Tempo de relaxação - professor Daniel Orquiza de Carvalho

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EletromagnetismoI
EletromagnetismoI
Prof.DanielOrquizadeCarvalho
SJBV
Eletromagnetismo I - Eletrostática
Condutividade Elétrica e Lei de Ohm na Forma Pontual
(Capítulo 4 – Páginas 114 a 118)
• 
Lei de Ohm na forma Pontual vs. Macroscópica
• 
Tempo de Relaxação
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Condutividade
•  Se aplicarmos uma diferença de potencial nos terminais de um fio condutor, a força
!
E
!
F
exercida sobre os elétrons livres dentro do condutor é:
!
!
F = −eE
_
carga do elétron = 1,602x10-19C
V
•  Devido às colisões com os átomos do condutor, os elétrons não são acelerados
continuamente.
•  Os elétrons atingem uma velocidade constante (velocidade de deriva, vd):
!
!
vd = −µe E
•  A mobilidade do elétron (µe) é um parâmetro que depende do material e tem unidades
de m2V-1s-1.
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Condutividade
•  A densidade de corrente J é dada pela densidade volumétrica de cargas livres
!
E
multiplicada pela velocidade das cargas livres.
!
!
J = − ρeµ e E
!
vd
_
Densidade vol. de elétrons livres
V
•  Em semicondutores, as lacunas também contribuem para a densidade de corrente.
•  Se em um dado semicondutor, a densidade de lacunas for ρh, a densidade de corrente
é dada por:
!
!
!
J = −ρeµe E + ρh µ h E •  Note que a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico.
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Condutividade
•  Lei de Ohm na forma pontual: a densidade de corrente em um ponto é
proporcional ao campo elétrico naquele ponto. A condutividade do material é a
constante de proporcionalidade.
!
!
J =σE
!
J
!
E
_
_
_
•  A condutividade pode ser expressada em termos da mobilidade. No caso dos
condutores a mobilidade dos elétrons é usada.
σ = − ρeµ e
•  No caso de materiais semicondutores, a mobilidade das lacunas também tem que ser
levada em conta.
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σ = − ρeµ e + ρh µ h
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Lei de Ohm: Forma Pontual vs. Forma Macroscópica
•  Já conhecemos a forma pontual da Lei de Ohm e agora podemos relaciona-la com a
forma macroscópica, que conhecemos de circuitos elétricos:
B
V
R=
I
!
LAB
A
I
S
VAB
•  Para um condutor com seção transversal de área ‘S’, a relação entre a corrente e a
densidade de corrente é:
I=
∫
S
! !
!
J ⋅ dS = E σ S
•  A diferença de potencial aplicada no condutor pode ser relacionada ao campo elétrico.
! ! ! !
!
VAB = − ∫ E ⋅ dl =E ⋅ LAB = E L
A
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B
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Lei de Ohm: Forma Pontual vs. Forma Macroscópica
•  Substituindo as duas últimas expressões na Lei de Ohm (macroscópica), chegamos
na equação que relaciona a resistência elétrica com a condutividade.
1L
R=
σ S
B
A
I
S
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!
LAB
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VAB
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Tempo de relaxação
•  Pergunta: O que acontece se, de alguma forma, ‘inserirmos’ uma quantidade de
cargas no interior de um dado meio material?
•  Se as cargas tiverem o mesmo sinal as cargas se
repelem.
•  As cargas vão se concentrar na superfície do
material.
•  Tempo de relaxação é tempo que uma carga no interior de um material leva para
decair a e-1 (36,8%) de seu valor inicial.
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Tempo de relaxação
•  Podemos encontrar a equação que descreve a evolução da quantidade de carga
dentro do material ao longo do tempo.
•  Para materiais homogêneos a Lei de Gauss pode ser expressa em termos de E.
!
∇ ⋅ D = ρv
! ρv
∇⋅E =
ε
•  A equação da continuidade de carga também pode ser expressa em termos de E
!
!
através da lei de Ohm na forma pontual ( J = σ E ).
!
!
∂ρv
∂ρv
σ
∇
⋅
E
=
−
∇⋅ J = −
∂t
!
∂t
•  Substituindo
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∇⋅E
obtido da L.G. na equação acima:
1 ∂ρv
σ
=−
ρv ∂t
ε
ρ
∂ρ
σ v =− v
ε
∂t
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Tempo de relaxação
•  A solução da Eq. Diferencial acima é:
ρv = ρv0 e
−t
τ
•  A densidade volumétrica no ponto cai exponencialmente com o tempo.
•  O tempo de de relaxação τ é dado por:
τ=
ε
σ
•  Qual é o tempo de relaxação para o cobre (σ = 5,8x107 S/m, ε = ε0)?
τ = 1,53x10-19 s
•  Qual é o tempo de relaxação para o quartzo (σ = 1x10-17 S/m, ε = 5ε0)?
τ = 4,43x106 s (51 dias)
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