ANÁLISE COMBINATÓRIA.

ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. FATORIAL:
 Sendo n  N , define-se n fatorial ou fatorial de
n ( indicamos n! ) como sendo:
n !  n.n  1
. n  2..........3.2.1
1!  1
0!  1
k1 , k 2 ,...., k n
n
n!
n  p !
elementos
símbolo
A
n,k
A
n,k
n
n!
p ! n  p !
 São combinações de
k
necessariamente distintos.
elementos
O número total de combinações completas de n
elementos, tomados k a k, e representado pelo
C
*
n,k
, é dado por:
não
C
 n  k  1

 C ( n  k 1),k  
 k

*
n ,k
TESTES
1. (FRANCO)
O conjunto solução da equação
n  2 !  15. n  1 ! é:
n  3!  
a) 1


b) 2

c) 3
d) 4
k
2. (FRANCO) O conjunto solução de
5. PERMUTAÇÕES SIMPLES:
 São arranjos simples onde todos os elementos do
conjunto participam no agrupamento n  p . O
número total de permutações simples é dado por:

não
 Ao calcular as combinações completas, portanto,
devemos considerar tanto as combinações com
elementos distintos (que são as combinações
simples) como também aquelas com elementos
repetidos.
, é dado por:
*

n, p
8. COMBINAÇÕES COMPLETAS:

 Ao calcular os arranjos completos, portanto,
devemos considerar tanto os arranjos com
elementos distintos (que são os arranjos simples)
como também aqueles com elementos
repetidos.
 O número total de arranjos completos de n
elementos, tomados k a k, e representado pelo
*
n!
k1 !  k 2 !  ......  k n !
C
símbolo
4. ARRANJOS COMPLETOS
 São os arranjos de k
necessariamente distintos.

7. COMBINAÇÃO SIMPLES:
 São agrupamentos onde não importa a ordem dos
elementos. O número total de combinações
simples é dado por:
2. PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO:
 Se um evento A pode ocorrer de m maneiras
distintas e a seguir, um evento B pode ocorrer de
n
maneiras distintas, então o número de
possibilidades de ocorrer A segundo B é m
multiplicado por n. O princípio multiplicativo pode
ser generalizado para mais de dois eventos.
3. ARRANJOS SIMPLES:
 São agrupamentos onde a ordem com que os
elementos participam é considerada e não existe
repetição de elementos.
 O total do número de arranjos simples é dado por:.
An , p 
P

Pn  n !
 O número total de permutações de n elementos
onde existem: r1 elementos repetidos de um
mesmo tipo, r2 elementos repetidos de um outro
tipo e assim sucessivamente é dado por:
n  1!  210
n  1!
é:

c) 14,15
a)
3. (FRANCO)
6. PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO:
e) 5
2,10
 15
b)
d)
e)
14
A Soma das raízes da equação
5x  7! 1 vale::
a) 5
b) 7
4. (FRANCO) Se
a) 12
b) 11
c) 12
n  6!  720 ,
c) 10
d) 3
e) 4
então n é:
d) 13
e) 14
5. (FRANCO)
negativo,
é um número inteiro não
valor
da
expressão
m  1 ! .m! é:
m  2!  
a)
Se
o
m

m!
m !2
m  1!
b)
c) 1
d)
6. (FRANCO) Simplificando-se
a)
b)
c)
d)
e)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
n  r  1!
n  r  1!
a) 0
 C12 é:
b) 1
c) 2
12. (FRANCO) A expressão
obtém-
7
2
35
6
expressão
é igual a:
10, 3

P
A
5, 2
3
é igual a:
4
n !.n 2  1
, então
n  1!
a
1984
é
a)
b)
igual a:
c)
1
1985
1984
1983
1985
1984 2  1
1984 2  1
1984
d)
9. (FRANCO) Se
e)
A
A
n 1, 3

3
então, n é igual a:
4
c) 4
A
solução
d) 5
e) 12
da
b) 12
c) 10
c) 127
d) 182
e) 201
16. (FRANCO) O número de formas de 8 pessoas
ocuparem duas salas distintas, devendo uma das
salas conter exatamente 3 pessoas, é:
a) 112
b) 144
c) 160
d) 182
e) 252
17. (FRANCO) Um polígono regular de n lados tem
90 diagonais. O valor de n é:
a) 10
d) 8
b) 79
equação
2  Ax, 4  4! C x, x 5 é:
a) 14
e) 1 200
25 3  10 4
25 3.9 4
25 3.10 4
26 3.10 4
26 3  10 4
a) 63
b) 13
10. (FRANCO)
b) 42
d) 1 120
e) 120
15. FRANCO) Uma sala tem
6 lâmpadas com
interruptores independentes. O número de modos
de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma
lâmpada, é:
n ,3
a) 11
d) 35
14. (FRANCO)
Para controlar o estoque de um
produto, uma empresa usa etiquetas formadas por
uma parte literal e outra numérica, nesta ordem. A
parte literal é formada de três letras do nosso
alfabeto, incluindo y, k, w, e a parte numérica é
formado por quatro algarismos de 0 a 9.
Sabendo-se que pode haver repetição das letras e
dos números, a quantidade do produto que pode
ser etiquetado sem que haja coincidência de
etiquetas é:
n 2  2.n
n 2  2.n  1
n  2!  1
n  2.n!  1
n 3  2.n 3  2.n
an 
a) 12
c) 160
c) 5
C
e)
13. (FRANCO) Um indivíduo possui cinco discos dos
Beatles, oito dos Rolling Stones e quatro do Dire
Straits. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao
sair, levou dois discos dos Beatles, dois dos
Rolling Stones e três do Dire Straits. O número de
modos distintos de escolher os discos é:
A
b)
d) 3
n  r . n  r  1
n  r . n  1
n  r . n  r  1
n  r . n  r 
n  r . n  r  1
8. (FRANCO) Se
a)
m  1!2
12
O número de raízes da equação
x2
a)
n  2!  n  1. n  1!
n  1. n  1!
b)
e)
C
2x
se:
7. (FRANCO)
a)
11. (FRANCO)
e) 6
b) 12
c) 15
d) 20
e) 21
18. (FRANCO) Com os algarismos de 1 a 9, o total de
números de 4 algarismos diferentes, formados
por 2 algarismos pares e 2 ímpares, é igual a:
a) 126
c) 720
b) 504
d) 1 440
e) 5 760
19. (FRANCO) O maior número de retas definidas por
12 pontos, dos quais sete são colineares, é:
a) 44
b) 45
c) 46
d) 90
e) 91
20. (FRANCO) Se a razão entre o número de arranjos
de n elementos agrupados 4 a 4 e o número de
combinações de n elementos agrupados 2 a 2 é
24, então n é igual a:
a) 8
b) 5
c) 7
d) 6
e) 4
21. (FRANCO) Com as letras da palavra PROVA
podem ser escritos x anagramas que começam
por vogal e y anagramas que começam e
terminam por consoante. Os valores de x e y
são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
48
48
72
24
72
e
e
e
e
e
b) 24
c) 60
23. (FRANCO) O(s) valores de
x,2
 C x,2
P


a)  2,1
c) 2
x

d) 120
e) 54
x
na equação
1
é (são) :
x!


b) 2,1
d) - 1
c) 60
d) 15
e) 21
27. (FRANCO) Os polígonos de k lados
(k
múltiplo de 3), que podemos obter com vértices
nos 9 pontos da figura, são em número de:
a)
b)
c)
d)
e)
83
84
85
168
169
28. (FRANCO) Num exame, um professor dispõe de
12 questões que serão entregues a 3 alunos, cada
um recebendo 4 questões . Quantas diferentes
situações teremos?
a) 34 650
c) 3 150
b) 12!
d) 2 600
a) 76 .
0
b) 78 .
0
0
d) 82 .
b) 1 320
d) 2 280
e) 495
e) n. d. a
0
25. (FRANCO) Qual é a soma de todos os números
maiores que 1 000, formados com os dígitos 1, 3,
5 e 7 usados sem repetição?
a) 114 712
b) 72 215
e) 121 692
c) 83 911
d) 106 656
26. (FRANCO) De quantas maneiras, uma oficina
pode pintar 5 automóveis iguais, recebendo cada
e) n. d. a
30. (FRANCO) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas.
De quantos modos diferentes essas pessoas
podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em
pé ?
a) 5 040
c) 120
b) 21
d) 2 520
e) n. d. a
GABARITO
e) 4
24. (FRANCO) Se colocarmos em ordem crescente
todos os números de 5 ( cinco) algarismos
distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do
número 61 473 será:
c) 80 .
b) 10
a) 2 160
c) 1 440
22. (FRANCO) O número de permutações das letras
da palavra AMIGA nas quais não aparece o grupo
AA é:
A
a) 12
29. (FRANCO) Considere os números inteiros maiores
que 64 000 que possuem 5 algarismos, todos
distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A
quantidade desses números é:
36
72
36
36
24
a) 36
um, tinta de uma única cor, se a oficina dispõe
apenas de 3 cores e não quer misturá-las?
1. A
7. B
13. B
19. C
25. D
2. E
8. C
14. D
20. D
26. E
3. D
9. E
15. A
21. A
27. E
4. A
10. A
16. A
22. A
28. A
5. E
11. C
17. C
23. C
29. A
6. A
12. B
18. D
24. A
30. D