 12
troncos de madeira de seis metros de comprimento e outros
9 de oito metros. Ele determinou a um de seus funcionários
que trabalha na preparação dos materiais que cortasse os
troncos para fazer estacas, todas de mesmo comprimento,
para utilizá-las numa cerca para área de pastagem. Disselhe ainda que os comprimentos deviam ser os maiores
possíveis. A tarefa foi executada pelo funcionário, e o
número total de estacas preparadas foi:
13) A proprietária da floricultura “Flores Belas” possui 100
rosas brancas e 60 rosas vermelhas e pretende fazer o
maior número de ramalhetes que contenha, cada um, o
mesmo número de rosas de cada cor. Quantas rosas de
cada cor devem possuir cada ramalhete?
GABARITO – MATEMÁTICA BÁSICA – MMC E MDC
01) 7, 14, 21, 28, 35
02) 1, 2, 3, 6, 9, 18
2
04) 72
05) 120 dias
03) 2 . 3. 5. 7
06) 420 anos
07) 23h 20min
08) 60
09) 22 de abril 10) 1992 11) 4 12) 72 estacas
13) 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas
PROF PEDRÃO
02) A estatura de um adulto do sexo feminino pode ser
estimada, através das alturas de seus pais, pela expressão:
( y − 13 ) + x . Considere que x é a altura da mãe e y a do
2
pai, em cm. Somando-se ou subtraindo-se 8,5 cm da altura
estimada, obtém-se, respectivamente, as alturas máxima ou
mínima que a filha adulta pode atingir. Segundo essa
fórmula, se João tem 1,72 m de altura e sua esposa tem
1,64 m, sua filha medirá, no máximo:
03) Um carro que anda a uma velocidade de 80km/h, está
andando, em m/seg, a uma velocidade de:
04) Assistindo a um filme de ação norte-americano, Pedrão
observou que um veículo estava andando a uma velocidade
de 100 milhas por hora, o que equivale, em km/h, a uma
velocidade igual a:
05) Dividir um número por 0,0025 equivale a multiplicá-lo
por:
06)
0,3001 é igual a:
10 − 3
07) O valor da expressão 5 −1 −
2
08) Efetuando-se
09)
 1  4
 − 
 2 
O
3
 1
  + 
2
 2
1 , é:
2
−2
⋅
5
, obtém-se:
2
valor
da
expressão
3
6
 1   1
:    ⋅  −  − 2 −7 , é:
 2    2 
3
2
 1
 1
−3
0
 +   − 2 + 16 é:
 2
4
10) O valor da expressão 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
A resolução de uma expressão numérica deve obedecer a
ordem de operações:
# Quanto aos sinais gráficos
1º) Parênteses
2º) Colchetes
3º) Chaves
# Quanto às operações
1º) Potenciação ou radiciação
2º) Multiplicação ou divisão
3º) Adição ou subtração
EXERCÍCIOS
01) Carlos e Jorge são amigos e gostam muito de
matemática. Até para dizer as suas idades eles fazem
questão de usar cálculos. Quando perguntam a Carlos a sua
idade ele responde: "Tenho o dobro de 15, mais 26, dividido
por quatro". Para a mesma pergunta, a resposta de Jorge é:
"Tenho o triplo de 2 mais 5, menos 9". As expressões que
determinam a idade de Jorge e de Carlos e suas idades
são:
2010
11) O valor da expressão
igual a:
12) O valor de
(a + b )2 ,para
2
a +b
2
a=
2
1 e
b= é
2
3
 1 1
E = 5 0  2 −  : (0,5 )2 , é:
 2 3
13) Qual é o valor da expressão
4⋅
1
1
+2−
5
4:
1 1
−
3 2
 4
7 − 22 ⋅ 1 − 
 3  , é:
14) O valor de
m=
1
1+
4
4 1 0,2
⋅ −
3
2 0,1 , é:
15) O valor de E =
2 1 6 2
: + ⋅
3 3 5 3
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3
MATEMÁTICA
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16)Calcule:
2
2
3  4  5   7   7   3  
1
−  ⋅   −  −  :   ⋅  −  +  − 3 
2  5  3   2   5   2  
2
17) O valor da expressão
3
−2
4.(0,5) + 0,25 − 2 , é:
18) Efetue as operações indicadas em cada item, apenas
deslocando a posição da vírgula no numeral.
a) 13,57 x 100
b) 17,45 : 100
4
c) 0,008 x 10
2
d) 523,4 : 10
19) O resultado mais simples da expressão:
-2
(10 : 0,001) x (2/5 - 0,04) é
20) O valor de
0,00001⋅ (0,01)2 ⋅ 10000
0,0001
GABARITO – EXPRESSÕES NUMÉRICAS
2 ⋅ 15 + 26
= 14
4
Jorge → 3 ⋅ ( 2 + 5) − 9 = 12
01) Carlos →
03) 22m/seg
06) 300,1
10) 17/16
14) 20/3
18) a) 1357
19) 18/5
02) 1,70m
04) 160km/h
05) 400
07) – 3/10
08) 49/4
09) 00
11) 49/25
12) 26/3
13) – 153/10
15) – 10/21
16) 125/6
17) 3/4
b) 0,1745 c) 80 d)5,234
20) 0,1
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma equação na variável x é dita do 1º grau quando se
apresenta na forma
ax + b = 0
Sendo a e b reais e a ≠ 0.
A resolução de uma equação do 1º grau consiste em
isolar a variável no 1º membro, determinando assim o seu
valor.
Para resolvermos uma equação podemos adicionar,
subtrair, multiplicar ou dividir os dois membros da igualdade,
obtendo uma nova igualdade equivalente à primeira, ou
seja, com a mesma solução.
EXERCÍCIOS
01) A solução da equação:
– 3(x – 1) – (2x – 2) = 0 é:
02)
O
valor
de
x
que
é
solução
da
equação
1 1 1
x
é:
+ + =
2 3 4 48
03)
O
valor
de
x
x + 6 x + 8 x + 10 1 − x
vale:
−
=
−
2
6
4
3
4
2010
na
equação
04) A raiz da equação
vale:
PROF PEDRÃO
x−2+
2(x − 1) 2(x − 3 ) 2
=
−
5
3
5
05) Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso e, para
calcular o peso de cada uma, colocou 5 bolas em um dos
pratos de uma balança e o restante junto com uma barra de
ferro de 546 gramas, no outro prato. Com isso, os pratos da
balança ficaram totalmente equilibrados. O peso de cada
bola, em gramas, é:
06) Eduardo e Mônica eram dois colegas de repartição num
dia de trabalho e, em um dos poucos momentos de
tranqüilidade resolveram brincar de adivinhações com
números inteiros positivos.
E – Mônica, pense em um número.
M – Já pensei.
E – Multiplique esse número por 10.
M – Pronto.
E – Agora subtraia o número pensado do resultado
obtido.
M – Já subtraí.
E – Some 180 ao novo resultado.
M – Somei.
E – Finalmente, divida o último resultado obtido por 9.
M – Pronto.
E – Quanto deu?
M – Deu 68!
Qual o número que Mônica pensou?
07) As idades atuais de Pedro e de seu filho são,
respectivamente, 50 anos e 25 anos. Em que ano a soma
das idades de pai e filho era 53?
08) No mês passado, gastei um terço do meu salário com
alimentação, 40% com aluguel, R$ 500,00 com despesas
eventuais e sobraram R$ 300,00. Qual foi o meu salário?
09) João gasta 1/4 do seu salário na prestação de sua casa,
3/5 do restante ele gasta com alimentação, sobrando-lhe
ainda a quantia de R$300,00. qual o valor do salário de
João?
10) Dos aprovados em um concurso, o número de homens é
igual a 4/3 do número de mulheres. Em um primeiro
chamado, foram dispensados 16 homens e 4 mulheres,
ficando o número de homens igual ao número de mulheres.
Qual o número total de homens e de mulheres que foram
aprovados no concurso?
11) Uma pessoa resolveu calcular quanto gastaria com
refeições por mês. Verificou que, se gastasse R$8,00 por
refeição, poderia fazer 3 refeições a mais do que se
gastasse R$10,00. Calcule quanto essa pessoa possuía.
12) A quantidade de acidentes registrados com carros de
passeio e caminhões em um trecho de uma BR em um
determinado período foi tal que a quantidade de acidentes
com carros foi igual a quantidade de acidentes com
caminhões mais 15 e o dobro da quantidade de acidentes
com carros foi igual ao triplo da quantidade de acidentes
com caminhões. Calcule a quantidade de acidentes que
ocorreu com cada tipo de veículo.
13) Um pai diz ao seu filho: “Hoje a sua idade é 2/7 da
minha, e há 5 anos era 1/6”. Qual é a idade do filho?
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MATEMÁTICA
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14) Determinar quantos passageiros viajam em um certo
ônibus, sabendo que se dois passageiros ocupassem cada
banco, 26 ficariam em pé, e que se 3 passageiros
ocupassem cada banco, 2 ficariam vazios.
15) Os 2/3 de 5/3 de uma moto equivalem a 3/2 de 2/5 do
preço de um automóvel, avaliado em R$9.600,00.O preço da
moto é de:
16) A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da
idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que
teve 5 anos atrás. Qual a idade de Carlos?
17) Os 2/3 de um campo estão plantados com milho, os 2/9,
com capim e o resto de batatas. A segunda parte do campo
excede a terceira de 840m. Então, a extensão do campo é:
18) João ficou 1/3 de sua vida solteiro, 2/5 casado e ainda
viveu mais 20 anos viúvo. Com que idade faleceu?
19) Se um pai desse R$ 5.000,00 a cada filho, ainda lhe
sobrariam R$ 20.000,00. Se desse R$ 7.000,00 só lhe
sobraria R$ 8.000,00. Quantos eram os filhos e quanto
possuía o pai?
PROF PEDRÃO
05) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, uma
pessoa percorre 550km por mês. Para isso, em alguns dias,
ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta.
Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21
centavos para o automóvel e de 7 centavos para a
motocicleta, calcule quantos quilômetros a pessoa deve
andar em cada um dos veículos, para que o custo total
mensal seja de R$70,00.
06) Um policial rodoviário aplicou durante uma “blitz” apenas
dois tipos de multa, num total de 80, sendo que o valor
arrecadado será de R$ 4300,00. Cada multa do tipo A custa
R$ 50,00 e cada multa do tipo B custa R$ 60,00. Quantas
multas de cada tipo ele aplicou?
07) Um pacote tem 62 balas, algumas de uva e as demais
de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas de
uva excede a metade do número de balas de laranja em 4
unidades, então, nesse pacote há quantas balas de cada
tipo?
08) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados num
muro retangular de 5 metros de comprimento por 2,2 metros
de altura, conforme a figura a seguir.
20) Do vinho contido num barril, vendeu-se 3/7, a seguir 1/4
do resto e finalmente os 15 litros restantes, que sobraram.
Quantos litros continham no barril?
GABARITO – EQUAÇÕES DO 1º GRAU
01) 01
02) 52
03) – 2
04) 0
05) 182
06) 48
07) 11 anos atrás
08) R$3000,00
09) R$ 1000,00
10) 36 mulheres e 48 homens 11) R$120,00
12)
45 carros e 30 caminhões
13) 10
14) 90
15)
R$5184,00 16) 14 17) 7560 m 18) 75
19) 6 filhos
e R$50.000,00 20) 35
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
A solução de um sistema de equações pode ser obtida
utilizando-se diversos métodos, sendo que para os sistemas
de duas equações a duas variáveis utilizamos, com mais
freqüência, os métodos da adição e da substituição.
EXERCÍCIOS
01) Um atirador deveria receber 4 reais por tiro acertado no
alvo e pagar a metade cada vez que errasse. Depois de 32
tiros, recebeu 86 reais. Quantos tiros acertou?
02) Um taxista trocou uma nota de 50 reais por notas de 2
reais e 5 reais num total de 19 notas. Quantas notas de
cada valor o taxista recebeu?
03) Em um estacionamento para veículos apreendidos há 30
veículos entre motos e carros. Sendo o total de rodas igual a
82, quantos são os veículos de cada tipo?
04) O Sr. Pedrão é dono de uma pequena fazenda, a qual é
administrada pelo filho dele, Pedro. Pedro gosta de fazer
algumas brincadeiras com o pai. No fim do mês, Pedro
sempre deve dar um relatório do andamento da fazenda. O
relatório deste mês foi o seguinte: “Entre porcos e galinhas
consegui contar 1000 patas e 300 cabeças”. Quantos
porcos e quantas galinhas há exatamente na fazenda do Sr.
Pedrão?
2010
Os lados dos quadrados serão paralelos às laterais do muro
e as distâncias entre os quadrados e entre cada quadrado e
a borda do muro serão todas iguais. Nessas condições, a
medida do lado de cada quadrado, em metros, será:
09) Uma fábrica de doces vende caixas com 50 unidades de
bombons recheados com dois sabores, morango e
caramelo. O custo de produção dos bombons de morango é
de 10 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de
caramelo é de 20 centavos por unidade. Os demais custos
de produção são desprezíveis. Sabe-se que cada caixa é
vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda fornece um
lucro de 20% sobre o custo de produção de cada bombom.
O número de bombons de cada sabor contidos em uma
caixa é igual a:
10) Pafúncio, Estrupício e Emingarda foram a uma
lanchonete. Pafúncio comeu 3 pastéis e tomou dois sucos,
pagando R$9,00 pelo lanche; Estrupício comeu 2 pastéis e
tomou um refrigerante, pagando R$6,00 pelo lanche;
Emingarda comeu um pastel e tomou dois sucos, pagando
R$5,00 pelo lanche. Sabendo que todos pagaram os valores
certos de cada item, então podemos afirmar que um pastel e
um suco custam o mesmo que dois refrigerantes.
11) Emingarda será madrinha de casamento de sua irmã e
pretende presenteá-la com artigos de cozinha. Na primeira
loja por ela visitada, o preço de um conjunto que tem 3
panelas, 2 frigideiras e 1 leiteira é de R$ 169,00; na segunda
loja visitada, o preço de um conjunto composto por 4
panelas, 1 frigideira e 1 leiteira é de R$ 179,00; na terceira
loja visitada o preço de um conjunto com 3 panelas, 1
frigideira e 1 leiteira é de R$ 144,00. Se o preço de cada
panela, da frigideira e da leiteira é o mesmo em todas as
lojas por ela visitada, então pode-se afirmar que o preço de
um conjunto composto por 4 panelas, 2 frigideiras e 1 leiteira
é igual a:
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
5
MATEMÁTICA
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12) Pedrão entrou numa lanchonete e pediu 3
hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$
21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8
hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$
57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o
de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$
10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
13) Uma herança de R$ 270.000,00 foi distribuída entre 3
irmãs, de modo que a filha do meio recebeu metade do que
recebeu a filha mais nova e a mais velha recebeu o
equivalente à metade do que receberam juntas a mais nova
e a do meio. Em reais, a filha mais velha recebeu:
14) Uma conta no valor de R$ 195,00 foi paga com cédulas
de dois, cinco, dez e de vinte reais, totalizando 30 cédulas.
Juntando-se as cédulas de cinco com as de dez reais
usadas no pagamento, obteve-se um total de dez cédulas, e
a quantidade das cédulas de vinte reais usadas foi de um
terço do número de cédulas de dois reais. A quantidade de
cédulas de cinco reais usadas para o pagamento da conta
foi de:
15) Um comerciante de uma cidade do interior do Brasil
utiliza balança de braços. Para pesar um objeto, ele coloca
em um dos braços o objeto e, no outro, pesos de medidas
padrão, até que os dois braços da balança fiquem alinhados.
Para realizar suas pesagens, o comerciante dispõe de
diversos pesos de três medidas padrão, conforme a forma
geométrica do peso, a saber: piramidal, cúbica e cilíndrica.
Para pesar um produto de 6,5 kg, ele usa três pesos, um de
cada forma. Para pesar 11 kg, ele usa dois pesos em forma
piramidal e um de forma cúbica. Para pesar 1,5kg, ele usa
um peso com forma cúbica e outro cilíndrico. A menor
quantidade de pesos que o comerciante usa para pesar um
objeto de 16,5kg é:
16) Um número é formado por três algarismos cuja a soma é
19. O algarismo das dezenas é a metade do algarismo das
unidades, e o algarismo das centenas é o antecessor do
algarismo das unidades. Esse número é:
17) Um pai quer dividir uma quantia de R$5.000.000,00
entre seus três filhos de modo que Gilberto, Flávio e Kátia
recebam seu dinheiro de maneira proporcional a suas
idades. Assim, feita a divisão, a grana de Gilberto excede a
de Flávio em R$500.000,00, e a grana deste excede a
metade da grana da Kátia em R$700.000,00. Qual a quantia
respectivamente de Flávio, Gilberto e Kátia?
18) A soma de 3 algarismos de um número é 16. O da
centena excede de 4 o da dezena e este excede de 3 o da
unidade. Qual é este número?
19) Pedro recebeu a quantia de R$ 2.700,00, em cédulas de
R$ 10,00, de R$ 20,00 e de R$ 50,00. Sabendo que a
quantidade de cédulas de R$ 20,00 é 20 vezes a de cédulas
de R$ 10,00, então o número de cédulas de R$ 50,00 que
Pedro recebeu foi:
20) Uma grande loja de decoração vende caixas contendo
bolas de cristal de diversas cores e de três tamanhos
diferentes. No quadro são apresentados o conteúdo e o
preço de cada caixa.
O preço, em reais, de cada bola pequena, média e grande é,
respectivamente,
GABARITO – SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
01) 25 02) 4 de R$5,00 e 15 de R$2,00
03)19motos,11carros 04)200porcos,100galinhas
05) 225km de carro e 325km de moto
06) 50 do tipo A e 30 do tipo B
07) 32 de laranja e 30 de uva
08) 0,6m 09) 10 de caramelo e 40 de morango
10) Falso
11) R$204,00
12)hambúrguer R$4,00;cocada R$3,50;suco R$2,50
13) R$ 90.000,00
14) 7
15) 5
16) 748
17) R$1475000,00, R$1975000,00 e R$1550000,00
18) 952
19) 13
20) 20, 25 e 35
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Uma equação na variável x é dita do 2º grau quando se
apresenta na forma:
ax2 + bx + c = 0
Sendo a, b e c reais e a ≠ 0.
A resolução de uma equação do 2º grau pode ser feita
utilizando a fórmula de Bháskara:
x=
−b± ∆
2a
→
∆ = b 2 − 4ac
Alguns casos particulares de resolução ocorrem quando
b = 0 e/ou c = 0.
Um método bastante utilizado é o de soma e produto.
Uma equação do 2º grau pode ser escrita, em função da
soma e do produto de suas raízes, da seguinte forma:
2
1x – Sx + P = 0
Onde:
b

S = x 1 + x 2 = − a

P = x ⋅ x = c
1
2

a
EXERCÍCIOS
2
01) 2x – 5x + 2 = 0
2
02) 2x – 6x = 0
03) 2x2 – 18 = 0
2
04) 3x = 0
2
05) x – 7x + 12 = 0
6
2010
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MATEMÁTICA
INSS + MPU
PROF PEDRÃO
2
x
=
5
−
4
igualdade
1
x
06) A soma dos possíveis valores de x que verificam a
−
É uma divisão:
é:
07) Um homem que viveu no século XIII diz a seguinte frase
4
2
para seu filho: “no ano x , eu terei x anos e você terá x
anos”. Conclui-se, portanto, que o seu filho nasceu no ano
de:
a) 1224
b) 1230
c) 1290
d) 1260
e) 1296
08) Considere um número cujo quadrado menos seus dois
terços resulta 7. Há dois números que obedecem a essas
condições. Quais são esses números?
09) A soma e o produto das idades em anos de dois amigos
valem, respectivamente, 40 e 396. A idade em anos do mais
jovem é:
10) Numa reunião, o número de mulheres presentes excede
o número de homens em 20 unidades. Se o produto do
número de mulheres pelo de homens é 156, o total de
pessoas presentes nessa reunião é
11) Um retângulo, cujos lados são dados pelas expressões:
(x+3) e (x-5), tem a mesma área que o quadrado de lado
3cm. O valor de x é igual a:
12) Uma torneira deixa cair x gotas de água a cada 20
segundos. Sabendo-se que esse número x corresponde à
raiz positiva da equação
x( x – 2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por hora,
supondo que cada gota corresponde a 0,4ml, é:
13) Marta vai se casar e N amigas suas resolveram
comprar-lhe um presente no valor de R$ 300,00, cada uma
delas contribuindo com a quantia de X reais. Na hora da
compra, entretanto, uma delas desistiu de participar e as
outras tiveram, cada uma, um acréscimo de R$ 15,00 na
quota inicialmente prevista. Assim, a quantia X é igual a:
14) As x pessoas de um grupo deveriam contribuir com
quantias iguais a fim de arrecadar R$ 15 000,00, entretanto
10 delas deixariam de fazê-lo, ocasionando, para as demais,
um acréscimo de R$ 50,00 nas respectivas contribuições.
Então x vale:
15) Todos os funcionários de uma empresa irão contribuir
igualmente para fazer um bolão da Mega Sena, cujo valor é
R$2700,00. Na hora de recolher o dinheiro para fazer o
bolão, dois funcionários da empresa desistiram de participar
e, com isso, a cota que cada participante deveria pagar
sofreu um aumento de R$8,00, para manter o valor total do
bolão. Dessa forma, calcule o número total de funcionários
dessa empresa.
GABARITO – EQUAÇÕES DO 2º GRAU
01) x1 = 1/2 x2 = 2
02) x1 = 0 x2 = 3
03) x1 = – 3 x2 = 3
04) x1 = x2 = 0
05) x1 = 3 x2 = 4
06) 03
07) c
08) x1 = – 7/3 x2 = 3
09) 18
10) 32 11) 06
504ml
13) R$ 60,00 14) 60 15) 27
2010
RAZÃO
12)
a
b
PROPORÇÃO
É a igualdade entre razões:
a c
=
b d
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Têm “o mesmo sentido” de variação – quando uma
aumenta, a outra também aumenta ou quando uma diminui,
a outra também diminui.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Têm “sentidos contrários” de variação – quando uma
aumenta, a outra diminui ou quando uma diminui a outra
aumenta.
EXERCÍCIOS
01) Uma operadora de telefone celular cobra uma tarifa de
R$ 0,40 por minuto de ligação e uma de telefone fixo, R$
0,16 pelo pulso de 4 minutos. Comparando-se os dois
valores, conclui- se que a razão entre a tarifa do celular e a
do fixo é:
02) Antônio aplicou a quantia de R$ 800,00 e Carolina
aplicou a quantia de R$ 400,00. Essas duas aplicações,
feitas em uma mesma instituição financeira, renderam
juntas, após certo período, R$ 600,00. Nessas condições, a
aplicação de Antônio e a de Carolina renderam,
respectivamente:
03) Cecília presenteou seus netos, André de 8 anos e Sofia
de 6 anos, com a quantia de R$420,00 dividida em partes
proporcionais a suas idades. A quantia recebida por Sofia,
em reais, foi:
04) Uma herança de R$ 40.000,00 será dividida entre três
irmãos A, B e C, em partes proporcionais às suas idades 5,
8 e 12, respectivamente. A quantia que B irá receber é
05) Três sócios A, B e C montaram um negócio, sendo que
A investiu R$ 8.000,00, B investiu R$ 6.000,00 e C investiu
R$ 4.000,00. Eles combinaram que o lucro obtido seria
dividido proporcionalmente aos capitais investidos. Após
algum tempo, verificou-se um lucro de R$ 7.200,00, a ser
distribuído. Pode-se afirmar que os valores a serem
atribuídos a A, B e C são, respectivamente:
06) Dividindo 264 em três partes inversamente proporcionais
a 2, 5 e 8, encontramos três números cuja soma dos dois
maiores é igual a S. Calcule S.
07) Para o transporte de valores de certa empresa são
usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4
toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão
entre as capacidades de A e B, nessa ordem e em
porcentagem, equivale a:
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7
MATEMÁTICA
INSS + MPU
Três amigos decidiram constituir uma empresa, em
sociedade, para a prestação de serviços técnicos nas
áreas de contabilidade, informática e telefonia. O
contador contribuiu com R$ 2.000,00, o técnico em
informática, com R$ 3.000,00 e o técnico em telefonia,
com R$ 4.000,00. Ao final de um ano de serviços, a
empresa obteve um lucro de R$ 5.400,00 para ser
dividido em partes proporcionais aos valores
empenhados por cada sócio. Com base nessas
informações, julgue os itens seguintes.
08) O técnico em telefonia deve receber mais de 40% do
lucro.
09) O técnico em informática deve receber uma quantia
inferior a R$ 1.840,00.
10) Marcos e Pedro receberam no início de abril mesadas
de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 4/5
de sua mesada e Pedro, 5/6 da sua. Sabendo que Marcos
ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro, o valor da mesada
recebida por cada um deles é:
11) Um chefe de seção dispõe de R$372,00 para serem
distribuídos como prêmio a 3 funcionários, A, B e C. Os
valores que eles receberão são inversamente proporcionais
aos números de faltas desses funcionários durante o último
semestre, que foram, respectivamente, 2, 3 e 5. Considere
as seguintes afirmativas a respeito das quantias que eles
receberão.
I. Dentre os três, o funcionário C receberá a menor quantia.
II. O funcionário B receberá R$ 120,00.
III. O funcionário C receberá a metade do que receberá o
funcionário A.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Nenhuma das afirmativas é verdadeira.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
12) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem,
estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do
salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a
R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários
dos dois?
13) Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma
torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em
quantas horas as duas torneiras juntas encherão o tanque?
14) Um determinado serviço é realizado por uma única
máquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em
15 horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições.
Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo,
aproximadamente, realizarão esse mesmo serviço?
15) Paulo e André receberam juntos R$88.000,00. Enquanto
Paulo aplicou 3/5 do que recebeu em ações, André investiu
2/3 de sua parte na montagem de uma pequena empresa.
Após essas duas operações, ambos ficaram com quantias
iguais. Com base nessas informações, é correto afirmar que
o valor investido por André, em reais, é igual a:
8
2010
PROF PEDRÃO
GABARITO – RAZÃO E PROPORÇÃO
01) 10 02) R$400,00 e R$200,00 03) 180
04)R$12.800,00
05) R$3.200,00; R$2.400,00;
R$1.600,00 06) S = 160 + 64 = 224 07) 7,5%
08)V 09)V 10) R$300,00 11) a 12) R$400,00
13) 6h 14) 6 h e 40 min 15) R$32.000,00
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Quando há apenas duas “situações” envolvidas. Pode ser
diretamente ou inversamente proporcional.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Quando há mais que duas “situações” envolvidas. Pode
ser diretamente ou inversamente proporcional, inclusive
misturando as situações em uma mesma questão.
EXERCÍCIOS
01) Em uma pesquisa sobre o analfabetismo em
matemática, foram entrevistadas 2000 pessoas, amostra
que representa 110 milhões de brasileiros entre 15 e 64
anos de idade. Dentre os entrevistados, 60 foram
considerados analfabetos absolutos em matemática. Com
base nas informações do texto acima, calcule o número
estimado de brasileiros entre 15 e 64 anos, analfabetos
absolutos em matemática.
02) De acordo com reportagem da revista Veja (20 de junho
de 2007, p. 88-90), um dos grandes sonhos da classe média
brasileira que começa a vida economicamente ativa é
passar em um concurso público. A proporção de
funcionários públicos entre os trabalhadores “formais” no
Brasil passou de 17%, na década de 80, para 22%,
atualmente. Segundo dados do IBGE, o Estado brasileiro
emprega hoje aproximadamente 9 milhões de cidadãos. De
acordo com esses dados, calcule a quantidade aproximada
de trabalhadores na iniciativa privada atualmente.
03) Um feirante vende uma dúzia de laranjas por R$1,50. Se
um cliente comprar 20 laranjas, quanto ele irá pagar ao
feirante?
04) Se, em uma fábrica de automóveis, 12 robôs idênticos
fazem uma montagem em 21 horas, em quantas horas 9
desses robôs realizam a mesma tarefa?
05) Um festival foi realizado num campo de 240m por 45m.
2
Sabendo que para cada 2 m havia, em média, 7 pessoas,
quantas pessoas havia no festival?
06) Em 2006, segundo notícias veiculadas na imprensa, a
dívida interna brasileira superou um trilhão de reais. Em
notas de R$ 50,00, um trilhão de reais tem massa de 20.000
toneladas. Com base nessas informações, pode–se afirmar
corretamente que a quantidade de notas de R$ 50,00
necessárias para pagar um carro de R$ 24.000,00 tem
massa, em quilogramas, de:
07) Se o vazamento de uma torneira enche um copo de
200ml de água a cada hora, é correto afirmar que, para se
3
desperdiçar 3m de água, são necessários
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
MATEMÁTICA
INSS + MPU
08) O nanômetro é a unidade de medida de comprimento
usada em Nanotecnologia (“nano” vem do grego e significa
“anão”). Sabe-se que um metro equivale a um bilhão de
nanômetros. Considerando o diâmetro da Terra com 13.000
quilômetros, conclui-se que a medida do diâmetro da terra,
em nanômetro, é igual a:
07) 625 dias
10) 72 s
13) 5 kg
16) 120 km/h
19) 30 queijos
PROF PEDRÃO
16
08) 1,3 x 10
11) 5/4
14) 40
17) 27
20) 175 páginas
09) 50km/h
12) 32 s
15) 20
18) 7,5dias
09) Com a velocidade média de 75Km/h, um ônibus faz um
percurso em 40 min. Devido a um pequeno
congestionamento, esse ônibus faz o percurso de volta em
1h. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de
volta?
10) Um relógio atrasa 27 s em 72 h. Quantos segundos
atrasará em 8 dias?
11) 30 metros de um trabalho são feitos por 3/4 de uma
turma de trabalhadores. 50 metros, do mesmo trabalho, por
quanto da turma será feito.
12) Ao participar de um treino em um kartódromo,o piloto,
imprimindo velocidade média de 80 km/h, completa a volta
na pista em 40 s. Se a sua velocidade fosse de 100 km/h,
qual o tempo que ele teria no percurso?
13) Uma família composta de 6 pessoas ,consome em 2
dias 3Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para
alimentar-las durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
14) Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia
assentaram 255 postes de luz em 17 dias, quantos
operários, com a mesma habilidade dos primeiros, serão
precisos para assentar 420 postes em 25 dias de 7 horas de
trabalho?
15) Em 30 dias, uma frota de 10 táxis consome em média
100 000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de
36 táxis consumirá em média 240 000 litros desse mesmo
combustível?
16) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada em 4 horas,
à velocidade média de 75 km/h. Para percorrer o restante
dessa estrada em 1 hora e 30 minutos, sua velocidade
média deverá ser:
17) Para escaparem de uma penitenciária, 10 prisioneiros
decidem cavar um túnel de 450m de comprimento. Em uma
fuga anterior, 12 prisioneiros cavaram um túnel de 270m,
trabalhando 6 horas por noite, durante 9 noites. Se os atuais
prisioneiros pretendem trabalhar 4 horas por noite, em
quantas noites o túnel ficará pronto?
18) Se 6 pessoas, trabalhando 4 horas por dia, realizam um
trabalho em 15 dias, 8 pessoas, trabalhando 6 horas por dia,
farão o mesmo trabalho em:
19) Um fabricante de queijo gasta 60 litros de leite para fazer
18 queijos de 2,5kg cada um. Quantos queijos de 2kg ele
faz com 80 litros de leite?
20) Ao reimprimir um livro de 100 páginas de 32 linhas com
42 letras por linha, usaram-se 24 linhas de 32 letras. O novo
livro foi apresentado com:
GABARITO – REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
01) 3300000
04) 28 horas
2010
02) 31,9 milhões
05) 37.800
03) R$2,50
06) 0,48
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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