Sequências (PA e PG)

Sequências (P.A. e P.G.)
Parte I
1. (Espcex (Aman) 2014) Os números naturais ímpares são
dispostos como mostra o quadro
1ª linha
2ª linha
3ª linha
4ª linha
5ª linha
...
1
3
7
13
21
...
5
9
15
23
...
11
17
25
...
19
27
...
29
...
...
O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é:
a) 807
b) 1007
c) 1307
d) 1507
e) 1807
2. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo
é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão
aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
2
a) 3,0 m .
2
b) 2,0 m .
2
c) 1,5 m .
2
d) 3,5 m .
3. (Unesp 2013) A soma dos n primeiros termos de uma
2
progressão aritmética é dada por 3n – 2n, onde n é um
número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a
razão são, respectivamente,
a) 7 e 1.
b) 1 e 6.
c) 6 e 1.
d) 1 e 7.
e) 6 e 7.
4. (Fgv 2013) Entre 2006 e 2010, foram cometidos em
média 30 crimes por ano em Kripton (entre roubos,
estelionatos e assassinatos). Em 2007, foram cometidos 40
crimes no total. Entre 2006 e 2010, o número de crimes
evoluiu em uma progressão aritmética.
a) Qual é a razão da progressão aritmética em que evoluiu
o número de crimes, entre 2006 e 2010?
b) Em 2010, houve duas vezes mais roubos que
assassinatos e igual número de roubos e estelionatos.
Quantos estelionatos ocorreram em 2010?
c) Em 2011, foram cometidos 30 crimes. Qual é o número
médio de crimes cometidos entre 2007 e 2011?
5. (Unifesp 2013) A sequência (12,a,b), denominada S1, e a
sequência (c,d,e), denominada S2, são progressões
aritméticas formadas por números reais.
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de
S1, a nova sequência de três números reais passa a ser
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uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão
dessa PG.
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos
de S2, a nova sequência que se forma tem soma dos três
termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero.
Determine a razão r de S2, para o caso em que
π
< r < π.
2
6. (Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a
padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa
numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para
adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em
meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para
mulheres.
a) Considere a tabela abaixo.
Numeração brasileira (t)
35
42
Comprimento do calçado (x)
23,8 cm
27,3 cm
Suponha que as grandezas estão relacionadas por
funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e
x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os
valores dos parâmetros a e b da expressão que permite
obter a numeração dos calçados brasileiros em termos
do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da
expressão que fornece o comprimento em termos da
numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos
pode ser estabelecida de maneira aproximada pela
função real f definida por f(x) = 5(x – 20) / 3, em que x é
o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a
numeração dos calçados nk forma uma progressão
aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que
nk = f (ck), com k natural, calcule o comprimento c5.
7. (Fgv 2013) Observe a tabela com duas sequências.
Sequência
1
Sequência
2
1.º
termo
2.º
termo
3.º
termo
4.º
termo
...
3
7
11
15
...
-3
-82
-161
-240
...
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da sequência 1, e
bn o n-ésimo termo da sequência 2, então, Sn =| bn | para
n igual a 1 ou
a) 26.
b) 29.
c) 38.
d) 43.
e) 46.
8. (Enem 2013) As projeções para a produção de arroz no
período de 2012–2021, em uma determinada região
produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento
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constante da produção anual. O quadro apresenta a
quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos
primeiros anos desse período, de acordo com essa
projeção.
Ano
Projeção da produção (t)
2012
50,25
2013
51,50
2014
52,75
2015
54,00
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser
produzida no período de 2012 a 2021 será de
a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.
e) 563,25.
9. (Fgv 2013) Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na
1ª fileira há 10 lugares, na 2ª há 12, na 3ª há 14 e assim por
diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas
cadeiras a mais que a da frente).
O número total de cadeiras é
a) 250
b) 252
c) 254
d) 256
e) 258
10. (Fgv 2013) Uma mercadoria é vendida com entrada de
R$500,00 mais 2 parcelas fixas mensais de R$576,00.
Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros
compostos de 20% ao mês, o preço à vista dessa
mercadoria, em reais, é igual a
a) 1.380,00.
b) 1.390,00.
c) 1.420,00.
d) 1.440,00.
e) 1.460,00.
11. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve
sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir
de um ponto P0 , localizado em uma reta horizontal r, com
deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a
trajetória da partícula, até o ponto P3 , em r. Na figura,
O, O1 e O2 são os centros das três primeiras
R R
semicircunferências traçadas e R, , seus respectivos
2 4
raios.
A trajetória resultante do movimento da partícula será
obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente,
sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência
R
, respectivamente, até o ponto
dados por On e Rn =
2n
Pn , também em r. Nessas condições, o comprimento da
trajetória descrita pela partícula, em função do raio R,
quando n tender ao infinito, será igual a
a) 22 ⋅ π ⋅ R.
b) 23 ⋅ π ⋅ R.
c) 2n ⋅ π ⋅ R.
7
d)   ⋅ π ⋅ R.
4
e) 2 ⋅ π ⋅ R.
12. (Fgv 2013) Se uma pessoa faz hoje uma aplicação
financeira a juros compostos, daqui a 10 anos o montante
M será o dobro do capital aplicado C.
Utilize a tabela abaixo.
x
2
x
0
1
0,1
1,0718
0,2
1,1487
0,3
1,2311
0,4
1,3195
Qual é a taxa anual de juros?
a) 6,88%
b) 6,98%
c) 7,08%
d) 7,18%
e) 7,28%
13. (Ita 2013) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases
retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são,
respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As
medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma
progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o
3
volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm . Calcule:
a) As medidas das arestas do paralelepípedo.
b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo.
14. (Insper 2012) Considere a sequência
π
2π
3π
nπ
999π
1000π 

,cos
 cos ,cos ,cos ,...,cos ,...,cos

14
14
14
14
14
14 

O total de elementos dessa sequência que são números
inteiros é igual a
a) 0.
b) 35.
c) 71.
d) 105.
e) 142.
15. (Unicamp 2012) Uma curva em formato espiral,
composta por arcos de circunferência, pode ser construída
a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros
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dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências
que concordam sequencialmente nos pontos de transição,
como ilustra a figura abaixo, na qual supomos que a
distância entre A e B mede 1 cm.
a) Determine a área da região destacada na figura.
b) Determine o comprimento da curva composta pelos
primeiros 20 arcos de circunferência.
Parte II: como cai na UFJF
1. (Ufjf 2012) Se a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética (PA) de termo geral an , com n ≥ 1, é
dada por Sn =
15n − n2
, então o vigésimo termo dessa PA
4
é:
a) –10.
b) –6.
c) 4.
d) 12.
e) 20.
2. (Ufjf 2011) Dados dois números reais, tais que a < b ,
definimos o comprimento do intervalo fechado [a,b] por
b) o menor deles é um número real negativo.
c) a soma deles é igual a 2.
d) são 3 números inteiros.
e) o produto entre eles é igual a 2.
4. (Ufjf 2006) Uma pessoa compra um carro, devendo
pagá-lo, em prestações mensais, durante 5 anos. As
prestações pagas em um mesmo ano são iguais, sendo de
R$ 400,00 o valor da primeira prestação, paga em janeiro. A
cada ano, a prestação sofre um aumento de 10%, em
relação à do ano anterior. Sendo assim, o valor da
prestação mensal, no último ano será, aproximadamente,
de:
a) R$ 440,00.
b) R$ 480,00.
c) R$ 500,00.
d) R$ 580,00.
e) R$ 670,00.
5. (Ufjf 2006) Uma progressão aritmética e uma
geométrica têm o número 2 como primeiro termo. Seus
quintos termos também coincidem e a razão da PG é 2.
Sendo assim, a razão da PA é:
a) 8.
b) 6.
c) 32/5.
d) 4.
e) 15/2.
6. (Ufjf 2003) Os comprimentos das circunferências de uma
sequência de círculos concêntricos formam uma progressão
geométrica de razão 3. As áreas desses círculos formam
uma:
a) progressão geométrica de razão 9.
b) progressão aritmética de razão 1/3.
c) progressão geométrica de razão 1/3.
d) progressão aritmética de razão 9.
e) progressão geométrica de razão 1/9.
l ([a,b]) = b − a . Para cada número n natural, considere o
1 1
1 
 1
intervalo In =  − ,1 + + 2 + ... + n −1  . O valor de n
32
2
2
2


tal que l (In ) = 2 é:
a) 4 .
b) 5 .
c) 6 .
d) 7 .
e) 8 .
3. (Ufjf 2007) Os números log10 x, log10 (10x) e 2 formam,
nessa ordem, uma progressão aritmética, onde x é um
número real positivo. Sobre os termos dessa progressão, é
correto afirmar que:
a) são 3 números reais positivos.
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7. (Ufjf 2002) Um aluno do curso de biologia estudou
durante nove semanas o crescimento de uma determinada
planta, a partir de sua germinação. Observou que, na
primeira semana, a planta havia crescido 16 mm. Constatou
ainda que, em cada uma das oito semanas seguintes, o
crescimento foi sempre a metade do crescimento da
semana anterior. Dentre os valores a seguir, o que MELHOR
aproxima o tamanho dessa planta, ao final dessas nove
semanas, em milímetros, é:
a) 48.
b) 36.
c) 32.
d) 30.
e) 24.
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