x2 + 2x − 15 se x ∈ (−∞,−5

Gabarito da 2a VE de Cálculo Aplicado 1
Turma: B1 – 28/05/2010
1. (a) .
½
x2 + 2x − 15 se x ∈ (−∞, −5] ∪ [3, ∞)
−(x2 + 2x − 15) se x ∈ (−5, 3)
Logo f−0 (−5) = 2(−5) + 2 = −12 6= 12 = −(2(−5) + 2) = f+0 (−5) e f−0 (3) =
−(2(3) + 2) = −8 6= 8 = 2(3) + 2 = f+0 (5), isto é, f não é derivável em −5 e 3.
√
2. Consideremos a função f (x) = x2 · 10 − x2 .
p
Uma aproximação para o número (1, 1)2 · 10 − (1, 1)2 pode ser obtida pela aproximação linear l(x) = f (1) + f 0 (1)(x − 1) fazendo x = 1, 1, isto é, l(1, 1) = f (1) +
√
2
1
107
0
f 0 (1)(1, 1 − 1) = 3 + 17
=
'
3,
56,
já
que,
f
(x)
=
2x
·
10 − x2 + 2x√·(−2x)
.
3 10
30
10−x2
(b) f (x) =
3. Se considerarmos x em função de y, então o problema se reformula em encontrar as
retas tangentes horizontais ao gráfico, isto é, os pontos que anulam a derivada x0 (y).
Derivando a igualdade y 2 = x2 + x3 , obtemos: 2y = 2xx0 + 3x2 x0 = x0 (2x + 3x2 ),
2y
0
isto é, x0 = 2x+3x
2 . Logo o ponto que anula a derivada x é y = 0. Tomando y = 0
na equação original obtemos que 0 = x2 + x3 = x2 (1 + x), isto é, x = 0 ou x = −1.
Mas como podemos ver na figura, x = 0 não tem tangente horizontal. Portanto o
ponto do gráfico que tem a tal tangente é dado por x = −1 e y = 0.
√
4. Se (x, y) é um ponto do gráfico da função y = x e d é a sua distância a origem,
então d2 = x2 +y 2 . Como x e y são funções do tempo t, então d também é. Derivando
a igualdade d2 = x2 + y 2 obtemos 2d(t)d0 (t) = 2x(t)x0 (t) + 2y(t)y 0 (t).
√
Queremos d0 (t0 ), onde t0 é tal que x(t0 ) = 4 e y(t0 ) = 2. Logo d(t0 ) = 2 5.
0
x (t0 )
Por outro lado, x0 (t0 ) = 3 e y 0 (t0 ) = √
= 34 . Portanto, d0 (t0 ) =
2
x(t0 )
2·4·3+2·2· 43
√
2 5
=
27
√ .
2 5
5. Pelo teorema da função inversa, basta verificar que a derivada da função f (x) =
−1
1
e− x + x3 nunca se anula. Por outro lado, f 0 (x) = ex2x + 3x2 =
é sempre maior que zero e 3x4 ≥ 0 temos que f 0 (x) 6= 0.
³ ³
´´0
arcsen(x)
6. ln 2x2 +π
=
³
´
arcsen(x) 0
2
2x +π
arcsen(x)
2x2 +π
=
2x2 +π
arcsen(x)
³
·
2x2 +π−4x arcsen(x)
√
1−x2 ·(2x2 +π)2
´
=
√
1
e− x +3x4
.
x2
1
Como e− x
2x2 +π−4x arcsen(x)
1−x2 ·(2x2 +π)·arcsen(x)