Teoria da Probabilidade

Teoria dos Conjuntos.
Um conjunto é uma coleção de elementos distinguíveis, i.e., cada elemento só aparece uma vez no
conjunto. É preciso ficar bem claro que elementos pertencem ou não pertencem ao conjunto1.
Geralmente isso é feito através de propriedades partilhadas por todos os elementos do conjunto.
Exemplo:
Seja A o conjunto de todos os elementos que possuem a propriedade P, então a sentença
x A 
x possui a propriedade P.
x
x é inteiro positivo ou zero.

O conjunto vazio  não possui qualquer elemento. Um conjunto finito tem um número finito de
elementos, e um conjunto infinito possui um número infinito de elementos. Dois conjuntos A e B possuem
a mesma potênica se for possível estabelecer uma relação biunívoca entre seus elementos, ou seja, a cada
elemento de A pode-se associar um, e só um, elemento de B. O conjunto pode ser enumerável [countable]
ou não enumerável. Se for enumerável o conjunto tem uma associação biunívoca com o conjnto dos
núemros naturais. Um conjunto infinito pode ser enumerável, como o dos números naturais. Todo
conjunto finito é enumerável pois podemos ordenar seus elementos e associá-los a 1, 2, 3, etc.
Os elementos de um conjunto de conjuntos enumeráveis formam um conjunto enumerável. Pense em
uma matriz
Podemos enumerá-los pela seqüência triangular, e dentro da diagonal pelo primeiro índice, como mostra
a tabela xx abaixo:
1
x11
x12
x21
x13
x22
x31
x14
x23
x32
x41
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Se a fronteira entre o que pertence e o que não pertence ao conjunto é NEBULOSA, não claramente definida, aceita uma gradação, o con junto
é nebuloso, ou FUZZY. Existe toda uma lógica, chamada FUZZY LOGIC, para lidar com esses caso hoje.
Assim fizemos a correspondência com
racionais é enumerável, pois x 
. Conseqüência dessa fato é que o conjunto dos números
n
contém dois índices, o n e o m, logo pode ser enumerado usando a
m
mesma regra acima.
Entretanto, o conjunto de todos os números em um intervalo não é enumerável. Basta trabalhar com o
intervalo 0,1 . A pergunta é: o conjunto de todos os números no intervalo 0,1 é enumerável? Vamos
provar que não por absurdo.
Suponha que seja. Então temos x1
x1  x2  x3 
x2
x3
e podemos ordená-los em ordem crescente:
 1 uma vez que dois números não podem ser iguais. Neste caso x 
xi  xi 1
é
2
tal que xi  x  xi 1 e x não pertence ao conjunto dado. Logo o conjunto não incluiu todos os números
entre 0 e 1. Note então que existem  números racionais entre 0 e 1 e que também existem  números
irracionais entre 0 e 1. Só que o conjunto dos irracionais não é enumerável, e dos racionais é enumerável,
ou seja, irr  rac .
Álgebra dos conjuntos.
São duas as operações principais entre conjuntos: a UNIÃO e a INTERSEÇÃO.
Operação UNIÃO:
Seja A o conjunto dos elementos com a propriedade PA e B o conjunto dos elementos com a propriedade
PB. Se x  AUB então x  A ou x  B . Ou seja, x ou tem a propriedade PA ou tem a propriedade PB.
Note que a operação lógica da união é OU. Vamos usar a notação 0 para falso e 1 para verdadeiro. A tabela
da verdade para essa operação é dada por:
PA
PB
AUB
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Ou seja se x possui PA e PB então x  AUB ; se x possui PA mas não PB então x  AUB ; se x não possui PA
mas possui PB então x  AUB e, finalmente, se x nem possui PA nem possui PB então x  AUB . Em
linguagem de conjuntos estamos afirmando que:
x A e
x A e
x  B  x  AUB
x  B  x  AUB
x A e
x A e
x  B  x  AUB
x  B  x  AUB
Na nossa álgebra de lógica em que só existem 0 e 1, falsa ou verdadeira, então 1  1  1 , 1  0  1 ,
0 1  1 e 0  0  0 . Por isso é comum associar o sinal de + à operação lógica OU.
Ou seja AUB  A  B quando A e B são conjuntos.
Propriedades da operação união2.
Associativa:
 A  B  D  A   B  D
Comutativa:
A B  B  A
Elemento unitário:
A   A
Observação: apesar da operação união possuir o elemento unitário e   ela não admite inversa pois
A  B   se A   ou B   .
CONJUNTO UNIVERSO
O conjunto universo é definido como o conjunto contendo todos os elementos possíveis, com todas as
propriedades existentes em dado contexto e denominado por S. Note que A  S sempre e que
A S  S .
CONJUNTO COMPLEMENTAR A .
Se x  A então x  A e x  S .
Propriedades:
A  A ; S   ;   S ; se B  A então A  B e se A  B então A  B .
2
Vamos evitar a letra C para conjuntos por que é a letra usada para estar contido.
Operação DIFERENÇA A  B
Se x  A  B então x  A e x  B OU x  A e x  B . Se A  B então A  B   e A  S  A .
Operação INTERSEÇÃO:
Dizemos que x  A  B se x  A E x  B . A operação lógica nesse caso é E (AND). Ou seja, agora temos
que:
x A e
x A e
xB  x A B
xB  x A B
x A e
x A e
xB  x A B
xB  x A B
A tabela da verdade para essa operação é dada por:
PA
PB
AUB
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Como 1 1  1 , 1 0  0 , 0 1  0 e 0  0  0 , usamos também a notação de multiplicação na forma
A  B  AB .
Propriedades da operação união.
Associativa:
 AB  D  A  BD 
Comutativa:
AB  BA
Distributiva frente à união:
A  B  D   AB  AD
Se A  B então AB  A ; AA  A ; AS  A ; A   e A A   .
Conjuntos disjuntos: se AB   dizemos que A e B são disjuntos, ou mutuamente exclusivos. Se pertence
a A não pertence a B e se pertence a B não pertence a A.
Ai  A , ou
PARTIÇÃO. Uma partição de um conjunto A é uma coleção de subconjuntos Ai tais que:
i
seja, A1  A2 
 An  A , entretanto Ai Aj   i  j .
Algumas partições clássicas:
1.
A A  S e AA 
2.
A    A e A  
3.
SB  B 
4.
A  B  A  AB  AB   A  AB   AB  A  AB e A AB  
 A  A B  B

AB  AB  B e AB AB  A ABB   B  
Leis de De Morgan:
São leis super importantes na teoria dos conjuntos e muito úteis para demonstração de teoremas. Podem
ser apresentadas em duas formas equivalentes:
Forma 1: A  B  A B
Forma 2: AB  A  B
A estratégia para demonstrá-la e usar o fato de que se A  B e B  A então A  B .
Forma 1: Se x  A  B
 x  A  B  x  A e x  B  x  A e x  B  x  A B
Com isso demonstramos que se x  A  B então x  A B o que significa que A  B  A B . Entretanto,
como todas as setas são bidirecionais também concluímos que se x  A B então x  A  B logo
A B  A  B , significando que A  B  A B .
Forma 2: Se
x  AB
 x  AB  x  A ou x  B  x  A ou x  B
 x A B .
Com isso mostramos que se x  AB então x  A  B logo que significa que AB  A  B . Com a
bidirecionalidade das setas concluímos que se x  A  B então x  AB
logo A  B  AB , e
AB  A  B .
Parecem duas leis mas na realidade é uma só. Dado uma a outra será verdadeira e vice-versa. Passando
de uma forma à outra:
Na forma 2 fazer A  A e B  B logo A B  A  B  A  B agora tirar o complementar de ambos os
lados A B  A  B

A  B  A B a forma 1. Na forma 1 fazer A  A e B  B logo
A  B  A B  AB tirar o complementar de tudo novamente A  B  AB  AB  A  B .
Probabilidade.
Vocabulário:
Experimento. Na estatística designa uma atividade para a qual não se pode especificar antecipadamente
o resultado final. Jogar um dado, por exemplo, é um experimento. Jogar um dado duas vezes seguidas é
um experimento. Se é possível especificar o resultado antecipadamente se diz que estamos no campo
determinístico. Experimento nas ciências exatas possui outra conotação – é uma experiência
determinística utilizada para comprovar ou falsificar uma teoria ou modelo.
TRIAL (ensaio, tentativa). Cada performance isolada de um experimento é um trial.
Resultado (outcome). É o resultado do experimento. Exemplo, joguei o dado e obtive 5 – 5 é o resultado.
Cada trial dá origem a um resultado. Jogar dois dados, por exemplo, pode dar o resultado (2,3).
Espaço amostral S ou . O conjunto de todos os resultados do experimento é o espaço amostral. Esse
conjunto pode conter mais resultados do que os possíveis, mas não pode deixar de conter todos os
possíveis. No caso de um dado   1, 2,3, 4,5 e 6 . Agora suponha o conjunto da quantidade de gordura
no leite, x. Sabemos que   x / 0  x  100% embora se saiba que x  10% é praticamente
impossível. Logo   x / 0  x  20% também é um espaço amostral. Todo resultado, portanto, é
um elemento do espaço amostral. O espaço amostral pode ser finito, infinito, enumeráel ou não
enumerável.
Evento. Evento é um sub-conjunto do espaço amostral. São coleções de resultados de um experimento.
FUNÇÃO. Uma função é uma regra de associação entre elementos de um conjunto chamado domínio com
elementos de outro conjunto chamado contra-domínio. Para ser função a regra deve ser clara, sem dar
origem a impasses, deve se saber exatamente a que elemento associar e o que fazer com todos os
elementos do domínio. Não pode portanto, associar um elemento do domínio a mais de um elemento do
contra-domínio pois haveria dúvida sobre qual regra seguir. Além disso, todos os elementos do domínio
devem poder ser associados para evitar não saber o que fazer com um elemento que não se pode associar.
Estamos acostumados à funções de um conjunto de números em outro conjunto de números, mas
podemos perfeitamente associar um conjunto a uma número, ou conjuntos a conjuntos. Um exemplo de
uma função de conjunto que associa elementos de um conjunto a um número é o indicador do conjunto:
1 se x  A
1A  x   
0 se x  A
Probabilidade é uma função de conjunto, que deve associar um número real 0  P  A  1 à todo evento
A do espaço amostral.
Definições de probabilidade.
Subjetiva: uma pessoa julga qual a probabilidade de ocorrência dos eventos.
Freqüência relativa. Executa um experimento N vezes e conta quantas vezes o evento A ocorreu e assim
NA
. A dificuldade dessa definição é que seria preciso repetir o
N
N
experimento inifinitas vezes. Também só seria útil se for possível provar que A estabiliza para certo
N
N
valor à medida que N cresce, ou seja, que A converge.
N
associa à probabilidade P  A   Lim
N 
Clássica. Seja  um espaço amostral finito com N resultados igualmente PROVÁVEIS e A um evento com
NA elementos, então P  A  
NA
. A maior dificuldade com essa definição [é que ela usou o conceito de
N
probabilidade para definir probabilidade [igualmente prováveis]. Ou seja, é uma definição circular.
Também, da forma como foi definida, seria impossível analisar o comportamento de um dado desonesto.
Finalmente restringe o estudo a espaços amostrais finitos.
Dadas todas as dificuldades apontadas acima finalmente chegou-se a conclusão que a probabilidade
deveria ser definida através de axiomas.
Definição Axiomática.
São apenas três os axiomas para uma função de conjuntos P  A  f :    , com P  A  0,1 , que
pode representar uma probabilidade:
1.
P  A  0 A 
2.
P     1,  é chamado de evento certo.
3. Se AB   então P  A  B   P  A  P  B 
Tudo o que pode ser demonstrado através dos axiomas é teorema e não deve ser colocado na mesma
categoria de axioma. Com esses 3 axiomas podemos mostrar vários teoremas:
1.
P    0 .
Prova: A  
 P  A     P  A  P  
mas A    A , logo P  A  P  A  P   e
P    0 .
2.
P  A  1  P  A 


 
outro lado P  A  A   P     1 pelo axioma 2. Então P  A   P  A   1 e P  A   1  P  A  .
Prova: A  A   e A A   logo pelo axioma 3 mas A    A , logo P A  A  P  A   P A . Por
a  1 b e
b  0  1  b  1  a  1 . Repetindo o argumento temos também que b  1 . Como
Corolário:
Se
a0,
b0
e
a  b 1
então
a 1
e
b 1,
pois
P  A   P  A   1 e P  A  0 e P  A   0 pelo axioma 1 então 0  P  A  1 e 0  P  A   1 .
3.
P  A  B   P  A  P  B   P  AB 


Prova: B  B  A  A B logo B  AB  A B . Fazendo a união com A temos A  B  A  AB  A B
entretanto AB  A logo A  AB  A e A  B  A  AB . Note que B  AB  A B e A  B  A  AB
representam duas partições pois
 AB   A B   A ABB   B  
axioma 3 nas duas partições temos:

 
e A AB  AAB   . Aplicando
P  B   P  AB   P  A B  e P  A  B   P  A   P  A B  .

Extraindo P A B  P  B   P  AB  da primeira partição e substituindo na segunda temos:
P  A  B   P  A  P  B   P  AB 
Esse teorema implica em que a probabilidade é sub-aditiva, ou seja, a união dos conjuntos leva a uma
probabilidade menor do que a da soma das probabilidades.
4. Se
A  B então P  A  P  B  .
Mas como
A B
então
então P  B   P  A .

Prova B  AB  A B logo P  B   P  AB   P A B
AB  A ,

então P  B   P  A   P A B




.
e como P A B  0
Eventos independentes:
Os eventos
A e B são independentes se P  AB   P  A P  B  .
AeB
Daí podemos mostrar como teoremas que se
são independentes então ( A e
B ), ( A e B ) e
(
A e B ) também são independentes entre si. Isso significa que os eventos complementares também são
independentes.
P  A   1  P  A  , percebemos que P  B   P  AB   P  A B  ,
Prova: Usando B  AB  A B e
P  A B   P  B   P  AB  .
logo
Como
A
B
e
são
independentes,
P  A B   P  B   P  A  P  B   P  B  1  P  A    P  B  P  A  , provando que
A
e
então
B
A de B e vice-versa temos que A e B são independentes. Se A e B
independentes então mudando A para A temos que A e B são independentes.
independentes. Chamando
são
são
Probabilidade Condicional.
A
Pergunta: qual a probabilidade do evento
probabilidade por
sabendo que o evento
P  A | B  , [leia-se: p de A dado B]. Se B
restringir o espaço amostral para
B
ocorreu? Denotamos essa
ocorreu então
P  B  0
e podemos
  B  B . Agora basta mostrar que P  A | B  
P  AB 
P  B
obedece aos axiomas da probabilidade.
1.
P     P  B | B  
2.
P  A | B  0
3. Se
AD  
pois
P  BB 
P  B

P  AB   0
e
P  B
P  B
1
P  B  0
então:
P  A  D | B 
P  AB  DB 
P  B

P  AB 
P  B

P  DB 
P  B
 P  A | B  P D | B
Teorema da propabilidade total:
Seja
par   A1 , A2 ,
, An  uma partição de 
e
B um evento arbitrário. Então:
P  B   P  B | A1  P  A1   P  B | A2  P  A2  
 P  B | An  P  An 
Prova:
 BAi   BAj   
B  B  B  A1  A2 
 An   BA1  BA2 
i  j , logo BA1  BA2 
 BAn
P  B   P  BA1   P  BA2  
Agora basta substituir
P  BAi   P  B | Ai  P  Ai 
 BAn
é uma partição de
e
B . Nesse caso:
 P  BAn 
para provar o teorema.
P  B   P  B | A1  P  A1   P  B | A2  P  A2  
 P  B | An  P  An 
Teorema de Bayes.
P  Ai | B  
P  Ai B 
1

P  B | Ai  P  Ai 
P B
P B
P  Ai | B  
logo:
P  B | Ai  P  Ai 
P  B | A1  P  A1   P  B | A2  P  A2  
 P  B | An  P  An 
Thomas Bayes [1701 – 1761] estabeleceu o teorema de Bayes em uma obra póstuma Bayes “An Essay
towards solving a Problem in the Doctrine of Chances” [1763] editada pelo seu amigo Richard Price, da
tabela Price.
A inferência de Bayes está sendo hoje, cada vez mais, considerada mais robusta do que a inferência
frequentista de Fisher.
Exemplos da utilização da inferência Bayesiana:
[extraídos do livro “The Signal and the Noise” de Nathan Silver.
Exemplo 1: Após uma viagem Ella encontra uma calcinha estranha em sua gaveta. Deseja saber a
probabilidade de estar sendo traída pelo seu parceiro dado que a calcinha foi encontrada. O evento
foi: encontrar calcinha estranha na sua gaveta. O evento
informação e o evento complementar
opções: traição
A
ou não traição
A
A
B
é estar sendo traída sem qualquer outra
é não estar sendo traída. Nesse caso o evento
A , e P  A   1  P  A . A probabilidade P  A
A só tem duas
é chamada de
probabilidade à priori, ou prior. Sem qualquer informação extra pode-se apelar para estatísticas da
sociedade como um todo na qual se sabe que 4% dos parceiros traem durante um ano. Assim, a
probabilidade de estar sendo traída vale
P  A  4%
e de não estar sendo traída vale
P  A   1  P  A  96% . Agora precisamos estimar P  B | A , probabilidade da calcinha estranha
aparecer dado que está sendo traída, e
P  B | A  , a probabilidade da calcinha estranha aparecer mesmo
sem existir traição. Vamos supor que exista a traição. Mas nesse caso se espera que o parceiro fosse mais
cuidadoso em evitar que a calcinha fosse abandonada na gaveta – digamos então que seja de 50% a
chance dele não ter percebido a calcinha estranha no momento da traição. Assim P
 B | A  50% .
Agora pode-se imaginar a probabilidade da calcinha estranha aparecer sem que exista traição – tipo ele
comprou a calcinha e esqueceu de contar, comprou a calcinha para ele mesmo, uma amiga em comum
confiável dormiu em casa, a empregada misturou tudo, etc. Digamos que essa probabilidade seja de
P  B | A   5% . Agora pode-se calcular a probabilidade de estar sendo traída dado que a calcinha
estranha apareceu como:
P  A | B 
P  A | B 
P  B | A P  A 
P  B | A P  A   P  B | A  P  A 
50%  4%
2%

 29%
50%  4%  5%  96% 2%  4.8%
Exemplo 2: Uma mulher na faixa dos 40 anos fez uma mamografia que deu positiva para câncer de mama.
Qual a probabilidade de ela ter câncer de mama dada a mamografia positiva. Evento
mama e
A é ter câncer de
A é não ter câncer de mama na faixa dos 40 anos. O evento  B | A é a mamografia ser positiva
quando há câncer de mama, e o evento
 B | A  é a mamografia ser positiva quando não há câncer de
mama [são chamados falso-positivos]. Sem qualquer outra informação sabe-se que a probabilidade de
uma mulher na faixa dos 40 desenvolver câncer de mama é de apenas
P  A  1.4% ,
logo
P  A   98.6% . Também se sabe que a probabilidade da mamografia dar positivo na presença de
câncer de mama é de
P  B | A  75% , ou seja, 25% dos cânceres de mama deixam de ser detectados
pela mamografia. Por outro lado a freqüência de falsos positivos é de
P  B | A   10% .
Assim a
probabilidade dela ter câncer de mama dado que a mamografia deu positiva é de:
P  A | B 
75%  1.4%
 9.6%
75%  1.4%  10%  98.6%
Ainda bastante baixa. Por isso só se recomenda exame periódico de mamografia depois dos 50, quando a
prior aumenta. Nathan Silver demonstra esse resultado da seguinte forma. Suponha 1000 mulheres
fazendo mamogramas. Dessas 1000 apenas 14 estarão com câncer de mama enquanto 986 não estarão
com câncer de mama. Das 986 sem câncer de mama aparecerão 99 com mamografia positiva. Das 14 com
câncer de mama aparecerão 11 com mamograma positivo e 3 cânceres não serão detectados. Ou seja, do
total de 110 mamogramas positivos apenas 11 são realmente câncer de mama.
Exemplo 3: No ataque terrorista de 2001 qual a probabilidade da primeira colisão com a world trade
center ser um ataque terrorista. Nesse caso evento A é haver um ataque terrorista e A é não haver um
ataque terrorista. Vamos chutar que a chance de haver um ataque terrorista contra um arranha céu de
Manhattan seja de 1 em 20.000, contando as tentativas que já ocorreram no passado. Trata-se de um
chute, pois só houve um atentado terrorista de sucesso contra um arranha céu de Manhattan em toda a
história da cidade, justamente o de 11 de setembro de 2001. Isso significa que a estimativa dessa
probabilidade é muito pouco precisa. Mas deixa assim mesmo. Então
P  A 
1
20000
e
P  A 
19999
. Agora, estimando o caso pior aceitamos que a probabilidade de acertar o WTC dado
20000
que é realmente um ataque terrorista seja de 100%, então P  B | A  100% . Agora a probabilidade
de uma colisão não intencional de um avião com um arranha céu em Manhattan é bem precisa pois em
25000 dias de aviação sobre Manhattan antes de 2001 só existiram 2 acidentes, um no Empire State
Building em 1945 e outro em Wall Street em 1946, ou seja,
P  B | A 
2
25000
. Nesse caso a
probabilidade da primeira colisão ser de uma ataque terrorista é:
1
20000
P  A | B 
 38%
1
2
19999
1


20000 25000 20000
1
Agora vamos atualizar a prior para
P  A  38%
e recalcular a probabilidade do segundo ataque ser
terrorista:
P  A | B 
1  0.38
 99.99%
2
1  0.38 
 0.62
25000
Inferência Bayesiana.
Fisher não gostou das estimativas da prior e das probabilidades
P  B | A
e
P  B | A
que lhe
pareceram muito subjetivas. No fundo o método de Fisher é estimar os parâmetros da distribuição através
das observações e com eles calcular as probabilidades.
A robustez da aparente fraqueza da metodologia de Bayes, entretanto, é o fato de que uma atualização
dos dados usando as probabilidades posteriores como prior do processo seguinte converge para a
probabilidade real. Mas para isso é necessário provar que a probabilidade converge para a probabilidade
real à medida que se atualizam as informações da inferência Bayesiana.
http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_inference
Variável aleatória.
Trabalhar com funções de conjuntos é bem mais complicado do que trabalhar com funções numéricas.
Por isso pode ser interessante criar uma associação entre os conjuntos A do espaço amostral e os
númeors. Ou seja, vamos criar uma nova função de conjuntos f :  
que permite associar um
número a cada evento. Assim poderemos trocar P  A por P  x  onde x é uma variável aleatória
definida pela função de conjunto x  A :  
é uma função de conjunto com imagem Rx . Ou seja, a
variável aleatória não é uma variável mas uma função. Para distinguir a função de conjuntos do valor que
ela pode assumir vamos designar por xv a função e x o seu valor. Para ser uma variável aleatória a função
de conjunto precisa satisfazer poucas condições.
1. O conjunto  xv  x é um evento para  x 
2.
P xv    P xv    0
Note que a um conjunto evento do espaço amostral estamos associando uma probabilidade e um valor
da variável aleatória xv . Queremos eliminar a necessidade de passar pelo estágio intermediário dos
conjuntos para chegar diretamente na probabilidade. Nossa questão então é como andar na direção
inversa. Ou seja, dado que xv  x qual o conjunto A a ele associado e qual P  A . Como garantir que o
mapeamento inverso xv1  x  :
  tenha a estrutura definida para a probabilidade?
Figura xxx. Mapeamento do conjunto dos eventos para a probabilidade e para a variável aleatória. Seta
vermelha: mapeamento direto da variável aleatória para a probabilidade.


Suponha que o conjunto de pontos B  Rx seja xv1  B   A / A  xv1  x  x  B . Esse conjunto
tem que ser um evento. Assim, dado o espaço de probabilidade , , p  a função xv  A  x é uma
função variável aleatória relativa ao campo de Borel  se, e somente se, ela é uma função com domínio
 e imagem Rx tais que  A / xv  A  x, A   para todo x  Rx . Vamos dar um exemplo para
evitar que o tópico fique muito abstrato. Jogar uma moeda duas vezes seguidas. Qual o conjunto de
possibilidades, ou o espaço amostral? Como em português as possibilidades são CARA e COROA, ambas
começando com C, vamos chamar as possibilidades pelas iniciais H e T dos nomes em inglês, Head ou Tail.
Nesse caso o espaço amostral é dado pelo conjunto:  
 H , H  ;  H , T  ; T , H  ; T , T  . O conjunto
de todos os possíveis subconjuntos terá 2 4  16 elementos. Vamos agora definir a variável aleatória
xv : A 
como:

0 se A  T , T 

xv  A   1 se A   H , T  ; T , H 

 2 se A   H , H 
Ou seja xv  A é o número de vezes em que H aparece. A pergunta é xv  A é uma v.a. frente a 3 dado
por:

 ; ; H , H ;T , T ;  H , H  ; T , T ;  H , T  ; T , H ;  H , T  ; T , H  ;  H , H ; 

3  
?
H
,
T
;
T
,
H
;
T
,
T












1
Vejamos quem é xv x  xo  .
 se x  0


T , T  se 0  x  1

xv1  , x    
T , T  ;  H , T  ; T , H  se 1  x  2

  T , T  ;  H , T  ; T , H  ,  H , H  se x  2

Como   3 ;
T , T    T , T  ;  H , T  ; T , H 
3
3
e   3 então xv é uma v.a. frente a 3
Um aspecto importante a notar aqui é que se x1  x2 então os eventos xv1  , x1    xv1  , x2  
.
Função Distribuição de Probabilidade
Também chamada Função Distribuição Acumulada [Cumulative Density Function] [CDF]. Para evitar
confusão com a Função Densidade de Probabilidade vamos denotar a Função Distribuição de
Probabilidade por CDF. Sabendo que o conjunto A   xv  x é um evento, podemos calcular P  A
para qualquer valor de x. Assim a CDF é definida por:
F  x   P xv  x x 
Exemplo: jogar uma moeda desonesta, com probabilidade p de H e q de T , p  q  1 , uma vez.
Vamos criar a v.a. xv  H   1 e xv T   0 . Essa distribuição é conhecida como distribuição de Bernoulli.
Nesse caso

 se x  0

x  , x    
T  se 0  x  1
  T  ,  H  se x  1

1
v
 0 se x  0
Como P    0 , P T   q e P     1 então F  x   q se 0  x  1 .
 1 se x  1



Figura xxx. FDA ou CDF da Distribuição de Bernoulli.
Propriedades da CDF
1.
F     1 e F     0 .
2. Se x2  x1 então F  x2   F  x1  .
3. Se F  xo   0 então F  x   0  x  xo .
4.
P xv  x  1  F  x  .
5.
F  x  é contínua pela direita, ou seja, F  x    F  x  .
6.
P x1  xv  x2   F  x2   F  x1  .
7.
P  xv  x  F  x   F  x   .
temos que P
 x
v
P x    xv  x  F  x   F  x   
x
v
 x  F será a descontinuidade no ponto x.
Figura xxx. Descontinuidade na Função Distribuição de Probabilidade fornece P
P  x1  xv  x2    F  x2   F  x1  .
Um aspecto importante aqui é o fato de que a distribuição pode ser
a. Contínua
b. Discreta
c. Mista
(a)
 0
 x  F  x   F  x   . Se F é contínua, então P xv  x  0 mas se F for
descontínua, nesse caso, P
8.
fazendo
(b)
(c)
Figura xxx. (a) Distribuição contínua; (b) Discreta e (c) Mista
Função Densidade de Probabilidade [fdp]
x
v
 x .
Essa função é definida como a derivada da função distribuição de probabilidade: f  x  
dF  x 
. Note
dx
que dimensão da fdp é probabilidade por unidade de x, e não probabilidade. Assim também podemos
definir a CDF em termos da fdp como: F  x  
x
 f  x  dx . O único problema aqui é que a F(x) pode ter

pontos de descontinuidade nos quais a função não é diferenciável. Antes de lidar com as
descontinuidades, através das funções Delta de Dirac, vamos extrair as propriedades da fdp supondo que
F é diferenciável.
Propriedades da Função Densidade de Probabilidade [fdp]
1.
F  x  h  F  x
 0 uma vez que F  x  h   F  x  se h  0 e
h 0
h
F  x  h   F  x  se h  0 , pela propriedade (2) da CDF. Poderíamos simplesmente ter
f  x   0 pois lim
afirmado que se F é sempre crescente então f  x  
dF
 0.
dx

2.
 f  x  dx  F     1

3.
P  x1  xv  x2   F  x2   F  x1  
x2
 f  x  dx
x1
4.
P x  xv  x  dx  f  x  dx , ou seja, f  x  dx é a probabilidade de encontrar a v.a. xv
entre x e x  dx .
Função Delta de Dirac ou Função Impulso
Para lidar com as derivadas das descontinuidade necessitaremos das funções Delta de Dirac. Kronecker
definiu a delta de Kronecker, muito útil no cálculo matricial e tensorial, dada por:
1 se i  j
0 se i  j
 ij  
A matriz identidade pode ser escrita em termos do delta de Kronecker como I ij   ij . Em particular ela
tem a propriedade de que:
n2
a 
j  n1
j ij
a se i   n1 , n2 
 i
 0 se i   n1 , n2 
Pois o único termo não nulo do produto a j ij será o termo com j  i .
Agora queremos uma função que opere da mesma forma para as integrais, ou seja, para b  a :
1 se xo   a, b 

 f  x    x  x  dx  f  x  1   x   f  x  0
b
o
o
o
a ,b
se xo   a, b 
o
a
Nesse caso queremos   x  xo   0 se x  xo , entretanto a área sobre a delta tem que ser 1 pois:
xo 
xo 
 f  x    x  x  dx  f  x      x  x  dx  f  x 
o
o
xo 
o
o
xo 
Em outras palavras, estamos em busca de uma função que é nula para todo x  xo mas que tenha área
unitária, ou seja




   x  xo  dx  1 . Note que a exigência de que
   x  x  dx  1 implica em que a
o
dimensão da delta é de 1/x. Se a largura da função delta de Dirac vai a zero então a altura deve ir para o
infinito para garantir a área sobre a curva.
Como construir a Delta de Dirac
Partindo de uma função  n  x  xo  de largura limitada, ou seja,  n  x  xo   0 quando x  xo  m ,
mas cuja área seja 1 e independente de n. Além disso, é preciso que n   então m  0 , ou seja, a
largura da delta vai a zero. Fazendo o n tender a infinito então teremos a função Delta de Dirac como
  x  xo   lim  n  x  xo  . Qualquer função  n  x  xo  com as propriedades acima pode ser usada
n
para construir a função Delta de Dirac.


0 se x  xo 


n .
Um exemplo é a função retângulo:  n  x  xo   
 n se x  x  
o

n

xo 

A área sobre a curva vale

2n
   x  x  dx  
n

o
xo 

2n
n
n
dx 
 1 . Se n vai a infinito a largura vai a zero,

n
a altura a infinito e a área se mantém constante. Vale notar que as funções densidade de probabilidade

são excelentes candidatas à função Delta de Dirac, pela propriedade
 f  x  dx  1 . Assim poderíamos

usar distribuições Normais, de Cauchy ou qualquer outra com a propriedade da largura ir diminuindo e
tendendo a zero quando determinado parâmetro vai a inifinito ou zero. Uma boa representação gráfica
para a função delta de Dirac é a de uma seta vertical na posição xo.
Delta de Dirac como a derivada da função Degrau.
O importante nesse ponto é o uso da delta de Dirac para obter a derivada de funções descontínuas. Vamos
considerar a função de Heaviside, ou função degrau, definida como:
1 se x  xo
H  x  xo   
0 se x  xo
Essa função é descontínua em x  xo e, portanto, não diferenciável. Agora considere a função logística
dada por H n  x  xo  
x   H n  x  xo 
1
 n x  xo 
1 e
1
e
 n x  xo 
. Note que se x  xo então x  xo  0 e n  x  xo   0 logo para
 0 . Já para x   então e
 n x  xo 
temos que H n     0 e H n     1. Para x  xo H n  0  
 0 e Hn  x  xo   1 . Assim
1
. A função Hn é diferenciável
2
n x x
dH n
ne  o 
e essa derivada tem obviamente uma área sobre a curva igual a 1, pois

2
dx
1  e n x  xo  



dH n
dx  H n     H n     1  0  1 . Aumentando o n se percebe que a função logística se
dx


parece mais e mais com a função degrau e que a largura de sua derivada vai diminuindo. Figura xx mostra
Hn e
dH n
para n  1, 2, 4,10 e 20 .
dx
Figura xxx. Função Logística H n e e sua derivada
Daí se percebe, então, que para n   , teremos:
dH n
para n  1, 2, 4,10 e 20 .
dx
d
H  x  xo     x  xo  .
dx
 f1  x  se x  xo
 f 2  x  se x  xo
Derivando funções descontínuas3. Uma função descontínua da forma f  x   
pode ser escrita como f  x   f1  x    f 2  x   f1  x   H  x  xo  . Agora podemos derivar esse função
pela regra do produto como:
f   x   f1 x    f 2  x   f1 x   H  x  xo    f 2  xo   f1  xo     x  xo 
Ou seja f   x   f1 x    f 2  x   f1 x   H  x  xo   f   x  xo  onde  f é a descontinuidade em
xo .
Apêndice xxx mostra algumas propriedades da função Delta de Dirac. As duas que mais utilizaremos são:
b
1.
 f  x    x  x  dx  f  x  1   x 
o
o
a ,b
o
a
2.
d
H  x  xo     x  xo 
dx
Função densidade de probabilidade de funções descontínuas.
Agora a função Delta de Dirac dá conta de todas as descontinuidades da distribuição de probabilidade e
não é mais necessário distinguir os casos discretos, mistos e contínuos e as definições: f  x  
3
dF  x 
e
dx
A função delta de Dirac só deve ser usada para descontinuidades finitas, ou seja, para funções com variações finitas. No caso das distribuições
as descontinuidades são todas finitas e a representação da derivada da descontinuidade como a funçaõ delta é sempre válida.
F  x 
x
 f  x  dx
são válidas em geral. Um bom exemplo é o caso da distribuição de Bernoulli onde

F  x   qH  x   pH  x 1 e f  x   q  x   p  x 1 . Notem que a fdp ficou com a dimensão de
probabilidade por unidade de x após a multiplicação pelas deltas. Outro exemplo interessante é o de um
dado honesto com probabilidade 1/6 para cada face e a v.a. sendo o número da face. Nesse caso a fdp
será dada por:
f  x 
1
  x  1    x  2     x  3    x  4     x  5     x  6  
6
Note que a CDF sai automaticamente da fdp através da integração:
x
x
x
x
x
x

1
F  x       x  1 dx     x  2  dx     x  3 dx     x  4  dx     x  5 dx     x  6  dx 
6  






1
que leva a F  x    H  x  1  H  x  2   H  x  3  H  x  4   H  x  5   H  x  6   pois
6
x
   x  x dx  H  x  x .

Função de uma Variável Aleatória
Uma nova v.a. y  g  x  pode ser criada a partir de uma v.a.
x
desde que os seguintes requisitos sejam
satisfeitos:
O conjunto g  x   y é um evento.




Os eventos g  x    devem ter probabilidade nula, ou seja, g  x      .
Imagem de
x
está contida no domínio de
g.


Note a necessidade desses requisitos. Se g  x   y não é um evento não existe probabilidade associada
f y     0 , exigido para uma FDP. O terceiro é um pouco
mais sutil. Precisamos ter certeza de que ao varrer y todos os valores possíveis de x , ou seja, a imagem
ao mesmo. O segundo requisito garante que
da função de conjuntos
x  xv  A , estarão incluídos. Não podem faltar valores de x
superposição de intervalos de
nem pode haver
x . A ausência de superposição é garantida pelo fato de que g  x  é uma
função, ou seja, o mesmo valor de
calcular
x
só pode ser associado a apenas um valor de
y  g  x  . Podemos
Fy  y  da seguinte forma:
Encontrar todos os intervalos de
x
para os quais g  x   y
Calcular a probabilidade de cada um dos intervalos e somá-los
Note que
g  x
pode ser inclusive descontínua, constante, divergir, que mesmo assim poderemos
encontrar a nova distribuição de probabilidade. Vejamos um exemplo de caso patológico. Para simplificar
considere que x segue uma distribuição contínua bem comportada, como a normal da figura 17(a). Agora
vamos fazer
y  sign  x  mostrada na figura 17(b). Note que nesse caso o conjunto g  x   y  1
é vazio, logo tem probabilidade nula; o conjunto
conjunto
g  x   y , para qualquer 0  y  1 , corresponde ao
x  0 , ou seja, com probabilidade p  0, 4
g  x  y
para qualquer
1 y
pelo gráfico da
F  x  . Note que, por outro lado,
representa todo o espaço amostral,
probabilidade 1. A função distribuição de probabilidade de
x 
, logo é associado à
y nesse caso é dada pelo gráfico da figura 17
(c).
(a)
(b)
(c)
Figura 17 - F (x) de uma Normal (a), a CDF da função sign(x) (b) e a CDF da F(y) (c)
No caso especial em que
dada por fdp  y  

k
Prova:
g  x
é diferenciável a função densidade de probabilidade da nova variável é
fdp  g 1  y  
g   g 1  y 
onde g  xi   y .
CDF  y   y   CDF  y 
P  y  yv  y   y 
,
 lim
 y 0
 y 0
y
y
fdp  y   lim
ou
seja,
P  y  yv  y   y   fdp  y  dy . A pergunta é, então, qual o conjunto de pontos de x que leva ao
conjunto para y  yv  y   y ? É aquele em que y  g  x   y   y , como mostra a figura 20 onde
existem 3 raízes g  x   y . Note que o dx2 da figura é negativo por que
dg
é negativa nessa região,
dx
enquanto dx1 e dx3 são positivos.
Figura 20 - Três regiões em que y  g  x   y   y , definindo x1 , x2 e x3 . Nas regiões 1 e 3 g   x  é
positiva, logo dx1 e dx3 também são positivos. Já na região 2 g   x  é negativa então dx2 é negativo.
Note que dy  g   x  dx , então dx 
1
dy será negativo onde g   x   0 . Vamos separar as raízes
g  x 
com g   x   0 e denotá-las pelo índice
i , das raízes com g   x   0 denotadas pelo índice j . Nesse
caso:
P  y  yv  y   y    P  xi  xv  xi  dxi    P  x j  dx j  xv  x j 
i
j
com dxi  0 e dx j  0 . Usando as propriedades da fdp temos que:
P  y  yv  y   y    fdp  xi  dxi   fdp  x j  dx j   fdp  xi 
i
j
i
dy
dy
  fdp  x j 
g   xi  j
g  x j 
P  y  yv  y   y    fdp  xi 
i
dy
dy
dy
  fdp  x j 
  fdp  xk 
g   xi  j
g   xk 
 g   x j  k


Onde a somatória é feita em k tal que g  xk   y , independente do sinal de g   x  . O módulo dá conta
dos casos em que g   x  é positiva ou negativa. Com isso temos, no final:
fdp  y   
k
x
Exemplo 1: Vamos transformar a variável
fdp  x  
x
fdp  g 1  y 
g  g 1  y 
da distribuição normal cuja fdp é dada por
2
 2
1
e 2 para y  x 2 , Im y  [0, ) . Note que a função inversa de x 2  y admite duas
2
raízes: x   y e x   y . Não há raízes para y  0 , logo fdp  y   0 se
g  x 
y  0 . Além disso,
dy
 2 x então g   x1   2 y e g   x2   2 y . Nesse caso, então:
dx
1
fdp  y  
2
y
 2
  2y 2
2
e
e


2 y 2 y


y
 H y  1 y  12 e  2 2 H y .
 
  
2

 y

,  1 . A distribuição
2


Essa é a distribuição  2 
2
faz parte das distribuições Gama que será
apresentada no capítulo de aplicações e distribuições.
Exemplo 2: Distribuição log-Normal. Vamos transformar a variável
x
da distribuição normal para y  e x
, x  ln y . Nesse caso g  x   e , g   x   e  y e a função inversa g
x
x
1
 y   ln y . Como a função
y  e x é injetora então só há uma raiz x  ln y na qual g   x   y . Não há raízes para y  0 . O resultado
da transformação é:
fdp  y  
Operação ESPERANÇA.
1
2 y

e
 ln y 2
2 2
H  y

Esperança de uma v.a.: E  xv  
 x f  x  dx

Os físicos também gostam da notação x  E  x , as vezes também se usa x embora seja necessário
1
 xi é a média obtida em uma amostragem e não a esperança da
n i
tomar cuidado porque x 
população completa. Nem sempre x  x embora se espere que sejam próximos, ou seja, x é uma boa
inferência de x  E  x . Note que o caso discreto sai automaticamente da utilização das funções delta
de Dirac, pois: E  xv  


 x  p   x  x  dx   p  x   x  x  dx   p x
i

i
i
i
i

i
i i
pelas propriedades da
i
delta.
Esperança de uma g  x  onde x é uma v.a.
Vamos criar a v.a. y  g  x  , então E  y  
Novamente f  y  dy 
 f  x  dx
i
i




 y f  y  dy e mostrar que E  g  x    g  x  f  x  dx .
e devemos notar que xi  x j e que não há superposição dos
i
intervalos correspondentes a diferentes raízes. Assim quando y varre o eixo vertical, os intervalos de x vão
preenchendo completamente o eixo horizontal. Nesse caso y f  y  dy 
 g  x  f  x  dx
i
i
i
e
i
E  y 


y f  y  dy 


 g  x  f x dx . Daí extraímos que:

E  g  x   

 g  x  f  x  dx

Casos particulares:
1.
g  x   ax logo E  ax  




 axf  x  dx  a  xf  x  dx  aE  x . Constantes entram e saem da
operação esperança.
2.
g  x  q  x  h  x
E  q  x   h  x   
então




E  g  x  

 q  x   h  x  f  x  dx ,

 q  x  f  x  dx   h  x  f  x  dx finalmente chegamos a que a esperança
da soma é a soma das esperanças: E  q  x   h  x    E  q  x    E  h  x   .
Momentos de ordem n:

O momento de ordem n, se existir, é definido por: M n  E[ x ] 
n
 x f  x  dx . A condição para a
n

existência do momento é que a integral acima exista. Se para valores muito grandes de
x , i.e,
comportamento assimptótico de f(x) para x   , a f(x) cai com uma lei de potência do tipo
1
, então só existirão momento até ordem n  m  2 . Note que se n  m 1 então
xm
f  x 

Mn 

xo
xn
dx 
xm

1
 x dx  ln  x  que diverge.
xo
Algumas propriedades dos momentos são:
1.
M o  1 e M1  E  x   , pois M o 


f  x  dx  1 e M 1  E[ x] 

 x f  x  dx .


Momentos Centrados de ordem n.
O momento centrado de ordem n é definido por: mn  E[ x    ] 
n

  x    f  x  dx .
n
Os

momentos centrados possuem as propriedades:
1.
mo  1 , novamente mo 

 f  x  dx  1

2.
m1  0 , pois m1 






  x    f  x  dx   x f  x  dx    f  x  dx      0 .
2
3. A variância é definida pelo m2   , pois m2 

  x    f  x  dx .
2

4. Se f  x  é simétrica, ou seja, f    x   f    x  , então todos os momentos centrados
ímpares serão nulos.
f   x   f  x  , e ímpares,
a. Integração em intervalo simétrico de funções pares,
f   x    f  x  . Queremos
a

a
a

a
a
a
0

a
a
0
0
f  x  dx   f   x  dx 

a
a
  f  x   f   x  dx .
0
a
f  x  dx  2  f  x  dx . Já se f é ímpar então
0
 f  x  dx  0 .


  x    f  x  dx    x    f  x  dx    x    f  x  dx . Mudando, então
n

de
n

integração
z  x,
para

0
mn 
a

f  x  dx 
então
a
n
No nosso caso mn 
variável
x  x
a

a
 f  x  dx . Na primeira integral mudar
0
Se f é par então  f  x   f   x    2 f  x  e
 f  x   f   x    0 e
a
para
0
f  x  dx    f   x  dx 

f  x  dx 
a
variável
a
0
f  x  dx 
x  z,

teremos

 z f  z    dz   z f  z    dz     z  f    z  dz   z f    z  dz ,
n
n
n

portanto:
n
0
logo
se
0
f    x   f    x  e n é ímpar então mn 

z
n
 f    z   f    z  dz  0 .
0
Relação entre os Momentos Centrados e não centrados.
Podemos usar binômio de Newton  a  b  
n
n
n!
 k ! n  k ! a
nk k
b para encontrar a relação entre os
k 0
momentos centrados e não centrados.
mn  E[ x    ] 
n

 x  

n
n
nk
mn      1  n k M k
k 0  k 
n
n

n!
nk
f  x  dx  
 1  nk  x k f  x  dx logo
k 0 k ! n  k  !

Casos particulares:
1.
mo  M o  1
2.
1
 1
10
11
m1     1 10 M o     1 11M1    M o  M1       0
0
 1
3.
 2
 2
 2
2
1
0
m2     1  2 M o     1 1M1     1  0 M 2   2  2 2  M 2  M 2   2
 0
1
 2
 3
 3
 3
 3
3
2
1
m3     1  3 M o     1  2 M1     1 1M 2    M 3 
4.
0
1
 2
 3
   3  3 3  3 M 2  M 3  M 3  3 M 2  2 3
5.
m4   4 M o  4 3 M1  6 2 M 2  4 M 3  M 4  M 4  4 M 3  6 2 M 2  3 4
A volta, obter os momentos não centrados em termos dos centrados, pode ser feita da seguinte forma:

n

n!
k
M n  E[ x ]  E[ x      ]    x       f  x  dx  
 nk   x    f  x  dx
k 0 k ! n  k  !


n
n
logo: M n 
n
n
k 0
 
 k  
nk
n
mk
1.
M o  mo  1
2.
M1   1mo   0 m1   pois mo  1 e m1  0 .
3.
M 2   2 mo  21m1  m2   2   2
4.
M 3   3mo  3 2 m1  3 1m2  m3   3  3  2  m3
5.
M 4   4  6 2 2  4 m3  m4
Função Geradora de Momentos (FGM)

Considere a seguinte função da variável t: M (t )  E (e tx ) 
e
tx
f ( x ) dx . Podemos usar a expansão em


t n xn
e 
n  0 n!
tx
série de Taylor:
, para obter: M (t ) 
com a série de Taylor da própria M  t 



tn
tn
n
x
f
(
x
)
dx

M n . Se comparamos



n  0 n ! 
n 0 n !

dn
M ( n ) (0) n
t vemos que M n  n  M  t   . Por
n!
dt
n0
t 0
M (t )  
isso a função é chamada de geradora dos momentos. Para gerar os momentos centrados devemos
multiplicar a função geradora dos momento por e   t , uma vez que e  t M (t ) 

e
t x 
f ( x) dx , logo


e  t M (t )  
n 0


d n  t
mn n
tn
n
e M  t  .
m

.
Daí
se
percebe
que
x


f
(
x
)
dx

t

n
 
n ! 
dt n 
n 0 n !
t 0
Função Característica
A grande dificuldade da função geradora dos momentos é a convergência da integral

M (t )  E (e tx )   e tx f ( x ) dx por conta do etx . Se usarmos e i tx entretanto, não teremos mais tantos

i tx
problemas de convergência uma vez que e  1 para qualquer x e t . Assim a função característica é
definida por:  (t )  E (e ) 

e
itx
itx
f ( x) dx . Se a função geradora dos momentos existe então

  t   M  it  . Note que   0  1 . Além disso, podemos mostrar que
 (t ) 

e

itx
f ( x) dx 



e f ( x) dx 
itx


 (t )  1 , pois

e
itx
f ( x)dx 


f ( x)dx . A relação com os momentos só


precisa
ser

 (t )  
n 0
i nt n
n!
ligeiramente



modificada

x n f ( x) dx  
n 0
uma
vez
que
i nt n x n
,
n!
n 0
eitx  
levando
a:

inM n n
 ( n ) (0) n
t
t . Se comparamos com a série de Taylor  (t )  
n!
n!
n0
vemos que M n   i 
n
dn
  t  . Novamente, os momentos centrados podem ser obtidos
dt n 
t 0
multiplicando a função característica por e  i  t , obtendo mn   i 
n
d n  i t
e   t  .
dt n 
t 0
Além da função característica ser mais poderosa do que a função geradora dos momentos a operação
para sua obtenção é conhecida desde o século XIX e chama-se Transformada de Fourier:
  t   FT  f  x   

e
ixt
f  x  dx

A associação entre   t  e f  x  é biunívoca de modo que ela admite transformada inversa dada por:
f  x   FT 1   t   
1
2

e
 ixt
  t  dt

Podemos verificar a transformada inversa facilmente, substituindo a   t  abaixo e usando o fato de que
  x  x  
f  x 
1
2
1
2

e
i  x x  t
dt , demonstrado no apêndice xxx:







 ixt
e
ixt
 e f  x dxdt 

 1
f  x  dx 
 2

i x
e

 x  t
 
dt    f  x    x  x  dx  f  x 
 
Isso nos permite reconhecer a f  x  dada a   t  e vice-versa. Transformadas de Fourier, e
transformadas em geral, são uma ferramenta das ciências exatas e da matemática há longo tempo e
existem milhares de tabelas associando as funções e suas transformadas assim como um listagem extensa
de suas muitas propriedades. Uma propriedade muito importante na teoria da probabilidade é o teorema
da convolução. No apêndice apresentamos uma lista introdutória das transformadas de Fourier e
mostramos como calcular essas transformadas numericamente usando o Excel.
Transformadas
Transformadas integrais são relações entre duas funções através da equação integral
t2
 ( s)   K ( s, t ) f (t ) dt , onde K ( s, t ) é chamado de Kernel da transformada. Note que após a integração
t1
em t a função resultante só depende de s. Entre as mais conhecidas temos a transformada de Fourier



0
 ( s)   eist f (t ) dt , em que o Kernel é dado por K (s, t )  eist , e a de Laplace  ( s )   e  st f (t ) dt , em
que o Kernel é dado por K ( s, t )  e st . Note que as funções geradoras dos momentos são uma
transformada de Laplace de dois lados. Mas essas não são as únicas, existem transformadas de Cauchy,
de Hadamard, de Hankel, etc. São aplicadas em muitas áreas desde processamento de sinais e imagens
(tomografia utiliza as transformadas de Hadamard), solução de equações diferenciais até a estatística
avançada. Pode-se usar a transformada de Fourier de um sinal acústico de um tiro captado por um
microfone para distinguir que tipo de arma foi utilizada e a distância do disparo ao microfone. Com três
desses microfones saberíamos onde o disparo foi feito, com que arma e em que momento.
Análise Multivariada.
Vamos agora criar uma função vetorial de conjunto
x1 , x2 ,
, xn
assim como
em que cada
xj
xv  A :  
é uma v.a. Neste caso
n
que possui as componentes
 xvi  xi  e xvj  x j  são dois eventos,
xvi  xi   xvj  x j   xvi  xi , xvj  x j  . Para facilitar a compreensão e as
demonstrações vamos trabalhar apenas com o caso bivariado, ou seja, duas v.a.s, e depois generalizar
para n . Facilita, nesse estágio, chamar uma v.a. de x e a outra de y .
Distribuição conjunta [Joint Distribution]
F  x, y   P xv  x, yv  y
Propriedades:
1.
F  , y   F  x,    0
2.
P  x1  xv  x2 , yv  y  F  x2 , y   F  x1 , y 
e
F  ,    1 .
3.
P  x1  xv  x2 , y1  yv  y2   F  x2 , y2   F  x1 , y2   F  x2 , y1   F  x1 , y1 
4.
2 F
P  x  xv  x   x, y  yv  y   y 
 x y
xy
Densidade de probabilidade conjunta [joint density probability]
Definimos a fdp conjunta agora como:
x
O reverso é dado por: F
f  x, y  
 2 F  x, y 
xy
.
y
 x, y     f  u, v  dudv
 
Se queremos a probabilidade de encontrar
 x, y   A então devemos fazer a seguinte integral múltipla:
P  x, y   A 

 x, y A
f  x, y  dxdy
Também exigimos aqui que:
 
F  ,      f  x, y  dxdy  1
 
Para
ser
uma
densidade
de
probabilidade
multivariada,
então,
f  x, y   0
e
 
  f  x, y  dxdy  1.
 
Distribuição e Densidades Marginais:
Suponha que queremos a estatística de apenas uma das variáveis sem interessar o valor da outra.
xv  x  xv  x, yv   assim como  yv  y  xv  , yv  y . Então
Fx  x   F  x,   e Fy  y   F  , y  são as distribuições marginais de x e de y . Note então
Notamos que
que:
x 
x  

Fx  x     f  u, y  dudy     f  u, y  dy  du
 
  

e
x 
 

Fy  y     f  x, v  dxdv     f  x, v  dx  dv
 
  

y
Ou seja integra-se em todas as possibilidades das outras variáveis para se obter a distribuição de uma
variável independente dos valores das outras.
Nesse caso as densidades marginais serão dadas por:
fx  x 


d
d x  
Fx  x  
f
u
,
y
dy
du



 
 f  x, y  dy

dx
dx   


e


d
d y  
fy  y 
Fy  y  
   f  x, v  dx  dv   f  x, y  dx
dy
dy   


Fica claro então que:

 

 

 

 
 f x  x  dx    f  x, y  dxdy  1 e  f y  y  dy    f  x, y  dxdy  1.
Caso discreto:
De forma análoga à distribuições univariadas os casos de distribuições discretas pode ser implementado
com a função delta de Dirac generalizada para mais de uma dimensão definida como:
  x  xo     x1  x1o    x2  x2o    xn  xno  .
Funções escalares
f  x :
n

multivariadas.
Vamos criar a v.a. zv à partir das v.a.s
vetor em
2
x
e
y
a um número real em
distribuição de probabilidade de
z
. Nesse caso o evento
z
 g  x, y 
que associa um
zv  z  g  x, y   z

g  x , y  z
f  x, y  dxdy
dada por:
fz  z  

z  g  x , y  z  dz
A integral pode complicar devido à restrição
f  x, y  dxdy
g  x, y   z
ou
pode ser vantajoso trocar as variáveis de integração para
z  g  x, y   z  dz . Em vários casos
u  x, y 
e
w  x, y 
através da regra do
Jacobiano:
 f  x, y  dxdy   f  u, w  J  u , w  dudw
V
V
Onde o Jacobiano é dado pela matriz:
 x
 u
J  det 
 x

 w
y 
u 
.
y 

w 
Operação esperança multivariada:
Agora a operação esperança de qualquer função escalar das v.a.s

 

 
x
e
y z  g  x, y  é dada por:
E  g  x, y    z f z  z  dz    g  x, y  f  x, y  dxdy
Dessa definição podemos extrair as seguintes propriedades da esperança:
1.
E k   k
e a
será dada por:
Fz  z  
enquanto a fdp da v.a.
através da função escalar zv
g  x, y   k
Se
é
 
 
 
 
uma
constante
então:
E  k     k f  x, y  dxdy  k   f  x, y  dxdy  k
2.
E  g  x, y    h  x, y    E  g  x, y    E h  x, y 
 
 
 
 
E  g  x, y    h  x, y      g  x, y  f  x, y  dxdy     h  x, y  f  x, y  dxdy
2.1.
E  x  y   E  x  E  y 
Momentos conjuntos:
No caso multivariado definimos os momentos por:
 
M kp  E  x k y p     x k y p f  x, y  dxdy
 
A generalização para
M k1k2
kn
n
v.a.s é:
 E  x1k1 x2k2

 
xnkn    
  

k k
 x11 x22

xnkn f  x1 , x2
, xn  dx1dx2
dxn
 
Notamos imediatamente que:
M 00  m00    f  x, y  dxdy  1 .
 
possuem nomes específicos:
 

 

 

 

M10   x  E  x     x f  x, y  dxdy   x f x  x  dx
M 01   y  E  y     y f  x, y  dxdy   y f y  y  dy
Com eles podemos definir os momentos centrados por:
Alguns desses momentos

k
mkp  E  x   x  y   y


 
p

x  x 
   
 
k
 y  y 
p
f  x, y  dxdy
 
Novamente percebe-se que:
m00    f  x, y  dxdy  1 e que:
 
 
 
 
 
 
 
m10     x   x  f  x, y  dxdy    x f  x, y  dxdy   x   f  x, y  dxdy
m10   x   x 1  0 , da mesma forma que m01  0 .
Os momentos centrados com nomes específicos são as variâncias:
 
V  x    x2  m20     x   x  f  x, y  dxdy
2
 
V  y
  y2
 

 m02    y   y
 

2
f  x, y  dxdy
e a covariância:
 


cov  x, y   m11     x   x  y   y f  x, y  dxdy
 
Nota-se então que:
 
V  x   cov  x, x      x   x  f  x, y  dxdy
2
 
 

V  y   cov  y, y     y   y
 

2
f  x, y  dxdy .
A covariância tem as seguintes propriedades:
1.
cov  x1 , x2   cov  x2 , x1 
2.
cov  x1  x2 , x3   cov  x1 , x3   cov  x2 , x3  , pois:
pois
 x1  1  x2  2    x2  2  x1  1 
 x1  x2  1  2   x3  3    x1  1   x3  3    x2  2   x3  3 
3.
cov  x, y   E  xy   E  x  E  y 
 

 



cov  x, y      x   x  y   y f  x, y  dxdy    xy   x y   y x   y  x f  x, y  dxdy
 
 
 
 
cov  x, y     xy f  x, y  dxdy   x   y f  x, y  dxdy 
 
 
 
 
 
 
  y   x f  x, y  dxdy   y  x   f  x, y  dxdy
cov  x, y   E  xy    x E  y    y E  x    y  x
cov  x, y   E  xy    x  y   y  x   y  x  E  xy    x  y  E  xy   E  x  E  y 
4.
cov  x,  y    cov  x, y 
cov  x,  y   E  xy   E  x E   y    E  xy    E  x  E  y     E  xy   E  x  E  y 
5.
cov  x, k   0
onde
k
é uma constante.
cov  x, k   E  kx   E  x  E  k   kE  x   kE  x   0
Essas propriedades dão origem as seguintes propriedades da variância:
1.
2
V  x   E  x 2    E  x 
2.
V  kx  k 2V  x pois V  kx  cov  kx, kx   k 2 cov  x, x 
3.
V    x   2V  x
pois V
 x   cov  x, x   E  x2   E  x E  x
V    x  cov    x,   x   cov  ,   x   cov   x,   cov   x,  x    2 cov  x, x 
4.
V  x   y    2V  x   2V  y   2 cov  x, y 
Corolário: V
 x  y   V  x  V  y   2cov  x, y 
V  x   y   cov  x   y,  x   y   cov  x,  x   cov  x,  y  
 cov   y,  x   cov   y,  y    2 cov  x, x    cov  x, y    cov  y, x    2 cov  y, y  
  2 cov  x, x   2 cov  x, y    2 cov  y, y 
Variáveis aleatórias independentes:
Se
os
xv  A
eventos
e
 yv  B
são
independentes
então
P  xv  A yv  B  P  xv  A P  yv  B . Neste caso então:
F  x, y   Fx  x  Fy  y  e f  x, y   f x  x  f y  y 
Experimentos independentes:
Suponha que o espaço dos eventos da v.a.
x
seja
x
e o espaço da v.a.
um experimento conjunto, cujos eventos pertencem ao espaço amostral
y
seja
 y , e que ao realizar
   x   y , o resultado de
um não interfere no outro. Matematicamente estamos afirmando que:
x 1 , 2   x 1  e y 1 , 2   y 2 
Então as v.a.s
x
e
y
são independentes. Exemplo de v.a.s independentes: lançar dois dados de cores
diferentes simultaneamente e definir
x
como o resultado de uma cor e
y
como o resultado da outra
cor. O resultado de um dado não interfere no resultado do outro dado. Exemplo de v.a.s não
independentes: pintar metade das faces de um dado de uma cor e a outra metade de outra cor. Nesse a
cor e a numeração do dado estão associadas e o resultado numérico interfere no resultado da cor. Por
exemplo se o resultado para
Teorema 1: Se
Prova: se
x
e
x
foi 1, o resultado para
y
jamais poderá ser 1.
y são independentes, então g  x  e h  y 
também são independentes.
xv  A e  yv  B são independentes, quaisquer dois sub-conjuntos de xv  A e
 yv  B serão independentes. Assim g  x   g  xv  A e h  y   h   yv  B é a
condição para poder calcular as funções
 g  x e h y
Teorema 2. Se
x
e
g  x
e
h  y  . Portanto se x
e
y são independentes, então
são independentes.
y são independentes, então E  xy   E  x  E  y  .
 
 

 

E  xy     x y f  x, y  dxdy    x y f x  x  f y  y  dxdy    x f x  x  dx    y f y  y  dy 
 
 
 
  

Teorema 3. Se
x
e
y são independentes, então cov  x, y   0 .
cov  x, y   E  xy   E  x  E  y   E  x  E  y   E  x  E  y   0
A covariância, portanto, nos fornece alguma informação sobre a independência entre v.a.s. Se
cov  x, y   0
então
x
e
y
são independentes. O que ocorre se
cov  x, y   0
ou
cov  x, y   0 ?
Note
que
os
produtos
 x  x   y   y 
e
 x  x  y  y 
em
um
gráfico
 x   x  vs  y   y  ou  x  x  vs  y  y  serão positivos no primeiro e terceiro quadrantes,
  e   , e negativos no segundo e quarto quadrantes,   e   .
A figura xxx (a) mostra uma nuvem de pontos com uma concentração maior de pontos no primeiro e
terceiro quadrantes, terá
  xi  x  yi  y 
positiva, ou seja, com uma covariância positiva.
i
Percebe-se dessa nuvem que a v.a.
y
tende a crescer quando a v.a.
x
cresce, e a decrescer quando
x
decresce. O espalhamento da nuvem informa que essa tendência não é perfeita é que existe algum grau
de independência estatística da v.a.
y
em relação à v.a.
x . Nesse caso afirmamos que as v.a.s x
são positivamente correlacionadas. O gráfico da figura xxx(b) mostra o caso em que
e
y
y  x , totalmente
dependente, ou totalmente correlacionas, e se percebe a reta perfeita em que nenhum dos pontos se
desvia da reta.
(a)
(b)
Figura xxx. (a) caso de duas variáveis positivamente, mas não perfeitamente, correlacionadas. (b) Caso de
duas variáveis positivamente e perfeitamente correlacionadas.
Já a figura xxx (a) mostra uma nuvem de pontos com uma concentração maior de pontos nos segundo e
quarto quadrantes, com
  xi  x  yi  y 
negativa, ou seja, com uma covariância negativa.
i
Percebe-se dessa núvem que a v.a.
y
tende a decrescer quando a v.a.
decresce. Nessa situação afirmamos que as v.a.s
da figura xxx(b) mostra o caso em que
x
e
y
x
cresce, e a crescer quando
x
são negativamente correlacionadas. O gráfico
y   x , perfeitamente anti-correlacionada, em que nenhum dos
pontos se desvia da reta negativamente inclinada.
(a)
(b)
Figura xxx. (a) caso de duas variáveis positivamente, mas não perfeitamente, correlacionadas. (b) Caso de
duas variáveis positivamente e perfeitamente correlacionadas.
Se as v.a.s são independentes então a nuvem se espalha igualmente pelos quatro quadrantes levando a
  xi  x  yi  y   0 como mostra a figura xxx.
i
Figura xxx. Caso de duas variáveis descorrelacionadas.
Coeficiente de Correlação:
A medida da covariância como uma medida da independência entre duas v.a.s, entretanto, apresenta
alguns
problemas.
Primeiro
trata-se
dim cov  x, y   dim x dim  y  . Se x
e
de
uma
medida
com
dimensão,
y têm dimensão de distância, ou massa, por exemplo,
a covariância terá dimensão de área, ou massa ao quadrado. Precisamos de uma grandeza adimensional
relacionada à covariância para ser utilizada como um grau de independência entre v.a.s. Então vamos
construir o coeficiente de correlação adimensional definido por:
rxy  r  x, y  
cov  x, y 
cov  x, x  cov  y, y 

cov  x, y 
V  x V  y 
Com essa definição ganhamos mais do que simplesmente a obtenção de uma grandeza adimensional
porque podemos mostrar que se trata de um número que varia entre +1 e -1, com zero significando
independência estatística, +1 correlação positiva perfeita e -1 correlação negativa, ou anti-correlação,
perfeita.
Teorema do coeficiente de correlação:
1  rxy  1 .
Prova usando a desigualdade de Schwartz:



E   x   x   y   y 


2

 0  
pois se trata da esperança de uma quantidade
positiva. Desenvolvendo o quadrado temos:



2
 



  x   x   y   y    2  x   x 2  2  x   x  y   y  y   y


2
Logo



E   x   x   y   y 


2


2
  2 E  x   x    2 E  x   x  y   y   E  y   y





que pode ser escrito em termos das variâncias e covariâncias como:



E   x   x   y   y 


2

  2V  x   2 cov  x, y   V  y 
Isso nos leva à desigualda da equação quadrática em

dada por:
V  x  2  2cov  x, y    V  y   0 com V  x   0 e V  y   0
A desigualdade
a 2  b  c  0 com a  0 só pode ser satisfeita se a 2  b  c  0 não
admite raízes reais ou apenas uma raiz que toca o eixo
Agora
fazendo
a  V  x ,
x . Essa condição implica que b 2  4ac  0 .
b  2cov  x, y 
e
c  V  y
percebe-se
que

2

4cov
1 
2
 x, y   4V  xV  y   0
cov  x, y 
V  x V  y 
ou
cov 2  x, y 
seja,
V  x V  y 
1
que
implica
em
1.
Esse teorema pode ser generalizado e utilizado para definir ortogonalidade entre v.a.s.
Teorema generalizado para independência entre v.a.s:
Basta fazer o mesmo começando com
E  x2   2  2E  xy    E  y 2   0
E  xy 
1 
2
E  x  E  y 
2
E   x  y    0


e, consequentemente, a
2
 1.
que nos leva diretamente à
1 
E  xy 
2
E  x  E  y 
fato de que esse é um número entre -1 e +1 significa que sempre existirá um ângulo
E  xy   E  x 2  E  y 2  cos  . Se definimos xRMS  E  x 2 
porque utilizamos
1
2
 n  xk 
 k

E  x 2 
como estimador de
E  xy   xRMS yRMS cos
ou
Em que o coseno mede o grau de relação entre as v.a.s
E  y 2   0
então 


2
 90o
e dizemos que
x
e
cos  
2

 1. O
para o qual
, ou seja root-mean-square,
, podemos afirmar então que:
E  xy 
xRMS yRMS
y . Se E  xy   0 , mas E  x 2   0 e
 
x
e
y
são ortogonais entre si, ou seja,
x  y.
z x y
Adição de v.a.s independentes: se
fx  x
Prova:
e
f y  y  , então a nova v.a. z
Então :
x
e
y
são v.a.s independentes com fdp´s
terá a fdp dada por f z  z  

 f  x  f  z  x  dx .
x
y

Fz  z   
x y  z
4
em que
 z  x

z x
 


f  x, y  dxdy    f  x, y  dxdy   f x  x  dx  f y  y  dx2

d
d zx
f z  z   Fz  z    f x  x  dx
 f y  y  dx2
dz
dz



f z  z    f x  x  f y  z  x  dx

Convolução e Correlação: A operação entre duas funções
c z 
f  x
e
g  x
definida por

 f  x  g  z  x  dx
é tão importante que ganhou nome próprio: é chamada de CONVOLUÇÃO

e é simbolizada por
c  z   f * g . Ela tem uma prima denominada por operação CORRELAÇÃO definida
de forma um pouco diferente por C  z   f  g 

 f  x  g  x  z  dx . Note que a diferença está no

argumento da função
g  x  , o qual na convolução é z  x
e na correlação é
xz.
Intuição sobre as operações convolução e correlação:
4
Estamos
usando
F  u   f u 
a
seguinte
regra
derivar
integrais:
d s z 
d
dz r  z 
ds
 f  u  du 
portanto
d s z 
ds
dz r  z 
dz
 f  u  du  f  s  z 
para
 f  r  z 
dr
dz
.
d s z 
d
dz r  z 
dz
 f  u  du 
F  s  z 
ds
dz

dF
dr
 F  s  z   F  r  z 
 r  z 
dr
dz
ou
onde
seja
Note que a operação
quantidade
função
a
f  x  a
para a direita. Já a
é simplesmente transladar a função
f  x  a
f  x
no eixo horizontal pela
translada a função para a esquerda. A figura xxx mostra a
f  x   e x H  x  , preta, com a f  x  2  em azul e a f  x  2  em vermelho. Note que
a curva azul deslocou de 2 para a direita e a vermelha de 2 para a esquerda. Já a operação
significa uma reflexão da função em torno do eixo
f  x   e x1H  x  1
e
y.
f x
A figura xx mostra o gráfico das curvas
f   x   e x1H   x  1 .
Figura xxx. Gráfico das curvas f  x   e
x
f  x  2  e
H  x  em preto, f  x  2   e
 x2
H  x  2  em vermelho.
 x2
H  x  2  em azul e
Figura xxx. Gráfico das curvas f  x   e
 x 1
H  x  1 em preto e f   x   e
x 1
H   x  1 em
vermelho.
Vamos analisar uma auto-convolução e uma auto-correlação da função
correlação a
f x  z
z  x   x  z
é a própria função deslocada por
a função é deslocada e refletida no eixo
Figura xxx. Multiplicação das curvas f  x   e
x
f  x
z.
com ela mesma. Na auto-
Mas na auto-convolução
y.
H  x  por f  z  x  para z  1;0;0,5;1;2 e 4
A figura xxx mostra a curva da autoconvolução c  z  

 f  x  g  z  x  dx em função de z .

Figura xxx. Autoconvolução de f  x   e
Já a figura xxx mostra a multiplicação de
f  x
resultado da auto-correlação em função de
z.
Figura xxx. Multiplicação das curvas f  x   e
x
por
x
H  x  em função de z
f x  z
da auto-correlação e a figura xxx o
H  x  por f  x  z  para z  2; 1;0;1 e 2
Figura xxx. Auto-correlação de f  x   e
FGM e Função Característica de v.a.s independentes:
x
H  x  em função de z
x
Se as v.a.s
y
e
M x  y  t   E  e

são independentes então
x  y t 

E  xy   E  x  E  y  .
Nesse caso então
 E e xt e yt   E e xt  E e yt   M x  t   M y  t 
Da mesma forma:
 x  y  t   E ei x  y t   E eixt eiyt   E eixt  E eiyt    x  t    y  t 


Ou seja a função geradora dos momentos e a função caraterística da v.a.
z x y
serão os produtos
das respectivas funções de cada uma das v.a.s.
Teorema da convolução: Daqui podemos extrair o teorema da convolução afirmando que:

x t    e f x  x 
Sejam:
ixt

dx ;

 y  t    eiyt f y  y  dy
e


f z  z    f x  x  f y  z  x  dx .

Então  z

t   

eizt f z  z  dz
é dado por  z
t   x t   y t  .
O truque do logaritmo:
A expansão em série de Taylor-McLaurin da função f  x   ln 1  x  pode ser feita notando que
f  0  ln 1  0 , e f ( x)  (1  x)
calculadas
f
usando:
(k )
( x) 
1
. As derivadas de ordem superior a um podem ser facilmente
d ( k 1)
dx
k 1
(1  x) 1  (1) k 1 (k  1)!(1  x)  k ,
para
f ( k ) (0)  (1) k 1 (k  1)! . Desse resultado mostramos que:
(1) k 1 (k  1)! k  (1) k 1 x k
x 2 x3 x 4
Ln(1  x)  
x 
x


 ...
k!
k
2
3
4
k 1
k 1

obter
e:
 xk
(1) k 1 (k  1)!
x 2 x3 x 4
(  x) k   
 [ x 


 ...] .
k
!
k
2
3
4
k 1
k 1

Ln(1  x)  
O truque do logaritmo é muito útil em casos em que a convergência da série de Taylor é problemática.
Suponha o caso da função f  x   1  x  , com x  1 mas n  1. Melhor dizendo, com x  0 e
n
n   . Se fizermos a expansão de Taylor-McLaurin para esta função, obteremos:
f ( y ) 1  ny 
n(n  1) y 2 n(n  1)(n  2) y 3


2
6
1
1
2
3
 ny    ny  
2
6
 1  ny 
.
Cuja convergência depende se o produto ny é maior ou menor do que 1. Em lugar de fazer a
expansão
direta
da
função
vamos
Ln (1 y )  n   n Ln (1 y )  n{ y 
convergência
f ( y)  e
para
n( y 
expandir
y 2 y3

 ...},
2
3
seu
logaritmo
na
forma:
que não apresenta problemas de
y  1 . Agora retorna-se à função inicial para reescreve-la como
y 2 y3
  )
2 3
. O truque do logaritmo levou à definição da função geradora dos
cumulantes.
Cumulantes:
 
 

 

ixt
ixt
A função geradora dos cumulantes é dada por C  t   ln  E e   ln  e f  x  dx  

Note que os cumulantes se acumulam, por isso o nome cumulante. Se

x
e
y

i k ck k
t .

k 0 k !
são independentes então
 x  y  t    x  t   y  t  e:
Cx  y  t   ln  x  t   y  t    ln  x  t    ln  x  t  y  t    Cx  t   C y  t 
Comparando com a série de Taylor vemos que ck   i 
M k   i 
k
k
dk
ln   t  . É diferente do
dt k 
t 0
dk
k
 t    i    k   0  , por causa do logaritmo. Podemos extrair a relação entre os
k   
dt
t 0
cumulantes e os momentos derivando o logaritmo pela regra da cadeia e lembrando que   0  1 :
1.
d0
ln   ln  ; co  0
dt 0
2.
d

ln     1  ; c1  M1  
dt

3.
d2
ln    1    2     1    2 2 ; c2  M 2   2   2
2
dt
4.
d3
d3
1
2
2
3 3






logo
ln









2




2


ln    1   3 2    2 3 3
dt 3
dt 3
3
então c3  M 3  3 M 2  2 que pode ser colocado em termos dos momentos centrados como
c3   3  3  2  m3  3   2   2   2 3  m3 . Logo
5.
c3

3

m3
.
3
d4
ln    1  4  4 2    3 2 2  12 3 2   6 4 4 ,
4
dt
ou
seja:
c4  M 4  4M 1M 3  3M 22  12M 12 M 2  6M 14 . Colocando em termos dos momentos centrados
c4  m4  4 m3  4 m3  6 2 2  12 2  2  6 2  2  12 2 2   4  4 4  3 4  12 4  6 4  3 4
4
finalmente c4  m4  3 . k 
c4

4

m4
4
 3.
Resumo das relações entre os momentos centrados, não centrados e cumulantes até ordem 4:
Momentos não centrados
Momentos centrados
Cumulantes
Mo  1
mo  1
co  0
M1  
m1  0
c1  
M2  2  2
m2  M 2   2
c2   2
M 3   3  3  2  m3
m3  M 3  3 M 2  2 3
c3  m3
M 4   4  6 2 2  4 m3  m4
m4  M 4  4 M 3  6 2 M 2  3 4
c4  m4  3 4
Aplicações:
Distribuição de Bernoulli:
Jogar a moeda, só temos duas possibilidades, cara ou coroa. A v.a. será definida como cara = 1 e
coroa = 0. Qualquer jogo com apenas duas respostas, sim = 1 e não = 0, segue uma distribuição de
Bernoulli. Se a probabilidade de SIM é p , a de Não será q  1  p e a função densidade de probabilidade
é dada por: f  x   q  x   p   x  1 . A função distribuição de probabilidade acumulada vale:


F  x  


0 x0
q 0  x 1
1 x 1
A funçao geradora dos momentos é dada por: M  t  

 q  x   p  x  1 e
xt
dx  q  pet . A

função característica   t   q  pe .
it

Momentos:
Mk 
 q  x   p  x  1 x dx  q0
k
k
 p1k logo M k  p k , então   p .

1 p t
 t
 pt
t
 pt
 qe  pt  pe qt .
Momentos centrados: e M  t   e  q  pe   qe  pe
Agora mk 
dk
k
 qe pt  peqt   q   p  e pt  pq k e qt
k 
dt
mk  pq 1  p 

k 1
k
k
, ou seja, mk  pq   1 qp ou ainda
k
t 0
k 1
  p  .

Casos particulares:
1.
m1  pq  qp  0 ;
2.
m2  pq 1  p   p   pq ;
3.
m3  pq 1  p   p 2   pq 1  2 p  p 2  p 2   pq 1  2 p  ;


4.
m4  pq 1  p   p3   pq 1  3 p  3 p 2  p3  p3   pq 1  3 p 1  p   pq 1  3 pq  .


2
3
Cumulantes:
ln   t   ln 1  p  eit  1 ,
então
d
ipeit
ip
ip
ln   t  
 it

 it
it
dt
p  1  p  eit
1  p  e  1 e  p  pe
logo:
1.
2.
3.
1
d
d
ln   t   ip  p  qe  it  . Logo c1  i ln   t   p
dt
dt
t 0
2
d2
2 d
2
 it
 it 2 
2

ln

t

i
pq
e
p

qe


c


i
,
logo

  2 ln   t   pq .

 
2

dt 2
dt
3
2
3
d3
ln   t   i 3 pq  2qe2it  p  qeit   eit  p  qeit    i 3 pqeit  p  qeit  p  qe it 
3


dt
logo, m3  c3   i 
3
4.
d3
ln   t   pq  q  p  .
dt 3
t 0
4
d4
ln   t   i 4 pqeit  p  2qeit  p  qeit   3qeit  qeit  p   p  qe it  . Após alguma
4
dt
álgebra
c4   i 
temos
4
4
d4
ln   t   i 4 pqeit  p 2  4 pqeit  q 2e2it   p  qeit  ,
4
dt
d4
ln   t   pq  p 2  4 pq  q 2  ou c4  pq 1  6 pq  .
dt 4
t 0
logo
Distribuição Binomial:
Vamos jogar a moeda n vezes de forma independente. Nesse caso a v.a. soma são i.i.d., e a função
n
característica vale:  Bin  t    Bern
 t   q  peit  . Sabendo a  queremos a f  z  dada por
n
1
f  z   FT   t   
2
1



n
q  peit  eitz dt . Expandindo em binômio de Newton temos:
n
 1
n
f  z      q nk p k 
k 0  k 
 2
 n  n  n k k
i  k  z t
e
dt
    q p   z  k 

 k 0  k 

Aqui vale a acumulação dos cumulantes ck Bin  n ck Bern , então   np ,  2  npq , c3  npq  q  p  e
c4  npq 1  6 pq .
Distribuição de Poisson:
Essa distribuição é um caso limite da binomial quando n   , mas p  0 de tal forma que o produto
   eit  1 
it
np   é constante. Agora  Bin  t   1  p  pe   1 
 . Nesse ponto usamos o fato de
n


n
n
n
que
 x
Lim 1    e x
n 
 n
f  z 
1
2

e

eitz dt  e
 eit 1

para
achar
  
2
 Poisson  t   e

 e  itz

 e e dt   e
it
k 0



 eit 1
k  1

k !  2
.
e   k
 z k .
k!
k 0

Uma expressão para FPoisson  z  .
FPoisson  z  


e   k
f Poisson  x  dx  
k!
k 0

z
   x  k  dx  e


queremos
a
    k
ikt itz
e
e
dt
 z  k
  e

k!

 k 0

f Poisson  z   
z
Agora
int  z 
k
k 0
k!

fdp:
Então FPoisson  z   e

int  z 

k 0
k
.
k!
Cumulantes: ln Poisson  t   ln e

k k
    eit  1    i t , portanto todos os cumulantes valem




 eit 1


k 1
k!
 , daí    ,  2   , m3   e m4    3 2 , a skewness vale  3 
a curtose k 
1

, sempre leptocúrtica. Se
1

 0 , skewed to the right, e
   então a skewness e curtose tendem a zero.
Distribuição Normal:
Vamos fazer o limite de n tendendo a infinito na distribuição binomial e usar o truque do logaritmo. Nesse
caso:

t2
n
ln Bin  t   Bern
 t   n ln q  peit   n ln q  p  ipt  p 
2

x 2 x3
já sabemos que ln 1  x   x 
 
2 3
Chamando x  ipt  p


k 1
 1
k
x k e vamos truncar a série na ordem 2.
t2
temos:
2
Logo lim ln  Bin  t    inpt 
n 
 Normal  t   e

 . Mas

k 1
2
2


t2 
t2  
t2
2 t
ln Bin  t   n ipt  p   ipt  p    n ipt  p  p

2 
2 
2
2



it 


t2

n
ln
1

ipt

p



2


npqt 2

2


t2
  n ipt  p 1  p  2 





e essa é a distribuição normal, cuja função característica vale:
 2t 2
2
.
ln  Normal  t    it 
Note
 2t 2
2
dados pela função geradora:
que,
nesse
caso,
só
existem
dois
cumulantes,
pois
2
, c1   e c2   , todos os outros são nulos. Os momentos centrados são
k
e
 it
Percebe-se

 i 
k 0
2k
e
it 
 2t 2
2
e
que
m2 k

 2t 2
2
não
  2t 2 

k
k

 

1  2 k 2 k   1  2 k  2k ! t 2 k
2 


.


t 
k!
2k k !
2k k !
 2k  !
k 0
k 0
k 0
existem
momentos

t 2k
t 2k
k
.
   1 m2 k
 2k  ! k  0
 2k  !
ímpares
Comparando
e
que
os
m2 k 
extraímos
 2k  !  2 k .
2k k !
reescrever esse resultado em termos dos fatoriais duplos z !!  z  z  2 z  4
 2k !!   2k  2k  2 2k  4
2 1   2k  2k  2 
logo  2k !   2k !! 2k 1!! , substituindo m2 k 
2k
valem
Podemos
. Notando que
 2  k  k 1 k  2  1  2k k ! e, além disso, que:
2  2 2
 2k !   2k  2k  1 2k  2  2k  3
simples m2k   2k 1!!
pares
2   2k  1 2k  3  1
 2k !! 2k  1!! 2 k
 2k !!
chegamos na expressão mais
2
4
4
6
6
. Então vemos que m2   ; m4   3!!  3 ; m6   5!!  15 e
assim por diante.
1
Falta a função densidade de probabilidade: f  z  
2
quadrado
e

 2t 2
2
 i  t itz
no
e

expoente
 z   2
2
2

2
e

f  z 
e
e
z  
 t i 2 
2 
 
2
2
2

 2t 2
2
it itz
e

 2t 2
2
e
i t 
 2t 2
2
eitz dt . O truque aqui é completar

it  z   
e

2 
 z   t   z     z  
t 2  2i
2 
2
4
4

2
2


2
 z   2
2


. Substituindo de volta na integral temos:

e

2
z  
  t i 2 
2 
 
2

 z   2
  t  e 2
d

2
 2
2

e


u 2
du 
 z   2
2 2
e
2
Finalmente obtemos a função densidade de probabilidade da distribuição Normal:

N  x;  ,   
e
 x   2
2 2
2 

,
obtendo
A Normal Padrão tem esperança nula e variância unitária dada por NP  x  
1
cumulativa é definida como   x  
2
x
e

t2
2
e

x2
2
2
. A Normal padrão
dt . Note que é sempre possível escrever o resultado

de uma normal cumulativa em termos da   x  por uma mudança de variável. Se queremos a função
distribuição
de
probabilidade
1
FNormal  x  
2 
1
FNormal  x  
2
x
e

 x   2
2

 x  


2
cumulativa
1
dx 
2
x
e

de
 x   2
2 2

uma
normal
com

e
,
ou
seja:
x
x
nos leva a
d   a mudança de variável t 

 
 x 
e dt   
 . Por isso as tabelas da normal são sempre feitas para a
  

t2
2
normal padrão usando como argumento o desvio da esperança medido em desvios padrão z 
x

.
Distribuição Log-Normal.
A distribuição Log-Normal é obtida da Normal através da mudança de variável y  e x . A regra para
mudança de variável é dada por f ( y ) 

f [ g 1 ( y )]
, com a somatória sobre todos os x’s possíveis
dy
dx
para as raízes da equação g ( x )  y , ou, x  g 1 ( y ) . Neste caso a função é biunívoca e só existe uma
dy
 e x  y . Logo:
dx
raiz dada por x  ln y , y  [0,  ) . Vamos precisar da derivada

LogN [ y;  ,  2 ] 
e
(ln y   )2
2 2
2  y
A log-Normal como uma aproximação da normal:

Vamos reescrever a log-normal como LogN 
acontece para y  yo   y com  y  yo .
e
 ln y ln yo 2
2 2
2  y


e
  y 
ln 

  yo  
2 2
2  y
2
 , yo  0 , e ver o que




Neste caso ln y  ln  yo   y   ln  yo 1 

aproximado por (ln y  ln yo )  ln 1 

 y
   ln yo  ln 1 
 e o termo no expoente é
yo  
yo 

 y  y
. No denominador simplesmente fazemos y  yo e

yo  yo
 y2

vemos que LogN 
 y 

e
 y . Se fizermos 
 N teremos duas
é uma normal da variável
log
N
yo
yo
2  yo
2 2 yo2
curvas muito semelhantes no caso em que  N   . Note que se y  0 o ln y   anulando a
função. Grandes diferenças, portanto, entre a normal e a log-normal ocorrerão quando a probabilidade
de valores de x negativos na normal forem grandes. A figura xx mostra esse comportamento:
Figura xxx. Normal com xo  yo  100 . (a)  N  10 e  log N  0,1 ; (b)  N  20 e  log N  0, 2 ;(c)
 N  40 e  log N  0, 4 .
Tanto a função geradora dos momentos quanto a função característica apresentam problemas de


convergência, mas podemos calcular os momentos da Log-Normal M n 
y
n
e
0
no
nx
expoente:
nx
continuando
Mn  e
 n  n2
e e

2
2

e e

( x  )
2 2
 1

 2 
( x   )2
2 2
2
e

e



e


e
nx

( x   )2
( x   x  n )
2 2
2 2
2 2
e
e

dx . O truque aqui é completar quadrado
x 2  2  x   2  2 2 nx
2 2
( x   x  n ) (   2  n  n  )  
2 2
2
x   e quando

( x   )2  2 2 nx
2 2
2 2
dy
mudando a
2  y
dy
 dx , quando y  0
y
variável de integração para ln y  x , y  e x ,
1
y   x   . Nesse caso: M n 
2 
(ln y   )2
2 2
2
2
4
2
e
 n  n2
e
2
2

e

x 2  2(   n 2 ) x  (   n 2 ) 2 (   n 2 ) 2   2
2 2
( x   x  n 2 )2
2 2
.
Daí
vemos
que

dx  . A integral entre colchetes vale 1 e temos todos os

momentos de ordem n dados por M n  e
M2  e
2   2 2
; M3  e
9
3   2
2
binômio de Newton mn 
n
k 0
 
V [ y]  e
onde
m3  e
m3  e
2
3
3   2
2
Em particular temos M 0  1 ; M1  e
.

2
2
;
  k   1
nk
 nk M k . Já sabemos que mo  1 e m1  0 . Para a variância
2   2 2
 e 2    e 2   (e  1) , V [ y]  e 2   (e 1) e
2
2
2
2
2
(e  1) . Para o momento centrado de ordem 3 temos m3  M 3  3M1 M 2  2 M13 de
2
2
extraímos
3
3   2
2
2
2
m2 temos: m2  M 2  M12 logo m2  e

2
M 4  e 4  8 . Podemos calcular os momentos centrados usando
e
n
 n  n2
m3  e
que
e 3  3e  2  .


2
2
2
9
3   2
2
 3e
Fatorando
1
   2 2   2 2
2
e
o
termo
 2e
3
3   2
2
entre
e
9
3   2
2
colchetes
 3e
5
3   2
2
ainda
 2e
3
3   2
2
chegamos
e
a
e  1 e  2 .

 

2
2
Teorema Central do Limite e o truque do logaritmo:
Agora vamos tomar uma variável aleatória z  x1  x2 
 xn dada pela adição de n v.a.
independentes no limite n   . Sabemos que z  t   1  t  2  t 
n t  . Note que se as v.a. fossem,
além de independentes, idênticas [i.i.d.], teríamos  z  t   1  t   , um caso semelhante ao utilizado
n
no truque do logarítmo. Também sabemos que i  0  1 e que i  t   1 . Um número menor do que
1 elevado à uma potência muito alta tende a zero. Mas não em t  0 porque 1n  1 n , o que significa
que a função  z  t   1  t   se torna concentrada em torno de t  0 , caindo a zero para fora desse
n
intervalo. Com isso podemos fazer uma expansão em série de Taylor-McLaurin da função característica,
mas usando o truque do logarítmo, ln  z  t    n ln 1  t   . Mas essa é a expansão dos cumulantes

i k ck k
t .
k 0 k !
ln   t   

z t   e
ik t k
k!
k 0

Se as v.a. não são idênticas a expansão em Taylor agora será dada por
n
 ck , j
j 0
.
Teorema Central do Limite:

Truncando
n
z t   e
it
t2
a
até
segunda
ordem
z t   e
em
n
 c1, j  2  c2, j
j 0
expansão
j 0
n
. Mas c1 j   j e c2 j   2j , logo
z t   e
it
t2
ik t k
k!
k 0

j 0
temos
n
  j  2  2j
j 0
n
 ck , j
j 0
que é a função
característica de uma normal com     j e  2    2j . Se as variáveis são independentes e
j
j
2
2
idênticas [i.i.d.] então   n1 e   n 1 e a distribuição tende para uma normal com   n1 e
 2  n 12 . Então notamos que a variável z  x1  x2 
padrão  z
tem esperança
E  z   n
e desvio
 n  , ambos crescendo com n .
Vamos usar agora x 
caso x 
 xn
1
 x1  x2 
n
 xn  em lugar de z  x1  x2 
 xn . Note que nesse
z dx 1

,
e z  n x , portanto a nova fdp será f  x   nf  nx  e a nova função
n dz n
característica será:

x t    e

ixt
 i n x t
e n
n f n x  d x  

 i u t
e n
t
f  u  du   z  
n
f  n x  dn x  

Nesse caso a função característica da distribuição da média será dada por:

n

2
n

it  1n   j   t  12   2j 
2  n j 0 
 j 0



 x t   e
que é a função característica da Normal  x
Note que se as v.a. são iid então
t 
2 2
it   t
2 , com
e
  j e  
vai diminuindo com o aumento de
j
1
n
  j
j
e

1
 2j
n j
.
. Agora e esperança fica parada e o desvio padrão
n
n . Para manter os dois parados fazemos a última mudança de variável
zp 
x 

,
dz p
dx

1

e
x   zp   ,
 

f z p   fx  z p  
logo
 e a nova função
característica será dada por:

z p t    e

 i  w   t
  e

Ou
seja

i z pt

 f x  z p    dz p   e
f x  w  dw  e
z p t   e
i 
i 
t 
iw


t
  t
x

característica da distribuição Normal padrão
 f x  z p    d  z p    
f x  w  dw
e


e

i 

t
i z pt
t  2 t2
i 
 e  2 2
t
e

t2
2
que
é
a
função
N  0,1 .
A melhor forma, portanto, de especificar o Teorema Central do Limite é afirmando que:
Se
xj
e xk  j são independentes, E  x j 
 
 j
e
V  x j    j
existem e são finitos então
a v.a.:
zp 
 xj   j 
j

 2j
 N  0,1
j
Note que não foi necessário que as v.a. fossem idênticas ou que sigam uma distribuição normal
mas apenas que a média seja feita em um número muito grande de v.a.s.
Se as v.a.s são iid então:
zp 
xj  
j
Cuidados com o Teorema Central do Limite.
n

N  0,1
Primeiro cuidado é em relação as condições de validade do teorema: momentos de ordem 1 e 2 finitos.
Se o momento de ordem 2 for infinito então o teorema pode falhar. Entretanto, mesmo no caso em que
a variância é finita, garantindo a validade do teorema, cuidados extras são necessários para o
comportamento das caudas. Note que o TCL depende da validade da expansão dos cumulantes, que
truncamos na ordem 2. Isso significa que a região central, próxima do pico, vai coincidir com a Normal,
mas essa aproximação vai se tornando pior nas caudas, bem longe do pico. No limite de n   o
teorema é 100% válido, mas dado um número grande n mas finito, a região de validade é um função de
n
que vai com
n
2
3 se a skewness é diferente de zero ou
n
3
4 se apenas a curtose existe.
Quem se interessa pelas caudas? A probabilidade nas caudas é obviamente pequena, mas para muitas
situações é essa probabilidade que interessa. No caso em que a probabilidade é muito pequena mas os
efeitos do evento são devastadores o estudo das caudas é fundamental.
O gráfico da figura xxx mostra os cuidados necessários com TCL. A curva azul é uma distribuição
generalizada de Student para
distribuição para
n  10 .
 4
e a vermelha a distribuição normal padrão. A curva preta mostra a
Nota-se que na região central a curva preta se superpõe com a curva da
distribuição normal até determinada distância quando se afasta se torna uma reta paralela à da curva azul.
Figura 3. Curvas da distribuição de Student generalizada para
  4 , após a adição de 10 v.a.s, da
distribuição normal padrão e das leis de potência das caudas em gráfico log-log.
Processos estocásticos
Processos estocásticos aditivos
 k  np 2

n
1
Sabemos que para n   a binomial converge para a normal :   q n k p k 
e 2 npq . Como n
2 npq
k 
representa o número de períodos vamos expressá-lo simplesmente como o tempo t . Suponha a
situação aditiva em que St 1  St  U com probabilidade p , ou St 1  St   D com probabilidade q ,
9
sendo U   D . Seja k o número de passos Up e t  k o número de passos Down. Depois de t períodos
o preço será St ,k  S  t D  k U   D  . Mudando a variável para k 
k  tp 
St  S  t D
temos que
 U   D 
St  S  t 
dS
, onde   E    p U  q D . Além disso, t  U   D  , logo, o preço da ação
dk
 U   D 
após t períodos segue o Movimento Browniano, ou processo estocástico de Wiener, dado pela normal
2
MB  St  
e
 St  S  t  
 
2
2 t pq U  D 
2 t pq U   D 
. Esse processo é conhecido como Movimento Browniano ou processo
estocástico de Wiener.
Processos estocásticos multiplicativos
Suponha agora o processo multiplicativo St 1  USt com probabilidade p ou St 1  DSt com
k
probabilidade q . Depois de t passos o preço será St ,k
ambos os lados k 
ln 
k  tp  
St
U 
 D U S    D t S . Tirando o logaritmo de
D
t k
k
ln St  ln S  t ln D dSt
U 
e
 St ln   . Nesse caso
U 
dk
D
ln  
D
  t p ln U  q ln D 
S  
e o preço da ação segue um movimento Browniano Geométrico
U 
ln  
D
 
dado pela log-normal: MBG  St  
e
ln St  t p ln U  q ln D 



S

 
2U 
2 tpq ln  
D
U 
2 tpq ln   St
D
2
.
Note as diferenças entre os dois processos, o Browniano e o Browniano Geométrico:
MB  St  
e
 S  S  t 2
 t
2 2 t
2 t

e MBG  St  
e
 
ln St   t 
S


2
2 2 t
2 t St
O capítulo 2 apresentou as propriedades das distribuições Normal e log-Normal. No primeiro caso
2
t  t
S 
E  St  S   t e V  St  S    t . No segundo caso E  t   e 2 para a qual vale a regra
S
2
 2    S  1  S 
  S  
ln  E  t        t   E ln t   V ln t   t .
2    S  2  S 
  S  
Apêndices
1. Propriedades da Função Delta de Dirac:

1.
 f  x     x  xo  dx   f   xo  com    x  

d
  x
dx
Para mostyrar essa propriedade basta fazer a integral por partes:
b
b
b
a
a
a
d
du
dw
 uw  w  u
dx
dx
dx
logo:
b
udw  d  uw  wdu e  udw   d  uw   wdu  uw a   wdu . No nosso caso u  f  x 
dw 
e
b
a
d
  x  xo  dx , portanto w    x  xo  e du  f   x  dx . Então:
dx



 f  x     x  xo  dx  f  x    x  xo     f   x    x  xo  dx   f   xo  CQD


2.
x
d
  x     x 
dx
d
d
d
d
 x  x    x   x     x  x  x   x     x  por outro lado:
dx
dx
dx
dx
b
d
 dx  x  x  dx  x  x  a  0
b
que
nos
leva
d
 x  x    0
dx 
a
a
x
d
  x    x  0
dx
3.
  f  x    
j
e
x
d
  x     x 
dx
 x  xj 
df
dx
xj
onde
xj
CQD.
são as raízes da
f
, ou seja,
 
f xj  0.
ou
seja
 fo
Sabemos que
   f  df  1 em torno de uma raiz de f
 fo
caso mostrado na figura xx (a). Nesse caso
. Suponha que
x2  x1 onde f  x2    fo

 x  xj
df
dx  1 logo   f  
df
dx
dx
.
e
 
f  x j  0 , que é o
f  x1    fo . Então:
 fo
x2
 fo
x1
Por outro lado se
f  x j  0 nós temos o caso da figura xxx (b) com x2  x1 . Nesse caso:
 fo
x2
   f  df     f 
 
x1
x1
df
df
 df 
   f  df     f  dx dx      f  dx dx     f   dx  dx  1


 fo
x1
x2
x2
logo
f
 x  xj 
df

dx
.
Figura xxx. (a) caso em que
 
 
f  x j   0 .
f x j  0 e f  x j  0.
Podemos juntar os dois casos afirmando então que
em todas as raízes, obtendo:
f
(b) caso em que
 x  xj 
df
dx
 
f xj  0 e
. Finalmente, devemos somar
  f  x    
j
 x  xj 
df
dx
xj
Casos particulares:
  x  xo 
a.
  a  x  xo   
b.
  1 x  xo   
a
  x  xo 
1
   xo  x     x  xo 
2. Função Delta Gaussiana, ou da Distribuição Normal.
Vale a pena mostrar como uma Gaussiana se transforma na função Delta de Dirac porque precisaremos
do resultado da seguinte integral:

x
 e dx  
2


x
 e dx . Mas como a variável de integração é muda,
Para demonstrar esse resultado definimos I 
2


então I 
e
 y2
 
dy logo I 2 

 e

 x y
2
2
 dx dy
. Agora podemos mudar de sistema de coordenadas
 
cartesianas para polares no qual x  r cos , y  r sin  , x 2  y 2  r 2 e o elemento de área vale
dx dy  r dr d . Para fechar todo o plano x-y, r varia de zero a infinito e  de 0 a 2. Neste caso
 2
I2 

0
r
2
 e rdr d . A integral em  é imediata e ficamos com I  2
2
0

r
 e rdr  
2
0
2
Agora mudamos a variável para u  r 2 logo du  2 r dr e ficamos com I  


e
r2
2rdr .
0
e
u
du . Mas
0

u
u
 e du  e

0
 e0  1 , então I 2   e I   , ou seja,

e
 x2
dx   .

0
n
Agora podemos mostrar que  n  x  xo  

e
 n x  xo 
2
. Percebe-se que a largura da função fica cada
vez menor à medida que n cresce e que a área sobre a curva vale sempre 1, pois:


n
  n  x  xo  dx 
e


2
dx 

 n
Dessa forma   x  xo   lim 
n 
 n x  xo 
 
e
 n x  xo 
2
A distribuição Normal com parâmetros  e
dessa forma porque x,  e
1


e

 n x  xo 
2
d n  x  xo   
Para ser uma fdp é necessário que A
e

u
 e du  1
2



.

 segue a forma f Normal  x   Ae
 possuindo a mesma dimensão tornam a fração


1


 x   2
2 2
. Deve-se colocá-la
x  
2
2
adimensional.
 x   2
2 2
dx  1 . Podemos achar o valor de A que torna essa
igualdade
A 2

e

verdadeira
 z2
fazendo
a
mudança
dz  A 2  1 , logo A 
de
variável
z
x  
2
,
dx  2  dz , logo
1
e a fdp da distribuição Normal é dada por:
2

1
f Normal  x  
e
2
 x   2
2 2
3. Função Delta Especial
Uma função delta especial pode ser obtida da seqüência  n  x  xo   A
sin  n  x  xo  
 x  xo 
cuja curva é
mostrada na figura xxx.
Figura xxx. Gráfico da funçãov  n  x  xo  
sin  n  x  xo  
  x  xo 
para xo  0 e n  1, 4 e 10 . Note que a
altura sobe com n e a largura diminui. A distância entre as duas primeiras raízes vale 2
n
.
Vamos ver a área sobre essa curva:
I




  n  x  xo  dx  A 
sin  n  x  xo  
 x  xo 

dx A 

sin  n  x  xo 
n  x  xo 

sin u
du
u

d  nx  A 

Precisamos mostrar que integral

sin u
sin u
du converge. Note que
é uma função par e portanto
u
u



sin u
sin u
sin u
 u du  2 0 u du . Por causa do u do denominador de u as áreas entre duas raízes se tornam
cada vez menores, como mostra a figura xxx para valores de u positivos apenas. Usando esse fato
percebemos que Ao  A1  A2  A3 
 0 , mas, por outro lado, que A1  A2  A3 


  sinu u du  2 A , logo a integral converge.
sabemos que 2 Ao  A1 
o
 0 . Então
sin u
1
u 0
u
Sabendo que lim


podemos afirmar usando o retângulo de altura 1 e largura  que 0 
Figura xxx. área sobre a curva
sin u
du  2 .
u


sin u
. Quebrando as áreas entre duas raízes se nota que as áreas pares
u
são positivas e as ímpares negativas e que as mesmas vão diminuindo com a distância An1  An .

No apêndice 5 mostraremos, usando cálculo de resíduos, que
sin u
du   . Portanto, para garantir
u


que a área seja unitária com esse resultado precisamos fazer A 
Dessa forma a função  n  x  xo  
sin  n  x  xo  
  x  xo 
n 
1
2
outro
n

e
n
i x  xo t
lado
podemos
a
n 
fórmula
n
1 e  o
1
e

2 i  x  xo   n   x  xo 
i x x t
dt 
usar

de
in x  xo 
e
2i
sin  n  x  xo  
  x  xo 
Euler
 in  x  xo 
identidade super importante:
1
2

e

i  x  xo t
.
se torna a função delta de Dirac no limite n   :
  x  xo   lim  n  x  xo   lim
Por
1
dt    x  xo 
eix  cos x  i sin x

sin  n  x  xo  
  x  xo 
para
calcular
. Daqui extraímos a
Essa identidade será muito útil na transformada inversa de Fourier, no teorema da convolução e no
teorema central do limite.
Nota: Seria possível dar a volta no cálculo de resíduos sem especificar que o estamos utilizando, porém
trata-se de ferramenta tão poderosa que vale a pena dominá-la, sobretudo para trabalhar com as
transformadas de Fourier e as funções características.
4. Cálculo de variáveis complexas:
Definimos uma função de variável complexa
f  z   u  x, y   iw  x, y 
em que
z  x  iy . A
função se chama analítica se for diferenciável. Note entretanto que estamos agora falando de um limite
em duas dimensões. O limite só existe se for o mesmo por qualquer caminho.
Condições Cauchy-Riemann para funções analíticas:
df
du  idw

lim
dz  dx,dy  0,0  dx  idy
Vamos fazer esse limite por dois caminhos:
dx  0 . Nesse caso
1.
dy  0 , ou seja, y  cte
2.
dx  0 , ou seja, x  cte , e dy  0 . Nesse caso
A função será diferenciável se
,e
df
du  idw u
w
.
 lim

i
dz dx0
dx
x
x
df
du  idw
u w
.
 lim
 i 
dz dx0 idy
y y
u
w
u w
u w
, ou seja:
i
 i


x
x
y y
x y
e
w
u
  , que
x
y
são as condições de Cauchy-Riemann. Note que aqui só provamos que se tratam de condições necessárias
para que o limite exista, mas poderiam não ser suficientes. Afirmamos sem provas que também são
condições necessárias e suficientes. Então afirmamos que:
f  z   u  x, y   iw  x, y 
Teorema: se
f  z
é analítica então
é analítica se
u w

x y
 f  z  dz  0 , onde c
e
w
u
 .
x
y
é qualquer caminho fechado no plano
c
complexo
xy .
Basta fazer a integral no caminho infinitésimal:
 xo , yo    xo  dx, yo    xo  dx, yo  dy    xo , yo  dy    xo , yo 
mostrado na figura xxx.
Figura xxx. Circuito infinitésimal para cálculo de  f  z  dz  0
c
 xo , yo    xo  dx, yo  :
xo  dx
F  xo  dx, yo   F  xo , yo 
dx  f  xo , yo  dx
 f  x, yo  dx 
dx
xo
 xo  dx, yo    xo  dx, yo  dy  :
yo  dy
 f  xo  dx, y  idy  i
F  xo  dx, yo  dy   F  xo , yo 
dy
yo
dy  if  xo  dx, yo  dy
 xo  dx, yo  dy    xo , yo  dy  :
xo
F  xo , yo  dy   F  xo  dx, yo  dy 
xo  dx
dx
 f  x, yo  dy  dx 
dx   f  xo , yo  dy  dx
 xo , yo  dy    xo , yo  :
yo
F  xo , yo   F  xo , yo  dy 
yo  dy
dy
 f  xo , y  idy  i
dy  if  xo , yo  dy
Portanto:
 f  z  dz  f  xo , yo  dx  if  xo  dx, yo  dy  f  xo , yo  dy  dx  if  xo , yo  dy
c
 f  xo  dx, yo   f  xo , yo  
 f  xo , yo  dy   f  xo , yo  
f
z
dz

i
dxdy






 dxdy

dx
dy
c




 f  z  dz  i
c
  u
f
f
w   u
w  
dxdy  dxdy  i   i


i
  dxdy
 
x
y

x

x

y

y





  u w   u w  
f
z
dz






 
  i
  dxdy

y

x

x

y




c

Agora
u w

0
x y
e
u w

 0 pela condições de Cauchy-Riemann. Então:
y x
 f  z  dz  0
c
Agora esse resultado pode ser estendido para qualquer caminho c porque podemos quebrar o caminho
em sub-caminhos infinitésimais, cancelando os percursos internos e restando apenas o caminho externo,
como mostra a figura xxx.
Figura xxx. Note que no interior da região as integrais de caminho se anulam porque enquanto o
percurso de um célula está em uma direção o da vizinha está na direção oposta. Esse cancelamento,
entretanto, não ocorre na fronteira pois não existe a célula vizinha.
A condição para a validade desse teorema é que a função seja analítica na região envolvida pelo caminho.
Entretanto, nos pontos de singularidades a função não é analítica. A figura abaixo mostra como contornar
a singularidade escolhendo um caminho apropriado.
Figura xxx. Isolando uma singularidade do caminho de integração.
Suponha que podemos expandir uma função de variável complexa da forma:
f  z 
a n
a n 1

 z  zo n  z  zo n1
Não é analítica em
z  zo


a1
2
 ao  a1  z  zo   a2  z  zo  
 z  zo 
por conta dos termos com potências negativas de
dizemos que a função tem um polo de ordem
 z  zo  . Nesse caso
n . O coeficiente a1 é chamado de RESÍDUO. Porque ele
é tão importante?
1
 z  z dz em torno de zo . A convenção é que giramos no sentido contrário
 o
Vamos fazer a integral
ao dos ponteiros do relógio, mesmo sentido de crescimento do ângulo  das coordenadas polares. Agora
i
i
i
fazemos: z  zo   e , com   cte . Logo z  zo   e e dz  i e d . Nesse caso:
2
2
1
1
i
dz

i

e
d


i
 zz
 i
 d  2 i
 o

e
0
0
Independente do valor de
Entretanto note que

 , logo o resultado do limite   0 será o mesmo.
1
 z  zo 
k
dz  0 k 
denominador que não cancela com o
limite de
 0

dz
do
faria a integral explodir. Entretanto, antes de tomar o
i
vamos fazer a integral. Usamos a mesma mudança de variável z  zo   e , com
  cte . Logo z  zo   ei 
e
do
e k  0 . Aqui nosso receio é o de que o 
dz  i ei d . Dessa forma:

2
1
 z  zo 
n
Que nos leva a
pois
dz  
0

1
n i n
 e
1
 z  zo n
i
i
i e d 
dz 
2
2
0
0

n 1
2
i  n 1 
d
e
0
2

i  2
cos
n

1

d


i
sin
n

1

d















 0
 n1  0
0

 cos  n  1  d   sin  n  1  d  0 n  1.
Isso então nos leva ao seguinte resultado:
dz
 f  z  dz  a n 
 a n1 
dz
 z  zo n
 z  zo n1
2
 ao  dz  a1   z  zo  dz  a2   z  zo  dz 

 a1 
dz

 z  zo 
Para as potências positivas a integral é zero porque a função é analítica. Para as potências negativas só
não é nula para o termo com
1
 z  zo 
do resíduo. Então chegamos ao resultado:
 f  z  dz  2 i a1  2 i Re s
Se existirem mais de um ponto de singularidade dentro do caminho de integração o resultado final é:
 f  z  dz  2 i  Res
j
Esse é o resultado que utilizamos para calcular muitas integrais mesmo no eixo real. Sobra a pergunta:
como descobrir o resíduo, ou os resíduos? Suponha uma função com polo de ordem n :
f  z 
a n

a n 1
 z  zo n  z  zo n1
Se multiplicamos essa função por


a1
2
 ao  a1  z  zo   a2  z  zo  
 z  zo 
 z  zo n ela se torna analítica, diferenciável, portanto.
 z  zo n f  z   an  an1  z  zo    a1  z  zo n1 
n
n 1
n2
ao  z  zo   a1  z  zo   a2  z  zo  
Agora derivamos essa função
os termos com potência
n  1 vezes. Todos os termos com potência k  n  1 serão nulos, e todos
k  n  1 terão o termo  z  zo 
único termo que sobra é para
k  n 1
que vai a zero quando
k  n  1. Então:
d n1 
 z  zo n f  z    n  1!a1
n 1 
z  zo
dz
E o resíduo será:
1
d n 1 
n
.
Res  a1 
z

z
f  z 


o
n

1

 z  zo
 n  1! dz
Se o polo é de ordem 1, também chamado de polo simples, então
n  1  0 e:
Res  a1  lim  z  zo  f  z  
zz
o
z  zo . O

5. Mostrar que
Com
o
cálculo
sin u
du   :
 u

de
resíduos
  eiu 
sin u
du

Im
du  .


 u
  u

essa
tarefa
simplifica.
Antes
de
mais
nada
fazemos:

Depois
fazemos
o
cálculo
da
seguinte
integral:
 iz
 iz
eiz
e
eiz
e
eiz
dz 
dz  
dz 
dz  2 i Res  z  0 
 dz  


z
z
z
z
z

semicirculo inf R 

semicirculo sup R
Agora
eiz
dz  0

semicirculo sup R z
eiz  eiR cos  e R sin 
R .
e o como
porque
sin   0
para
para
z  Rei   R cos   iR sin 
0  
o termo
e R sin 
então
anula tudo no limite
Por outro lado:
2 i  cos   i sin  
2
2
eiz
e
i  cos   i sin  
i
dz  lim 
i e d  i lim  e
d  i  d   i

i


0


0
z

e
semicirculo inf R 



O resíduo do polo simples em
z  0 vale
 eiz 
Res  lim  z   1
z 0
 z 
Juntando tudo temos:
 iz
 iz
 iz
 iz
  eiz

eiz
e
e
e
e
ou
seja:
dz  
dz    i

 z dz   z dz   i   z dz  2 i
 z dz  lim
0  z



 z


  eiu 
sin u
du  Im  
du   Im  i   
Portanto: 
 u
  u



Resultado final:
sin u
du  
 u
