Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014 www.labem.uff.br Resolução de equações exponenciais: análise do método usado por Perez y Marin, um professor do início do século XX Adriana de Bortoli* FATEC(LINS) Juliel Bronzati Dourado** FATEC(LINS) Resumo Este texto aborda um procedimento de resolução de Equações Exponenciais por meio de frações contínuas utilizado por um professor do início do século XX e que é diferente daqueles que usualmente são considerados no Ensino de Matemática na Educação Básica. Partimos do pressuposto que conhecimento de elementos históricos sobre o ensino da matemática torna-se de grande valor para um aprimoramento, reflexão e diversificação das ferramentas de ensino e aprendizagem, assim como para uma notável capacitação em encontrar com mais facilidade a solução de questões que encerram, em suas resoluções, necessidade de raciocínio muitas vezes bastante similar a processos utilizados somente no passado. Sendo assim, propomos a descrição da resolução de equações exponenciais por um método encontrado em uma publicação do início do século XX, Elementos de Algebra, de André Perez y Marin, publicado em 1909. Esse método difere dos atuais de resolução de equações exponenciais de bases diferentes e não recorre aos logaritmos. A resolução é pautada principalmente em aproximações, o que fomenta nos alunos o desenvolvimento da capacidade de estimativas e inferências. Introdução A utilização de frações contínuas e suas reduzidas para resolver equações exponenciais realmente é uma herança matemática perdida que não fica como necessidade de ser usada nos dias de hoje. Entretanto, revela a natureza rica e admirável de procedimento em matemática em uma época em que, não havendo máquinas calculadoras ou similares como atualmente são de fácil acesso, o ensino era dirigido de modo que concedia aos alunos uma visão e um entendimento bastante profundo acerca dos processos numéricos, o que resultava em melhores condições para se resolver problemas de várias espécies que envolviam o estudo de relações entre entidades definidas abstrata e logicamente. O entendimento de elementos históricos que fazem parte de uma ciência rica e em perpétuo desenvolvimento, como é a matemática, torna-se de grande valor para uma otimização, expansão e diversificação das ferramentas de ensino e aprendizagem, assim como para uma notável capacitação em encontrar com mais facilidade a solução de questões que encerram, em suas resoluções, necessidade de raciocínio muitas vezes bastante similar a processos utilizados somente no passado. Sem essa busca por compreender as matizes da evolução de uma ciência que evidenciam as transformações ao longo do tempo, não é possível também contar com uma base suficientemente sólida para propor novos métodos e conceitos para contribuir, mesmo que de forma pequena, com o desenvolvimento do conjunto de conhecimentos em questão. [email protected] ** [email protected] * 26 Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014 www.labem.uff.br O presente estudo é um resgate histórico que também possui o objetivo de mostrar que mesmo métodos que não tenham utilidade prática no momento, por estarem obsoletos, possuem grande valor para uma inserção do assunto de uma maneira diferenciada e, desse modo, fazer com que o estudante enxergue os porquês que ficam por vezes encobertos pelas facilidades oferecidas em nossa faixa cronológica presente. Deste ponto de vista, é possível encontrar vários outros elementos que também terão como efeito um alargamento da compreensão geral da matemática. Além disso, também queremos chamar a atenção para o risco de saberes escolares matemáticos serem destituídos à medida que suas utilizações práticas vão sendo substituídas por outros meios, que envolvem muitas vezes o uso de máquinas calculadoras ou outros dispositivos eletrônicos. Dessa maneira, propomos uma leitura sobre uma técnica de se usar frações contínuas e suas reduzidas na solução de equações exponenciais apresentada por Pérez y Marin no começo do século XX. Insta salientar, que André Perez y Marin foi um professor espanhol que lecionou em um importante estabelecimento de ensino no município de Campinas Colégio Culto à Ciência1, de 1901 a 1928. Abaixo segue uma foto do referido autor. Figura 1- André Perez y Marin (1858- 1928) Fonte: http://www.cultoaciencia.net/pag_mestres.htm Nesse colégio, Perez y Marin lecionou de 1901 até o seu falecimento em 1928. Ingressou na cadeira de Aritmética e Álgebra, mediante concurso público, mas em 1910, assumiu a regência interina da 11ª cadeira de Mecânica e Astronomia. Em 1926, requereu sua transferência para a mesma e como não foi atendido em sua solicitação, submeteu-se aos 68 anos de idade ao concurso da referida cadeira sendo aprovado em primeiro lugar. Sua nomeação como efetivo se deu em 02 de dezembro de 1926. Durante o período em que lecionou no colégio ele teve uma produção de dez títulos, sendo que oito são de sua autoria e dois foram escritos em parceria com Carlos Francisco de Paula, que 1 No momento em que esse professor ingressou nesse Colégio em 1901, este era chamado de Ginásio do Estado. Usaremos “Colégio Culto à Ciência” no texto mesmo se tratando desse período para melhor identificação do mesmo. 27 Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014 www.labem.uff.br também era professor do Colégio Culto à Ciência. Suas obras são: Elementos de Álgebra, Lições de Algebra, Soluções Algebricas, Arithmética Teórico-Prática, Lições de Aritmética 1ª Parte, Lições de Aritmética 2ª Parte, Soluções Arithméticas, Lições de Mecanica e Astronomia e as escritas em colaboração com Carlos Francisco de Paula são: Elementos de Trigonometria Rectilínea e Elementos de Geometria. Resolvendo Equações Exponenciais por meio de Frações Contínuas Ao analisar o assunto Equações Exponenciais na obra Elementos de Algebra de André Perez y Marin de 1909 percebe-se o uso de textos contendo a definição do elemento matemático abordado, suas propriedades e demonstrações detalhadas de um ou mais métodos para sua resolução. No capítulo em que o autor trata de tal assunto, após apresentada a definição e classificação, é admitido o quão é evidente a resolução de uma equação 𝑎 𝑥 = 𝑏, sendo 𝑏 uma potência perfeita de 𝑎, e assim é dado um exemplo de resolução de uma equação em que 𝑏 não é potencia perfeita de 𝑎. E, ao contrário do que a maioria dos livros didáticos atuais apresenta, como “Fundamentos de Matemática Elementar” de Iezzi, Dolce e Murakami, apenas aplicando logaritmos à solução, isto é, (𝑎 𝑥 = 𝑏)=(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑥), aqui também é explanado todo um sistema de resolução pelo qual é possível se obter soluções aproximadas. Ao observar a resolução da equação exponencial 2x = 12 sem recorrer a logaritmos, apresentada por Pérez y Marin, nota-se o quão interessante é o processo. Fica nítida nas etapas para se chegar a um valor aproximado de x, a existência de vários conceitos algébricos e aritméticos aplicados. É notável que dessa maneira o aluno adquire uma boa noção de aproximação, isto é, não é possível determinar um valor, porém existem meios para valores que estão bastante perto do qual é desejado. Continuando a explicação de Pérez y Marin, a primeira etapa consiste em considerar que, 1 3 se 2 = 8 e 24 = 16, então x está entre 3 e 4, e pode ser escrito como 3 XI , utilizando o conceito de números compostos. Então segue o seguinte: Atribuindo-se este valor de 𝑥 na equação temos 1 𝐼 )3 𝑥 (2 )3 = 12 ⇒ (2 × 1 (2)𝑥 𝐼 = 12 ⇒ 1 (2)𝑥 𝐼 𝐼 12 3 𝑥 = ⇒ ( ) =2 8 2 Novamente, o valor de 𝑥 I está entre 1 e 2, logo 1 𝑥 𝐼 = 1𝑥 𝐼𝐼 1 1𝑥𝐼𝐼 3 ( ) 2 1 1 3 3 𝑥 𝐼𝐼 3 𝑥 𝐼𝐼 2 4 𝑥𝐼𝐼 3 = 2 ⇒ × ( ) = 2 ⇒ ( ) = 2. ⇒ ( ) = 2 2 2 3 3 2 Uma vez mais, o valor de 𝑥 𝐼𝐼 está entre 1 e 2, logo 28 Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014 www.labem.uff.br 𝑥 𝐼𝐼 = 1 1 1 𝑥 𝐼𝐼𝐼 1 1 4 1𝑥 𝐼𝐼𝐼 3 4 1 4 𝑥 𝐼𝐼𝐼 3 4 𝑥 𝐼𝐼𝐼 3 3 9 9 𝑥 ( ) = ⇒ ( ) ×( ) = ⇒ ( ) = . = ⇒ ( ) 3 2 3 3 2 3 2 4 8 8 1 𝐼𝐼𝐼 = 4 3 1 Repetindo o processo teremos: 𝑥 𝐼𝐼𝐼 = 2 𝑥 𝐼𝑉; 𝑥 𝐼𝑉 = 2 𝑥 𝑉 e assim por diante. 1 1 𝑥 𝑥 𝐼𝐼 Dessa maneira, x = 3 𝐼, 𝑥 𝐼 = 1 , 𝑥 𝐼𝐼 = 1 1 𝑥 𝐼𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼𝐼 = 2 1 𝑥 𝐼𝑉 , 𝑥 𝐼𝑉 = 2 1 𝑥𝑉 Agora se substitui 𝑥 𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝑉 pelos seus respectivos valores 𝑥=3 1 1 1 1 1 1 2 2 E então calcula-se a quinta reduzida 𝑥=3 1 1 1 1 1 1 1 =3 =3 =3 =3 =3 =3 =3 7 1 1 1 1 1 1 1 × + 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7 1 1 5 5 1 1 1 2×2+1 1 1× +1 7 2 5 5 2 22 5 5 5 2 2 2 2 12 43 3× +1 1 𝟒𝟑 7 =3 = = 7 = 12 12 12 𝟏𝟐 7 7 7 1 12 5 7 5 Nesse ponto é possível perceber o contraste entre o ensino do começo do século XX e o da época presente, pois, possuindo apenas o conhecimento matemático obtido no atual ensino médio, não há condições para compreender a forma pela qual foram deduzidas as reduzidas da fração contínua, visto que este tópico não está mais incluso na grade escolar. Como indicado pelo autor, a explicação para esta transformação está disponível em seu livro de aritmética, e consiste basicamente em um exemplo no qual, considerando a fração contínua2 1 1 3 1 2 1 , Perez y Marin 1 4… afirma: 2 Assim, a parte inteira 2 ou 1 é a primeira reduzida (quando não há parte inteira, supõe-se que a primeira 0 reduzida é ). 1 1 7 A segunda reduzida é 23 = 3 . A terceira reduzida é 2 1 1 3 1 1 9 = 24 = 4 . E assim sucessivamente, até à última, que será a mesma fração geratriz. (PEREZ Y MARIN, 1939, p.204) 29 Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014 www.labem.uff.br Prosseguindo com a explicação de Pérez y Marin, é concluído que o valor de 𝑥 é admitindo-se um erro inferior a 1 122 43 12 30 , . Para se ter uma comprovação da precisão desse método, podemos resolver a equação exponencial em questão 2𝑥 = 12 através do uso de logaritmos e com ajuda de uma calculadora: 2𝑥 = 12 ⇒ 𝑥 = log 2 12 ⇒ 𝑥 = 3,584 … Enquanto que 𝑥= 43 ⇒ 𝑥 = 3,583 … 12 Deve-se considerar ainda que, atentando para este trecho do livro em que é explanado todo esse processo de solução de uma equação exponencial sem recorrer aos logaritmos e consequentemente ás taboas, o que deixaria o processo de certa forma mais simples, Perez y Marin faz questão de tal, revelando uma preocupação em expandir a visão e o raciocínio do estudante de modo que este pudesse encontrar meios de solução quando se deparar com problemas de equivalente complexidade. Ao final do capítulo sobre equação exponencial, Pérez y Marin propõe alguns exercícios para praticar o método ensinado. Dessa forma, propomos a resolução de um exercício que possui algumas especificidades matemáticas, existem frações em ambos os lados da equação exponencial. 2 𝑥 1 ( ) = 3 2 2 1 2 2 3 3 Sendo ( ) = 0,666 … e ( ) = 0,444 … , 𝑥 está entre 1 e 2, logo 1 𝑥 = 1𝑥 1 Atribuindo-se este valor de 𝑥 na equação temos 1 1𝑥𝐼 2 ( ) 3 1 1 1 𝐼 1 2 1 2 𝑥𝐼 1 2 𝑥𝐼 2 3 𝑥 2 = ⇒ ( ) ×( ) = ⇒ ( ) = ⇒ ( ) = 2 2 3 3 2 3 4 3 3 Novamente, o valor de 𝑥 I está entre 1 e 2, logo 1 𝑥 𝐼 = 1𝑥 𝐼𝐼 Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014 www.labem.uff.br 1 1𝑥𝐼𝐼 3 ( ) 4 1 1 2 2 3 3 𝑥 𝐼𝐼 2 3 𝑥 𝐼𝐼 3 8 𝑥𝐼𝐼 3 = ⇒ ×( ) = ⇒ ( ) = ⇒( ) = 3 3 4 4 3 4 9 4 4 Agora, o valor de 𝑥 𝐼𝐼 está entre 2 e 3, logo 𝑥 𝐼𝐼 = 2 1 𝑥 𝐼𝐼𝐼 1 1 1 3 𝐼𝐼𝐼 8 2𝑥 𝐼𝐼𝐼 3 8 2 8 𝑥 𝐼𝐼𝐼 3 8 𝑥 𝐼𝐼𝐼 243 𝑥 8 4 ( ) = ⇒ ( ) ×( ) = ⇒ ( ) = ⇒ ( ) = 64 9 4 9 9 4 9 256 9 81 O valor de 𝑥 𝐼𝐼𝐼 está entre 2 e 3, logo 𝑥 𝐼𝐼𝐼 = 2 1 𝑥 𝐼𝑉 1 1 1 8 𝐼𝑉 243 2𝑥 𝐼𝑉 8 243 2 243 𝑥 𝐼𝑉 8 243 𝑥 𝐼𝑉 524288 𝑥 243 9 ( ) = ⇒ ( ) ×( ) = ⇒ ( ) = ⇒ ( ) = 59049 256 9 256 256 9 256 531441 256 65536 O valor de 𝑥 𝐼𝑉 está entre 2 e 3, logo 𝑥 𝐼𝑉 = 2 1 𝑥𝑉 Agora se substitui 𝑥 𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝑉 pelos seus respectivos valores 𝑥=1 1 1 1 1 2 1 2 … 2 E então calcula-se a quinta reduzida 1 1 1 1 𝑥=1 = 1 = 1 = 1 =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 12 2 1 2 5 1 5 22 5 2 2 E por conferência pode-se calcular 1 = 1,709 … 32 log 2 29 1 1 29 = 1 = 12 = = 1,705 … 17 17 17 17 5 12 12 12 5 31 Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014 www.labem.uff.br Ao final da apresentação do método de resolução de equações exponenciais por meio de frações contínuas, Perez y Marin faz a seguinte observação a respeito do erro existente no valor de 𝑥, encontrado através do método empregado: Calculando-se pelo mesmo processo o valor de 𝑥 ′ , e sucessivamente os valores de 𝑥 ′′ , 𝑥 ′′′ 1 etc, o valor de x aparecerá em forma de fração contínua, com um erro inferior a 𝑆 2 , supondo-se que 𝑆 2 é o quadrado do denominador da última reduzida. (PEREZ Y MARIN, 1928, p.253) A partir dessa afirmação podemos então fazer uso dessa propriedade para obter a informação que servirá como parâmetro para a definição de quantas iterações ainda serão necessárias para se obter um resultado tão aproximado quanto o necessário para o propósito em questão. Faremos então um teste com o resultado da equação exponencial 2x = 12 utilizada como exemplo pelo autor, para assim compreender melhor o funcionamento de tal: Sendo o denominador da última reduzida 43 12 igual a 12. 1 = 0.00694 … 122 Temos então que a diferença entre o valor de x encontrado na equação 2𝑥 = 12 e 𝑙𝑜𝑔2 12 não será superior a 0,00694: 𝑙𝑜𝑔2 12 − ( 43 ) = 3,58496 − 3,58333 = 0,00163 12 É apropriada a atenção a este ponto, pois aqui Perez y Marin traz ao estudante a noção de Conceito de Erro, mais especificamente no que se refere ao Erro por Truncamento, mesmo de forma quase subliminar, já que não há uma real explanação sobre esse assunto. Provindo do Cálculo Numérico, o Conceito de Erro é de grande importância ao estudo de várias espécies de modelos matemáticos, tais como as equações exponenciais. Tendo em vista a complexidade desse processo, é evidente que nessa época do início do século XX o ensino nessa área era bastante rico em detalhes, o que acabava por proporcionar um entendimento mais aprofundado sobre processos matemáticos, compreensão esta que era de grande valor, pois na época não havia disponíveis computadores ou afins e as máquinas mecânicas para realizar cálculos mais complexos eram de difícil acesso. É notável as facilidades encontradas atualmente pelos alunos em lidar com recursos tecnológicos e, em contrapartida, é também de fácil percepção as dificuldades provenientes do estudo de conteúdos ligados à Matemática. Portanto, considerando as relevantes qualidades do ensino dessa época, mais precisamente o interessante método de resolução de equações exponenciais apresentado por Pérez y Marin, e ainda que ponderando quando se tem em vista a aplicação prática desse conceito nos dias atuais, fica evidente a necessidade de aproveitar esses elementos, que aos poucos acabam sendo esquecidos ao passo em que se tornam obsoletos, para uma inserção do conteúdo de uma forma distinta e variada. 32 Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014 www.labem.uff.br Referências bibliográficas BOYER, C.B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 2003. CABRAL, M. A. S. O Curso de Bacharelado em Sciencias e Letras do Primeiro Gymnasio da Capital, em São Paulo: Um estudo sobre o currículo da Escola Secundária (1894-1913). São Paulo, 2008. Tese (Doutorado em Educação)- Departamento de Educação. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. 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