6 Questão da Aula – Maio 2012 (com resolução)

Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
"Escola em processo de mudança"
Ano
Lectivo
2011/2012
QUESTÃO DE AULA
MATEMÁTICA A
NOME: ____________________________________; Nº_____
1. Considera a sucessão (an) definida por:
𝑎𝑛 =
4 − 7𝑛
5
1.1. Mostre que (an) é uma progressão aritmética e indique a razão.
1.2. O que pode concluir quanto à monotonia da sucessão (an)? Justifique.
1.3. A sucessão é limitada? Justifique.
1.4. Calcule o valor de 𝑆 = 𝑎11 + 𝑎12 + ⋯ + 𝑎32 .
11º
11-05-2012
Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
"Escola em processo de mudança"
Ano Lectivo
2011/2012
1.
11º
CORREÇÃO QUESTÃO DE AULA
MATEMÁTICA A
11-05-2012
1.1.
𝑎𝑛 é uma progressão aritmética se:
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 𝑟, ∀𝑛 ∈ ℕ
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 =
4 − 7(𝑛 + 1) 4 − 7𝑛 4 − 7𝑛 − 7 − 4 + 7𝑛
7
−
=
=−
5
5
5
5
7
Logo 𝑎𝑛 é uma progressão aritmética de razão − 5
1.2.
7
Da alínea anterior verifica-se que 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = − < 0, ∀𝑛 ∈ ℕ
5
7
Ou seja, como 𝑟 = − 5 < 0, a sucessão 𝑎𝑛 é monótona decrescente.
1.3.
Como
𝑎1 =
é
𝑎𝑛
4−7×1
5
=
4−7
5
uma
sucessão
monótona
decrescente,
o
primeiro
3
= − 5 , é majorante do conjunto dos termos de 𝑎𝑛 .
Mas 𝑎𝑛 decresce indefinidamente, logo não é limitada.
1.4.
Pretende-se calcular a soma dos 22 termos consecutivos a iniciar no 11º termo.
O número de parcelas é: 𝑛 = 32 − 11 + 1 = 22
Logo, pretende-se
𝑆=
𝑎11 + 𝑎32
× 22
2
C.A.
4 − 7 × 11 4 − 77
73
=
=−
5
5
5
4 − 7 × 32 4 − 224
220
=
=
=−
5
5
5
73 220
− −
5 × 22
𝑆= 5
2
293
−
5 × 22
𝑆=
2
293
𝑆=−
× 22
10
6446
𝑆=−
= −644,6
10
𝑎11 =
𝑎32
termo
é: