Sistemas do 2º grau

SISTEMA DE EQUÇÕES E PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU
AS RESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXERCÍCIOS.
Sistema de Equações e Problemas do 2º grau
1) Resolva os sistemas:
⎧y = 4x
a) ⎨
Substituindo a 1 ª na 2 ª , teremos:
⎩xy = 49
49
2
x.4x = 49 → 4x = 49 → x = ±
→
4
7
x=±
2
Voltando a 1 ª equação, teremos:
7
7
x=
x=2
2
7
7
y = 4.(- ) → y = -14
y = 4.
→ y = 14
2
2
⎧x + y = 8 → x = 8 - y
Substituindo x na 2 ª , tere⎨
⎩xy = 15
mos:
2
(8 - y).y = 15 → 8y - y = 15
2
y - 8y + 15 = 0 → y = 3 e y = 5
Voltando a 1 ª equação, teremos:
y=3
y=5
x=8-3→x=5
x=8-5→x=3
Os números são 3 e 5.
3) Ache as dimensões de um retângulo, sabendo
2
que seu perímetro é 38m e sua área é 88m .
4) Determine dois números que tenham soma 14
e soma dos quadrados 100.
5) A soma dos termos de uma fração é 8. Somando 7 ao numerador e 1 ao denominador, encontrase a recíproca da fração inicial. Qual é a fração
inicial?
6) Dois números são tais que a soma de seus
quadrados é 9 e sua soma é igual ao inverso de
sua diferença. Quais são os números?
7) Resolva os sistemas de equações, sabendo que
U = R x R:
⎧x + y = 5
⎧ x − y =1
a) ⎨
b) ⎨ 2
2
⎩ xy = 4
⎩2 x + y = 2
⎧⎛ 7 ⎞ ⎛ 7
⎞⎫
V = ⎨⎜ ,14 ⎟; ⎜ − ,−14 ⎟⎬
⎠⎭
⎩⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎧x + y = 0
b) ⎨
⎩x.y = −25
⎧x 2 + y 2 = 25
d) ⎨
⎩2x + y = 10
⎧x + y = 2
f) ⎨ 2
2
⎩3x + 4 y = 23
⎧3x − y = 0
h) ⎨ 2
2
⎩3y − 2x = 25
⎧3x + 2 y = 5
j) ⎨
2
⎩y = x
⎧⎪3x 2 + 4 y 2 = 10
m) ⎨ 2
⎪⎩4 x − 3y 2 = 5
⎧ x .y = 3
o) ⎨ 2
2
⎩x − 2 y = 7
⎧x − y = 1
c) ⎨
⎩x.y = 12
⎧2 x + y = 2
e) ⎨ 2
2
⎩x + y = 25
⎧3x 2 − 5y 2 = 22
g) ⎨
⎩x − 2 y = 1
⎧⎪x 2 + 3y = 7
i) ⎨ 2
⎪⎩2x + 3y 2 = 11
⎧ x − y =1
c) ⎨ 2
2
⎩x + y = 13
⎧⎪x 2 + y 2 = 5
l) ⎨ 2
⎪⎩x − y 2 = 1
⎧x + 2 y + 1 = 0
d) ⎨ 2
2
⎩ x − 2y = 1
⎧xy = 1
⎪
e) ⎨ 2 1
⎪3x + y = 2.(1 + xy), sendo y ≠ 0
⎩
⎧4x 2 + y 2 = 16
n) ⎨
⎩xy = 4
⎧ 3x − y = 1
f) ⎨ 2
⎩x − 2xy = −3
⎧x 2 + y 2 = 13
p) ⎨
⎩x.y = 6
⎧⎪x 2 + y 2 + x − y = 24
q) ⎨ 2
⎪⎩x + y 2 = 25
⎧ y
=2
⎪
g) ⎨ y − x
⎪ y 2 − xy = 8
⎩
⎧1 1
⎪ + = 5, sendo x ≠ 0, y ≠ 0
h) ⎨ x y
⎪2 x + 3 y = 2
⎩
⎧1 2
⎧⎪x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0
⎪ + =8
r) ⎨ 2
s)
⎨x y
⎪⎩x + y 2 − 2 x − 1 = 0
⎪2 x + 6 y = 3
⎩
u)
⎧xy = −12
⎪
⎧2 x − y = 1
t) ⎨ 1 1
1
⎪
⎪ x + y = − 12
⎨1 1
⎩
⎪x + y = 2
⎩
2) Determine dois números cuja soma seja 8 e
cujo produto seja 15.
Os números são x e y
⎧x + y = 9
i) ⎨
⎩ xy = 20
⎧x 2 + 2 xy = 8
⎪
l) ⎨ xy xy
⎪⎩ 2 . 2 = 1
⎧ x − y =1
n) ⎨ 2
2
⎩x + y = 25
1
⎧ 3xy = −6
j) ⎨
⎩x − 2 y = 4
⎧ 2x + y = 4
m) ⎨ 2
2
⎩x − y = 5
⎧ 3x = y + 1
o) ⎨ 2
⎩x + 2 xy = 5
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca
Telefone: 41010991
SISTEMA DE EQUÇÕES E PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU
⎧x + y = 6
p) ⎨ 2
2
⎩x + y − 4x − y = 3
l) A soma dos quadrados de dois números inteiros positivos é 89 e a diferença entre seus
quadrados é 39. Determine esses números.
m) Calcule as dimensões de um paralelogra2
mo, sabendo que sua área mede 180m e que a
soma da medida da base com a medida da altura é igual a 27m.
n) A soma de dois números naturais é igual a
10. A soma dos seus quadrados é 52. Determine esses números.
o) A soma de dois números naturais é 34 e o
maior deles é igual ao quadrado do menor,
menos 8. Calcule esses números.
p) O quadrado de um número inteiro positivo,
mais 7, é igual a 16. Qual é esse número?
q) A soma de um número positivo com seu
quadrado é igual a 20. Determine esse número.
r) O triplo do quadrado de um número positivo, menos o dobro desse número, é igual a 8.
Calcule esse número.
s) Determine o número natural cuja soma de
seu quadrado com o seu dobro é igual a cinco
vezes esse número.
t) A metade do quadrado de um número inteiro
positivo é igual ao dobro desse número. Determine-o.
u) Determine dois números inteiros consecutivos tais que o quadrado do primeiro, adicionado ao dobro do segundo, seja igual a 5.
v) Determine dois números naturais pares consecutivos tais que o seu produto seja igual a
48.
x) A soma dos quadrados de dois números ímpares consecutivos é 74. Determine esses números.
z) Qual o polígono que tem 35 diagonais?
⎧x − y = 2
q) ⎨ 2
⎩x + 2xy − 2x − 2 y = −1
⎧x + y = 2
r) ⎨
⎩(1 + x )(1 + y ) = 4
⎧⎪x + y = 3
s) ⎨
⎪⎩(x + y )2 − 2xy = 5
8) Resolva os problemas seguintes sabendo que
U = R:
a) O quadrado de um número positivo, mais 5,
é igual a 21. Determine esses números.
b) A soma dos quadrados de dois números inteiros consecutivos e positivos é 41. Calcule
esses números.
c) A diferença entre o quadrado de um número
natural e o quádruplo dele mesmo é 5. Determine esse número.
d) A diferença entre um número natural e o
8
. Determine esse núseu inverso é igual a
3
mero.
e) O produto de dois números naturais é 15. O
maior supera o menor em 2 unidades. Determine esses números.
f) O número de diagonais de um polígono é
n.(n − 3)
, sendo n o
calculado pela fórmula d =
2
número de lados. Identifique o polígono que
tem 9 diagonais.
g) A soma do quadrado de um número inteiro
positivo com o seu dobro é igual a oito vezes
esse mesmo número. Qual é esse número?
h) Determine três números naturais consecutivos, tais que o quadrado do maior seja igual à
soma dos quadrados dos outros dois.
i) Determine dois números inteiros tais que
sua soma seja 25 e seu produto seja 154.
j) Calcule as dimensões de um retângulo cujo
2
perímetro mede 50m e cuja área mede 156m .
Respostas
7
7
,14),(- ,-14)}
2
2
{(5, -5), (-5, 5)}
{(-3, -4), (4, 3)}
{(5, 0), (3, 4)}
7 24
{(- ,
),
5 5
(3, -4)}
1) a){(
b)
c)
d)
e)
f)
{(
i) {(2, 1), (-2,1)}
5 25
j) {(1, 1), (- ,
)}
2 4
8 − 113 6 + 113
,
)
7
7
,
l){( 3 , 2 ),
8 + 113 6 − 113
,
)}
7
7
g) {(3, 1),
31 19
(,)}
7
7
h) {(1, 3), (-1, -3)}
( 3 ,- 2 ),
(
(- 3 , 2 ),
(- 3 ,- 2 )}
(- 2 ,-1)}
n) { ( 2 , 2 2 ),
(- 2 , - 2 2 )}
o) {( 3, 1) , (- 3,-1 )}
p) {(2, 3), (-2,-3),
(3,2), (-3,-2)}
q) {(3, 4), (-4,-3)}
r) {(0, 1), (2, 1)}
m) {( 2 ,1),( 2 ,-1),
(- 2 ,1),
2
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca
Telefone: 41010991
SISTEMA DE EQUÇÕES E PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU
2)
3)
4)
5)
1 1
3 3
s) {( , ), ( , )}
8 8
2 3
t) {(-3, 4), (4,-3)}
1 1
u) {(1, 1), ( ,- )}
4 2
3e5
11m e 8m
6e8
3
5
6) ( 5 e 2) ou ( 5 e -2)
ou (- 5 e 2) ou
(- 5 e -2)
7) a) {(4, 1), (1, 4)}
1 4
7
2
( , - )}
b) {(1, 0), (- ,- )}
3 3
3 3
c) {(3, 2), (-2, -3)}
n) {(-3, -4), (4, 3)}
d) {(-1, 0), (3, -2)}
o) {(1, 2),
4 3
5 22
e) {(1, 1), (- , - )}
(- ,)}
3 4
7 7
3 14
9 3
f) {(1, 2), (- ,p) {(3, 3), ( , )}
)}
5 5
2 2
g) {(-2, -4), (2, 4)}
5 1
q) {(1, -1), ( ,- )}
1 1
2 2
3 3
h){( , ), ( , )}
r) {(1, 1)}
2 3
5 5
s) {(2,1), (1, 2)}
i) {(4, 5), (5, 4)}
j) {(2, -1)}
8) a) 4 b) 4 e 5 c) 5
d) 3
e) 3 e 5
l) {(-2, -1), (2, 1)}
f) hexágono
m) {(3, -2),
3
g) 6
h) 3, 4, 5
i) 11 e 14
j) 12m e 13m
l) 5 e 8
m) 12m e 15m
n) 4 e 6
o) 28 e 6
p) 3 q) 4 r) 2 s)
3
t) 4 u) 1 e 2 v) 6
e8
x) 5 e 7
z) decágono
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