gabarito

SEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
Nome legı́vel:
Assinatura:
[01] (2.0) Resolva a desigualdade
24 (−4 x3 )(x4 + 3)2 − 24 (1 − x4 ) 2 (x4 + 3)(4 x3 )
>0
(x4 + 3)4
usando a técnica do quadro de sinais. Observação: esta desigualdade tem origem em
um problema de Cálculo I -A-.
Solução. Seja
24 (−4 x3 )(x4 + 3)2 − 24 (1 − x4 ) 2 (x4 + 3)(4 x3 )
96 x3 (x4 − 5)
=
(x4 + 3)4
(x4 + 3)3
√
√
Note que f (x) = 0 se, e somente se, x = − 4 5 ou x = 0 ou x = + 4 5. Vamos estudar
o sinal de f usando a técnica de quadro de sinais (note que o termo (x4 + 3)3 > 0 para
todo x ∈ R e, portanto, ele pode desconsiderado no estudo do sinal):
f (x) =
sinal de x
3
−
+
√
−45
−
−
√
−45
+
4
sinal de x − 5
sinal de f
00
−
Assim, f (x) > 0 se, e somente se, x ∈] −
1
√
4
5, 0[∪] +
0
0
√
4
+
+
−
√
+45
+
−
√
+45
+
5, +∞[.
[02] (a) (0.5) Quando uma função real f : D → C é crescente? Dê a definição.
Solução. Dizemos que uma função real f : D → C é crescente se, para todo
x1 , x2 ∈ D, se x1 < x2 , então f (x1 ) < f (x2 ).
(b) (1.5) Usando a definição dada no Item (a), mostre que f : [0, +∞[→ R definida
por f (x) = x4 é uma função crescente.
Solução. Sejam x1 , x2 ∈ D = [0, +∞), com x1 < x2 . Com estas condições, vale
que x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que x32 > 0, x22 x1 ≥ 0, x2 x21 ≥ 0 e x31 ≥ 0.
Consequentemente,
x32 + x22 x1 + x2 x21 + x31 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo,
temos que
(x2 − x1 )(x32 + x22 x1 + x2 x21 + x31 ) > 0.
Sendo assim,
x42 − x41 > 0
e, desta maneira, x22 > x21 , isto é, f (x2 ) > f (x1 ). Logo, f : [0, +∞[→ R definida
por f (x) = x4 é uma função crescente.
2
1
1
1
1
[03] (a) (0.5) O que os sı́mbolos 7 2 , 7 3 e 7 2 + 3 representam? Dê as definições.
1
Solução. O sı́mbolo 7 2 representa o único número real ≥ 0 que elevado a 2 é
1
igual a 7. Por sua vez, o sı́mbolo 7 3 representa
o único número real que elevado
√
1
1
5
6
a 3 é igual a 7. Finalmente, 7 2 + 3 = 7 6 = 75 representa o único número real ≥ 0
que elevado a 6 é igual a 75 .
1
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1
1
(b) (1.5) Usando as definições do Item (a), mostre que 7 2 ∙ 7 3 = 7 2 + 3 .
√
1
1
1
1
5
6
Solução. Sejam a = 7 2 ∙ 7 3 e b = 7 2 + 3 = 7 6 = 75 . Se mostrarmos que a6 = 75 ,
por unicidade, seguirá que a = b. Ora,
1
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1
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a6 = (7 2 ∙ 7 3 )6 = 7 2 ∙ 7 3 ∙ 7 2 ∙ 7 3 ∙ 7 2 ∙ 7 3 ∙ 7 2 ∙ 7 3 ∙ 7 2 ∙ 7 3 ∙ 7 2 ∙ 7 3
1
1
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1
= (7 2 )6 ∙ (7 3 )6 = (7 2 )2∙3 ∙ (7 3 )3∙2 = ((7 2 )2 )3 ∙ ((7 3 )3 )2 = 73 ∙ 72
= 73+2 = 75 .
3
[04] Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1 e seja x um número real positivo.
(a) (0.5) Dê as definições para os sı́mbolos log a (x), logb (x) e logb (a).
Solução. loga (x) é o único número real tal que a elevado a este número dá x.
Por sua vez, logb (x) é o único número real tal que b elevado a este número dá x.
Finalmente, logb (a) é o único número real tal que b elevado a este número dá a.
(b) (1.5) Usando as definições que você deu no Item (a), demonstre que
loga (x) =
logb (x)
.
logb (a)
Solução. Pelo Item (a), temos que
aloga (x) = x,
blogb (x) = x
blogb (a) = a.
e
Se mostrarmos que
logb (x)
a logb (a) = x,
então, por unicidade, seguirá que log a (x) =
logb (x)
a logb (a) = blogb (a)
b (x)
log
log (a)
b
4
logb (x)
.
logb (a)
Ora,
log (x)
=b
logb (a)∙ logb (a)
b
= blogb (x) = x.
[05] (2.0) Verdadeira ou falsa?
Se a e b são dois números reais tais que a2 + b2 = 0, então a = 0 e b = 0.
Se a sentença for falsa, apresente um contraexemplo e, se ela for verdadeira, apresente
uma demonstração indicando explicitamente quais axiomas e quais propriedades você
usou em cada etapa.
Solução. Suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Desta maneira, existem
dois números reais a e b tais que a2 + b2 = 0, mas a 6= 0 ou b 6= 0. Se a 6= 0, então
por [PO16], a2 > 0. Se b = 0, então a2 + b2 = a2 + 0 = a2 > 0, uma contradição. Se
b > 0, então b2 > 0 por [PO16] e, por (O2), a2 + b2 > 0, novamente uma contradição.
O caso em que b 6= 0 é tratado de forma análoga e também gera uma contradição.
(C5)
Texto composto em LATEX2e, HJB, 28/06/2015.
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Associatividade:
a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ R.
Distributividade:
a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ R.
Existência dos elementos neutros:
∃ 0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R.
Existência do elemento simétrico:
∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:
∀a ∈ R − {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
(C3)
(C4)
(C5)
(C6)
(C7)
Pré-Cálculo
[PO06]
• ∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Axiomas e Propriedades dos Números Reais
Pré-Cálculo
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicar
que b − a < 0.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dos
números reais negativos será designado por R− . Escrevemos a < 0 para indicar
que a é um número negativo, isto é, que a ∈ R− .
• ∀a, b ∈ R, a · b < 0 ⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).
• ∀a ∈ R, a = 0 ⇔ a2 > 0.
Pré-Cálculo
[PO12]
[PO16]
• ∀a, b ∈ R, a · b > 0 ⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Axiomas e Propriedades dos Números Reais
[PO11]
[PO12]
• ∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
[PO10]
• ∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
• ∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.
[PO08]
[PO09]
• ∀a ∈ R − {0}, (i) a > 0 ⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0 ⇔ 1/a < 0.
[PO07]
[PO04]
[PO05]
[PO03]
• ∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
[PO02]
• ∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
• ∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
[PO01]
• ∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).
• ∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Em símbolos: se a, b ∈ R+ , então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+ .
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Pré-Cálculo
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Axiomas e Propriedades dos Números Reais
• ∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
ou a = 0 ou −a ∈
R+ .
1
[PA20]
• (a + b)/c = a/c + b/c, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}.
[PA18]
• 1/(a · b) = (1/a) · (1/b), ∀a, b ∈ R − {0}.
[PA19]
[PA17]
• (a · b)/(c · d) = (a/c) · (b/d), ∀a, b ∈ R, ∀c, d ∈ R − {0}.
[PA16]
[PA15]
• (−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R.
• (a · b)/c = a · (b/c) = (a/c) · b, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}.
[PA14]
• −(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a, b ∈ R.
• −(1/a) = (−1)/a = 1/(−a), ∀a ∈ R − {0}.
[PA12]
[PA13]
• (−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
[PA11]
• (b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ R.
• a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
[PA09]
[PA08]
• (1/a) · a = 1, ∀a ∈ R − {0}.
[PA10]
[PA07]
• −a + a = 0, ∀a ∈ R.
• 1/(1/a) = a, ∀a ∈ R − {0}.
[PA04]
• −(−a) = a, ∀a ∈ R.
[PA03]
• 0 + a = a, ∀a ∈ R.
• 1 · a = a, ∀a ∈ R.
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈
R+ ,
Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluem
mutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, que
a ∈ R+ .
(O2)
(O1)
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos números
reais positivos e designado por R+ , que satisfaz as seguintes propriedades:
R é ordenado
Axiomas e Propriedades dos Números Reais
Comutatividade:
a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a, b, ∈ R.
(C2)
∃ 1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
Fechamento:
a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a, b ∈ R.
(C1)
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) e
multiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
R é um corpo
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2
Axiomas e Propriedades dos Números Reais
Pré-Cálculo
(a/b) = (c/d) ⇔ a · d = b · c.
a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0.
• ∀a, c ∈ R, ∀b, d ∈ R − {0},
• ∀a, b, c ∈ R,
• ∀a, b ∈ R,
a · c = b · c ⇔ a = b.
a + c = b + c ⇔ a = b.
• ∀a, b, c ∈ R,
• ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0},
a = b ⇒ a · c = b · c.
• ∀a, b, c ∈ R,
• (a/b)/(c/d) = (a/b) · (d/c), ∀a ∈ R, ∀b, c, d ∈ R − {0}.
• 1/(a/b) = b/a, ∀a, b ∈ R − {0}.
• −((a + b)/c) = (−a − b)/c, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}.
• −(a + b) = −a − b, ∀a, b ∈ R, ∀c, d ∈ R − {0}, ∀a, b ∈ R.
[PA31]
[PA30]
[PA29]
[PA28]
[PA27]
[PA25]
[PA24]
[PA23]
[PA22]
[PA21]
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
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