FICHA DE TRABALHO N.º 4 - GUIA ESTUDO SUCESSÕES 1 Ficheiro

FICHA DE TRABALHO N.º 4
(GUIA DE ESTUDO – SUCESSÕES 1)
TURMAS:11.ºA/11.ºB
2016/2017
(JANEIRO DE 2017)
Vamos, primeiro recordar, alguns conceitos importantes para esta unidade.
MAJORANTES E MINORANTES DE UM CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS
Considera o seguinte conjunto de números reais: A = ]−4, 6]
Indica um majorante do conjunto A _________________________
Indica um minorante do conjunto A _________________________
Indica o conjunto dos majorantes de A _______________________
Indica o conjunto dos minorantes de A _____________________________
Podemos afirmar que o conjunto A é limitado ? ______________________
Indica um conjunto que não seja limitado __________________________
Vamos formalizar estas definições …
Seja A um conjunto, não vazio, de números reais:
. O conjunto A diz-se majorado se existe um número real M tal que ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ≤ 𝑀.
Neste caso, diz-se que o número real M é um majorante do conjunto A.
. O conjunto A diz-se minorado se existe um número real m tal que ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ≥ 𝑚.
Neste caso, diz-se que o número real m é um minorante do conjunto A.
. O conjunto A diz-se limitado se for majorado e minorado.
Mais alguns conceitos importantes …
Seja A um conjunto, não vazio, de números reais:
. um número real é supremo de A se for o menor dos majorantes de A;
. um número real é máximo de A se pertencer a A e for o supremo de A;
. um número real é ínfimo se for o maior dos minorantes de A;
. um número real é mínimo de A se pertencer a A e for o ínfimo de A.
____________________________________________________________Página 1 de 6
Relativamente ao conjunto A, referido anteriormente, indica se existir o supremo,
máximo, ínfimo e mínimo:
Supremo _____ Máximo _____ Ínfimo _____ Mínimo ______
Exercícios
Manual, volume 1, página 152, 1 e 2
GENERALIDADES SOBRE SUCESSÕES
Começamos por estudar Sequências (por exemplo a sequência dos primeiros 50
números pares, {2, 4, 6, …, 100}).
Dado um número natural n, uma sequência de N elementos é uma função de
domínio {1, 2, 3, …, N}.
f(1) = u1 --- 1.º termo da sequência
f(2) = u2 --- 2.º termo da sequência
…
f(n) = un --- n-ésimo termo da sequência ou termo geral
O termo geral da sequência anterior será __________________________.
De seguida, estudámos as Sucessões…
Sucessão real
Uma sucessão real, (𝑢𝑛 ), é uma função, u, em que o domínio é IN e o conjunto de
chegada é IR.
𝑓: 𝐼𝑁 → 𝐼𝑅
𝑛 → 𝑢𝑛
𝑓 (1) = 𝑢1 , 𝑓 (2) = 𝑢, … , 𝑓 (𝑛) = 𝑢𝑛 , …
𝑢1 , 𝑢, … , 𝑢𝑛 são os termos da sucessão
n é a ordem do termo
𝑓 (𝑛) = 𝑢 é o termo geral da sucessão
____________________________________________________________Página 2 de 6
(𝑓(𝑛))𝑜𝑢 (𝑢𝑛 ) representa a sucessão.
O gráfico de uma sucessão (𝑢𝑛 ) é um conjunto de pontos isolados do tipo
(𝑛, 𝑢𝑛 ), 𝑛 ∈ 𝐼𝑁.
Exemplo
Considera a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 =
𝑛+2
3𝑛
1. Determina os quatro primeiros termos da sucessão.
2. Averigua se os números
9
26
e
13
21
são termos da sucessão e, em caso afirmativo,
indica a sua ordem.
Exercícios
Manual, volume 1, página 153, 3 e 4
____________________________________________________________Página 3 de 6
MONOTONIA DE UMA SUCESSÃO DE NÚMEROS REAIS
Exemplo
Dada a sucessão (𝑣𝑛 ) tal que 𝑣𝑛 = 5𝑛 − 8, considera 𝑚, 𝑝 ∈ 𝐼𝑁 tais que 𝑝 > 𝑚.
1. Mostra que 𝑣𝑝 > 𝑣𝑚
2. O que podes concluir quanto à monotonia de (𝑣𝑛 ) ?
Definição: Uma sucessão (un) diz-se crescente (em sentido estrito) se e só se:
n IN , un+1 – un > 0.
Definição: Uma sucessão (un) diz-se decrescente (em sentido estrito) se e só se:
n IN , un+1 – un <0.
Definição:
A sucessão (un) diz-se crescente em sentido lato se e só se: n IN , un+1 – un  0.
Definição:
A sucessão (un) diz-se decrescente em sentido lato se e só se: n IN , un+1 – un  0.
Definição:
Uma sucessão (un) diz-se monótona se e só se (un) for crescente ou decrescente.
Definição:
Uma sucessão (un) diz-se monótona em sentido lato se e só se (un) for crescente em
sentido lato ou decrescente em sentido lato.
Nota: Para mostrar que uma sucessão é não monótona, basta indicar três termos
consecutivos, em que se verifique não haver monotonia.
Exemplo
Estuda a monotonia das seguintes sucessões definidas:
1. 𝑢𝑛 =
2𝑛
𝑛+3
____________________________________________________________Página 4 de 6
2. 𝑣𝑛 = 𝑛2 − 4𝑛
Exercícios
Manual, volume 1, página 155, 5 e 6; página 156, 7
SUCESSÕES LIMITADAS
Exemplo
Na figura seguinte, os triângulos representados são equiláteros.
A área do triângulo maior é 1. Seja (An) a sucessão das áreas dos triângulos
coloridos. Como se pode observar a área de cada triângulo colorido é a quarta
parte da área do triângulo anterior.
1. Indica os quatro primeiros termos da sucessão (An).
2. Escreve o termo geral da sucessão (An).
3. Observando as figuras e o termo geral, é fácil perceber que se trata de uma
sucessão monótona decrescente. O que podes concluir acerca do primeiro termo,
em relação aos outros termos?
4. Por outro lado, as áreas dos triângulos vão decrescendo, tornando-se cada vez
mais próximas de um certo valor. Que valor é esse?
5. Pode-se concluir que: ____ < An  ____, qualquer que seja o valor de n.
____________________________________________________________Página 5 de 6
6. Podemos afirmar que ____ é um majorante do conjunto dos termos da sucessão
por ser maior ou igual que qualquer termo de (An) e que ____ é um minorante
desse conjunto por ser menor ou igual a qualquer termo desta sucessão.
Como o conjunto dos termos da sucessão (An) é limitado superiormente (majorada) e
inferiormente (minorada), diremos que (An) é uma sucessão limitada.
Definição: Uma sucessão (𝑢𝑛 ) é minorada se o conjunto {𝑢𝑛 : 𝑛 ∈ 𝐼𝑁} dos respetivos
termos for minorado. Os minorantes deste conjunto designam-se por minorantes da
sucessão.
Definição: Uma sucessão (𝑢𝑛 ) é majorada se o conjunto {𝑢𝑛 : 𝑛 ∈ 𝐼𝑁} dos respetivos
termos for majorado. Os majorantes deste conjunto designam-se por majorantes da
sucessão.
Definição: Uma sucessão (𝑢𝑛 ) é limitada se é simultaneamente minorada e
majorada.
Exemplo
Mostra que a seguinte sucessão é limitada: 𝑤𝑛 =
3𝑛+1
𝑛
Exemplo
Justifica que a seguinte sucessão não é limitada: 𝑎𝑛 = −2𝑛 + 6
Exercícios
Manual, volume 1, página 158, 8, 9 e 10; página 159, 11 e 12; página 160, 13.
____________________________________________________________Página 6 de 6