Apresentação do PowerPoint

Lógica Matemática
UNIDADE I
Professora: M.Sc. Juciara do Nascimento César
1
A Lógica na Cultura Helênica
A Lógica foi considerada na cultura clássica e medieval como
um instrumento indispensável ao pensamento científico.
Era necessário argumentar com clareza, mediante
demonstrações rigorosas, respondendo as objeções dos
adversários.
Uma ferramenta importante para argumentar com os
sofistas.
2
A Lógica de Aristóteles
• Aristóteles (384 a 322 a. C.) construiu
uma sofisticada teoria dos argumentos,
cujo núcleo é a caracterização dos
chamados silogismos.
• Exemplo:
– Todos os homens são mortais.
– Sócrates é homem.
– Portanto, Sócrates é mortal.
3
Leibniz, o Precursor da Lógica Moderna
• A lógica moderna começou no século
XVI, com o filósofo e matemático alemão
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
• O projeto de Leibniz tinha como base
uma lógica simbólica e de caráter
completamente algébrico, semelhante ao
cálculo diferencial, inventado por ele e
Newton.
• Deduções lógicas deveriam ser feitas
através de uma pura manipulação
simbólica, sem referência ao significado
“real” destes símbolos.
4
A Lógica Matemática no
século XIX
•A passagem do século XVIII para o século XIX é
conhecida como a idade áurea da matemática.
•Em especial, começam a ser delineados
fundamentos da ciência da computação.
os
•A lógica matemática, a partir daqui, tem o objetivo
principal de tornar explícitas as formas de
inferência, deixando de lado o conteúdo das
verdades que elas possam transmitir.
5
Boole e os Fundamentos da Lógica
Matemática e da Computação
• O inglês George Boole (18151864) é considerado o pai da
lógica simbólica.
• Desenvolveu o primeiro sistema
formal para raciocínio lógico
(lógica booleana).
•Foi o primeiro a enfatizar a
possibilidade de aplicar o cálculo
formal a diferentes situações
6
Introdução ao Estudo da Lógica
O estudo da lógica é o estudo dos princípios e métodos
usados para distinguir argumentos válidos dos não válidos.
Proposição é o ponto de partida.
Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam
fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de
determinados antes.
7
Exemplo:
a) a lua é um satélite da Terra;
b) 2 + 1 é 5;
c) Brasília é a capital do Brasil.
Não proposição
Nenhuma das frases seguintes é uma proposição,
porque não faz sentido questionar se alguma delas é verdadeira
ou falsa.
Exemplo:
a) Venha à nossa festa!
b) Tudo bem com você?
c) Tchau, benzinho
8
Tipos de Proposição
Simples ou Atômicos
Exemplo:
p : Oscar é prudente;
q : Mário é engenheiro;
r : Maria é morena.
Composta ou Molecular
Exemplo:
p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante;
q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador;
r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado.
9
Conectivos - são palavras (ou símbolos) que se usam para
formar novas proposições a partir de outras.
Exemplo:
P : 6 é par E 8 é cubo perfeito;
Q : NÃO vai chover;
R : SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia;
S : o triângulo ABC é isósceles OU equilátero;
T : o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é
equilátero.
10
Operações Lógicas Fundamentais
•q
Negação - "não p“
Simbologia - "~ p", que se lê "não p".
p
V
F
~p
F
V
Exemplo:
p : o sol é uma estrela
~p : o sol não é uma estrela
11
Conjunção :"p e q”
Simbologia - "p ^ q ", que se lê "p e q".
p
p
V
V
F
F
q•q p ^ q
V
V
F
F
V
F
F
F
Exemplo:
p : A neve é branca (V)
q : 2 < 5 (V)
p ^ q: A neve é branca E 2 < 5 ( V)
12
Disjunção: "p ou q”
Simbologia - "p v q ", que se lê "p ou q".
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pVq
V
V
V
F
Exemplo:
p : Paris é a capital da França (V)
q : 9 – 4 = 5 (V)
p v q: Paris é a capital da França OU 9 – 4 = 5 (V)
13
Disjunção Exclusiva : “ou p ou q”
Simbologia - "p V q ", que se lê “ou p ou q".
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pVq
F
V
V
F
Exemplo:
p : Mario é Alagoano (V)
q : Mario é Gaúcho (F)
p V q: OU Mario é Alagoano OU Mario é Gaúcho (V)
14
Condicional: “ se p então q”
Simbologia - "p  q ", que se lê “se p então q".
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p -> q
V
F
V
V
Exemplo:
p : Eu como muito (V)
q : Eu engordo (V)
p  q: SE eu como muito ENTÃO eu engordo (V)
15
Bicondicional : “p se e somente se q”
Simbologia - "p  q ", que se lê “p se e somente q ".
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p <-> q
V
F
F
V
Exemplo:
p : Roma fica na Europa (V)
q : A neve é branca (V)
p  q: Roma fica na Europa SE E SOMENTE SE a neve é branca (V)
16
Construção de Tabelas Verdade
Tabela Verdade de uma Proposição Composta dada
várias proposições simples p, q, r , ..., podemos combinálas pelos conectivos lógicos:
Negação
Conjunção
Disjunção
Disjunção Exclusiva
Condicional
Bicondicional
~

v
V


e construir proposições compostas, tais como:
P(p,q) = ~p V (p->q)
Q(p,q) = (p<-> ~ q) ^q
R(p,q,r) = (p-> ~ q V r ) ^ ~(q V (p <-> ~ r))
17
Números de Linhas de uma Tabela Verdade
O número de linhas da tabela verdade de uma
proposição composta depende do número de proposições
simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:
A tabela-verdade de uma proposição composta com
proposições simples componentes contém 2 elevado a n
linhas.
Exemplo
Construir a tabela-verdade da proposição:P(p,q) = ~ (p ^ ~ q)
18
1º Resolução
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
1º
~q
F
V
F
V
p^~q
F
V
F
F
~ (p ^ ~ q)
V
F
V
V
2º
3º
4º
2º Resolução
p
V
V
F
V
q
V
F
V
F
~
V
F
V
V
4º
(p ^ ~ q)
V F F V
V V V F
F F F V
F F V F
1º 3º 2º 1º
19
3º Resolução
~
V
F
V
V
4º
(p
V
V
F
F
1º
^
F
V
F
F
3º
~
F
V
F
V
2º
q)
V
F
V
F
1º
Diagrama Sagital
VV
VF
FV
V
F
U={VV,VF,FV,FF}
P(p, q) : U
{V, F}
FF
20
Exemplo: (p v ~ r)  (q ^ ~ r)
1º Resolução
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
1º
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~r
F
V
F
V
F
V
F
V
2º
p v ~ r q ^ ~r (p v ~ r)
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
3º
4º
(q ^ ~ r)
F
V
F
F
V
V
F
F
5º
No caso de três proposições componentes, temos:
P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV,FVF,FFV,FFF)= FVFFVVFF
21
Exemplo: (p v ~ r)  (q ^ ~ r)
3º Resolução
(p
V
V
V
V
F
F
F
F
1º
v
V
V
V
V
F
F
V
F
3º
~
F
V
F
V
F
F
V
F
2º
r)
V
F
V
F
V
F
V
F
1º
F
V
F
F
V
V
F
V
4º
(q
V
V
F
F
V
V
F
F
1º
^
F
V
F
F
F
F
F
F
3º
~
F
V
F
V
F
F
V
F
2º
r)
V
F
V
F
V
F
V
F
1º
22
Exemplo: (p v ~ r)  (q ^ ~ r)
Diagrama Sagital
VVV
VVF
VFV
VFF
FVV
V
F
FVF
FFV
FFF
23
Valor Lógico de uma Proposição Composta
Quando conhecemos os valores lógicos da proposição composta é
possível determinar o valor lógico
Exemplo 1: Sabendo que os valores lógicos de p e q são
respectivamente V e F
P(p,q) = ~ (p v q) ~ p  ~ q
Solução:
V(P) = ~ (V v F) ~ V  ~ F = ~ V  F  V= F F=V
Exemplo 2: Seja p:  = 3 e q: sen

2
 0 sendo V(p)=F e V(q)=F
P(p,q) = (p  q)  (p  p  q)
Solução:
V(P) = (F  F)  (F  F  F) = V  (F  F) = V V =V
24
Ordem de procedência para os conectivos
(1) ~
(2)  e V
(3) 
(4) 
25
Tautologias, Contradições e Contigências
1 –TAUTOLOGIA Chama-se tautologia toda a proposição composta
cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V
(verdadeira).
Exemplos:
a - A proposição "~ (p ^ ~ p)" (Princípio da não contradição) é
tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p
~p
p^~p
~ (p ^ ~ p)
V
F
F
V
F
F
V
V
Dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e
falsa é sempre verdadeiro
26
Exemplos:
b - A proposição "(p v ~ p)" (Princípio do terceiro excluído) é
tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p
~p
pv~p
V
F
F
V
V
V
Dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro
27
2 – CONTRADIÇÃO Chama-se contradição toda a proposição composta
cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F
(falsidade).
Exemplos:
a - A proposição " (p ^ ~ p)" é uma contradição, conforme se vê pela sua
tabela-verdade:
p
~p
p^~p
V
F
F
V
F
F
Dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é
sempre falso.
28
Exemplos:
b - A proposição " (p  ~ p)" é uma contradição, conforme se vê pela
sua tabela-verdade:
p
~p
p <-> ~ p
V
F
F
V
F
F
c - A proposição " (p  q) ~(p v q)" é uma contradição, conforme se vê
pela sua tabela-verdade:
p
q
p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p V q ~( p V q) ~( p  q)  ~ (p V q)
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
29
3 – CONTINGÊNCIA Chama-se contingência toda a proposição composta
em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada
uma pelo menos uma vez.
Exemplos:
a - A proposição " p  ~ p" é uma contingência, conforme se vê pela sua
tabela-verdade:
p
~p
p -> ~ p
V
F
F
V
F
V
30
Exemplos:
b - A proposição " p v q  p" é uma contingência, conforme se vê pela
sua tabela-verdade:
p
q
pVq
p v q -> p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
c - A proposição " x=3  (xyx3) " é uma contingência, conforme se vê
pela sua tabela-verdade:
x=3 x = y
x3
xy
x  y x  3
x=3  (x  y x  3)
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
31
Implicação Lógica
Definição de Implicação Lógica
Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou
apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V)
todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V).
P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...)
Observação importante:
Não confundir os símbolos  e 
 Representa uma operação entre as proposições
 Indica uma relação entre duas proposições dadas
32
Propriedades da Implicação Lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições
goza das propriedades reflexiva (R) e transitiva (T), isto é,
simbolicamente.
(R)
P(p,q,r,...) => P(p,q,r,...)
(T) Se P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) e
Q(p,q,r,...) => R(p,q,r,...), então
P(p,q,r,...) => R(p,q,r,...)
33
Implicação Lógica
Exemplo:
Portanto, simbolicamente: p  q  p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
qp
V
V
F
V
Comparando as tabelas verdade p e qp, verificamos que não
existe VF numa mesma linha. Portanto p  qp
34
Implicação Lógica
Exemplo:
Portanto, simbolicamente: (p <--> q) ^ p => q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p <-> q (p <-> q) ^ p
V
V
F
F
F
F
V
F
(p <-> q) ^ p -> q
V
V
V
V
35
Tautologia e Implicação Lógica
Teorema – A proposição P(p, q, r, ...) implica a proposição Q(p, q, r, ...) isto
é:
P(p,q,r, ...) => Q (p, q, r, ...)
Se e somente se a condicional:
P(p,q,r, ...)  Q (p, q, r, ...) é tautológica.
Portanto, simbolicamente: (p <-> q) ^ p => q
p
V
q
V
pq
V
(pq)  p
V
(pq)  p  q
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
36
Equivalência Lógica
Definição de Equivalência Lógica
Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) é logicamente equivalente ou
apenas equivalentes a uma proposição Q(p,q,r,...), se as tabelas verdade
desta duas proposições são idênticas.
P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...)
Observação importante:
Não confundir os símbolos  e 
 Representa uma operação entre as proposições
 Indica uma relação entre duas proposições dadas
37
Propriedades da Equivalência Lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições
goza das propriedades reflexiva (R), simétrica (S) e transitiva (T),
isto é, simbolicamente.
(R)
P(p,q,r,...)  P(p,q,r,...)
(S) Se P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...), então
Q(p,q,r,...)  P(p,q,r,...),
(T) Se P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...) e
Q(p,q,r,...)  R(p,q,r,...), então
P(p,q,r,...)  R(p,q,r,...)
38
Exemplo: p  q  (p  q) V (~ p  ~ q)
p
q
pq
(p

q)
V
(~p

~q)
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
39
Tautologia e Equivalência Lógica
Teorema – A proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a proposição Q(p,
q, r, ...) isto é:
P(p,q,r, ...)  Q (p, q, r, ...)
Se e somente se a bicondicional:
P(p,q,r, ...)  Q (p, q, r, ...) é tautológica.
Exemplo: “(p ~ q c)  (p  q)”, onde c é uma proposição cujo
valor lógico é F, é tautológico.
40
Tautologia e Equivalência Lógica
Exemplo: (p ~ q c)  (p  q)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p
V
V
F
F
1

F
V
F
F
3
~q  c)  (p
F V F V V
V F F V V
F V F V F
V V F V F
2 4 1 5 1

V
F
V
V
2
q)
V
F
V
F
1
41
Tautologia e Equivalência Lógica
Exemplo: As proposições “x=1 V x  3” e ~ (x  3  x = 1)” não são
equivalentes pois, a bicondicional:
(x=1 V x  3)  ~ (x  3  x = 1)
não é tautólogica, conforme a tabela-verdade e desta forma não são
equivalentes.
(x =1
V
x  3)

~
(x <3

X=1)
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
1
2
1
4
3
1
2
1
42
Proposições associadas a uma condicional
Def. Dada a condicional p q, chamam-se proposições associadas a
p q as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q
a) Proposição recíproca de p  q: q  p
b) Proposição contrária de p  q: ~ p ~ q
c) Proposição contrapositiva de p  q: ~ q  ~ p
p q q q
~ p ~ q
~q~p
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
p
q
V
V
V
V
F
F
F
43
Exemplos:
Determinar:
a) A contrapositiva de p  ~ q
Resolução
~~q~pq~p
b) A contrapositiva de ~ p  q
Resolução
~q~~p~qp
c) A recíproca de p  ~ q é ~ q  p. E a contrapositiva de ~q  p é:
Resolução
~p~~q~pq
d) A contrapositiva de ~ p  ~ q é:
Resolução
~~q~~p qp
44
Exemplos:
Determinar:
a)A contrapositiva da recíproca de x = 0  x < 1
Resolução
A recíproca de x = 0  x < 1 é x < 1  x = 0 e a contrapositiva desta
recíproca é ; x 0  x < 1
b) A contrapositiva da contrária de x < 1  x < 3
Resolução
A contrária de x < 1  x < 3 é x < 1  x < 3 e contrapositiva de desta
contrária é x < 3  x < 1
45
Negação conjunta de duas proposições
Def. Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a
proposição “ não p e não q”, isto é, simbolicamente “ ~p  ~q”
Notação “p  q”
pq~p~q
p
q
pq
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
46
Negação disjunta de duas proposições
Def. Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a
proposição “ não p ou não q”, isto é, simbolicamente “ ~p V ~q”
Notação “p  q”
pq~pV~q
p
q
pq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
Os símbolos “” e “” são chamados “conectivos de “SCHEFFER”
47
Exemplos:
Determinar o valor lógico da seguinte proposição:
(~ p  q)  (q  ~ r)
Resolução
(~ V  V )  ( V  ~ F)
(F  V )  ( V  V)
F  F
F
Demonstrar que a seguinte proposição é contingente
(p

q)
V
(~ q

p)
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
48