MATEMÁTICA DISCRETA 22/02 word

Professor Pedro Bigattão
MATERIAL
DE APOIO A
Matemática
DISCRETA
1
Professor Pedro Bigattão
SUBCONJUNTOS
Todo elemento de um determinado conjunto A também pertence ao conjunto B, podemos
que A é subconjunto de B e indicaremos por A  B, lê-se A está contido em B.
 Todo conjunto é subconjunto de si próprio (A  A).
 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (  A).
 Se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2n subconjuntos.
 O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é
denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Se A = {x, y}, o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {Ǿ, {x}, {y}, {x, y}}.
 Um subconjunto de A é também denominado parte de A.
NÚMEROS NATURAIS
Conjunto dos Números Naturais: Todos os números inteiros positivos, incluindo o zero.
É representado pela letra maiúscula IN. Caso queira representar o conjunto dos números
naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
Exemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} ou N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}
Este conjunto pode ser representado por:
a) N: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 19,..., 1005,..., 10000000005,...}
Como poderemos perceber que o numero zero não consta no conjunto acima.

Estes números nasceram da necessidade que o homem primitivo tinha de contar
elementos, neste sentido o zero não seria um número natural.

O zero foi introduzido por volta do ano 458 DC pelos hindus para simular a coluna
vazia nos ábacos.
OPERAÇÕES EM N
1- A adição de dados naturais a, b, c, em N, são válidas as seguintes propriedades:·.
a) Fechamento: A soma de dois números naturais é sempre um número um número natural,
então o conjunto N dos elementos é fechado em relação à adição.
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b) Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c
c) Comutativa: a + b = b + a
d) Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a. Zero é o elemento neutro da adição.
e) Unívoca: o resultado da adição de dois números naturais é único.
f) Monotônica: Uma desigualdade não se altera se somarmos um mesmo número natural a
ambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c
2 - A subtração (diferença) é uma operação inversa da adição.
Se a + b = c então dizemos que a = c – b (c menos b). É óbvio que o conjunto N não é fechado
em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números naturais, nem sempre
é um número natural. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos
números naturais.
3 - A multiplicação é um caso particular da adição (soma), pois se somando um número
natural a si próprio n vezes, obteremos a + a + a +,...,+... + a = a. n = a x n.
Na igualdade a. n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.
Dados
os
números
naturais
a,
b
e
c,
são
válidas
as
seguintes
propriedades:
a) Fechamento: a multiplicação de dois números naturais é sempre outro número natural,
então o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à operação de multiplicação.
b) Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a. (b. c) = (a. b). c
c) Comutativa: a x b = b x a
d) Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
e) Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números naturais é único.
f) Monotônica: Uma desigualdade não se altera se multiplicarmos ambos os membros, por um
mesmo número natural, ou seja, se a > b então a x c > b x c.
g) Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
4 – A potenciação é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim se
multiplicarmos um número natural qualquer por ele mesmo n vezes, conseguiremos a x a x a x
a x... x a, a n, onde a será denominado base e n expoente.
Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.
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5- A divisão é um caso particular da subtração. O que significa dividir 17 por 3?
Significa descobrir, quantas vezes o número 3 cabe em 17, ou seja: 17 – 3 – 3 – 3 – 3 - 3 e
restam 2. Podemos escrever a expressão anterior como:
17 = 5. 3 + 2. O número 17 é denominado dividendo, o número 3 é denominado divisor, o
número 5 é denominado quociente e o número 2 é denominado resto.
NÚMEROS INTEIROS
1- Conjunto dos Números Inteiros: São todos os números que pertencem ao conjunto dos
Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). Este conjunto é infinito, e a letra Z
representa o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão,
significar número.
Z = {... - 4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Entendemos que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos
números inteiros Z, ou seja: N  Z “lê-se N está contido em Z”.
Define-se o modulo de um numero inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico.
Assim é que, representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos
citar como exemplos:
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc.
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.
Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a.
PROPRIEDADE DOS INTEIROS
1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por n + 1.
Sucessor de (– 3) = – 3 + 1 = - 2; sucessor de (3) = 3 + 1 = 4.
2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições:
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m = n [m igual a n] (igualdade)
m > n [m maior do que n] (desigualdade)
m < n [ m menor do que n] (desigualdade).
Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.
Exemplo, x  3, significa que x poderá assumir em Z os valores 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ..., e se
x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...
É óbvio dizer que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma
equivalente, qualquer número negativo é menor do que zero.
... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...
OPERAÇÕES EM Z
1- A adição a + b = a mais b.
A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras:
a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum.
Exemplos:
 (-3) + (-5) + (-2) = - 10
 (-7) + (-6) = - 13
b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em
módulo.
Exemplos:
a) (-3) + (+7) = + 4
b) (-12) + (+5) = -7
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
a) Fechamento: Soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que
o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.
b) Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c
c) Comutativa: a + b = b + a
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d) Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.
e) Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.
f) Monotônica: Uma desigualdade não se altera somando um mesmo número inteiro a ambos
os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.
2- Subtração: Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição.
Se a + b = c então dizemos que a = c – b (c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em
relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será
outro número inteiro. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos
números naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7.
A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra:
 a – b = a + (- b)
Exemplos:
a)
–
10
b)
(-5)
c)
(-
–
3)
(-3)
(-
10)
–
(+
=
10
+
=
(-
5)
+
7)
=
(-
3)
(+3)
(+10)
+
=
(-
=
+
7)
13
5
=
=
-
5
10
3- Multiplicação: É um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro
a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a. n = a x n
Na igualdade a. n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.
A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais:
 (+) x (+) = +
 (+) x (-) =  (-) x (+) =  (-) x (-) = +
Exemplos:
a) (- 3) x (- 4) = +12 = 12
b) (- 4) x (+ 3) = -1
Agora podemos demonstrar o porquê menos com menos resulta mais.
Consideremos o seguinte produto:
B = (7 – 5) X (10 – 6) onde o resultado já sabe ser.
Ao desenvolver o produto utilizando a propriedade distributiva em relação a adição temos;
B = (7 x 10) + (7 x (- 6)] + (- 5) x 10 + (- 5) x (- 6)  70 – 42 – 50 + [(- 5) x (- 6)]
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Como já sabemos que B = 8, então.
8 = 70 – 42 – 50 + [(- 5) x (- 6)]  [(- 5) x (- 6)] = 8 – 70 + 42 + 50  [(- 5) x (- 6)] = 30
Observamos que realmente menos com menos resulta mais.
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
a) Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro.
Dizemos então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de
multiplicação.
b) Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a. (b. c) = (a. b). c.
c) Comutativa c: a x b = b x a
d) Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
f) Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números inteiros é único.
g) Uma desigualdade não se altera se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo
número inteiro positivo, ou seja, se a > b então a. c > b. c
h) Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicar ambos os membros por um mesmo
número inteiro negativo, ou seja: a > b então a. c < b. c
Exemplo: .
a) 10 > 5. Se multiplicarmos ambos os membros por (-1) fica - 10 < - 5. Observe que o sentido
da desigualdade mudou.
i) Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
4- Potenciação: é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que
se multiplicando um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x... x a
que será indicado pelo símbolo a n, onde a será denominado base e n expoente. Assim é que,
por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.
Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que:
a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número
positivo.
Exemplos:
a) (- 2)4 = +16 = 16
b) (- 3)2 = +9 = 9
c) (- 5)4 = +625 = 625
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d) (- 1)4 = + 1 = 1
b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo.
Exemplos:
a) (- 2)3 = - 8
b) (- 5)3 = - 125
c) (- 1)13 = - 1
Divisão: O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o
quociente de dois números inteiros nem sempre é um inteiro.
A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras
vistas para a multiplicação, ou seja:
 (+) x (-) =  (-) x (+) =  (-) x (-) = +
 (+) x (+) = +
Exemplos:
a) (–10): (– 2) = + 5 = 5
b) (– 30): (+ 5) = – 6
Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas
interiores.
Exemplo:
a) + (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1
Todo parêntese precedido do sinal (–) pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais
das parcelas interiores.
Exemplos:
a) – (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0
b) – (–10 – 8 + 5 – 6 ) = 10 + 8 – 5 + 6 = 19
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c) – (–8 – 3 – 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16
Inteiros não negativos são todos os números inteiros que não são negativos. Logo
percebemos
que
este
conjunto
é
igual
ao
conjunto
dos
números
naturais.
É representado por Z+:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
Inteiros não positivos são todos os números inteiros que não são positivos. É representado
por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros não negativos e não-nulos é o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse
subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Z*+ = N*
Inteiros não positivos e não nulos são todos os números do conjunto Z- excluindo o zero.
Representa-se por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
NUMEROS RACIONAIS
1 - Conjunto dos Números Racionais: Os números racionais é um conjunto que engloba os
números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743, 8432) e os números
decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal
infinitamente), como "12, 050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q e seu uso deriva da palavra inglesa “quotient”, que
significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois
números inteiros. Então entendemos que sendo a e b dois números inteiros, com a condição
de b não nulo, chamamos de número racional ao quociente
a
.
b
São exemplos de números racionais {2/3, -3/5, 87/95,...,} etc.
Como todo número inteiro a pode ser escrito na forma
a
= a, concluímos que todo número
1
inteiro é também um número racional. Assim, é trivial perceber que o conjunto dos números
inteiros está contido ou é um subconjunto do conjunto dos números racionais, ou seja: Z  Q.
Exemplo,
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4/5 = 0,8; 3/5 = 0,6; 2/3 = 0, 6666... ; 20/3 = 6, 3333... ; etc.
Observe que todas as dízimas periódicas também conhecidas como números decimais
periódicos são números racionais, uma vez que elas podem ser escritas na forma
Quando o número racional está representado na forma
a
com b  0.
b
a
onde a e b são inteiros, com b não
b
nulo, costumamos denominar a de numerador e b de denominador, sendo o número
a
b
conhecido como fração ordinária.
PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES
Uma fração ordinária não se altera se multiplicarmos o seu numerador e denominador, por um
mesmo número diferente de zero.
Assim é que:
a a.n

para n diferente de zero.
b b.n
Exemplo: 2/3 = 4/6 = 8/18 = 24/54 =... , etc.
Lembremos que se o denominador de uma fração ordinária for igual a 10 (ou a uma potencia
de dez), ela é conhecida como fração decimal.
Exemplos: 3 / 10; 625 / 1000.
Um número racional da forma a / 100 é conhecido como porcentagem e indicado
simbolicamente por a %
Exemplos:
a) 25 / 100 = 25 %
b) 75 / 100 = 75 %
c) 1 / 100 = 1 %
Usando uma terminologia comumente aceita, se a < b, dizemos que a fração é própria e se
a > b, dizemos que a fração é imprópria. Se a for um múltiplo de b, a fração a / b será um
número inteiro e a fração é dita aparente.
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Assim, por exemplo, 5 / 7 é uma fração própria, 9 / 5 é uma fração imprópria e 10 / 5 = 2 é uma
fração aparente. Saliente-se que se trata apenas de uma terminologia consagrada pelo uso,
sem nenhum sentido prático e, eu diria, talvez até inútil.
É importante acrescentar que o conjunto dos números racionais é denso e infinito, ou seja,
dados dois números racionais r1 e r2, sempre existirá um número racional r tal que r1 < r < r2.
Por exemplo, entre os números inteiros 7 e 8 não existe nenhum outro número inteiro, porém
existe um número infinito de números racionais entre eles. 7,1; 7,9; 7, 0045; 7, 999..., etc. são
apenas alguns dos infinitos exemplos possíveis.
OPERAÇÕES EM Q
a) Adição e subtração: Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números
inteiros com b e d diferentes de zero. A soma e a subtração destes números racionais
obedecem à seguinte regra:
 a   c   ad  bc 
    

Observe que se os denominadores  b   d   bd 
b e d forem iguais, a igualdade acima se reduz a:
a c ac
   

b b  b 
Neste caso particular da expressão geral, ou seja; para somar duas frações de mesmo
denominador, adicionam-se os numeradores e mantém-se o denominador comum.
Exemplos:
1
 2   1   2 -1
a)   -   = 
 
5
 5  5  5 
 4   8   4  8  12
b)   +   = 
=4
 
3
 3  3  3 
23
 2   3   2. 4  5.3
c)   +   = 
 
20
 5   4   5.4 
5  3
 5 . 4 - 3 . 3  11
d)   -   = 

3  4 
 3 . 4  12
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b) Multiplicação: Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números
inteiros com b e d diferentes de zero.
A multiplicação obedece à seguinte regra geral:
 a   c   axc 
  x   

 b   d   bxd 
Para multiplicar duas frações, multiplicamos entre si, os numeradores e os denominadores.
Exemplos:
a) (2 / 3) . (5 / 7) = (2 . 5) / (3 . 7) = 10 / 21
b) (3 / 4) . (7 / 6) = (3 . 7) / (4 . 6) = 21 / 24
Observe que a fração 21 / 24, pode ser simplificada, dividindo-se numerador e denominador
por 3, resultando 7 / 8.
c) Divisão : Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números inteiros
com b e d diferentes de zero.
A divisão obedece à seguinte regra geral:
a c a b
  :      x 
b b b c
A regra é então comumente enunciada como: para dividir uma fração por outra, basta
multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.
a c
Justificativa: Seja a fração F =   :   e utilizando a propriedade fundamental das frações,
b d 
d 
poderemos multiplicar o numerador e denominador por   , resultando:
c
a d   c 
F =   .   :  .
b  c  d 
d 
 c  d 
  , simplificando a expressão, lembrando que   .   = 1, vem,
c
d   c 
a d   a  b
finalmente que F =   :      x  , conforme indicado na fórmula acima.
b  c  d  c
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Exemplos:
a) (2 / 3): (4 / 5) = (2 /3). (5 / 4) = (2 . 5) / (3 . 4) = 10 / 12 = 5 / 6.
b) (3 / 7): (2 / 9) = (3 / 7). (9 / 2) = (3 . 9) / (7 . 2) = 27 / 14
 an
a
d) Potenciação:   =  n
b
b
n

 para b diferente de zero.

Exemplo: (2 / 5)3 = 23 / 53 = 8 / 125
NÚMEROS IRRACIONAIS
Conjunto dos Números Irracionais: É formado pelos números decimais infinitos não
periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número Pi (resultado da divisão do
perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente,
supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de dois (1,
4142135...)
Vimos que os números racionais podem ser escritos na forma de uma fração a / b onde a e b
são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero e que todo número
racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como
dízima periódica.
Vejam os exemplos de números racionais a seguir:
a) 3 / 4 = 0,75 = 0, 750000...
b) - 2 / 3 = - 0, 666666...
c) 1 / 3 = 0, 333333...
d) 2 / 1 = 2 = 2, 0000...
e) 4 / 3 = 1, 333333...
f) - 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000...
g) 0 = 0,000... etc.
Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração
a / b , conhecidos como números irracionais.
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Assim como existem as dízimas periódicas, também existem as dízimas não periódicas que
são justamente os números irracionais, uma vez que elas nunca poderão ser expressas como
uma fração do tipo a / b
Exemplos de dízimas não periódicas ou números irracionais:
a) 1,01001000100001000001...
b) 3,141592654...
c) 2,7182818272...
d) 6,54504500450004...
Existem
dois
tipos
de
números
irracionais:
os
algébricos
e
os
transcendentes.
Os números irracionais algébricos, são as raízes inexatas dos números racionais, a exemplo
de
2.
5 17 103 , ... etc., ou qualquer outra raiz inexata.
Já os números irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais algébricos, sendo
os exemplos mais famosos de números irracionais transcendentes, o número  (pi), o número
de Euler e , cujos valores aproximados com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72.
O número  representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo
diâmetro da mesma circunferência e o número e é à base do sistema de logaritmos neperiano.
É interessante comentar, que ao tratarmos na prática, dos números irracionais, deveremos
sempre adotar os seus valores aproximados, uma vez que , por serem dízimas não periódicas,
os valores adotados serão sempre aproximações. Um exemplo clássico de não racionalidade
de um número, é o caso da raiz quadrada de dois.
O valor aproximado da raiz quadrada de dois ( 2 ) é igual a 1,414. Vamos analisar o porquê do
número
2 não ser racional:
Para isto, vamos utilizar o método da redução ao absurdo, que consiste em negar a tese, e
concluir pela negação da hipótese.
Vamos supor inicialmente, por absurdo, que 2 seja um número racional.
Ora, neste caso, e se isto fosse verdadeiro, o número 2 poderia ser escrito na forma de uma
fração irredutível a / b , ou seja, com a e b primos entre si , e, portanto, teríamos:
2 = a / b , onde a e b são inteiros, com b diferente de zero.
Quadrando ambos os membros da igualdade anterior, teremos 2 = a2 / b2 , de onde tiramos
a2 = 2.b2
Ora, como a2 é o dobro de b2, é correto afirmar que a é um número par.
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Sendo a um número par, podemos escrevê-lo na forma a = 2k, onde k é um número inteiro. Daí
vem que: (2k)2 = 2b2 ou 4k2 = 2b2, de onde tiramos que b2 = 2k2, ou seja, b também é par. Ora,
sendo a e b pares, o quociente a / b não seria uma fração irredutível, já que o quociente de
dois números pares é outro número par. Vemos, portanto que isto nega a hipótese inicial de
que a fração a / b seja irredutível, ou seja, de que a e b sejam primos entre si. Logo,
concluímos que afirmar que
portanto,
2 é racional, é falso, ou seja,
2 não é um número racional, e,
2 é um número irracional.
Nota: dois números inteiros são ditos primos entre si, se o máximo divisor comum (MDC)
destes números for igual à unidade, ou seja: MDC (a, b) = 1.
1- Identificação de números irracionais Fundamentado nas explanações anteriores pode
afirmar que:
1.1 – Todas as dízimas periódicas são números racionais.
1.2 – Todos os números inteiros são racionais.
1.3 – Todas as frações ordinárias são números racionais.
1.4 – Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
1.5 – Todas as raízes inexatas são números irracionais.
1.6 – A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número
irracional.
1.7 – A diferença de dois números irracionais pode ser um número racional.
Exemplo:
5 -
5 = 0 e 0 é um número racional.
1.8 – O quociente de dois números irracionais pode ser um número racional.
Exemplo:
8:
2=
4 = 2 e 2 é um número racional.
1.9 – O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.
Exemplo:
5.
5 =
25 = 5 e 5 é um número racional.
1.10 – A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais,
resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais.
1.11 – A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio (  ).
Simbolicamente, teremos:
a) Q U I = R “Racionais união com Irracionais é igual aos Reais”
15
Professor Pedro Bigattão
b) Q  I =  “Racionais intersecção com os Irracionais é vazio”
Exemplos de números irracionais:
 Pi = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e
o seu diâmetro)
 2,01001000100001... (dízima não periódica)

3 = 1,732050807... (raiz não exata).
NÚMEROS REAIS
Conjunto dos Números Reais: É formado por todos os conjuntos citados anteriormente
(união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, pode ser representado na forma de
intervalo como R = (- ∞; + ∞).
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
REUNIÃO DE CONJUNTOS
Definição: Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B os elementos que
pertencem a A ou a B
A  B  x  A ou x  B
O conjunto A  B lê-se “A união com B”
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
1, 2 3 , 4 1, 2, 3, 4
1, 2 1, 2, 3 , 4 1, 2, 3, 4
1, 2, 3 6, 7, 8 1, 2, 3, 6, 7, 8
1, 2, 3  0  1, 2, 3
16
Professor Pedro Bigattão
5)
0  0=0
Propriedades imediatas:
a) A  A = A
b) A  B = B  A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
c) A  U = U, onde U é o conjunto universo.
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Definição: Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B os elementos que
pertencem a A ou a B
A  B  x  A ou x  B
O conjunto A  B lê-se “A intersecção com B”
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
1, 2 1, 3 , 4 
1
1, 2 1, 2, 3 , 4 1, 2
1, 2, 3 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 1, 2, 3
1, 2, 3  0 = 0
Exemplo: Utilizando a representação gráfica dos intervalos sobre a reta real, determinar A  B
e A  B , sendo A = [0,3] e B = [1,4];
Solução:
Então A  B = [1,3] e A  B = [0,4]
Propriedades imediatas:
17
Professor Pedro Bigattão
a) A  A = A
b) A  B = B  A (a interseção é uma operação comutativa)
d) A  U = A onde U é o conjunto universo.
Diferença: Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro
conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
a) {0, 5, 7} - {0, 7, 3} = {5}.
b) {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 3} = {4, 5}.
Complementar de um conjunto: Trata-se de um caso particular da diferença entre dois
conjuntos. Assim a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A.
CAB = A – B
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é
indicado pelo símbolo B' .
Partição de um conjunto: Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e
representa-se por part.(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado
simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
a) nenhum dos elementos de part.(A) é o conjunto vazio.
b) a interseção de quaisquer dois elementos de part.(A) é o conjunto vazio.
c) a união de todos os elementos de part.(A) é igual ao conjunto A.
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de
elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.
18
Professor Pedro Bigattão
Exercícios
Complete com >, < ou =:
1) 2 __________ 100
2)  6 _________ 0
3) 0,2 _________ 0,25
1
__________ 1
2
5)  7 _________  8
4)
6) 101 ________ 101
7) 3 __________  6
8) 
3
3
_________
2
2
Complete com  ou  :
9)  7 _________ N
10) 5 __________ Z
11)  13 ________ Q
12)  2 _______ I
13) 9,78 ________ Q
14)
1
__________ I
2
15)  7 ________ Z *
16) 19 _________ R *
17) 0 __________ Z 
18)  23 _______ R*
19
Professor Pedro Bigattão
19) 32 ________ N *
5
__________ Q *
8
Considere os conjuntos A  1,3,5 e B  2,4. Utilizando os símbolos  e  , relacione:
20)
21) 3 __________ A
22) 5 __________ B
23) 2 __________ A
24) 4 __________ B
Sendo N  0,1,2,3,4,..., dê, por extensão, os seguintes conjuntos:
25) A  x x  N e x  2c, c  N


27) C  x x  N e x  2 , c  N 
26) B  x x  N e x  c 2 , c  N
c
1 3
1
28) Represente na reta real os seguintes números:  3; 0; ;  ; 5; - 1;  ; 2 .
2 2
3
Dados os conjuntos

A  x  Z  2  x  3,

B  xZ* 5  x  2
e
C  x  Z 1  x  5,
determine:
29) A  B
30) A  C
31) A  B
32) A  C
33) B  C   A
34)
B  C   A
35) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {c, e}, determinar A  B,
 C, B  C, B ∩ C e A  B  C.
20
A
Professor Pedro Bigattão
36)
Assinalar no diagrama, um de cada vez, os seguintes conjuntos:
a)
A BC
b)
c)
A  B  C
d)
A BC
37)
Determinar os seguintes conjuntos:
a) [0,2] ∩ [1,3]
b) [0,2] ∩ [1,3[
 1 
c) [  ,0 ∩ [0, - ∞[
2 
d) [1, 2] ∩ [0, 3] ∩ [-1, 4]
21
A  B  C
Professor Pedro Bigattão
38)
Determinar os seguintes conjuntos:
a) [-1,3]  [0,4]
b) ]-2,1]  ]0,5[
c) [-1,3]  [3,5]
  1    3  1
d)  ,0   , 
2   2 4
39) Sendo A=]-1;3] e B=[3;5[, determine:
a)
b)
40) Sendo A=[1;4] e B=]-1;2], determine:
a)
b)
41) Represente na reta real os seguintes intervalos:
a) ]-3; 4]
b) [1; 4]
c) [2; 5[
d) ]-
; 1]
42) Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo
sido indicado dois livros sobre esse assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B
por 28 alunos. Pergunta-se:
a) Quantos alunos consultaram os dois livros?
b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A?
43) Dados os conjuntos A = {0}, B = {0, 2, 4} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, o
(A  C   é igual a:
22
conjunto
Professor Pedro Bigattão
44) Num almoço foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabe-se que das 94
pessoas presentes, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois. O número
de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:
45) Os conjuntos A, B e C são tais que, A  B = A  C = B  C = {2}; A  B = {1;2;3}
e A  C = {1;2;4}. Então:
a)1  C
b) 1  B
c) 3  B
d) 4  C
e) n.d.a.
46) Se M = {1; 2; 3; 4; 5} e N são conjuntos, tais que M  N = {1; 2; 3; 4; 5} e
M  N = {1; 2; 3}, então o conjunto N é:
a) vazio
b) { 4; 5}
c) {1; 2; 3}
d) {1; 2; 3; 4; 5} e) n.d.a.
47) Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que, A  B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8},
A – B = {1; 3; 6; 7} e B – A = {4; 8}, então A  B é o conjunto:
a) vazio
b) {1; 4}
c) {2; 5}
d) {6; 7; 8}
e) {1; 3; 4; 6; 7; 8}
48) Numa Universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos da mesma lêem
o jornal X e 60% o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois
jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos.
a) 80%
b) 14%
c) 40%
d) 60%
e) 48%
49) Dados os conjuntos A = [1, 3[ e B = ]2, 9], os conjuntos A  B, A  B e A – B são,
respectivamente:
a) [1, 9], ]2, 3[, [1, 2]
b) ]1, 9], ]2, 3[, ]1, 2]
c) ]1, 9[, ]2, 3[, ]1, 2]
d) [1, 9], ]2, 3], [1, 2]
e) [1, 9], [2, 3], [1, 2]
23
Professor Pedro Bigattão
50) Sendo A = {x  IR; –1 < x  3} e B = {x  IR; 2 < x  5}, então:
a) A  B = {x  IR; 2  x  3}
b) A  B = {x  IR;–1 < x  5}
c) A – B = {x  IR; –1 < x < 2}
d) B – A = {x  IR; 3  x  5}
e) CA B = {x  IR; –1  x < 2}
51) Se A = {x  IR; –1 < x < 2} e B = {x  IR; 0  x < 3}, o conjunto A  B é o intervalo:
a) [0; 2[
b) ]0; 2[
c) [–1; 3]
d) ]–1; 3[
e) ]–1; 3]
52) A diferença A – B, sendo A = {x  IR; –4  x  3} e B = {x  IR; –2  x < 5} é igual a:
a) {x  IR; –4  x < –2}
b) {x  IR; –4  x  –2}
c) {x  IR; 3 < x < 5}
d) {x  IR; 3  x  5}
e) {x  IR; –2  x < 5}
53) Para o intervalo A = [–2, 5], o conjunto A  IN* é igual a:
a) {–2,–1, 1, 2, 3, 4, 5}
b) {1, 2, 3, 4, 5}
c) {1, 5}
d) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
e) ]1, 5]
54) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a
posição do número x. y?
0
x
y
1
24
Professor Pedro Bigattão
a) À esquerda de 0
b) Entre 0 e x
c) Entre x e y
d) Entre y e 1
e) À direita de 1
55) Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52
estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não
estudam nenhuma das duas?
56) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto
(A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C).
57) Sendo A = {0,1,2,3,4,5}, B = {0,2,4,6}, C = {x|x é número par menor que 10} e D = {x|x é
número impar compreendido entre 6 e 12}, determine:
a) A
B
b) A U C
c) A U B
d) C
D
e) (B U A)
C
f) C U D
g) ( C
B) U A
h) C U B
58) Dados os conjuntos A = {1,3, 5}, B = {2,4,5} e C = {1,2,3}, determine o conjunto H tal que:
a) A U H = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) B U H = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
c) H – C = {4, 5, 6}
25
Professor Pedro Bigattão
59)
Considere o diagrama a seguir.
Calcule:
a) A U B
b) A
B
C
c) A U B U C
60) Considere os conjuntos:
Determine:
26
Professor Pedro Bigattão
POTENCIAÇÃO
Faremos uma revisão sobre potenciação para facilitar o entendimento no estudo dos
polinômios e no estudo das funções.

Expoente inteiro positivo
Seja a (base) um número real e n(expoente) um número inteiro positivo, então an representa
o produto de n fatores, todos iguais em a.

Expoente inteiro negativo
Seja a (base) de um número real onde a ≠ 0 e n (expoente) um número inteiro e negativo,
então:
a n

1
 
a
n
Expoente racional
Seja a (base) um número real e m e n (expoentes) números inteiros, então:
m
n
a  a

n
m
ou
a

m
n

1
n
am
Expoente zero
Seja a (base) um número real onde a ≠ 0 e n = 0, convenciona-se que:
a0  1
27
Professor Pedro Bigattão
PROPRIEDADES DA POTÊNCIA
1.
Multiplicação de bases iguais
am .an = am + n
2.
Divisão de bases iguais
am
 a mn
n
a
3.
Potência de potência
(am)n
4.
=
am . n
m n
Produto de bases diferentes de mesmo expoente
a . b n
5.
a 
 an.bn
Quociente de bases diferentes de mesmo expoente
n
an
a
   n
b
b
, com b  0
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) 2 3
b)  3
2
1
c)   
4
2
 3
d)   
 2
3
28
Professor Pedro Bigattão
e)  10 2
f)   4 
3
g)   8
2
 9
h)    
 7
1
i)   
5
1
3
j)  1,2 2
2) Aplicando a definição, calcule:
a)  6
2
b) 3
1
2
c) 2 5
d) 4 0
e) 8

1
3
f)   4
3
1
g) 100 2
 2
h)    
 5
 3
i)   
 4
3
2
j)  2 4
l)   7 
2
m)  125

n)
1
3
 12 0
o) 3 0 , 25
p)  16

1
4
29
Professor Pedro Bigattão
q)   8
2
 2
q)    
 3
4
1
 1 3
r) 

 1000 
3) Usando os sinais de  ou  , compare as potências:
a) 2 7 _______  2
7
b)  8 2 _____  8
2
c) 6 2 _______  6 2
d)  4 ______  4 3
3
e)  3 ______ 13
0
f)  3 ______  3 2
2
4) Escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo:
a)
1
47
3
b)  
5
1
c) 2
7
1
81
6
 8 
e)  
 27 
1
f)
243
5) Escreva sob a forma de radical as seguintes potências:
a) 5
b) 2
2
3
1
3
30
Professor Pedro Bigattão
2
c) 10 5
d) 3 0 ,125
6) Aplique as propriedades:
4
5
a) 5 : 5
9
6
b) 3  3
 
1
c) 4
4
d) 3  11
2
e) 5 : 4
7
9
5
f) 2  2  2
7
2
g) 3 : 3
h) 10 
i) 2  3
j) 7 : 4 
6 3
2
4
3
2 5
l) 9 4 : 9 1
m) 113  116
 
o) 2  5 
n) 5 2
4
4
 4 3
1
 34  2
p)  2 
7 
7) Determine o valor das expressões abaixo:
a)
3   3 
 3   3 
4 2
8 4
20
7 2

 
 
4
a  b 2  a 1  b 2  a  b 1
b) (FGV – SP)
a 3  b  a 2  b 1  a 1  b



2
, quando a  10 3 e b  10 2 .
31
Professor Pedro Bigattão
20 
c)
1
2
1
 20
4
 22   1 
d)
2
2
2
 32   1 
6
32
Professor Pedro Bigattão
POLINÔMIOS
Polinômio é uma soma algébrica de monômios, cada um dos quais é chamado termo do
polinômio. Quando dois termos têm partes literais iguais (ou não têm parte literal) eles são
chamados termos semelhantes. Dois ou mais termos semelhantes podem ser reduzidos a um
só termo, ao conservarmos a parte literal e somarmos os coeficientes.
São exemplos de polinômios:
5x
Monômio
ax  b
Binômio
3x 2  2 x  1
Trinômio
xy  yz  zx  x  y  z  1
Polinômio
EXEMPLOS:
1) Reduza os termos semelhantes:
a) 2 x  3x
b) 4 x 2  2 x 2
2
2
c) 7 x  9x  6x  2x  5  4x
d) 2ab  3a  4b  6  7ab  a  b 
1
2
1- GRAU DE UM POLINÔMIO
Quando os termos semelhantes estão reduzidos, denominamos grau de um polinômio não nulo
o maior expoente da variável nos termos não nulos. Para um polinômio nulo não se define
grau.
2
a) 5x  4 x  3 Polinômio de 2° grau
33
Professor Pedro Bigattão
3
5
b) 6 x  3x  2 Polinômio de 5° grau
2- OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Denominamos soma ou subtração de dois ou mais polinômios ao polinômio que se obtém
adicionando todos os termos dos polinômios dados.

MULTIPLICAÇÃO
Para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os termos do
outro e adicionamos os resultados.

DIVISÃO
Para dividir um polinômio por um monômio, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio e
adicionamos os resultados.
EXERCICIOS
1) Dados os polinômios A  x 2  x  2 , B  4 x 2  2 x  1 e C  2x  5 , calcule A  B  C .
2) Calcule A  B , dados A  3x 2  7 x  3 e B  2 x 2  7 x  4 .
3) Calcule:

 
a) 2 x 2 y 2 7 x 3
7
 11

b)  ab 2   a 2 b 3 
3
 2



c)  x 2 x 2  2 x  3


e) 64 x  : 4

d) x 2  2 x 2  3x  1
2
f) 9 x 3 : 9 x
g)  12 x 4 y 2 : 10 x 3 y 2
34
Professor Pedro Bigattão


h) 5x 4  3x 3 : x

j) 2a b
 
 6a b  : 4a b 
i) x 5  x 4  2 x 3 : x 3
4
3
3
2
3
4) Indique se é monômio, binômio ou trinômio:
a) ay  ab
b) x 3  100
c) 2abc
d) ax 2  bx  3
e) x 2
5) Indique o coeficiente dos seguintes monômios:
a) 3x
b)  13m 2
5
c) ab
3
d) x 2 y 3
e)  a 2 b
x
f)
2
6) Reduza a um só termo:
a) 4x  9x
b) 8 y  3 y  y
c) 5a  7 a  a
d)  2x2  x2  9x2
1
e) xy  3 xy
2
f) 4ac  6ac
3
3
11
g)  x  x  x
5
2
4
h) 7a  9b  4a  b  2a
i) 2 x 2  7 x 2  4 x  3x  1
j) 4 x 2  3x  7  x 2  3x  8
35
Professor Pedro Bigattão
l)  6 x  2 y  11  7 x  5 y  5  2 x  y  8  7 x  y
m) 25x 2  11xy  8 y 2  14 x 2  12 xy  9 y 2  x 2  y 2
7) Ordene segundo os expoentes decrescentes de x e dê o grau:
a) A  3x  2 x 2  1
b) B  14  5 x 2  4 x
c) C  x 3  13x  12  x 2
d) D  3x 2  11  9 x 4
8) Calcule:
a) 3x  9  5x  1
b) 3a  5b  7a  5b

 
c) 3x 2  4 x  9   x 2  4 x  2

d) 3a  2b  3c   6a  b  c  2a  3b  2c
e) 17 x  5  7 x  3
1 
4

f)  6 x 2     3 x 2  
3 
5

5
2

 
g)  x 2  x  2    2 x 2  9 x  
2
5

 
h) 2a  ab  5b   a  3ab  2b
9) Dados: A  x 2  x  3 , B  3 x 2  3 x  1 e C   x 2  x  4 . Calcule:
a) A  B  C
b)  A  B  C
c)  C  B  A
10) Calcule:
a) 2x  4

c) 4a b2a
b)  2 x 2 x 2  3x  4
2
2

 ab  b 2

36
Professor Pedro Bigattão

d) 3x x 2  xy  y 2
e) 2 x  54 x  1

1

f)  3x  x 2  4
2

g) 2a  3ba  5b

h) x  2x  2 x 2  4

11) Calcule os quocientes:
a) 243 x 3 : 81x 2
b)  63a 2 b 3 : 7ab 2
c)  49 xy 2 :  7 y 
d)
e)
f)
32 a 2b5
8ab3
4a 4  12a 3  8a
4a
9 x 6  12 x 5  18 x 3  x 4
3x 3


g) 8a 3b 2  12a 2 b 3  16a 5 b 4 :  4a 2 b

37
Professor Pedro Bigattão
PRODUTOS NOTÁVEIS
No cálculo algébrico, alguns produtos aparecem com muita freqüência, como:
x  y   x  y   x  y 2
x  y   x  y   x  y 2
x  y   x  y 
1-
Quadrado da soma de dois termos
Quadrado da diferença de dois termos
Produto da soma pela diferença de dois termos
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o
produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
2-
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o
produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
3-
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos
o quadrado do segundo termo.
38
Professor Pedro Bigattão
4-
OUTROS PRODUTOS NOTÁVEIS
x  y 3
x  y 3
Cubo da soma de dois termos
Cubo da diferença de dois termos
x  y 3  x  y x  y 2  x3  3x 2 y  3xy2  y3
x  y 3  x  y x  y 2  x3  3x 2 y  3xy2  y3
EXERCÍCIOS
Utilizando as regras de produtos notáveis, calcule:
1) 7a  27a  2
2) 2  5 x 
2
3) 3 x  4 y 
2
2 

4)  4 x  a 
3 

2


6) m  2n 
7) 3  b c 
8) a  4a 
9) 6a  m 6a
2
5) a 3  5y 2
3 2
2
3 3 2
2
3
4
4
4
 m4

1 
1 

10)  bc  a  bc  a 
5 
5 



11) m 2 n  2 p 3 m 2 n  2 p 3

12) 1  2a 
3
13) 2 x  y 
3
14) Escreva o polinômio reduzido expresso por 2a  32  a  52 .
39
Professor Pedro Bigattão
15) Dado o polinômio x  12  x  12  2x 2  1, qual é sua forma reduzida?
16) Qual é a forma mais simples da expressão a  b3  a3  b3   4aba  b ?
17) Quando elevamos a expressão 3a  1 ao quadrado e do resultado subtraímos 6a , qual é o
polinômio que vamos obter?
40
Professor Pedro Bigattão
Exercicios de revisão “ Produtos notáveis”
1) Calcule
a) (3 + x)² =
b) (x + 5)² =
c) (x + y)²=
d) (x + 2)²=
e) (3x + 2)² =
f) (2x + 1)² =
g) (5 + 3a)² =
h) (2a + x)² =
2) Calcule:
a) (r + 4s)² =
b) (y5 – 3)2 =
c) (3y + 3a)² =
d) (-5 + n)² =
e) (-3x + 5)² =
f) (a+ab)²=
g) (2x + xy)² =
h) (x + 0,5)² =
3) Calcule:
a) (a² + 1)² =
b) (y5 + 3)² =
c) (y5 + 1)² =
d) (4x² + 7)² =
e) (2x³ + 3y²)² =
f) (a² + b²)² =
g) (x + 2y³)² =
h) (mn² + 4)² =
i) (xy + 2³)² =
j) (x²y + xy²)² =
41
Professor Pedro Bigattão
4) Calcule:
a) (x - 1/2)² =
b) (x - 2/3)² =
c) (y² - 1/4)² =
d) (x/2 - y/2)² =
5) Calcule
a) (x + 1/2)² =
b) (a + 2/3)² =
c) (a² + 1/4)² =
d) (2x + 1/2)² =
e) (m/2 + 3)²=
f) (x/2 + y/2)² =
6) Calcule:
a) (5 - x)² =
b) (y - 3)² =
c) (x - y)² =
d) (x - 7)² =
e) (2x - 5)² =
f) (6y - 4)² =
g) (3x - 2y)² =
h) (2a - b)² =
7) Calcule:
a) (5a² - 1)² =
b) (x² - 1)² =
c) (9x² - 1)² =
d) (x³ - 2)² =
e) (2n5 - 3)² =
f) (x - 5y³)² =
g) (a² - b²)²=
h) (1 - mx)² =
i) (2 – x5)²=
j) (-3x - 5)²=
42
Professor Pedro Bigattão
l) (x - 1/2)²=
m) (a³ - m³)² =
n) (-a - c)²=
o) (2n4 - 1)²=
8) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y)(x - y)=
b) (y - 7)(y + 7) =
c) (x + 3)(x - 3) =
d) (2x + 5)(2x - 5) =
e) (3x - 2)(3x + 2) =
f) (5x + 4)(5x - 4) =
g) (3x + y)(3x - y) =
h) (1 - 5x)(1 + 5x) =
i) (2x + 3y)(2x - 3y) =
j) (7 - 6x)(7 + 6x) =
9) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (1 + 7x²)(1 - 7x²) =
b) (3x² - 4)(3x² + 4) =
c) (a³ - 1)(a³ + 1)=
d) (a + xy)(a - xy)=
e) (a² - b²)(a² + b²)=
f) (3x² - y²)(3x² + y²) =
g) (0,5 + x)(0,5 - x) =
h) (t³ + 3)(t³ - 3) =
i) (2x³ + 2a)(2x³ - 2a) =
j) (-3a + 4n²)(-3ª - 4n²) =
l) (a²c + d²)(a²c - d²) =
m) (mn - 7)(mn + 7)=
10) Calcule
a) (x + 1/2)(x - 1/2) =
b) (x - 2/3)( x+ 2/3) =
c) (y + 6/7)(y - 6/7) =
d) (1 + x/3)(1 - x/3) =
43
Professor Pedro Bigattão
e) (x/5 - 1)(x/5 + 1) =
11) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x/4 + 2/3)(x/4 - 2/3) =
b) (3 + 2x/7)(3 - 2x/7) =
c) (3x/4 - a/5)(3x/4 + a/5) =
12) Desenvolva:
a) (x + y)³ =
b) (x - y)³ =
c) (m + 3)³ =
d) (a - 1)³ =
e) (5 - x)³ =
f) (-a - b)³ =
13) Desenvolva:
a) (x + 2y)³ =
b) (2x - y)³ =
c) (1 + 2y)³ =
d) (x - 2a)³ =
e) (1 - pq)³ =
f) (3x² - 1)³ =
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES:
1) Efetue:
a) (5a + 7)²=
b) (2n - 1)² =
c) (7x -a)² =
d) (4x + 9)² =
e) (3x + 2y)² =
f) (3a² + 1)² =
g) (2x³ - 5)² =
h) (8x - 7a)² =
i) (6 - a³)² =
44
Professor Pedro Bigattão
j) (3a² + 1)² =
l) (10p + 3q)² =
m) (1 + pq)² =
2) Efetue:
a) (1 + x)(1 - x) =
b) (a - 3m)(a + 3m) =
c) (r + 3s)(r - 3s) =
d) (a² -8)(a² + 8)=
e) (2x³ - 1)(2x³ + 1) =
f) (m³ - 8)(m³ + 8) =
g) (3xy + z)(3xy - z) =
h) (a²b² - 1)(a²b² + 1) =
3) Desenvolva:
a) (x - 1)³ =
b) (x + 2)³ =
c) (2x - 1)³ =
d) (2x + 5)³ =
e) (3x – 2)³ =
f) (x² - 3m)³ =
4) Desenvolva e reduza:
a) (x - 5)² - 10x =
b) (5x - 2)² + 3x -1 =
c) (x + 1)² - (x - 1)² =
d) (x + 3)² + (x - 3)² =
e) (7x + 5)² - (7x - 5)² =
f) (3x - 1)(3x + 1) – 1=
45
Professor Pedro Bigattão
RESOLVER OS TESTES:
1) Sejam as afirmações:
i ) (a - b)² = a² - b²
ii ) (a + b)(a - b) = a² - b²
iii) (a + b)² - 2b²=a² - b²
Quantas são verdadeiras?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
2) A expressão (-x - y)² é igual a:
a) x² + 2xy + y²
b) -x² - 2xy - y²
c) x² + y²
d) x² - y²
3) A expressão (2x³-3x²) (2x³+3x²) é igual a:
a) 4x9 – 9x4
b) 4x6 – 9x4
c) 4x9 + 9x4
d) 4x6 + 9x4
4) O desenvolvimento de (2a-3b)² é:
a) 2a²-3b²
b) 4a²+9b²
c) 4a²-12ab+9b²
d) 2a²-12ab+3b²
5) A expressão (xy + xz)² é igual a:
a) x²y² + 2x²yz + y²z²
b) x²y² + 2x²yz + x²z²
c) x²y² + 2x²yz + xz²
d) x²y² + 2x4 + y²z² + x²z²
46
Professor Pedro Bigattão
6) A expressão x²- (x - 7)² é igual a:
a) 14x - 49
b) 49 - 14x
c) 2x² + 14x - 49
d) 2x² - 14x + 49
7) A expressão (x + y)²-(x² + y²) é igual a:
a) 0
b) 2xy
c) 2x² + 2y²
d) 2xy - 2x² - 2y²
8) A expressão (x - y)² - (x + y)² é equivalente a:
a) 0
b) 2y²
c) -2y²
d) -4xy
9) A expressão (2a + b)² - (a - b)² é igual a:
a) 3a² + 2b²
b) 3a² + 6ab
c) 4a²b + 2ab
d) 4a² + 4ab + b²
10) A expressão (a² - 1)² - (a² -1)(a² + 1) é igual a:
a) 2a4 + 1
b) 3a² + 1
c) - 2a² + 1
d) - 2a² + 2
11) A expressão (x³ + 1/2)(x3 - 1/2) é igual a:
a) x9 + 1/2
b) x9 -1/4
c) x6 + 1/4
d) x6 -1/4
47
Professor Pedro Bigattão
12) Desenvolva:
a) (2x + 1/2)³ =
b) (x/3 + 1)³ =
c) (x - 1/4)³ =
d) (3a/2 - 2b/3)³ =
e) (x²/4 + x/2 +1)² =
f) (2x² + x + 1/2)² =
g) (4a² - a/2 + 1/8)² =
13) Quanto devemos adicionar a (m + 1)³ para obter (m+2)³:
14) Calcule (2x/3 - 1)³ + 3(2x/3 - 1)² + 3(2x/3 - 1) + 1
15) Dado a = x² - x + 1/4, calcule o polinômio a² - a + 1/4.
16) Quanto devemos adicionar a x³ + 1000 para obter (x + 10)³?
17) Simplifique: (((n + 1)/2 - 1)² - ((n - 1/2) + 1)²)/2 =
18) Subtraia (x² + 3x + 1)² de x (x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1.
19) Quanto devemos adicionar ax4 +x²+1 para obter (x² + x + 1)²:
48
Professor Pedro Bigattão
FATORAÇÃO
Fatorar um polinômio, quando for possível, significa escrever esse polinômio como uma
multiplicação de dois ou mais polinômios.
1.
Fatoração de um fator comum em evidência
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em
evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pela expressão que se obtém
dividindo-se cada termo do polinômio pelo fator comum.
1) 6ax  5ay 
2) a 4  3a 3  a 2 =
3) 8a 4 b 5  20a 3b 2  16ab 4 
2.
Fatoração por agrupamento
Agrupamos os termos que possuem fator comum, em cada grupo colocamos os fatores
comuns em evidência e reescrevemos o novo polinômio fatorado.
1) mx  nx  2m  2n
2) 2ax  bx  10a  5b
3) 3ax  2b 2  b 2 x  6a
3.
Fatoração da diferença de dois quadrados
Descobrimos a raiz quadrada de cada termo do polinômio e o escrevemos na forma de produto
da soma pela diferença.
1) x 2  49
2)
1
 x2 y2
16
3) x 2  y 2
4.
5.
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
49
Professor Pedro Bigattão
Para reconhecer se o polinômio é um trinômio quadrado perfeito, verificamos se dois termos do
trinômio são quadrados e extraímos suas raízes quadradas. Finalmente, multiplicamos por 2 o
produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao termo restante.
1) x 2  8xy  16 y 2
2) x 2  6 x  9
EXERCÍCIOS
Fatore os seguintes polinômios
115)a 2  6ab
116) xy3  y 2  y
1
1
117) y  x
3
6
5
118)24 x  8 x 3  56 x 4
119)35 x 2 y 3  14 x 3 y 2
120)a 2  ab  ax  bx
121)ax  x  ab  b
122)bx 2  2by  5 x 2  10 y
123)2an  n  2am  m
124)64  a 2
9
25
2
126)36 x  100 y 2
125)b 2 
127)a 2 b 4  x 6
128)4 x 2  12 xy  9 y 2
129)100 p 2  20np  n 2
130)16 x 4  8 x 2 y  y 2
131) x 2  2bcx  b 2 c 2
132) Sabendo que 2a  3  8 , determine o valor numérico do trinômio 4a 2  12 a  9 .
133) Dado o polinômio a 2b 2  x 2 , determine a sua forma fatorada e o seu valor numérico, dados
ab  x  9 e ab  x  5
134) Dado o polinômio x 2  xz  2 xy  2 yz , determine:
50
Professor Pedro Bigattão
a)
b)
a forma fatorada do polinômio;
o valor numérico da expressão obtida, sabendo que x  z  27 e x  2 y  5 .
135) Sabendo-se que 2 x  y  12 e que a  b  c  20 . Nessas condições, fatore o polinômio
a2 x  y   b2 x  y   c2 x  y  e dê o seu valor numérico.
Exercicios de revisão “Fatoração”
1)
Coloque em evidência o fator comum
a)
a3b2c2 + a2b3c2 + a2b2c3
b)
x2y2 -
xy
c)
d)
16a4 – 64a3
(a + b)x + 2(a + b)
2)
Agrupe convenientemente os termos e Fatore.
a)
b)
c)
4a + 3b + ab
7x2 – y + x – 7xy
m2n -1 + n – m2
3)
Fatore:
a)
b)
c)
d)
e)
4a2 – 9b2
(x +y)2 -y2
(a + b)2 – (a – b)2
1 – (x + y)2
m4 -16n3
f)
-
4)
Fatore completamente
a)
b)
c)
d)
a4 – a2
2ax2 – 32ª
a3 + a2 -4a – 4
x3 – 7x2 – x + 7
51
Professor Pedro Bigattão
5)
Fatore completamente
a)
x2 -70x + 49
b)
– a +1
c)
-a+1
52
Professor Pedro Bigattão
RACIONALIZAÇÃO
Definição: Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o
denominador, irracional ou sob radical.
Exemplos:
RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS
Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações.
Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo
número diferente de zero. Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração
irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma
fração equivalente com denominador racional.
53
Professor Pedro Bigattão
Então racionalização consiste em transformar um denominador expresso por um número
irracional em um denominador expresso por um número racional.
Exemplos:
a)
1
b)
5
5
3 10
c)
3
2
d)
1
5 2
EXERCÍCIOS
Torne racional o denominador de cada uma das seguintes expressões:
136)
137)
1
2
2
6
138)
6
3
139)
5
7
140)
141)
142)
3
5
7
2
1
4 3
143)
21
2 7
54
e)
2 2
2 2
Professor Pedro Bigattão
144)
20
3 10
145)
7
10 7
146)
5 2
2 5
147)
7 3
2 7
148)
149)
150)
151)
1 3
3
2 5
5
3 2
2
2  10
2 10
Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expressões:
152)
153)
154)
155)
156)
157)
158)
159)
1
3 7
2
7 5
4
3 5
1
11  3
11
2 3 1
2
13  7
1 7
1 7
1 5
3 5
55
Professor Pedro Bigattão
160)
161)
162)
163)
3 2
3 2
6 2
6 2
3 3
3 3
3 2
2 1
164) Escreva na forma mais simples a expressão
2 2
2 1
 2.
165) Qual é a forma mais simples de escrever a expressão
56

 
2
5 1  1 5
 
2
5

5 1
?
5 1
Professor Pedro Bigattão
RELAÇÃO E FUNÇÃO
1.
Sistema Cartesiano Ortogonal
É um sistema composto por dois eixos perpendiculares entre si, ou seja, o eixo das abscissas
(eixo x ) e o eixo das ordenadas (eixo y ) que dividem o plano em quatro quadrantes. Com este
sistema, podemos localiza pontos no plano que são chamados de pares ordenados x, y  .
2.
Produto Cartesiano
AxB (A cartesiano B) é o conjunto formado pelos pares ordenados x, y  de dois conjuntos não
vazios A e B que podem ser representados por meio do diagrama de flechas ou no sistema
cartesiano ortogonal.
EXERCÍCIOS
Dados os conjuntos A  1,2,3, B   1,0,1,2 e C   1,0, determine:
166) AxB
57
Professor Pedro Bigattão
167) AxC
168) CxB
Dados A   2,1,0,1 e B   2,1,0,1,2,3,4,5, determine as relações de A em B representandoas no diagrama de flechas:
169) R1  x, y   AxB y  x  2


170) R2  x, y   AxB y  x 2  1

171) R3  x, y   AxB y  2 x

Em cada exercício abaixo, determine se é função ou não e, em caso afirmativo, dê o domínio, a
imagem e o contradomínio:
172) Seja f uma relação de A  0,1,2 e B   1,0,1,2,3,4 expressa pela fórmula y  x  2 , com
x A e y B .
173) Seja f uma relação de A   1,0,1,2,3,4 e B   2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8 expressa pela
fórmula y  2 x , com x  A e y  B .
174) Seja f uma relação de
y  x 2  1 , com x  A e y  B .
A   2,1,0,1,2
e B   4,3,2,0,1,2,3,4 expressa pela fórmula
58
Professor Pedro Bigattão
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence
ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.
Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A
em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu
sucessor.
1-
Noções de função:
Considere os diagramas abaixo:
1
2
3
4
5
Condições de existência:
(1) Todos os elementos de x têm
um correspondente em y.
(2) Cada elemento de x tem um e
somente um correspondente em y.
59
Professor Pedro Bigattão
2-
Domínio, Contradomínio e Imagem
Observe o diagrama a seguir:
Chamaremos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados será:
f = {(1,2), (2,3), (3,4)}
O conjunto X = {1,2,3} denomina-se domínio da função f.
D(f) = x
O conjunto Y = {1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.
CD(f) = y
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.
f(1) = 2
Ainda, f(2) = 3 e f(3) = 4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por:
Im(f) = {2,3,4}
Exemplo:
1)
Determine o conjunto imagem de cada função:
a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1
f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) = 3+1 = 4
Logo: Im(f) = {2,3,4}
60
Professor Pedro Bigattão
b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²
f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im (f) = {1,9,25}
2)
Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de
comissão 50 reais por produto vendido.
a)
Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do
número x de produto vendido.
y = salário fixo + comissão
y=
500 + 50x
b)
Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
y = 500 + 50x, onde x = 4
y = 500 + 50.4 = 500 + 200 = 700
c)
Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
y = 500 + 50x , onde y = 1000
1000 = 500 + 50x » 50x = 1000 - 500 » 50x = 500 » x = 10
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo
dada por:
y = f(x) = ax + b com a
,b
e a
Gráfico da função do 1º grau:
O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.
61
Professor Pedro Bigattão
Exemplo:
1)
Construa o gráfico da função determinada por f(x) = x + 1:
Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
O conjunto dos pares ordenados
determinados é f = {(-2,-1) ,
(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
x y = f(x) = x + 1
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x) = - x + 1.
Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
X y = f(x) = - x + 1
-2
3
-1
2
0
1
1
0
2
-1
O conjunto dos pares ordenados
determinados é f = {(-2,3),
(-1,2), (0,1), (1,0), (2,-1)}
Gráficos crescentes e decrescentes respectivamente:
y = x + 1 (a > 0); onde a = 1
y = - x + 1 (a < 0); onde a = -1
62
Professor Pedro Bigattão
Função crescente
3-
Função decrescente
Raiz ou zero da função do 1º grau:
Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau,
definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta
obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x,
que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
1) Considere a função dada pela equação y = x+1, determine a raiz desta função.
x + 1 = 0 » x = -1 Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função
Basta determinar o valor de x para termos y = 0
Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará “cortará” o eixo x em -1 que é a raiz da
função.
2) Determine a raiz da função y = -x + 1 e esboce o gráfico.
Fazendo y = 0, temos:
0=-x+1 »
x =1
Note que o gráfico da função y = - x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em 1 que é a raiz da
função.
63
Professor Pedro Bigattão
4- Sinal de uma função de 1º grau:
Observe os gráficos:
a>0
a<0
Note que para x = -b/a, f(x) = 0 (zero da função). Para x > -b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a.
b
Para x <  , f(x) tem o sinal contrário ao de a.
a
Exemplos:
1)
Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0.
a) y = f(x) = x + 1
x+1 > 0 » x > -1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1
x+1 < 0 » x < -1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1
b) y = f(x) = -x + 1
-x + 1 > 0 » -x > -1 » x < 1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1
-x+1< 0 » -x < -1 » x > 1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1
EXERCÍCIOS
175) Dada a função f ( x)  5 x  2 , determinar
a) f 5
 1
b) f   
 5
176) Dada a função f x   1 3x , calcule:
a) f 0 
b) f  1
64
Professor Pedro Bigattão
1
c) f  
3
 2
d) f   
 3
177) Calcule os zeros das seguintes funções:
a) y  4 x  1
b) f x     2
x
2
c) y  3 x  15
d) f x   14 
x
7
178) Construa o gráfico das seguintes funções e classifique-as:
a) y  1  2 x
b) y  2 
x
3
x
1
2
d) y  x  2
c) y  
179) Considere a função f ( x)  m  7x  1 , com m   .
a)
b)
Calcule m de modo que f seja crescente.
Calcule m de modo que f seja decrescente.
180) Determine m de modo que o gráfico da função f ( x)  2 x  4m  5 intercepte o eixo x no
ponto de abscissa 3.
181) Dada a função f x   ax  b , sabe-se que f 1  4 e f  2  10 . Escrever a função f e
calcular f 2  .
182) Sabendo que a função y  mx  n admite 3 como raiz e f 1  8 , calcule:
a) os valores de m e n;
b) f 10 
65
Professor Pedro Bigattão
183) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto 1,2 e tem coeficiente
angular igual a 3 .
184) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto  1,3 e tem coeficiente linear
igual
1
2
a  .
185) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto  4,2 e tem coeficiente angular
a  3.
igual
186) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto  2,1 e tem coeficiente linear
a 2.
igual
187) Escreva a função f x   ax  b cujo gráfico, num sistema cartesiano ortogonal, é dado por:
EXERCICIOS EXTRAS “FUNÇÃO DO 1 GRAU”
66
Professor Pedro Bigattão
67
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68
Professor Pedro Bigattão
69
Professor Pedro Bigattão
1) Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que está
apresentada no gráfico.
12) Qual resposta mostra a relação R de forma explicita?
a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)}
b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}
c. R={(a,1),(b,3),(c,2)}
d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)
3) Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por R = {(x,y)
B: y= 2x-1}. Qual dos gráficos cartesianos abaixo representa a relação R?
A×
24) Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A × B: y = x (x-1)} definida
sobre A × B. Escrever R de uma forma explicita e construir o gráfico cartesiano desta relação.
5) Seja A={1,2,3,5,7}. Analisar o gráfico cartesiano da relação R em A × A e responder às questões
pertinentes a esta relação.
70
Professor Pedro Bigattão
a.
Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
b. (2,3)
R, (5,1)
R, (7,7)
R
c. (1,1)
R, (3,5)
R, (5,1)
R
d. (1,1)
R, (5,5)
R, (3,5)
R
e. (2,3)
R, (3,5)
R, (7,7)
R
6) Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)}definida sobre o conjunto A={1,2,3,5,7}, responda qual
das alternativas abaixo representa o contradomínio da relação R.
a.(R) = {1,2,3,5,7}
b.(R) = {1,3,5,7}
c.(R) = R
d.(R) = {3,5,7}
7) Seja a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}. Qual alternativa representa o
domínio de R.
a. Dom (R) = R
b. Dom (R) = {2,5,7}
c. Dom (R) = {1,2,7}
d. Dom (R) = {1,2,3,5,7}
8) Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,7),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}, qual das alternativas
representa a imagem de R.
a. Im(R) = {1,2,3,5,7}
b. Im(R) = {1,3,5,7}
c. Im(R) = {1,3,5}
d. Im(R) = R
71
Professor Pedro Bigattão
9) Sejam A = {2,4,6,8}, B = {1,3,5,7} e a relação R em A × B apresentada pelo seu gráfico cartesiano.
Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).
a. (2,1) pertence à relação R.
b. (3,2) pertence à relação R.
c. (4,3) pertence à relação R.
d. (5,6) pertence à relação R.
e. (8,7) pertence à relação R.
Neste exercício, o conjunto dos números naturais será denotado por N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}.
10) Seja a relação R= {(x, y)
N × N: 2x + y = 8}. Qual dos itens representa o domínio da relação R?
a. {8}
b. N
c. {1,2,3}
d. {2,4,6}
11) Seja a relação R= {(x, y) em N × N: 2x + y = 8}. Qual das respostas abaixo representa o
contradomínio de R?
a. {1,3,5,7}
b. {0,1,2,3,4,5,6,7}
c. {0,2,4,6}
d. N
13) Seja a relação R= {(x, y) em N × N: 2x + y = 8}. Qual das alternativas abaixo representa a imagem
de R?
a. {1,3,5,7}
b. {2,4,6}
c. Ø
72
Professor Pedro Bigattão
14) Quais dos diagramas abaixo se encaixam na definição de função de A em B, onde A = {a, b, c} e B
= {1, 2, 3}
.
15) Quais dos diagramas abaixo não representam uma função de A em B, onde A = {a, b, c} e B = {1, 2,
3}.
16) Dada a função real f(x) = 2x + 3 definida sobre o conjunto A = {1,2,3,4}, apresente o conjunto de
todos os pares ordenados pertencentes à função f.
Dada a função f: R
R definida por:
Determinar: f(0), f(-4), f(2) e f(10).
1)
Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R × R está definida
por f(x)= x² - 4x + 7?
a. {67,3,4,7}
b. {0,-3,2,10}
c. {7,28,3,67}
d. {10,2,-3,0}
2)
Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(-10), para a função real f = f(x) definida por:
73
Professor Pedro Bigattão
3)
Por definição, zero de uma função é o ponto do domínio de f onde a função se anula. Dadas as
quatro funções:
f(x) = 3x - 8, g(x) = 2x + 6, h(x) = x - 1 e i(x) = 15x - 30
4) Se uma função do primeiro grau é da forma f(x) = ax + b tal que b = -11 e f(3) = 7, obtenham o valor
da constante a.
5)
Usando f(x) = ax + b e sabendo-se que f(-2) = 8 e f(-1) = 2. Obter os valores de a e b.
6)
2
Obter a função f(x) = ax + b tal que f(-3) = 9 e f(5) = -7. Obtenha f(1) e o zero desta função.
74
Professor Pedro Bigattão
FUNÇÃO DO 2° GRAU
A função f :    dada por f  x   ax  bx  c , com a, b, c reais e a  0 , denomina-se
função do 2° grau ou função quadrática.
O gráfico da função do 2° grau é uma curva aberta chamada parábola.
2

Se a  0 , a concavidade da parábola é voltada para cima, logo teremos uma
função crescente.

Se a  0 , a concavidade da parábola é voltada para baixo, logo teremos uma
função decrescente.
3-
ZEROS OU RAIZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a
função, ou seja, que tornam f  x   0 .
Podemos efetuar a discussão de uma equação do 2° grau através do valor de  :



  0  Possui duas raízes reais e distintas;
  0  Não possui raízes reais;
  0  Possui duas raízes reais e iguais.
Para calcular o zero da função utilizamos:
  b 2  4.a.c
x
4-
b 
2.a
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS RAÍZES
 Se   0  a função tem dois zeros reais desiguais (x’ e x”).
 Se   0  a função tem um zero real duplo (x’= x”).
 Se   0  a função não tem zero real.
75
Professor Pedro Bigattão
5-
ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA
A parábola que representa o gráfico da função f  x   ax  bx  c , passa por um ponto V ,
chamado vértice cujas coordenadas são:
2
xV  
6-
b
(abscissa)
2a
yV  

(ordenada)
4a
CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Já sabemos que a função f  x   ax  bx  c é definida para todo x real, ou seja, D   .
2
76
Professor Pedro Bigattão
Através das coordenadas do vértice, vamos obter o conjunto imagem de uma função
quadrática.


7-


4.a 



Se a  0 , então Im   y   y  

4.a 


Se a  0 , então Im   y   y  
VALOR MÁXIMO OU VALOR MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função f  x   ax  bx  c apresenta um valor mínimo ou valor máximo yV  
2

, que é
4.a
a ordenada do vértice V.
Então:



é o valor mínimo da função.
4.a

Se a  0 , yV  
é o valor máximo da função.
4.a
Se a  0 , yV  
EXERCÍCIOS
188) Determine os coeficientes de a, b e c nas funções do 2º grau e classifique-as quanto a
crescente ou decrescente:
a) y  x 2  36
b) y   x 2  3x  14
c) y  5 x 2  14 x
d) y  3x 2  16 x  19
e) y  x 2  20
f) y  x 2  11x  2
189) Dada a função y  2 x 2  5 , determine:
a) f 5 
77
Professor Pedro Bigattão
b) f  2 
c) f 0 
190) Sem construir o gráfico, determine quais das funções abaixo tem concavidade voltada
para cima:
a) y   x 2  x  12
b) y  x 2  12 x  15
c) y  3x 2
d) y  4 x 2  15
e) y  x 2  4 x
f) y  2 x 2  5x  3
191) Ache m de modo que a função f ( x)  (m  8) x 2  3x  1 seja do 2º grau.
192) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função
f ( x)  3x 2  x  m passe pelo ponto (1,6).
193) Dadas as funções do 2ºgrau, determine:
a) os zeros da função;
b) as coordenadas do vértice
c) o conjunto imagem;
d) o ponto de máximo ou mínimo;
e) esboço gráfico.
y  x 2  4x  3
y  x 2  2x
y  x2  x  2
y  x 2  6x  9
y  x 2  2x  3
199) y  3x 2  4 x
194)
195)
196)
197)
198)
78
Professor Pedro Bigattão
EXERCÍCIOS EXTRAS “FUNÇÃO DO 2 GRAU”
1)
A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:
a.
b.
c.
d.
e.
0
1
2
3
4
3.
O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é:
a.
b.
c.
d.
e.
2
3
4
5
6
4.
O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 +2x é:
a.
b.
c.
d.
e.
1
2
3
4
5
5.
Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então x + y é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
5/6
31 /14
83/12
89/18
93/12
6.
O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 - 2x + k; então k pode ser:
a.
b.
c.
d.
e.
-2
-1
2
3
4
7.
O número de pontos comuns aos gráficos das funções f(x) = x2 - 2 e g(x) = - x2 - 4 é:
a.
b.
c.
0
1
2
79
Professor Pedro Bigattão
d.
e.
3
4
2
8.
C
corretamente que:
- 2x + 5. Pode-se afirmar
a.
b.
c.
d.
e.
vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);
f possui dois zeros reais e distintos;
f atinge um máximo para x = 1;
gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.
Nda
9.
Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é:
a.
b.
c.
d.
e.
{0; 1 }
{- 1 ; 0}
{1 }
{- 2; 3}
{3; 4}
10.
A imagem da função, definida por f(x) = x2 - 1, é o intervalo:
a.
b.
c.
d.
e.
[-1; ∞ )
(-1; ∞)
[0; ∞ )
(-∞;-1)
(-∞ ;-11 ]
11.
Seja a função f(x) = 3x2 + 4 definida para todo x real. Seu conjunto imagem é:
a.
b.
c.
d.
e.
{y E IR/ y 4}
{y E IR/-4 < y < 4}
{y E IR/y > 4}
{y E IR/y 4}
R
11 O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 - 100x + 5000. O
valor do custo mínimo é:
a.
b.
c.
3250
3750
4000
d.
e.
12) x² - 5x + 6 = 0 _____ (Resp: :2,3)
13) x² - 8x + 12 = 0 ______(Resp :2,6)
14) x² + 2x - 8 = 0______ (Resp: 2,-4)
16) x² - 5x + 8 = 0 ______ (Resp: vazio)
17) 2x² - 8x + 8 = 0______ (Resp: 2,)
18) x² - 4x - 5 = 0_______ (Resp: -1, 5)
19) -x² + x + 12 = 0_______(Resp:-3, 4)
20) -x² + 6x - 5 = 0_______ (Resp:1,5)
80
4500
49
Professor Pedro Bigattão
21) 6x² + x - 1 = 0______ (Resp:1/3 , -1/2)
22) 3x² - 7x + 2 = 0 ______ (Resp:2, 1/3)
23) 2x² - 7x = 15 _______ (Resp:5, -3/2)
24) 4x² + 9 = 12x______ (Resp:3/2)
25) x² = x + 12 ______
(Resp:-3 , 4)
26) 2x² = -12x - 18 _____ (Resp:-3 )
27) x² + 9 = 4x_____
(Resp: vazio)
28) 25x² = 20x – 4 ___ _ (Resp: 2/5)
29) 2x = 15 – x² ______ (Resp: 3 , -5)
30) x² + 3x – 6 = -8____ (Resp:-1 , -2)
31) x² + x – 7 = 5 ____
(Resp: -4 , 3)
32) 4x² - x + 1 = x + 3x² __ (Resp: 1)
33) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²__(Resp: -3)
34) 4 + x ( x - 4) = x _____ (Resp: 1,4)
35) x ( x + 3) – 40 = 0 ____(Resp: 5, -8)
36) x² + 5x + 6 = 0 ___ __(Resp:-2,-3)
37) x² - 7x + 12 = 0 ____ _(Resp:3,4)
38) x² + 5x + 4 = 0 ____ _(Resp:-1,-4)
39)7x² + x + 2 = 0 _____ (Resp:vazio)
40) x² - 18x + 45 = 0 _____(Resp:3,15)
41) -x² - x + 30 = 0 ____ _(Resp:-6,5)
42) x² - 6x + 9 = 0 _____ (Resp:3)
43) ( x + 3)² = 1_______ (Resp:-2,-4)
44) ( x - 5)² = 1_______ (Resp:3,7)
45) ( 2x - 4)² = 0______ _(Resp:2)
45) ( x - 3)² = -2x²_______(Resp:vazio)
81
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função f :    dada por f x   a x (com a  1 e a  0 ) é denominada função
exponencial de base a e definida para todo x real.
Características da função exponencial




Domínio: D   ;
Imagem: Im  *
Função decrescente: 0  a  1
Função crescente: a  1
Gráfico da função exponencial

A função f x   a x é crescente quando a  1 .

A função f x   a x é decrescente quando 0  a  1 .
82
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EXERCÍCIOS
Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais:
199) f x   3
1
200) y   
2
x
x
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
É toda equação que contém incógnita no expoente. Para resolvermos uma equação
exponencial devemos transformar a equação dada em igualdade de mesma base, ou seja,
devemos obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação.
EXERCÍCIOS
Resolver as seguintes equações exponenciais:
201) 2 x  256
x
8
2
202)  
27
3
1
203) 2 x 
16
x
204) 2  3 4
205)9 x 3  27 x
206)125 x  2  1
x
1
1
207)  
32
2
1
208) 
4
4x
3
209) 
5
2x
 0,25

27
125
83
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1
81
1
211) 4 x 
64
x
212)3  3
210)3 x 
213) 4 x  3 32
214) 25 2 x  5
1
215) 2 x 3 
8
216)3 x
2
5
 81
217)3 x  5 27
  9
219)4   8
220)5   1
218) 3 x
x 1
x2 x
x
x  2 x 3
221)2 x
2
 7 x 12
1
222)3 x
2
10 x  7

1
9
EXERCICIOS EXTRAS
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Na maioria dos livros didáticos voltados para o Ensino Médio, encontramos como definição
para o que seja o logaritmo de um número positivo x numa base a, positiva e diferente de 1, a
seguinte expressão:
a x  b  x  log a b
ou seja, o logaritmo de x na base a é o expoente ao qual devemos elevar o número a para obter x.
Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25.
Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?
Você deve estar pensando: Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!
Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. Vamos começar de
baixo.
O logaritmo serve para isso!
Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:
25 = x
Onde "x" é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.
Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2) para obtermos 25,
chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2:
25 = 2
Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:
No exemplo anterior,
25 = 2, temos então que a base é 5, o logaritmando é 25 e o
logaritmo de 25 na base 5 é 2.
Note que, anteriormente, dissemos que "x" é o expoente de "b", e na figura acima está escrito
que "x" é o "logaritmo". Isso acontece, pois o LOGARITMO É UM EXPOENTE.
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Logaritmo de um número N, na base b, é o número x ao qual devemos
elevar a base b para obtermos N.
Exemplos :
1) log 2 32  5 pois 2 5  32
2) log 4 16  2 pois 4 2  16
3) log 5 1  0 pois 5 0  1
Logaritmos – Propriedades
Existem 3 propriedades dos logaritmos que são muito úteis para se resolver muitos dos
problemas que enfrentaremos. Vejamos:



Logaritmo do produto
Logaritmo do quociente
Logaritmo da potência
Quando precisarmos calcular logaritmos de produto ou quociente ou potência, poderemos
aplicar as regras que veremos agora.
Logaritmo do Produto
Quando precisarmos calcular Logaritmo de um produto, digamos 8x4, ou seja log2 (8.4) é só
calcularmos os logaritmos de 8 e 4, separadamente, e depois somar. O resultado desta soma
será o logaritmo de 8x4.
Regra Geral para calculo de logaritmos de produto:
log a ( x. y)  log a x  log a y
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores
Observe que
. Neste caso foi fácil fazer a multiplicação, mas quando
esta operação não for tão simples, a propriedade que acabamos de ver nos será muito útil,
Logaritmo do quociente
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Quando precisarmos calcular Logaritmo de um quociente, digamos 8/4, ou seja log2 (8/4) é só
a gente calcular os logaritmos de 8 e 4, separadamente, e depois subtraí-los. O resultado desta
subtração será o logaritmo de 8/4.
Regra Geral para calculo de logaritmos de quociente:
 x
log a    log a x  log a y
 y
Logaritmos da potência
Quando precisamos calcular o logaritmo de uma potência, digamos, 25 , ou seja log2 (25) é
só calcular o logaritmo da base e depois multiplicar pelo expoente. O resultado desta operação
será o logaritmo de 25.
Regra Geral para calculo de logaritmos de potência:
log a x m  m. log a x (a > 0, a  1, x > 0 e m )
Logaritmo decimal
Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10.
Neste caso, na representação matemática a gente economiza e não escreve o 10.
Mudança de base
Calcule log9 27 (logaritmo de 27 na base 9).
Se tentarmos descobrir qual o expoente que elevará a base 9 para obtermos 27 veremos que é
um pouco complicado contudo existe uma maneira mais fácil: A mudança de base.
log a x 
log b x
log b a
Gráfico da função logarítmica

A função f x   log a x é crescente quando a  1 .
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
A função f x   log a x é decrescente quando 0  a  1 .
Construa os gráficos abaixo e classifique:
223) f ( x)  log 2 x
224) f ( x)  log 1 x
2
Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
225) log 3 81
228) log 2 3 64
226) log
229) log 4 2 2
8
4
230) log 2 0,25
227) log 25 0,2
231) Calcule o valor da expressão log 1 32 + log 10 0,001- log 0,1 10 10 .
2
Calcule o valor da soma S:
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232) S  log 10 0,001  log 3 3 3  log 8 16
233) S  log 1 8  log 4
2
3
27
 log 2 1024
64
234) A solução da equação
base
3
410x 
1
é o número real k . Determine o logaritmo de k na
16
2.
EXERCICIOS EXTRAS
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