Cap 7

Capítulo 7
O Potencial Externo e o
Eletrocardiograma
Cap.7 – O Potencial Externo e o Eletrocardiograma
Introdução
• No Cap. 6, foi assumido que o potencial no exterior de uma
célula nervosa é praticamente nulo. No entanto, existe um
pequeno potencial que é mensurável e possui relevância clínica:
– Eletrocardiograma;
– Eletromiograma ;
– Eletroencefalograma.
• Neste capítulo, vamos ver:
– O potencial externo de um axônio cilíndrico longo num meio condutor;
– Se houver suficiente fluido extracelular, de modo que a resistência
externa seja pequena, então o potencial externo é pequeno em relação ao
potencial interno (dentro da célula);
– A aproximação do potencial de ação por um pulso triangular de modo a
calcular o potencial longe da célula;
– A mesma coisa para um pulso de forma arbitrária;
– A despolarização das células cardíacas;
– O eletrocardiograma;
– Os fatores que distorcem o sinal;
– Modelos melhorados;
– Estimulação para respostas evocadas, marca-passo e desfibrilação.
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• No Cap. 6, o cálculo do potencial eletrotônico (membrana
obedece à lei de Ohm) e do potencial de ação (membrana é
não-linear) baseou-se na equação do cabo:
v
1  2v
cm
  jm 
t
2a ri x 2
(6.52)
onde
– im = corrente na membrana (soma das correntes de todos os tipos de
íons) => definida como positiva quando a carga positiva se move de
dentro para fora da célula;
– jm = densidade de corrente = corrente/unidade de área;
– cm = capacitância da membrana/unidade de área;
– ri = resistência (dentro da célula)/unidade de comprimento;
– a = raio da célula cilíndrica;
– v = potencial interno (considerando que o externo é nulo).
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• Para isso, jm foi modelada apropriadamente para cada potencial,
e assumiu-se vo=0 (vo = vout = v externo). A Eq. (6.52) foi
derivada considerando a conservação de carga (Figura 6.28):
 dii

variação de
corrente dentro
da célula
 (vi  vo )
 Cm
 im

t  corrente

 
na
variação de carga na
superfície interna da
membrana
(6.47b)
membrana
onde vi = potencial interno e vo = potencial externo; e a lei de Ohm para o
axoplasma é dada por:
1 vi
ii ( x)  
ri x
(6.48)
• Resumindo: no Cap. 6 assumiu-se vo=0. Neste capítulo, vamos
calcular vo supondo vários casos. Para isso, vamos separar o
axônio em três partes (Fig. 7.1 – próximo slide):
• Meio interno (axoplasma);
• Membrana;
• Meio externo.
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• Como primeiro modelo, vamos supor que no axoplasma temos
corrente constante até um certo ponto e nula a partir desse
ponto (Fig. 7.1b)
– Isto significa que, nesse ponto, deve haver corrente fluindo através da
membrana de dentro para fora (Fig. 7.1c)
– E o potencial interno deve ter a forma mostrada na Fig. 7.1a (pois supomos
que o meio interno obedece à lei de Ohm).
• Queremos saber como a corrente
se comporta no meio externo (3D)
ao axônio.
– Supomos que este meio é infinito,
homogêneo, isotrópico e possui
condutividade so
– E também que a célula é fina o suficiente
para não alterar as propriedades do
meio, a não ser bem próximo ao eixo x
(supomos que o axônio se estende ao
longo desse eixo).
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• Suponha que a corrente io saia para o meio externo na origem
– Como este meio é homogêneo (o axônio “não interfere”), é como se
tivéssemos uma fonte de corrente pontual na origem
– Nesse caso, a densidade de corrente tem simetria esférica, direção radial
io
para fora, e sua magnitude a uma distância r é dada por
j
j
4 r 2
i
o
– O campo elétrico, então, possui magnitude E 
com direção

2
s o 4 s o r
radial para fora
– Para calcular o potencial externo, calculamos
a ddp entre dois pontos A e B (Fig. 7.2).
Lembremos que:
v
Ex  
x
– Portanto,
B
B'
B
rB
io
io
v( B)  v( A)    E  ds    Er dr   E  ds   
dr

4 s o r 2
4 s o
A
A
B'
rA



0 pois E|| ds
1 1
   .
 rB rA 
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• Supondo que A ∞ e que nA=0 no infinito, temos que o potencial
de uma fonte pontual de corrente a uma distância r da mesma é
v(r ) 
io
4 s o r
(7.1)
que é análoga à expressão para carga pontual v(r ) 
q
4  0 r
• O problema com este modelo é que partimos de um vi como o
mostrado na Fig. 7.1a, mas vi não pode continuar aumentando
indefinidamente para a esquerda do axônio
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• Consideremos, então, um segundo modelo com vi como mostrado
na Fig. 7.3. Este é um bom modelo para o eletrocardiograma
(ECG), pois a repolarização das células do miocárdio não ocorre
por um tempo de ~100ms, portanto a célula é totalmente
despolarizada antes do início da repolarização.
–
Neste caso, a corrente ii será não-nula apenas
entre 0 e x2, em que há um gradiente de vi:
vi
vi
vi s i a 2
ii 


L
R
x2
ri
S
–
–
–
(*1)
onde ri é a resistividade do interior do axônio
(que é o inverso da condutividade ri = 1/si),
L é o comprimento da região do gradiente de
potencial e S é a seção transversal do axônio
ii flui para o meio externo em x = x2 (fonte),
e de volta para o axônio em x = 0 (dreno)
A combinação de fonte e dreno de mesma
magnitude é chamada de dipolo de corrente
(Fig. 7.3.c)
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• No meio externo, o potencial em qualquer ponto P se deve a dois
termos: um da fonte ii em x=x2 e outro do dreno –ii em x=0:
v
 ii
4 s o r0

ii
4 s o r2
onde r0 = distância entre ponto e dreno e r2 = distância entre ponto e fonte
• Substituindo (*1) nesta equação temos
1 1
vi s i a 2  1 1 
1 vi s i a 2  1 1 
   
    v 
  
v
4 s o  r2 r0  4 s o
x2
4s o x2  r2 r0 
 r2 r0 
ii
•
A Eq. (7.2) pode ser usada para estimar o
potencial num ponto externo para o ECG
devido ao longo atraso antes da repolarização
das células miocárdicas
(7.2)
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• Para estimar o potencial de um impulso nervoso, podemos usar
um terceiro modelo, em que aproximamos o potencial de ação
por um potencial triangular (Fig. 7.4.a)
– Neste caso, para o potencial externo, temos fontes i1 em x=–x1 e i2 em
x=x2, e um dreno –(i1+i2) em x = 0
– O potencial num ponto externo P (Fig. 7.5) é dado por:
O potencial externo de uma célula cilíndrica longa
• Mas, da Eq. (*1), temos que os valores de i1 e i2 serão dados por
•
Substituindo (7.3a) e (7.3b) em (7.3c) temos:
•
(O sinal de i1 não entra pois este se refere à direção da corrente dentro do
axônio e aqui estamos considerando apenas o efeito das fontes/drenos
pontuais de corrente do lado de fora, que possuem a simetria esférica
mencionada previamente).
•
A Eq. (7.4) vale para qualquer distância do axônio, desde que o potencial de
ação possa ser aproximado pelo modelo da Fig. 7.4
O potencial externo é pequeno
• Para verificar que o potencial externo é de fato pequeno (e,
portanto, a aproximação usada no Cap. 6 é razoável), vamos
usar a Eq. (7.2) para estimar o potencial externo próximo à
superfície do axônio, no local onde este será o maior possível,
p. ex., em x = 0
• Nesse caso, teremos r2 ≈ x2, r0 = a, e, supondo que a variação
do potencial interno seja ni, temos:
• Mas x2 » a, o que implica que
, portanto
O potencial externo é pequeno
• Próximo de x = x2, o potencial será
• A ddp entre esses dois pontos é:
•
Considerando iguais as condutividade dentro e fora do axônio (si = so) temos
vo
a

vi 2x2
•
ou seja, as variações no potencial externo estão para as variações no potencial
interno assim como o raio do axônio (que é muito pequeno) está para a
distância ao longo da célula na qual temos variação de potencial (geralmente
bem maior que o raio do axônio)
•
•
Para o neurônio da lula, temos que x2 ≈ 1 cm.
Supondo a ≈ 0.5 mm, temos:
vo
0.5
1


vi 2  10 40
O potencial longe da célula
• Em geral, as medidas do potencial são feitas
longe da célula (comparado com a distância
sobre a qual o potencial varia). Nesse caso, as
retas r1, r0 e r2 são praticamente paralelas
(Fig. 7.6)
– Se o ponto P está a uma distância r0 da origem e faz um ângulo q com o
axônio (i.e., com o eixo x), temos
– Substituindo a aproximação para r2 dada em (7.9) na Eq. (7.2) temos um
modelo útil para o ECG (aquele em que apenas ocorre a repolarização, i.e.,
em que o potencial apenas retorna ao valor de repouso, como na Fig. 7.3.a):
– Usando a expansão de Taylor até 1ª ordem
obtém-se
O potencial longe da célula
• A Eq. (7.11) serve como modelo para o ECG, com as seguintes
características:
1.
2.
3.
O potencial externo n depende de ni mas não depende de x2. Isso, pois
um aumento de x2 gera uma diminuição na corrente (*1), porém aumenta o
potencial devido à maior separação entre fonte e dreno;
n cai com 1/r2 ao invés de 1/r (como seria para uma fonte pontual);
n varia com o ângulo, é positivo à direita da região de despolarização e
negativo à esquerda desta região (Fig. 7.8, curva “Depolarization Only”).
O potencial longe da célula
• Definindo o momento de dipolo de corrente como
p  ii x2 
vi
vi
x2 
x2  vi s i a 2
1 x2
Ri
s i  a2
(7.12)
e substituindo em (7.11), temos que o potencial externo é
p cos q
p r
v

2
4s o r
4s o r 3
(7.13)
que é dado em A.m (Ampères vezes metros). Ainda podemos
2

v
s

a
i
i
reescrever (7.11) como: v 
(7.14)
cos q
o
2
4 s o r
  ângulosólido
subtendidono ponto de
observaçãoP por uma
seção transversal da célula
 s i
v 
vi
4 s o
(7.15)
O potencial longe da célula
• Para ver o caso de pulso completo (como na Fig. 7.4, onde o
potencial aumenta e depois retorna ao valor de repouso),
usamos a Eq. (7.4)
• Se usarmos a aproximação de Taylor (7.10) até 1ª ordem o
resultado é nulo, portanto é necessário melhorar o modelo,
como mostrado na Fig. 7.7
• Vamos encontrar r1 e r2 em termos de r, q, x1 e x2. Temos:
O potencial longe da célula
• De (*2) temos
•
Substituindo em (*3)
(*5)
•
De (*2) temos também que
•
Substituindo em (*4):
(*6)
O potencial longe da célula
• Substituindo (*5) e (*6) em (7.4), temos:
• Mas a expansão em série de Taylor de
f ( x) 
1
(1  x 2  bx)1/ 2
dá:
O potencial longe da célula
•
•
Reinserindo o valor de A temos
•
Substituindo r0 por um r genérico e rearranjando os termos finalmente
temos:
O potencial longe da célula
• Vemos que o decaimento do potencial externo é com r3
• O termo
representa a área sob o impulso (Fig. 7.4a)
• E o termo
é o polinômio de Legendre P2(cosq).
Veremos na próxima seção que estes termos reaparecem para
impulsos com diferentes formas
• Em termos do ângulo q, o potencial varia como mostrado na Fig.
7.8 (curva “Complete Pulse”).
O potencial longe da célula
• É interessante notar alguns valores assumidos pela razão entre
as condutividades interna e externa:
– Ou seja, para um axônio em tecido muscular ou pulmonar (na cavidade
torácica), si (dentro do axônio) ≈ 2 S/m. Obs.: S/m = Siemens/m
– Em suma, vemos que para a despolarização (Eqs. 7.11 e 7.13), o potencial é
o de um dipolo de corrente e cai com r2; enquanto que para o pulso
completo (Eq. 7.16), o potencial cai com r3, depende da área sob o pulso e
sua dependência angular segue o polinômio de Legendre P2(cosq).
– A seguir, veremos como fica o potencial externo para um pulso de forma
arbitrária (e não “piecewise-linear” como os modelos vistos até aqui).
O potencial externo para um pulso arbitrário
• No caso geral de um pulso de forma arbitrária, veremos que:
– Para a despolarização, o potencial novamente depende do momento de
dipolo;
– Para o pulso completo, o potencial novamente depende da área sob a curva
do pulso.
– Continuamos com a suposição do axônio situado ao longo do eixo x num
meio condutor homogêneo, isotrópico e infinito. Vamos calcular as
correntes externas devidas a cada segmento do axônio
– Consideremos então um segmento do axônio entre x e x+dx. Se a corrente
(interna) que entra em x é maior que a que sai em x+dx, a diferença deve
estar fluindo para fora (figuras abaixo)
O potencial externo para um pulso arbitrário
• Pela figura do slide anterior, temos que:
(*)
– Da lei de Ohm para o axoplasma, temos:
– NB: a resistência por unidade de comprimento é dada por ri  1 /(a 2s i )
• Substituindo (7.17) em (*), temos que a corrente que sai do
segmento dx do axônio para o meio externo é
– Da Eq. (7.1), temos que a corrente dio gera um potencial dv no meio
externo:
O potencial externo para um pulso arbitrário
• O potencial devido a várias correntes é
v   dv
– Se o raio a do axônio for bem pequeno,
supomos uma distribuição de corrente dio(x)
ao longo do eixo x, de forma que o potencial
num ponto R é
– onde R é o ponto no qual o potencial é medido
e r é a distância do ponto de medida ao
ponto no eixo x onde dio é injetada
• Substituindo (7.18) em (7.20) obtemos
2
2
onde r é dado por r  ( x0  x)  y0 , com R = (x0, y0) (Fig. 7.10)
O potencial externo para um pulso arbitrário
• Em geral, a Eq. (7.21) é difícil de integrar analiticamente, mas
pode ser integrada numericamente. Vejamos um exemplo mais
simples, o axônio gigante de um lagostim imerso em água do mar:
– Raio do axônio: a = 60 mm
si/so=0,2
– O potencial ni pode ser aproximado pela soma de 3 gaussianas (Fig. 12a):
– A Eq. (7.22) pode ser diferenciada para se obter  2 vi / x 2 e usar em (7.21)
– O potencial externo na superfície do axônio (y0 = a) calculado por
integração numérica está mostrado na Fig. 7.12b. Note-se na Fig. 7.12 que a
ordem de grandeza de n0 é mV contra mV para ni
O potencial externo para um pulso arbitrário
• Em geral, o potencial externo é menor do que 0,1% do potencial
interno
– Isso seria diferente se o líquido extracelular não fosse infinito
• O cálculo original de Clark e Plonsey usou técnicas matemáticas
muito diferentes (ver Problema 30), no entanto, os resultados
são bem semelhantes
– Os resultados desse cálculo mais preciso estão plotados na Fig. 7.13
O potencial externo para um pulso arbitrário
• Voltemos à expressão (7.21) para no
– Fazendo a aproximação para o caso em que o ponto de observação está
bem longe da célula temos (Fig. 7.10):
x 

( R sin q )  ( R cos q  x)  r  r  R sin 2 q  (cos q  ) 2 
R 

2
2
1/ 2
2
– Substituindo em (7.21):
a 2s i
v(R ) 
4s o

x
x 

 r  R 1  2 cos q  ( ) 2 
R
R 

1
x
x 

R 1  2 cos q  ( ) 2 
R
R 

1/ 2
 2 vi
dx
x 2
– Utilizando uma expansão em série de Taylor:
1
 f (0)  1;
(1  bx  x 2 )1/ 2
1
2x  b
b
f ' ( x)  
 f ' (0)   cos q ;
2 3/ 2
2 (1  bx  x )
2
f ( x) 
2
1
2
3 2
 1  3  (2 x  b)
f " ( x)      


f
"
(
0
)

b  1  3 cos 2 q  1;
2 5/ 2
2 3/ 2
2 (1  bx  x )
4
 2  2  (1  bx  x )
2
x
x
 x  3 cos q  1
 f    1  cos q   
.
R
2
R
R
2
1/ 2
O potencial externo para um pulso arbitrário
• Usando o último resultado em n(R):
2
2
a 2s i  x
 x  3 cos q  1  vi
 v( R ) 
1  cos q   
 2 dx 
4s o R   R
R
2
 
 x
2
•
Supondo que x1 e x2 sejam pontos onde vi / x  0 , temos que a 1ª integral
em (7.24) é nula. A 2ª integral é:
x2

x1
 2 vi
vi 2 2 vi
x 2 dx  x

dx  vi ( x1 )  vi ( x2 )
x
x x1 x1 x

x
x
0
•
E a 3ª integral é:
x2

x1
x2
x2
2


v

v
vi
2
2
i
i
x
dx  x
  2x
dx  2 xvi
2

x
x x1 x1
x




x2
x1
x2

x1

vi dx 


0

a 2s i  cos q
(3 cos 2 q  1)
(3 cos 2 q  1)

vi ( x1 )  vi ( x2 ) 


 v( R ) 
x
v
(
x
)

x
v
(
x
)

v
dx

1 i
1
2 i
2
2
2
x i 
4s o R 
R
R
R


x2
1
O potencial externo para um pulso arbitrário

a 2s i  cos q
(3 cos 2 q  1)
(3 cos 2 q  1)

vi ( x1 )  vi ( x2 ) 


 v( R ) 
x
v
(
x
)

x
v
(
x
)

v
dx

1 i
1
2 i
2
2
2
x i 
4s o R 
R
R
R


x2
1
• Usando este último resultado, vamos calcular n(R) em dois casos:
– Despolarização (ECG)
– Pulso Completo
• Despolarização (ECG)
– Substituindo na expressão acima, temos

a 2s i  cos q
(3 cos 2 q  1)

v( R ) 

v

v
dx


i
i
2

4s o R 
R

x
 R

x2
1
1º. termo
– O primeiro termo da expressão enquadrada é o mesmo resultado obtido no
caso especial linear da Eq. (7.11)  Eq. (7.26)
– O segundo termo é uma correção, que cai bem mais rapidamente com a
distância
O potencial externo para um pulso arbitrário
• Pulso Completo. Consideramos:
•
Progressão dos resultados:
–
Se olharmos para um dos “lados” de um pulso de despolarização, temos uma fonte ou um dreno
de corrente, e o potencial é proporcional a 1/R (Eq. (7.1)) – isso não ocorre em Fisiologia;
–
Se considerarmos toda a parte de despolarização do pulso, o potencial é proporcional a 1/R2
(Eqs. (7.11) e (7.26)) – modelo que serve para o ECG;
–
Se considerarmos o pulso completo, o potencial é proporcional a 1/R3 (Eqs. (7.16) e (7.27)) –
bom modelo para a condução nervosa.
O potencial externo para um pulso arbitrário
• Isto que fizemos é um exemplo de expansão em multipolos
– Definindo   x / R , podemos realizar a expansão:
onde os Pn(cosq) são os polinômios de Legendre:
•
Todos estes cálculos basearam-se na hipótese de que a corrente flui
paralelamente ao eixo da célula, que é conhecida como “aproximação da linha”
•
Obviamente, é impossível a corrente no interior do axônio passar através da
membrana se ela corre sempre paralela ao eixo do axônio
•
Esta aproximação é razoável em casos em que o raio da célula é muito menor
que a distância na qual ocorre a despolarização (a « x2)
Propriedades elétricas do coração
• Semelhanças entre as células miocárdicas e as células nervosas:
– Uma membrana separa fluidos intra e extra-celular
– As concentrações dos principais íons são mais ou menos as mesmas
– Os fluidos intra e extra-celular são eletricamente neutros, com exceção
de uma pequena quantidade de carga na membrana
– Os canais de íons seletivos são responsáveis pelo início e pela propagação
dos potenciais de ação
• Diferenças entre essas células:
– As células miocárdicas em mamíferos possuem comprimento de ~100mm e
diâmetro de ~10mm (lembremos que as células nervosas possuem
comprimentos de até 1m e diâmetros menores que 1mm até ~20mm);
– Células miocárdicas vizinhas são conectadas por junções comunicantes
(gap junctions) – as correntes e os íons fluem diretamente de uma célula a
outra – elas formam um “syncytium” (vários núcleos dentro de um mesmo
citoplasma).
Propriedades elétricas do coração
No estado de repouso:
– Célula atrial possui nrest ≈ –70mV
– Célula ventricular possui nrest ≈ –90mV
– Quando uma célula despolariza, o potencial
de ação dura de 100 a 300ms (dependendo
da espécie)
– A forma do pulso varia entre espécies e em
diferentes partes do coração
– Um pulso “típico” está mostrado na Fig. 7.14
• Na figura, temos:
0. Corrente de sódio (Na+) para dentro da célula;
1. Corrente transitória de potássio (K+) para fora da célula;
– Pequena no endocárdio (interior do coração);
– Grande em camadas mais externas do coração (epicárdio);
2. Fluxo de cálcio (Ca+2) para dentro (mantém o platô);
3. Abertura dos canais de potássio lentos – fluxo de K+
para fora causa repolarização;
4. Concentração original dos íons é restabelecida.
Propriedades elétricas do coração
O coração pode bater isoladamente
– Se for removido do corpo e colocado em
uma solução nutriente, continua a bater
espontaneamente.
– Em cada batida, uma onda de despolarização
varre o coração e ele se contrai.
– A onda é iniciada por fibras especializadas
localizadas no átrio direito, no chamado
nodo sinoatrial (nodo SA).
– O nodo SA não possui os canais de Na+ usuais e a despolarização se deve
ao cálcio. A forma dos pulsos que ocorrem no nodo SA se parece mais com
a dos pulsos das células nervosas (Fig. 6.48)
– A despolarização do nodo SA causa a rápida despolarização do resto do
coração. A taxa de disparos do nodo SA é aumentada por meio dos nervos
simpáticos (liberam norepinefrina, também chamada de noradrenalina) e
diminuída por meio dos nervos para-simpáticos (liberam acetilcolina).
– Dispositivos que produzem disparos periódicos, como o nodo SA, são
chamados de free running relaxation oscillators.
Propriedades elétricas do coração
• Progresso da despolarização no coração (Fig. 7.15):
– O nodo SA dispara. A despolarização varre os átrios;
– Quando estes estão completamente despolarizados, não há mais frente de
onda de despolarização, pois os átrios estão separados dos ventrículos por
um tecido fibroso que não transmite o impulso – a única conexão é o nodo
atrioventricular (nodo AV);
– A despolarização passa pelo nodo AV e se espalha pelos ventrículos via o
sistema de condução;
– Finalmente, se espalha através do miocárdio de cada ventrículo até a
parede externa
Propriedades elétricas do coração
• O sistema de condução é formado pelo feixe comum (ou
feixe de His), os feixes esquerdo e direito, e a rede fina
de fibras de Purkinje
• Espontaneamente, o nodo AV se despolariza a uma taxa de
50 batidas/min; em geral suas despolarizações não são
desencadeadas pela taxa de batidas mais rápida dos átrios
Propriedades elétricas do coração
– A despolarização é uma frente de onda, enquanto a repolarização é um
fenômeno local. Isso ocorre pois à medida que o potencial transmembrana (nm)
aumenta, aumenta a condução de Na+.
– O eletrotônus faz com que aumente nm em regiões vizinhas, portanto, a
condução de Na+ nessas regiões aumenta: ou seja, o eletrotônus auxilia na
propagação do sinal (de despolarização).
– Por outro lado, a condução de K+ também acompanha nm. Quando nm cai, o
eletrotônus faz com que o potencial de regiões vizinhas caia, o que diminui a
condução de K+, e portanto, retarda a repolarização.
– Além disso, quando nm cai, se aproxima do potencial de Nernst do potássio, o que
também auxilia na diminuição da corrente de K+. Por isso, a repolarização é um
fenômeno local, ao contrário da despolarização.
– A despolarização se propaga no miocárdio de forma ordenada, e é seguida pela
repolarização. Após um breve período refratário, o coração está pronto para
bater novamente. Durante esse período as células não respondem a estímulo.
– Em situações anormais, é possível que uma onda de despolarização siga um
circuito fechado no miocárdio (circuito reentrante). Geralmente este circunda
algum obstáculo, p. ex. uma cicatriz, a aorta, uma artéria pulmonar, ou uma área
que possui diferentes propriedades condutoras. Isso pode resultar em um
circuito com um ritmo sustentado anormal, se o contorno do obstáculo demorar
mais que o período refratário.
O vetor dipolo de corrente do coração em função
do tempo
• Cada célula miocárdica se despolariza e repolariza durante o
ciclo cardíaco
• O vetor de dipolo de corrente para cada instante é a soma dos
vetores de todas as células do coração
• Vamos consider que, inicialmente, todas as células estão
completamente polarizadas (repouso) e p = 0
• As células começam a se despolarizar próximo ao nodo SA – uma
onda de despolarização varre os átrios
– Para cada célula, p aponta na direção de propagação da onda de
despolarização e se move na célula junto com essa onda
– Esses vetores para todas as células constituem a onda que avança e
atravessa o coração
• O potencial no ponto de observação pode ser calculado
aplicando-se a Eq. (7.13) para cada célula:
onde r = vetor da célula até o ponto de observação (diferente para cada célula)
O vetor dipolo de corrente do coração em função
do tempo
• Inicialmente vamos assumir que o ponto de observação está
tão longe que r é o mesmo para todas as células
– A localização da ponta do vetor dipolo durante o ciclo cardíaco segue
a trajetória mostrada na Fig. 7.16
– As componentes px, py e pz desse vetor variam ao longo do ciclo
cardíaco conforme mostrado à direita da Fig. 7.17
O vetor dipolo de corrente do coração em função
do tempo
•
•
•
•
Pequeno loop P – corresponde à despolarização atrial
Loop QRS – corresponde à despolarização ventricular
Loop T – repolarização ventricular
A repolarização atrial fica encoberta pela despolarização ventricular
As derivações (leads) do ECG
• Derivações – são as ddps medidas entre os eletrodos no ECG
– Vamos continuar supondo que r é o mesmo para todas as células e que o
torso é um meio condutor homogêneo e infinito (são ambas suposições
estão incorretas, mais adiante veremos modelos melhores)
• O potencial do dipolo em um ponto
a uma distância r é
v
p r
4s o r 3
(7.13)
• A ddp entre dois pontos, ambos à
distância r, é
v(r2 , r1 ) 
p  (r2  r1 )
pR

4s o r 3
4s o r 3
(7.30)
onde R é a distância entre os eletrodos (Fig. 7.18). Portanto, a
ddp entre dois eletrodos separados por uma distância (vetor)
R e equidistantes de p mede a projeção instantânea de p em R
As derivações (leads) do ECG
• Se a despolarização pode ser descrita por um único dipolo de
corrente, então bastam três medidas para caracterizá-la:
projeções em três eixos perpendiculares. No entanto, o ECG
padrão consiste de 12 medidas feitas com 9 eletrodos
–
Os eletrodos A, B e C são colocados nos dois
pulsos e na perna esquerda.
–
Os membros (braços e perna) são vistos como
prolongamentos de fios elétricos, portanto é
como se o potencial destes eletrodos fosse
medido nos pontos de junção destes membros
com o tronco (pontos A, B e C da Fig. 7.19).
–
As dimensões que aparecem na Fig. 7.19 são as
de um adulto padrão.
–
As ddps entre esses eletrodos são chamadas de
derivações bipolares ou clássicas (limb leads I,
II e III), dadas por
As derivações (leads) do ECG
• A ddp em I é proporcional à projeção
de p em RI, e idem para II e III
– Esses potenciais costumam ainda ser
combinados como:
–
Estas ddps são chamadas de derivações aumentadas (augmented limb leads)
–
Os nomes terminando em R, L e F se referem a que os vetores que
relacionam os pontos entre os quais a ddp está sendo medida apontam
aproximadamente para a direita (Right), esquerda (Left) e frente (Frontal)
–
Estas derivações são proporcionais às projeções de p em RR, RL e RF
–
Os vetores RI, RII, RIII, RR, RL e RF apontam em direções espaçadas de 30o
aproximadamente no plano frontal (Fig. 7.20)
As derivações (leads) do ECG
• Para medir projeções perpendiculares ao plano frontal, usam-se
as derivações precordiais (precordial leads)
– Para isso posicionam-se eletrodos da forma mostrada na Fig. 7.21
•
As ddps são medidas em relação ao ponto central do triângulo ABC, que
equivale à média entre nA, nB e nC
•
Isto só é verdade se ignorarmos as diferenças em 1/r2
–
Mais sobre isso no próximo slide
As derivações (leads) do ECG
• Consideremos o ponto D como a posição de um eletrodo
precordial (Fig. 7.22). O potencial entre D e O (centro do
1
triângulo ABC) é
v  vD  (v A  vB  vC )
3
• Usando (7.30) para cada termo temos:
v
•
Se O estiver no centro do triângulo
ABC, pela definição de centro temos
que RA+ RB+ RC = 0, e RA ≈ RB ≈ RC,
portanto
v
•
 p  R D 1  p  R A p  R B p  R C 



 3  
3
3
3
4 s o  RD
3  RA
RB
RC 
1
p  RD
4 s o RD3
1
Portanto segundo esta aproximação,
cada derivação precordial mede a
projeção de p num vetor que une o
centro do triângulo ABC ao eletrodo
(precordial)
Alguns ECGs
Normal:
• Quando p possui sua maior magnitude durante a onda QRS, é
quase paralelo a RII e quase não há sinal em aVL, que é
perpendicular a RII (Fig. 7.23)
Alguns ECGs
Hipertrofia ventricular direita
(Fig. 7.24):
– Devido ao alargamento e ao aumento
de espessura do ventrículo direito, p
aponta para a direita durante a onda
QRS.
– As derivações precordiais V1 e V2
mostram os maiores sinais, pois o
ventrículo direito está de frente
para a frente do corpo.
– O eletrodo V4R mostrado nesta
figura corresponde a um eletrodo
simétrico a V4, colocado do lado
direito.
Alguns ECGs
Hipertrofia ventricular
esquerda (Fig. 7.25):
– Em QRS o dipolo aponta para a
esquerda
– O sinal em DI possui um pico
anormalmente grande
– O sinal em aVL é grande e positivo
– V2 é negativo
– V4, V5 e V6 possuem picos muito
grandes e positivos
Refinamentos ao Modelo
• Até aqui vimos o potencial externo resultante da propagação
de um impulso nervoso na célula, considerando que o axônio é
muito fino e não influi no meio externo, que é homogêneo,
isotrópico e infinito
• Vamos agora incluir quatro “aperfeiçoamentos” a este modelo:
1) Ao invés de apenas fluir ao longo do axônio, vamos levar em conta que a
corrente deve fluir também radialmente dentro da célula (caso contrário,
nunca poderia sair da célula);
2) Vamos abandonar a hipótese de que o axônio ao longo do eixo x não
perturba a corrente fora da célula;
3) Vamos reconhecer que a condutividade pode variar com a posição (o que é
importante fora da célula, onde há músculo, gordura, pulmões etc.);
4) Vamos levar em conta que a condutividade em um dado ponto pode
depender da direção da corrente, p. ex., se esta é paralela ou
perpendicular às células – em outras palavras, o meio externo geralmente
é anisotrópico.
Refinamentos ao Modelo
• Consideremos uma região do espaço que contém um material
condutor que obedece à lei de Ohm. Temos:
Ex  
v
v
v
; E y   ; Ez   ;
dx
dy
dz
ou
•
Se o material é isotrópico e obedece à lei
de Ohm:
•
Aplicando a equação da continuidade (ou
conservação de carga) temos:
E  v
(r: densidade de carga/unidade de volume)
•
Combinando (7.33) e (7.34) temos:
•
Supondo inicialmente que s é a mesma para qualquer posição, podemos
escrever as expressões abaixo (supondo que n não possui dependência angular):
Coordenadas retangulares:
Coordenadas esféricas:
Refinamentos ao Modelo:
o axônio tem raio finito
• Para os aperfeiçoamentos 1 e 2 (corrente deve fluir radialmente
e axônio deve perturbar a corrente externa) consideramos que a
densidade de carga dentro e fora da célula não varia, i.e. r / t  0
exceto na membrana, onde a carga varia à medida que o
potencial através da membrana nm varia.
– Assumindo nm conhecido, podemos aplicar (7.36b) para os meios interno e
externo para determinar n em qualquer ponto (interno ou externo):
onde a é o raio do axônio
• Este foi o cálculo realizado para obter os resultados da Fig. 7.13
Refinamentos ao Modelo:
condutividade externa não uniforme
• Para o aperfeiçoamento seguinte (item 3, condutividade varia
com a posição), usamos a Eq. (7.35):
• Numa região sem fontes (meio externo), no obedece que
onde so é a condutividade do meio externo, que se assume como sendo piecewise
homogênea (homogênea por partes), com diferentes valores para cada tipo de tecido:
– Em cada tecido, o potencial obedece à equação de Laplace
 2vo  0 ;
– Nas fronteiras entre tecidos, no e a componente normal da corrente são contínuos.
•
Esta equação tem sido usada para calcular no na superfície do tórax, com so
variando de órgão para órgão.
Refinamentos ao Modelo:
condutividade anisotrópica – o modelo de bidomínio
• Para o último aperfeiçoamento (item 4, meio externo é
anisotrópico), substituímos s por um tensor :
• Em coordenadas cartesianas:
•
A matriz de condutividade é simétrica, portanto temos apenas 6
coeficientes e não 9 (sxy = s yx etc.).
Refinamentos ao Modelo (Problema 29):
condutividade anisotrópica – o modelo de bidomínio
• Para uma pequena região cilíndrica de axoplasma de
comprimento h e raio a, cuja superfície está rodeada de
membrana, podemos usar a Eq. (6.51) (equação do cabo):
•
onde:
•
Como ri 
–
–
–
–
ni, no, nm são os potenciais interno, externo e através da membrana respectivamente;
jm = densidade de corrente na membrana = corrente/unidade de área;
cm = capacitância da membrana/unidade de área;
ri = resistência (dentro da célula)/unidade de comprimento.
Ri 1 h
1


, temos:
h h s i a 2 s i a 2
que pode ser reescrito como
onde
célula
•
é a razão entre a área superficial e o volume da
Para células não cilíndricas, b teria outros valores
Refinamentos ao Modelo (Problema 29):
condutividade anisotrópica – o modelo de bidomínio
• Num meio anisotrópico em 3D, esta última equação fica:
•
Podemos escrever uma equação análoga para o lado de fora (já que corrente
que pára de fluir no meio interno deve fluir para fora):
Refinamentos ao Modelo (Problema 29):
condutividade anisotrópica – o modelo de bidomínio
• A carga pode passar livremente entre os dois domínios, mas a
carga total dentro do voxel se conserva, portanto   ( ji  jo )  0
•
Os análogos anisotrópicos de (7.40) e (7.41) são:
vm

 jm     (s~i vi ),
t

 v

 b  cm m  jm     (s~ovo ).
t




b  cm
• As diferenças entre estas equações e (7.40) e (7.41) são:
–
O lado esquerdo de (7.42) não possui mais a restrição sobre a membrana, já que
todos os voxels considerados contêm meio externo e meio interno – o lado
esquerdo destas equações depende da posição;
–
b agora é a razão entre a superfície da membrana e o volume para todo o
bidomínio (voxel). P. ex., se considerarmos células cilíndricas de raio a e
comprimento h que ocupam uma fração f do volume total:
b
2 ah
2f
f

 a 2h
a
Refinamentos ao Modelo (Problema 29):
condutividade anisotrópica – o modelo de bidomínio
• A anisotropia tem um papel importante no modelo de bidomínio
– Isto, pois num modelo monodomínio, geralmente é possível realizar uma
transformação de coordenadas que “remove” o efeito da anisotropia. Por
ex., a equação de Laplace para um monodomínio em 2D é
• Definindo x'  x e
y' 
s ox
y
s oy
, esta expressão resulta em
•
No caso do bidomínio, esse tipo de truque só funcionaria se six/siy = sox/soy,
o que não ocorre para o coração (essa razão entre componentes do tensor de
condutividade é aproximadamente 10 para o meio interno e 4 para o meio
externo).
•
Portanto a anisotropia tem um papel importante no comportamento elétrico
do coração, especialmente durante a estimulação elétrica.
Estimulação elétrica
• Eletrodos podem ser usados para:
–
–
–
–
–
Estudos de eletromiografia;
Estimular a contração de músculos;
Restauração parcial da audição com implante coclear;
Marcapasso cardíaco;
Desfibrilação.
• Eles podem ser colocados:
– Dentro de células;
– Dentro ou sobre músculos;
– Sobre a pele.
• Um pulso de corrente é enviado ao eletrodo de estimulação.
A corrente necessária para produzir uma resposta depende
– Da forma, tamanho e localização do eletrodo;
– Da duração do pulso.
Estimulação elétrica
• Para um dado eletrodo, quanto mais curto o pulso, maior a
corrente necessária para produzir uma resposta no tecido
– Para pulsos longos, existe uma corrente mínima necessária chamada de
reobase – é a mínima intensidade de corrente, teoricamente a ser
aplicada por um tempo infinito, necessária para produzir um estímulo
elétrico que promova uma contração muscular limiar.
– Há uma expressão empírica que descreve a curva de intensidade versus
duração da corrente, dada por
–
–
–
–
onde
i = corrente necessária para o estímulo;
iR = corrente mínima ou reobase;
t = duração do pulso;
tc = cronaxia – é o tempo mínimo que deve ser utilizado com corrente 2iR
para desencadear um potencial de ação.
– Esta equação fornece um ajuste empírico para dados experimentais.
Estimulação elétrica
• A Eq. (7.45) também é usada para eletrodos de superfície.
Quanto mais longe o eletrodo estiver do tecido a ser
estimulado, maior a corrente de reobase necessária.
– Os eletrodos podem ser catodos (coletam carga positiva / emitem carga
negativa para o meio) ou anodos (coletam carga negativa / transferem
carga positiva para o meio).
– Se um anodo estiver dentro da célula, despolariza a célula.
– Se estiver fora da célula, hiperpolariza a região próxima da célula, e
despolariza regiões mais distantes (Fig. 7.29).
– Um catodo terá o feito contrário.
Estimulação elétrica
• Marcapassos cardíacos:
–
São eletrodos implantados para restaurar
o batimento cardíaco (Fig. 7.31).
–
Servem para tratar doenças do coração,
sendo a mais comum a bradicardia
(batimento anormalmente lento) associada
a tonturas, desmaios ou parada cardíaca.
• A bradicardia pode originar-se de problemas
no nodo sino-atrial (bradicardia sinusal) ou no
sistema de condução.
–
Um marcapasso pode ser usado
temporariamente ou permanentemente.
–
Pode ser introduzido no corpo:
•
•
Através de uma veia do ombro ao ventrículo direito;
Colocado diretamente no miocárdio através de cirurgia.
Estimulação elétrica
• Ainda sobre marcapassos cardíacos:
–
–
Às vezes dois eletrodos são utilizados, um no átrio e outro no ventrículo.
O eletrodo marcapasso pode ser uni ou bipolar:
•
•
Unipolar – a corrente de estimulação flui no miocárdio e retorna à caixa do eletrodo, que é
geralmente colocada num “bolso” no músculo do tórax perto do ombro;
Bipolar – a corrente vai para um eletrodo colocado alguns centímetros atrás do eletrodo ponta.
–
A superfície da ponta (eletrodo) geralmente é da ordem de 10mm2.
–
A densidade de corrente necessária para iniciar a despolarização é da ordem
de 100A/m2.
–
Portanto a corrente de reobase é aproximadamente 100A/m2 / 10mm2 = 1mA.
–
A resistência do tecido é geralmente da ordem de 500Ω, portanto a
voltagem aplicada é da ordem de 0,5V.
–
Após a implantação do eletrodo, o tamanho do pulso de voltagem necessário
para o estímulo aumenta devido a que cresce tecido inflamatório ao redor do
eletrodo.
•
Após aproximadamente 6 meses esse tecido se converte em cápsula fibrosa – o tamanho efetivo
do eletrodo é maior que o original, porém menor que durante a inflamação.
Estimulação elétrica
• Desfibriladores:
–
São usados para restaurar o ritmo
cardíaco normal quando ocorre fibrilação.
–
Fibrilação – ocorrência de frentes de onda
reentrantes que interagem entre si e se
propagam de forma caótica – resultam em
que os ventrículos (ou os átrios) não mais
se contraem e não ocorre mais o
bombeamento de sangue – a pessoa pode
morrer em poucos minutos.
–
Os desfibriladores implantados são
similares aos marcapassos, porém maiores.
–
Os desfibriladores medem o ECG
continuamente, e quando se detecta um
sinal que indica fibrilação, disparam um
choque elétrico forte que restaura o ritmo
normal.
O Eletroencefalograma (EEG)
• Muito pode ser aprendido sobre o cérebro medindo o potencial
elétrico na superfície do couro cabeludo. Tais dados são
chamados de eletroencefalograma (EEG)
• O EEG é utilizado para diagnosticar distúrbios cerebrais, para
localizar a fonte de atividade elétrica no cérebro em pacientes
que sofrem de epilepsia, e como uma ferramenta de pesquisa
para saber mais sobre como o cérebro responde aos estímulos
("respostas evocadas") e como ela muda com o tempo
("plasticidade").
• Tipicamente, o EEG é medido a
partir de 21 eletrodos ligados ao
couro cabeludo, de acordo com o
sistema de "10-20" (Fig.7.34)
O Eletroencefalograma (EEG)
• Um sinal típico de um eletrodo
eletroencefalográfico é mostrado
no painel de topo da Fig. 11.38
– Uma dificuldade na interpretação do
EEG é a falta de um eletrodo de
referência apropriado. Nenhum dos 21
eletrodos na Fig. 7.34 qualifica-se
como uma região distante contra a
qual todas as outras gravações
potencial podem ser medidas.
– Uma maneira de contornar essa
dificuldade é subtrair de cada
potencial medido a média de todos os
potenciais medidos. Nos problemas,
você está convidado a provar que esse
“registro médio de referência" não
depende da escolha do eletrodo de
referência, é um método independente
de referência.