turmas F e N

Fundamentos da Teoria da Computação
Professor: Newton José Vieira
Primeira Prova/Turmas F e N/Solução do professor
1o semestre de 2009
DCC/ICEx/UFMG
31/3/2009
1. Sejam Σ = {0, 1}, X = Σ∗ {0} e Y = {1}Σ∗ . Descreva de forma clara e precisa, em português, as
linguagens a seguir. Não é necessário dizer que as palavras são de 0s e 1s. Por exemplo:
X: conjunto das palavras que terminam com 0.
(a) XY .
(b) Y X.
(c) X ∩ Y .
(d) X − Y .
Solução:
(a) XY : conjunto das palavras que contêm 01.
(b) Y X: conjunto das palavras que começam com 1 e terminam com 0.
(c) X ∩ Y : conjunto das palavras que começam com 1 e terminam com 0.
(d) X − Y : conjunto das palavras que começam e terminam com 0.
2. Sejam A = {0}∗ {0, 1}{1}∗ e B = {0n 1n | n ≥ 0}. Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens:
(a) A.
(b) B.
(c) AB.
(d) B ∗ .
Solução:
(a) A → 0A | A1 | 0 | 1
(b) B → 0B1 | λ
(c) C → AB
A → 0A | A1 | 0 | 1
B → 0B1 | λ
(d) D → BD | λ
B → 0B1 | 01
3. Construa AFDs que reconheçam as linguagens a seguir. Apresente apenas os diagramas de estados (que
podem ser simplificados).
(a) {a, b}∗ − {λ, a}.
(b) {a, b}∗ {bb}{a, b}∗ .
(c) {w ∈ {a, b, c}∗ | w tem número par de as e ı́mpar de cs}.
(d) {w ∈ {a, b}∗ | w não contém três sı́mbolos consecutivos idênticos}.
Solução:
(a)
a,b
a
a,b
b
a
(b)
b
b
a,b
a
(c)
b
a
pp
ip
b
a
c
c
c
c
a
b
pi
ii
a
b
(d)
a
a
a
b
a
b
b
b
4. Seja Σ = {0, 1} e:
• I0 = {w ∈ Σ∗ | o número de 0s em w é ı́mpar}
• I1 = {w ∈ Σ∗ | o número de 1s em w é ı́mpar}.
(a)
(b)
(c)
(d)
Desenhe os diagramas de estados de AFDs que reconheçam I0 e I1 .
Obtenha o diagrama de estados para o produto dos dois AFDs.
Diga quais são os estados finais para o AFD que reconhece I0 ∪ I1 .
Diga quais são os estados finais para o AFD que reconhece I0 − I1 .
Solução:
1
(a)
1
0
0
p
0
1
i
p
i
0
1
AFD para I0
AFD para I1
(b) Produto dos AFDs de I0 e I1 :
0
[p, p]
[i, p]
0
1
1
1
1
0
[p, i]
[i, i]
0
(c) Estados finais para o AFD que reconhece I0 ∪ I1 : {[p, i], [i, p], [i, i]}
(d) Estados finais para o AFD que reconhece I0 − I1 : {[i, p]}.