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Boletim do LABEM, ano 5, n. 9, jul/dez de 2014
www.labem.uff.br
Resolução de equações exponenciais: análise do método usado por Perez y Marin, um
professor do início do século XX
Adriana de Bortoli*
FATEC(LINS)
Juliel Bronzati Dourado**
FATEC(LINS)
Resumo
Este texto aborda um procedimento de resolução de Equações Exponenciais por meio de frações
contínuas utilizado por um professor do início do século XX e que é diferente daqueles que
usualmente são considerados no Ensino de Matemática na Educação Básica. Partimos do
pressuposto que conhecimento de elementos históricos sobre o ensino da matemática torna-se de
grande valor para um aprimoramento, reflexão e diversificação das ferramentas de ensino e
aprendizagem, assim como para uma notável capacitação em encontrar com mais facilidade a
solução de questões que encerram, em suas resoluções, necessidade de raciocínio muitas vezes
bastante similar a processos utilizados somente no passado. Sendo assim, propomos a descrição da
resolução de equações exponenciais por um método encontrado em uma publicação do início do
século XX, Elementos de Algebra, de André Perez y Marin, publicado em 1909. Esse método difere
dos atuais de resolução de equações exponenciais de bases diferentes e não recorre aos logaritmos.
A resolução é pautada principalmente em aproximações, o que fomenta nos alunos o
desenvolvimento da capacidade de estimativas e inferências.
Introdução
A utilização de frações contínuas e suas reduzidas para resolver equações exponenciais
realmente é uma herança matemática perdida que não fica como necessidade de ser usada nos dias
de hoje. Entretanto, revela a natureza rica e admirável de procedimento em matemática em uma
época em que, não havendo máquinas calculadoras ou similares como atualmente são de fácil
acesso, o ensino era dirigido de modo que concedia aos alunos uma visão e um entendimento
bastante profundo acerca dos processos numéricos, o que resultava em melhores condições para se
resolver problemas de várias espécies que envolviam o estudo de relações entre entidades
definidas abstrata e logicamente.
O entendimento de elementos históricos que fazem parte de uma ciência rica e em perpétuo
desenvolvimento, como é a matemática, torna-se de grande valor para uma otimização, expansão e
diversificação das ferramentas de ensino e aprendizagem, assim como para uma notável
capacitação em encontrar com mais facilidade a solução de questões que encerram, em suas
resoluções, necessidade de raciocínio muitas vezes bastante similar a processos utilizados somente
no passado. Sem essa busca por compreender as matizes da evolução de uma ciência que
evidenciam as transformações ao longo do tempo, não é possível também contar com uma base
suficientemente sólida para propor novos métodos e conceitos para contribuir, mesmo que de
forma pequena, com o desenvolvimento do conjunto de conhecimentos em questão.
[email protected]
** [email protected]
*
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O presente estudo é um resgate histórico que também possui o objetivo de mostrar que
mesmo métodos que não tenham utilidade prática no momento, por estarem obsoletos, possuem
grande valor para uma inserção do assunto de uma maneira diferenciada e, desse modo, fazer com
que o estudante enxergue os porquês que ficam por vezes encobertos pelas facilidades oferecidas
em nossa faixa cronológica presente. Deste ponto de vista, é possível encontrar vários outros
elementos que também terão como efeito um alargamento da compreensão geral da matemática.
Além disso, também queremos chamar a atenção para o risco de saberes escolares
matemáticos serem destituídos à medida que suas utilizações práticas vão sendo substituídas por
outros meios, que envolvem muitas vezes o uso de máquinas calculadoras ou outros dispositivos
eletrônicos.
Dessa maneira, propomos uma leitura sobre uma técnica de se usar frações contínuas e
suas reduzidas na solução de equações exponenciais apresentada por Pérez y Marin no começo do
século XX.
Insta salientar, que André Perez y Marin foi um professor espanhol que lecionou em um
importante estabelecimento de ensino no município de Campinas Colégio Culto à Ciência1, de
1901 a 1928. Abaixo segue uma foto do referido autor.
Figura 1- André Perez y Marin (1858- 1928)
Fonte: http://www.cultoaciencia.net/pag_mestres.htm
Nesse colégio, Perez y Marin lecionou de 1901 até o seu falecimento em 1928. Ingressou na
cadeira de Aritmética e Álgebra, mediante concurso público, mas em 1910, assumiu a regência
interina da 11ª cadeira de Mecânica e Astronomia. Em 1926, requereu sua transferência para a
mesma e como não foi atendido em sua solicitação, submeteu-se aos 68 anos de idade ao concurso
da referida cadeira sendo aprovado em primeiro lugar. Sua nomeação como efetivo se deu em 02
de dezembro de 1926.
Durante o período em que lecionou no colégio ele teve uma produção de dez títulos, sendo
que oito são de sua autoria e dois foram escritos em parceria com Carlos Francisco de Paula, que
1
No momento em que esse professor ingressou nesse Colégio em 1901, este era chamado de Ginásio do
Estado. Usaremos “Colégio Culto à Ciência” no texto mesmo se tratando desse período para melhor
identificação do mesmo.
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também era professor do Colégio Culto à Ciência. Suas obras são: Elementos de Álgebra, Lições de
Algebra, Soluções Algebricas, Arithmética Teórico-Prática, Lições de Aritmética 1ª Parte, Lições de
Aritmética 2ª Parte, Soluções Arithméticas, Lições de Mecanica e Astronomia e as escritas em colaboração
com Carlos Francisco de Paula são: Elementos de Trigonometria Rectilínea e Elementos de Geometria.
Resolvendo Equações Exponenciais por meio de Frações Contínuas
Ao analisar o assunto Equações Exponenciais na obra Elementos de Algebra de André Perez y
Marin de 1909 percebe-se o uso de textos contendo a definição do elemento matemático abordado,
suas propriedades e demonstrações detalhadas de um ou mais métodos para sua resolução. No
capítulo em que o autor trata de tal assunto, após apresentada a definição e classificação, é
admitido o quão é evidente a resolução de uma equação 𝑎 𝑥 = 𝑏, sendo 𝑏 uma potência perfeita de
𝑎, e assim é dado um exemplo de resolução de uma equação em que 𝑏 não é potencia perfeita de 𝑎.
E, ao contrário do que a maioria dos livros didáticos atuais apresenta, como “Fundamentos de
Matemática Elementar” de Iezzi, Dolce e Murakami, apenas aplicando logaritmos à solução, isto é,
(𝑎 𝑥 = 𝑏)=(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑥), aqui também é explanado todo um sistema de resolução pelo qual é
possível se obter soluções aproximadas.
Ao observar a resolução da equação exponencial 2x = 12 sem recorrer a logaritmos,
apresentada por Pérez y Marin, nota-se o quão interessante é o processo. Fica nítida nas etapas
para se chegar a um valor aproximado de x, a existência de vários conceitos algébricos e
aritméticos aplicados. É notável que dessa maneira o aluno adquire uma boa noção de
aproximação, isto é, não é possível determinar um valor, porém existem meios para valores que
estão bastante perto do qual é desejado.
Continuando a explicação de Pérez y Marin, a primeira etapa consiste em considerar que,
1
3
se 2 = 8 e 24 = 16, então x está entre 3 e 4, e pode ser escrito como 3 XI , utilizando o conceito de
números compostos. Então segue o seguinte: Atribuindo-se este valor de 𝑥 na equação temos
1
𝐼
)3 𝑥
(2
)3
= 12 ⇒ (2
×
1
(2)𝑥 𝐼
= 12 ⇒
1
(2)𝑥 𝐼
𝐼
12
3 𝑥
=
⇒ ( ) =2
8
2
Novamente, o valor de 𝑥 I está entre 1 e 2, logo
1
𝑥 𝐼 = 1𝑥 𝐼𝐼
1
1𝑥𝐼𝐼
3
( )
2
1
1
3
3 𝑥 𝐼𝐼
3 𝑥 𝐼𝐼
2
4 𝑥𝐼𝐼 3
= 2 ⇒ × ( ) = 2 ⇒ ( ) = 2. ⇒ ( ) =
2
2
2
3
3
2
Uma vez mais, o valor de 𝑥 𝐼𝐼 está entre 1 e 2, logo
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𝑥 𝐼𝐼 = 1
1
1
𝑥 𝐼𝐼𝐼
1
1
4 1𝑥 𝐼𝐼𝐼 3
4 1
4 𝑥 𝐼𝐼𝐼 3
4 𝑥 𝐼𝐼𝐼 3 3 9
9 𝑥
( )
=
⇒ ( ) ×( )
=
⇒ ( )
= . = ⇒ ( )
3
2
3
3
2
3
2 4 8
8
1
𝐼𝐼𝐼
=
4
3
1
Repetindo o processo teremos: 𝑥 𝐼𝐼𝐼 = 2 𝑥 𝐼𝑉; 𝑥 𝐼𝑉 = 2 𝑥 𝑉 e assim por diante.
1
1
𝑥
𝑥 𝐼𝐼
Dessa maneira, x = 3 𝐼, 𝑥 𝐼 = 1
, 𝑥 𝐼𝐼 = 1
1
𝑥 𝐼𝐼𝐼
, 𝑥 𝐼𝐼𝐼 = 2
1
𝑥 𝐼𝑉
, 𝑥 𝐼𝑉 = 2
1
𝑥𝑉
Agora se substitui 𝑥 𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝑉 pelos seus respectivos valores
𝑥=3
1
1
1 1
1 1
2
2
E então calcula-se a quinta reduzida
𝑥=3
1
1
1
1
1
1
1
=3
=3
=3
=3
=3
=3
=3
7
1
1
1
1
1
1
1
×
+
1
1 1
1
1
1
1
1
7
7
1
1
5
5
1 1
1 2×2+1
1
1× +1
7
2
5
5
2
22
5
5
5
2
2
2
2
12
43
3×
+1
1
𝟒𝟑
7
=3
=
= 7 =
12
12
12 𝟏𝟐
7
7
7
1
12
5
7
5
Nesse ponto é possível perceber o contraste entre o ensino do começo do século XX e o da
época presente, pois, possuindo apenas o conhecimento matemático obtido no atual ensino médio,
não há condições para compreender a forma pela qual foram deduzidas as reduzidas da fração
contínua, visto que este tópico não está mais incluso na grade escolar. Como indicado pelo autor, a
explicação para esta transformação está disponível em seu livro de aritmética, e consiste
basicamente em um exemplo no qual, considerando a fração contínua2
1
1
3
1
2
1
, Perez y Marin
1
4…
afirma:
2
Assim, a parte inteira 2 ou
1
é a primeira reduzida
(quando não há parte inteira, supõe-se que a primeira
0
reduzida é ).
1
1
7
A segunda reduzida é 23 = 3 .
A terceira reduzida é 2
1
1
3
1
1
9
= 24 = 4 .
E assim sucessivamente, até à última, que será a mesma
fração geratriz. (PEREZ Y MARIN, 1939, p.204)
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Prosseguindo com a explicação de Pérez y Marin, é concluído que o valor de 𝑥 é
admitindo-se um erro inferior a
1
122
43
12
30
,
. Para se ter uma comprovação da precisão desse método,
podemos resolver a equação exponencial em questão 2𝑥 = 12 através do uso de logaritmos e com
ajuda de uma calculadora:
2𝑥 = 12 ⇒ 𝑥 = log 2 12 ⇒ 𝑥 = 3,584 …
Enquanto que
𝑥=
43
⇒ 𝑥 = 3,583 …
12
Deve-se considerar ainda que, atentando para este trecho do livro em que é explanado
todo esse processo de solução de uma equação exponencial sem recorrer aos logaritmos e
consequentemente ás taboas, o que deixaria o processo de certa forma mais simples, Perez y Marin
faz questão de tal, revelando uma preocupação em expandir a visão e o raciocínio do estudante de
modo que este pudesse encontrar meios de solução quando se deparar com problemas de
equivalente complexidade.
Ao final do capítulo sobre equação exponencial, Pérez y Marin propõe alguns exercícios
para praticar o método ensinado. Dessa forma, propomos a resolução de um exercício que possui
algumas especificidades matemáticas, existem frações em ambos os lados da equação exponencial.
2 𝑥 1
( ) =
3
2
2 1
2 2
3
3
Sendo ( ) = 0,666 … e ( ) = 0,444 … , 𝑥 está entre 1 e 2, logo
1
𝑥 = 1𝑥 1
Atribuindo-se este valor de 𝑥 na equação temos
1
1𝑥𝐼
2
( )
3
1
1
1
𝐼
1
2 1
2 𝑥𝐼 1
2 𝑥𝐼 2
3 𝑥
2
=
⇒ ( ) ×( ) =
⇒ ( ) =
⇒ ( ) =
2
2
3
3
2
3
4
3
3
Novamente, o valor de 𝑥 I está entre 1 e 2, logo
1
𝑥 𝐼 = 1𝑥 𝐼𝐼
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1
1𝑥𝐼𝐼
3
( )
4
1
1
2
2
3
3 𝑥 𝐼𝐼 2
3 𝑥 𝐼𝐼 3
8 𝑥𝐼𝐼 3
= ⇒ ×( ) =
⇒ ( ) = ⇒( ) =
3
3
4
4
3
4
9
4
4
Agora, o valor de 𝑥 𝐼𝐼 está entre 2 e 3, logo
𝑥 𝐼𝐼 = 2
1
𝑥 𝐼𝐼𝐼
1
1
1
3
𝐼𝐼𝐼
8 2𝑥 𝐼𝐼𝐼 3
8 2
8 𝑥 𝐼𝐼𝐼 3
8 𝑥 𝐼𝐼𝐼
243 𝑥
8
4
( )
=
⇒ ( ) ×( )
=
⇒ ( )
=
⇒ (
)
=
64
9
4
9
9
4
9
256
9
81
O valor de 𝑥 𝐼𝐼𝐼 está entre 2 e 3, logo
𝑥 𝐼𝐼𝐼 = 2
1
𝑥 𝐼𝑉
1
1
1
8
𝐼𝑉
243 2𝑥 𝐼𝑉 8
243 2
243 𝑥 𝐼𝑉 8
243 𝑥 𝐼𝑉
524288 𝑥
243
9
(
)
=
⇒ (
) ×(
) =
⇒ (
) =
⇒ (
)
=
59049
256
9
256
256
9
256
531441
256
65536
O valor de 𝑥 𝐼𝑉 está entre 2 e 3, logo
𝑥 𝐼𝑉 = 2
1
𝑥𝑉
Agora se substitui 𝑥 𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝐼𝐼 , 𝑥 𝐼𝑉 pelos seus respectivos valores
𝑥=1
1
1
1
1
2 1
2 …
2
E então calcula-se a quinta reduzida
1
1
1
1
𝑥=1
= 1
= 1
= 1
=1
1
1
1
1
1 1
1 1
1 6
1 12
2 1
2 5
1
5
22
5
2
2
E por conferência pode-se calcular
1
= 1,709 …
32
log 2
29
1
1
29
= 1
= 12 =
= 1,705 …
17
17
17
17
5
12
12
12
5
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Ao final da apresentação do método de resolução de equações exponenciais por meio de
frações contínuas, Perez y Marin faz a seguinte observação a respeito do erro existente no valor de
𝑥, encontrado através do método empregado:
Calculando-se pelo mesmo processo o valor de 𝑥 ′ , e sucessivamente os valores de 𝑥 ′′ , 𝑥 ′′′
1
etc, o valor de x aparecerá em forma de fração contínua, com um erro inferior a 𝑆 2 , supondo-se que
𝑆 2 é o quadrado do denominador da última reduzida. (PEREZ Y MARIN, 1928, p.253)
A partir dessa afirmação podemos então fazer uso dessa propriedade para obter a
informação que servirá como parâmetro para a definição de quantas iterações ainda serão
necessárias para se obter um resultado tão aproximado quanto o necessário para o propósito em
questão.
Faremos então um teste com o resultado da equação exponencial 2x = 12 utilizada como
exemplo pelo autor, para assim compreender melhor o funcionamento de tal:
Sendo o denominador da última reduzida
43
12
igual a 12.
1
= 0.00694 …
122
Temos então que a diferença entre o valor de x encontrado na equação 2𝑥 = 12 e 𝑙𝑜𝑔2 12
não será superior a 0,00694:
𝑙𝑜𝑔2 12 − (
43
) = 3,58496 − 3,58333 = 0,00163
12
É apropriada a atenção a este ponto, pois aqui Perez y Marin traz ao estudante a noção de
Conceito de Erro, mais especificamente no que se refere ao Erro por Truncamento, mesmo de
forma quase subliminar, já que não há uma real explanação sobre esse assunto. Provindo do
Cálculo Numérico, o Conceito de Erro é de grande importância ao estudo de várias espécies de
modelos matemáticos, tais como as equações exponenciais.
Tendo em vista a complexidade desse processo, é evidente que nessa época do início do
século XX o ensino nessa área era bastante rico em detalhes, o que acabava por proporcionar um
entendimento mais aprofundado sobre processos matemáticos, compreensão esta que era de
grande valor, pois na época não havia disponíveis computadores ou afins e as máquinas mecânicas
para realizar cálculos mais complexos eram de difícil acesso. É notável as facilidades encontradas
atualmente pelos alunos em lidar com recursos tecnológicos e, em contrapartida, é também de fácil
percepção as dificuldades provenientes do estudo de conteúdos ligados à Matemática.
Portanto, considerando as relevantes qualidades do ensino dessa época, mais precisamente
o interessante método de resolução de equações exponenciais apresentado por Pérez y Marin, e
ainda que ponderando quando se tem em vista a aplicação prática desse conceito nos dias atuais,
fica evidente a necessidade de aproveitar esses elementos, que aos poucos acabam sendo
esquecidos ao passo em que se tornam obsoletos, para uma inserção do conteúdo de uma forma
distinta e variada.
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