centro de tecnologia

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ELETROMECÂNICA E SISTEMAS DE POTÊNCIA
ESP 1005 ELETROMAGNETISMO
Profor: Luis Antonio Righi
Relatório
Aula prática 13: Linhas de Transmissão
Nome: Rafael de Franceschi, Leonardo Bertagnolli e Tainara Zanini
Santa Maria, 4 de janeiro de 2010
LISTA DE SÍMBOLOS, CONSTANTES E ABREVIAÇÕES
L – Indutância por unidade de comprimento (H/m)
𝜙 – Fluxo magnético (Wb)
I – Corrente elétrica (A)
C – Capacitância por unidade de comprimento (C/m)
R1 – Raio interno do condutor externo, em cabo coaxial (m)
R2 – Raio externo do condutor interno, em cabo coaxial (m)
µ – Permeabilidade magnética (H/m)
∈ – Permissividade dielétrica (C/m)
V – Fator de velocidade
f – Freqüência (Hz)
𝜆 – Comprimento de onda (m)
v – Velocidade de propagação (m/s)
𝛽 – Constante de fase (rad/m)
𝛽𝑠 – Comprimento elétrico (rad)
𝜛 – Velocidade angular (rad/s)
Z0 – Impedância característica (Ω)
Zin – Impedância de entrada (Ω)
2
1. Introdução
Este relatório tem o propósito de explicar como foi realizada a experiência 13
sobre linhas de transmissão. Serão apresentados também revisão bibliográfica, a
experiência em si e alguns exercícios para fixar o conhecimento retido nesse relatório.
2. Objetivos

Introduzir conceitos básicos sobre linhas de transmissão

Determinação da impedância característica de uma linha de transmissão a
partir da medição experimental da impedância de entrada para
curto‐circuito e circuito aberto
Determinação do ângulo de defasagem a partir da figura de Lissajous

3. Revisão Teórica
3.1. Indutância por unidade de comprimento de linha
A indutância associada a uma linha de transmissão artificial é uma indutância
física, compreendendo um enrolamento executado em torno de um núcleo. A indutância
associada a uma linha de transmissão real representa o campo magnético que envolve
cada condutor, sendo igual à relação entre fluxo magnético e corrente.
𝐿=
𝜙
𝐼
3.2. Capacitância por unidade de comprimento de linha
A capacitância associada a uma LT representa o campo elétrico (E) através do
dielétrico entre os condutores da linha e é inversamente proporcional à tensão, ou ddp,
entre os condutores.
𝐶=
𝑄
𝑉
3.3. Capacitância e Indutância para Cabo Coaxial
Para um cabo coaxial, os parâmetros L e C, que são, respectivamente, a
indutância por unidade de comprimento e capacitância por unidade de comprimento da
linha são calculados conforme:
𝐿=
µ
𝑅2
ln ( )
2𝜋
𝑅1
𝐶=
2𝜋𝜖
𝑅
ln (𝑅2 )
1
3
Cabo Coaxial
3.4. Velocidade de propagação
A velocidade de propagação da energia ao longo de um LT é a velocidade em
que uma onda ou mais especificamente, uma frente de onda caminha ao longo da linha.
O tempo de deslocamento unidimensional em uma linha artificial é dada pela expressão:
𝑡 = √𝐿. 𝐶
A expressão s/t = v = 1/√𝐿. 𝐶 expressa a velocidade de propagação sobre a linha,
expressando a relação entre distancia linear percorrida por uma frente de onda e o tempo
gasto para isso.
3.5. Fator de Velocidade
É a relação entre a velocidade de propagação sobre uma linha e a velocidade da
luz. É representada por V.
𝑉=
𝑣
𝐶
3.6. Comprimento de Onda
É freqüente a necessidade de determinarmos a distância sobre uma linha de
transmissão em termos de comprimento de onda. A fórmula geral do comprimento de
onda é:
𝜆=
𝑣
𝑉𝐶
=
𝑓
𝑓
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶 = 3𝑥108 𝑚/𝑠
4
3.7. Constante de Fase e Comprimento Elétrico
Torna‐se conveniente falar em comprimento elétrico de uma linha de
transmissão em termos de grau ou radianos por unidade de comprimento. O símbolo
para o parâmetro denominado constante de fase é β e o seu valor é dado por:
𝛽 = 2𝜋⁄𝜆 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
O comprimento elétrico é dado por βs, onde s é o comprimento da linha. Um
exemplo para melhor visualizarmos. Dada a tensão ao longo da linha por:
𝑉(𝑠, 𝑡) = 𝑉𝑖 𝑒 −𝛼𝑠 . cos(𝜛𝑡 − 𝛽𝑠)
A exponencial negativa é responsável pela atenuação do sinal e βs é responsável
pela variação da fase.
Atenuação do sinal
3.8. Impedância Característica
Todas as linhas de transmissão têm um parâmetro chamado de impedância
característica, designado pelo símbolo Zo. Este parâmetro é de grande importância
quando pretendemos transferir a máxima quantidade de energia entre uma fonte e um
consumidor ou carga. A impedância característica de uma linha de transmissão é um
parâmetro independente da freqüência.
O termo “resistência” não seria adequado, porque não existe perda de potência
em uma linha de transmissão atribuída a sua impedância característica. Assim, o termo
“impedância” ficou sendo a melhor escolha uma vez que o seu valor é determinado
através da indutância e capacitância da linha.
5
A impedância característica é dada por:
𝑍0 = √𝐿⁄𝐶
Onde L é a indutância efetiva por unidade de comprimento e C a capacitância
efetiva por unidade de comprimento. Como L e C são proporcionais por unidade de
comprimento, vemos que a impedância característica independe do comprimento de
linha considerado.
Essa impedância é puramente resistiva para linhas com perdas desprezíveis, nas
condições de operação, e não tem relação com as propriedades de CC da linha. Esta tem
relação apenas com as propriedades de corrente alternada da mesma.
A impedância característica permanece constante com a variação da freqüência
considerando linhas com atenuação desprezível, ou inexistente. Por outro lado, no
estudo de guias de onda o parâmetro correspondente não permanece constante com a
variação da freqüência.
3.9. Fatores de Atenuação
A perda de potência em um cabo é causada principalmente pela resistência dos
dois condutores, em freqüências baixas, e pelo efeito SKIN e perdas no dielétrico, em
freqüências altas. As perdas devidas ao efeito SKIN aumentam com a freqüência, da
mesma forma as perdas do dielétrico.
O efeito SKIN é um fenômeno inerente às altas freqüências, que limita a
corrente à região superficial do condutor. Em cabos coaxiais a superfície interna do
condutor externo e a superfície externa do condutor interno carregam a maior parte da
corrente nas altas freqüências.
As perdas do dielétrico são relativamente pequenas para a maioria dos materiais
dielétricos e podem ser usualmente ignoradas em freqüências abaixo de 1 GHz.
A atenuação de um sinal de alta freqüência passando por uma linha de
transmissão é proporcional ao quadrado do comprimento da linha. Ela é expressa em
comumente em dB/km. A atenuação expressa em dB pode ser calculada para qualquer
comprimento específico de cabo.
Ex: Se o cabo tivesse 2dB/100 m a 100MHz, a atenuação para um comprimento
de 10m seria de 0,2dB.
3.10. Figuras de Lissajous e Medidas de Defasagem
A composição gráfica de dois movimentos ondulatórios, um na vertical e outro
na horizontal, resulta na chamada figura de Lissajous. Por exemplo, na figura 3 temos a
composição de um sinal na vertical de determinada freqüência, e outro sinal na
horizontal com o dobro da freqüência.
6
Figura de Lissajous resultante da composição de dois sinais
O osciloscópio possui dois modos de exibição, o modo YT, o qual descreve a
amplitude de um sinal da entrada em função do tempo, e o modo XY. Este segundo
modo exibe na tela do osciloscópio uma curva de Lissajous. Para visualizá‐la no
osciloscópio selecione display, modo de exibição XY.
Quando se aplica sinais de uma mesma freqüência a duas entradas do
osciloscópio, obtém‐se na tela do osciloscópio uma figura de Lissajous, onde é possível
determinar‐se o valor da defasagem entre eles. Chama‐se de defasagem, a diferença de
fase entre dois sinais de mesma freqüência. Para exemplificar, na figura 4 temos o sinal
V1(t) (em vermelho) e V2(t) (em azul), traçados nos mesmos eixos.
Sinais 𝑉1 (𝑡) 𝑒 𝑉2 (𝑡)
7
Onde V1(t) = V1Máxsen(ωt + 0) V e V2(t) = V2Máxsen(ωt + π/2) V
A defasagem entre eles é de Δθ = π/2 rad ou 90°
Para dois sinais quaisquer de mesma freqüência e defasados, teremos na tela
do osciloscópio uma elipse como a figura de Lissajous.
Composição de 2 sinais defasados e a elipse resultante
O sinal VV obedece à função:
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑀𝐴𝑋 sin(𝜛𝑡 − Δ𝜃)
Onde: 𝑉𝑉𝑀𝐴𝑋 = 𝑏
e 𝑉𝑉 (𝑡) = 𝑎 para t = 0, substituindo-se, temos que:
𝑎 = 𝑏. sin(𝜛0 − Δ𝜃)
𝑎 = 𝑏. sin(Δ𝜃)
sin(Δ𝜃) = 𝑎⁄𝑏
Para determinarmos a defasagem através da elipse obtida, basta obter os valores
de a e b, onde a representa a distância entre o centro da elipse e o ponto onde esta corta
o eixo y e b representa a distância entre o centro da elipse e o ponto máximo da figura.
Para facilitar a leitura, podemos determinar os valores de 2a e 2b e calcular a
defasagem, utilizando a relação:
Δ𝜃 = sin−1(𝑎⁄𝑏)
Como exemplo, vamos determinar a defasagem entre dois sinais aplicados às
entradas do osciloscópio, cuja figura de Lissajous obtida desses sinais é mostrada na
figura abaixo.
8
Elipse
Temos que 2a = 3 e 2b = 6, logoΔ𝜃 = 𝜋⁄6 𝑟𝑎𝑑. ou 30º
3.11. Determinação da Impedância Característica da Linha de Transmissão
e do Comprimento da Linha de Transmissão
Considere uma resistência R em série com uma linha de transmissão finita, de
comprimento l, com impedância característica Z0 e a impedância no final da linha ZL,
como mostra a figura abaixo. O gerador produz uma tensão senoidal V=VG.cos(ωt) com
uma dada freqüência.
Circuito equivalente da Linha de Transmissão
A linha de transmissão pode ser substituída por uma impedância de entrada.
A impedância de entrada da linha é dada por,
𝑍𝑖𝑛 = 𝑍0 .
𝑍𝐿 . 𝑗𝑍0 tan 𝛽𝑙
𝑍0 . 𝑗𝑍𝐿 tan 𝛽𝑙
Quando a linha está em curto-circuito, isto é, 𝑍𝐿 = 0, tem-se
𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑐 = 𝑗𝑍0 tan 𝛽𝑙
e para o caso de circuito aberto, ou seja, 𝑍𝐿 = ∞, temos que
𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑎 = −
𝑗. 𝑍0
tan 𝛽𝑙
9
Através destas duas expressões é possível determinar duas características das
linhas de transmissão 𝑙 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎) 𝑒 𝑍0 (𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎),
dadas por
𝑍0 = √𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑐 . 𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑎
𝑙=
1
𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑐
tan−1 √−
𝛽
𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑎
4. Procedimento Experimental
O objetivo da experiência realizada em aula prática é determinar a impedância
característica (Z0) de uma linha de transmissão. Para realizar este objetivo serão
utilizadas as fórmulas acima apresentadas.
A impedância de entrada é:
𝑍𝑖𝑛 =
𝑉𝑖𝑛
𝐼𝑖𝑛
A corrente de entrada Iin é obtida através da seguinte fórmula:
𝐼𝑖𝑛 =
𝑉𝑅 − 𝑉𝑖𝑛
𝑅
Para determinar 𝑍𝑖𝑛 experimentalmente mede‐se 𝑉𝑖𝑛 e 𝑉𝑅 . Para isso será
utilizado um circuito, que tem duas ligações BNC, uma resistência e três pontos de
ligação como ilustrado na figura.
Esquemático do circuito utilizado nas simulações
Umas das entradas BNC liga‐se, ao gerador de funções, e a outra entrada liga‐se
a linha de transmissão. Em seguida, usando as pontas de prova do osciloscópio,
visualiza‐se a tensão na resistência, VR, (pontos a e b) no canal 1 do osciloscópio e a
tensão de entrada na linha, Vin, no canal 2 (pontos b e c).
Inicialmente escolhe-se uma freqüência alta para ser emitida pelo gerador. Para
cada impedância de carga (circuito aberto, curto circuito), medem‐se os valores RMS da
tensão na resistência e da tensão de entrada, bem como a diferença de fase, Δ𝜃, entre um
sinal e outro.
10
Para a medição da diferença de fase configure o osciloscópio para a exibição no
modo de curvas de Lissajous, o qual é apresentado na base teórica.
Utilizamos a tabela abaixo para nos auxiliar nos cálculos de 𝐼𝑖𝑛 , 𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑐 𝑒 𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑎 .
VR (canal 1)
Vin (canal 2)
Iin
Zin
Curto-Circuito
Circuito Aberto
Não podemos esquecer que, como as tensões são alternadas e possuem diferença
de fase, ao calcularmos Iin a subtração VR – Vin deve ser feita em coordenadas
retangulares, sendo assim, após encontrarmos a defasagem entre as tensões considera-se
que VR tem ângulo igual a zero e Vin ângulo igual à defasagem calculada, depois que
esses valores são passados de coordenadas polares para coordenadas retângulas faz-se a
sua subtração e depois o resultado obtido é transformado de volta em coordenadas
polares. A questão 5 apresenta todos os resultados obtidos na bancada e os cálculos
envolvidos.
5. Exercícios
1) Para um cabo coaxial RG‐8A/U, dados: C=97pF/m e L=2,56uH/m. Calcule:
a) Impedância característica em um cabo coaxial RG‐8A/U.
b) Fator de velocidade desse cabo.
2,56𝑥10−6
𝐿
a)
𝑍0 = √𝐶 = √ 97𝑥10−12 = 162,45 Ω
b)
𝑉=
𝑣
𝑣=
𝐶
1
√𝐿𝐶
=
𝑉=
1
√2,48𝑥10−16
= 63459135,32 𝑚⁄𝑠
63459135,32
= 0,21 𝑜𝑢 21%
3𝑥108
2) Uma linha de transmissão de RF tem um comprimento de 75m e é alimentada por um
sinal de freqüência de 29MHz. A linha tem os seguintes parâmetros:
V= 0,67 C= 96,5 pF/m Zo=52Ω
Determinar:
a) Velocidade de propagação, v, em m/s;
b) Comprimento de onda L em metros e o comprimento da linha em comprimentos de
onda.
c) Constante de fase em graus/metro
d) Comprimento elétrico da linha, Bs, em graus.
e) Indutância efetiva, L, em μH/m.
a) 𝑣 = 𝑉𝐶 = 0,67. 3𝑥108 = 201𝑥106 𝑚⁄𝑠
b) 𝜆 =
c) 𝛽 =
𝑣
=
𝑓
2𝜋
𝜆
201𝑥106
=
29𝑥106
2𝜋
= 6,93 𝑚
= 0,9
6,93
𝑟𝑎𝑑
𝑚
𝑙=
75
𝜆
= 10,82
𝑜𝑢 51,95 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠/𝑚
11
d) 𝛽𝑠 = 0,9𝑥75 = 67,5 𝑟𝑎𝑑 𝑜𝑢 3896,1 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠
e) 𝑣 =
1
√𝐿𝐶
→ 𝑣2 =
1
𝐿𝐶
→ 𝐿=
1
𝐶𝑉 2
=
1
(201𝑥106 )2 .96,5𝑥10−12
= 0,256 µ𝐻/𝑚
3) O que é figura de Lissajous? Explicar como medir a defasagem.
Figura de Lissajous é a composição gráfica de dois movimentos ondulatórios,
um na vertical e outro na horizontal, exibida no osciloscópio na forma XY. A figura
obtida é na forma de elipse, na qual encontramos os valores de ‘a’, que representa a
distância entre o centro da elipse e o ponto onde esta corta o eixo y, e de ‘b’, que
representa a distância entre o centro da elipse e o ponto máximo da figura.
Através destes valores podemos medir a defasagem, calculada pela fórmula:
Δ𝜃 = sin−1(2𝑎⁄2𝑏)
4) O que é coeficiente de atenuação?
É expresso comumente em dB/km e em se tratando de um sinal de uma linha de
transmissão de alta freqüência, é proporcional ao quadrado do comprimento da linha.
Além disso, o coeficiente de atenuação pode ser calculado para qualquer comprimento
específico de cabo.
Por exemplo, se o cabo tiver 2dB/100m a 100Mz, o coeficiente para o
comprimento de 10m será de 0,2dB.
5) De acordo com a prática realizada no laboratório. Demonstre os cálculos para o
comprimento da linha l e a impedância característica Zo.
Na tabela abaixo estão os valores obtidos no osciloscópio, a freqüência utilizada
no gerador de funções foi de 2 MHz. Os cálculos de Iin e Zin estão abaixo da tabela.
Curto-Circuito
Circuito Aberto
VR (canal 1)
3,43 V
4,76 V
Vin (canal 2)
1,51 V
3,87 V
Iin
61,27 mA
35,1 mA
Zin
24,64 V
110,25 V
Cálculo de Zin,cc
A primeira coisa a ser calculada é a defasagem Δθ, utilizando o osciloscópio no
modo XY, obtivemos a figura de Lissajous e os valores de a e b que são,
respectivamente, 3,5 e 4,2. Assim:
sin Δ𝜃 =
𝑎
𝑏
→ sin−1
𝑎
= Δ𝜃
𝑏
Δ𝜃 = 56,44°
Então utilizamos 0º para VR e 56,44º para Vin fazemos sua subtração utilizando
coordenadas retangulares, abaixo.
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𝑉𝑅 − 𝑉𝑖𝑛 = (3,43∡0°) − (1,51∡56,44°)
= (3,43 + 𝑗0) − (0,83 + 𝑗1,25)
= (2,6 − 𝑗1,25)
= 2,88 ∡ − 25,67°
𝑉𝑅 − 𝑉𝑖𝑛
2,88
=
= 61,27 𝑚𝐴
𝑅
47
𝐼𝑖𝑛,𝑐𝑐 =
𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑐 =
𝑉𝑖𝑛
1,51
=
= 24,64 𝑉
𝐼𝑖𝑛,𝑐𝑐
61,27𝑥10−3
Cálculo Zin,ca
A primeira coisa a ser calculada é a defasagem Δθ, utilizando o osciloscópio no
modo XY, obtivemos a figura de Lissajous e os valores de a e b que são,
respectivamente, 3,6 e 11,2. Assim:
sin Δ𝜃 =
𝑎
𝑏
→ sin−1
𝑎
= Δ𝜃
𝑏
Δ𝜃 = 18,74°
Então utilizamos 0º para VR e 18,74º para Vin fazemos sua subtração utilizando
coordenadas retangulares, abaixo.
𝑉𝑅 − 𝑉𝑖𝑛 = (4,76∡0°) − (3,87∡18,74°)
= (4,76 + 𝑗0) − (3,66 + 𝑗1,24)
= (1,1 − 𝑗1,24)
= 1,65 ∡ − 48,42°
𝐼𝑖𝑛,𝑐𝑎 =
𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑎 =
𝑉𝑅 − 𝑉𝑖𝑛
1,65
=
= 35,1 𝑚𝐴
𝑅
47
𝑉𝑖𝑛
𝐼𝑖𝑛,𝑐𝑎
=
3,87
= 110,25 𝑉
35,1𝑥10−3
Cálculo de Z0
𝑍0 = √𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑐 . 𝑍𝑖𝑛,𝑐𝑎 = √24,64.110,25 = 52,12 Ω
13
6. Conclusão
Como visto nesta ultima questão que mostra os cálculos realizados na
experiência em bancada, o valor de impedância característica encontrado com a
realização dos cálculos é aproximadamente o mesmo do cabo coaxial utilizado na
experiência, cujo valor da impedância característica era de 50 Ω, e o valor obtido foi de
52,12 Ω. Podemos concluir então a veracidade de todos os cálculos e fórmulas
apresentados neste relatório.
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