geometria métrica

GEOMETRIA MÉTRICA
1- I- PRISMA
1- ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO
Considere o prisma:
As bases são polígonos congruentes.
Os prismas são designados de acordo com o número de lados dos polígonos das bases.
BASES
triângulos
quadriláteros
pentágonos
hexágonos
e assim por diante
PRISMA
triangular
quadrangular
pentagonal
hexagonal
Se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, o prisma é dito reto.
Se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases, o prisma é dito oblíquo.
O prisma será regular quando for reto e sua base for um polígono regular.
2- ÁREAS E VOLUMES
A
Superfície lateral
base
2.1- ÁREA
a) Área de uma face lateral
É a área de uma das faces laterais que constituem o prisma.
b) Área lateral
Adicionando todas as áreas das faces laterais, encontramos a área lateral A l do prisma:
Al = n . A
n = nº de faces laterais
c) Área da base
É a área Ab da base do prisma.
d) Área total
É a soma At de todas as áreas das faces do prisma:
At = Al + 2Ab
2.2- VOLUME
O volume V de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura h:
V = Ab . h
3- PARALELEPÍPEDO
Denomina-se paralelepípedo o prisma no qual as seis faces são paralelogramos.
oblíquo
reto
3.1- Paralelepípedo retângulo ou ortoedro
a = comprimento
b = largura
c = altura
d = diagonal
Diagonal
Área total
Volume
D= a b c
At = 2(ab + ac + bc)
V = abc
2
2
2
4- CUBO
Quando as três dimensões são iguais, ou seja
a = b = c, o paralelepípedo é denominado cubo.
D=a 3
At = 6a2
V = a3
II- PIRÂMIDE
1- Classificação e elementos
Uma pirâmide é dita regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice coincide
com o centro da base.
As pirâmide são classificadas de acordo com o número de lados dos polígonos da base:
BASE
triângulo
quadrilátero
pentágono
hexágono
e assim por diante
PIRÂMIDE
triangular
quadrangular
pentagonal
hexagonal
Numa pirâmide regular, convém destacar:
1º) 0 polígono da base é regular, de lado l, e, portanto, inscritível numa circunferência de raio OA = R, chamado
raio da base.
2º) 0 ap6tema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua medida será indicada por m.
3º) As arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por a.
4º) As faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
5º) A altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles) é chamada apótema da
pirâmide e sua medida será indicada por g.
2- Áreas e volumes
At = Al + Ab
V=
1
.Ab . h
3
3- TETRAEDRO
- É o sólido que possui, no total, quatro faces. O tetraedro é, pois, uma pirâmide de base triangular.
Quando todas as faces do tetraedro são triângulos eqüiláteros, ele se diz regular.
Apótema lateral
Altura
Área da base
Área total
Volume
g= a 3
2
h
a 6
3
a2 3
4
2
At  a 3
Ab 
V
a3 2
12
4- Tronco de pirâmide
III- CILINDROS
1- Classificação e elementos
- Um cilindro pode ser classificado em:
 Cilindro oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases. Nesse caso, a secção meridiana é um paralelogramo.
 Cilindro reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Nesse caso, a secção meridiana é um retângulo.
Num cilindro reto, a geratriz e a altura são iguais(g = h).
Se a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base, ou seja, h = 2R, então a secção meridiana é um quadrado e o
cilindro é chamado cilindro eqüilátero.
2- Áreas e Volumes
IV- CONE
1- Classificação e Elementos
Um cone pode ser classificado em:

Cone oblíquo: quando o eixo é oblíquo à base.

Cone reto: quando o eixo é perpendicular à base.
 Cone eqüilátero: quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero, ou seja, g = 2r.
2- Áreas e Volumes
3- Setor Circular

Comprimento do arco de circunferência
 em graus  l =  .R.
 em radianos  l =  . R
180 º

Área do setor circular
Asetor = l .R
2
4- TRONCO DE CONE
V- ESFERA
É o conjunto de todos os pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R.
O conjnto de todos os pontos P do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a R é denominada superfície
esférica de centro O e raio R.
1- FUSO ESFÉRICO
É a parte da superfície esférica compreendida entre dois semicírculos máximos com o mesmo diâmetro.
Afuso = 2R2
Afuso =
R 2
90º
2- CUNHA ESFÉRICA
É o sólido limitado por dois semicírculos e pela superfície do fuso.
3
Vcunha = 2 R 
3
Vcunha =
R 3
270º
VI- POLIEDROS
Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum.geométrico
Ex:
Os polígonos são denominados faces do poliedro.
Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro.
1- Poliedros Convexos e não-convexos
Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une dois quaisquer de seus pontos está
contido no poliedro. Em caso contrário, é não-convexo.
2- Relação de Euler
Em todo poliedro convexo, vale a relação:
V = número de vértices
VA+F=2
A = número de arestas
F = número de faces
3- Propriedade dos poliedros convexos
Num poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é dada por:
S = (V – 2) 360º
4- Poliedros regulares ou poliedros de Platão
Um poliedro convexo é dito regular quando as suas faces são polígonos regulares e congruentes, e todos os
6angulos poliédricos são congruentes.
Há somente cinco poliedros regulares, que são:
Poliedro
Face
V
A
F
Tetraedro
Triangular
4
6
4
Hexaedro
Quadrangular
8
12
6
Octaedro
Triangular
6
12
8
Dodecaedro
Pentagonal
20
30
12
Icosaedro
Triangular
12
30
20
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro