XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível Universitário
PRIMEIRO DIA
PROBLEMA 1
x 2008
 x 2  nx, para cada n , e seja mn o valor mínimo
2008
m
assumido por f n . Determine   tal que o limite lim n existe e é não-nulo, e calcule esse
n  n
limite (para esse valor de  ).

Seja f n :
dada por f ( x) 
PROBLEMA 2
3
No
,
considere
a
1
elipse
41y 2  41z 2  80 yz  36 y  36 z  81  0,
definida
2
e a elipse
pelas
x0
equações
definida pelas equações
y0
e
e
71x  41z  40 xz  18x  36 z  81  0. Prove que existe uma única superfície cônica de revolução
2
2
no 3 que intersecta o plano x  0 em
superfície com o plano z = 0.
1
e o plano y  0 em
2, e determine a interseção dessa
PROBLEMA 3
Mostre que existem a1 , a2 ,...,

tais que a série
a x
n 1
n
n
converge para todo x 
e, definindo

f ( x )   an x n , temos:
n 1
i)
f é uma bijeção de
em que satisfaz f ´( x)  0, x  .
ii)
f ( )  A , onde A  {x  | p( x) polinômio com coeficientes inteiros tal que p( )  0}
é o conjunto dos algébricos reais.
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SEGUNDO DIA
PROBLEMA 4
Seja Q  [0,1]  [0,1]  2 um quadrado de lado 1 e f : Q  uma função contínua e positiva.
Prove que é possível dividir Q em duas regiões R1 e R2 de mesma área, separadas por um
segmento de reta, tais que

R1
f ( x, y)dxdy   R2 f ( x, y)dxdy.
PROBLEMA 5
Prove que não existe uma matriz 7  7, A  (aij )1i , j 7 , com aij  0,1  i, j  7 cujos autovalores
(contados com multiplicidade) são: 6, –5, –5, 1, 1, 1, 1.
PROBLEMA 6

Prove que

 (  n )
n 1
2 2

1  1
,   0.

2 n1   n2
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