Gabarito da Lista 3

FGE0270 – Eletricidade e Magnetismo I
Lista de exercícios 3 – 2008
1. Considere dois pontos numa região onde há um campo elétrico. O potencial no ponto P1 é V1
= −20 V, e em P2 é V2 = +150 V. Qual o trabalho realizado, pela força do campo elétrico,
para deslocar uma carga q = −4,7 µC de P2 até P1?
Resposta Wel = − q (V1 − V2 ) = 7.99 x10 −4 J
2. Demonstre que o trabalho necessário para colocar quatro cargas puntuais idênticas Q nos
vértices de um quadrado de lado s é W = 5,41kQ2/s.
3. Mostre, por integração, que o potencial num ponto sobre o eixo central de um disco de raio R,
carregado com condensidade superficial de carga σ, é dado por V ( z ) =
σ
( z 2 + R 2 − z) ,
2ε 0
onde z é a distãncia entre o ponto considerado e o centro do disco.
4. Uma barra de comprimento L (Figura 1) se encontra sobre o eixo x com sua extremidade
esquerda na origem. Sua densidade linear de carga é dada por λ = α x, onde α é uma
constante positiva. (a) Qual é a dimensão de α? (b) Calcule o potencial elétrico nos pontos A
e B da figura.
α
Resposta a) C/m b) V A =
[L + d ln(d /( L + d ) )]
4πε 0
2
α
c) VB =
4πε 0
L  L +
 ln 2
 2  − L2 +


+ b 2 

2 
L2
4 + b 
L2
4
5. Qual é a carga sobre uma esfera condutora de raio r = 0.15m, sabendo-se que o seu potencial
é 1500 V e que V = 0 no infinito?
Resposta Q = 4πε 0 rVsup = 2.5 x10 −8 C
6. Uma barra isolante e uniformemente carregada de comprimento l tem a forma de uma
semicircunferência, como mostrado na Figura 2. Encontre o potencial elétrico num ponto
qualquer sobre o eixo da circunferência (eixo z) para uma carga total da barra Q.
Resposta V ( z ) =
1
4πε 0
Q
l2
π
+ z2
1
7. Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e separadas por uma distância de 12 cm,
têm cargas iguais e de sinais opostos nas faces que se defrontam. Um elétron colocado em
qualquer lugar entre as placas experimenta uma força eletrostática de 3.9 × 10−15 N. a)
Determine o campo elétrico na posição do elétron. b) Qual é a diferença de potencial entre as
placas?
a) E =
Fel
= 2.4 x10 4 N / C
|e|
b) ∆V = Ed = 2900V
8. O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raio R, com carga espalhada com
uniformidade por todo o seu volume, está radialmente direcionado e tem módulo dado por
E (r ) =
qr
4πε 0 R 3
. Nesta expressão, q (positiva ou negativa) é a carga total da esfera e r é a
distância ao centro da esfera. a) Tomando V = 0 no centro da esfera, determine o potencial
V(r) dentro da esfera. b) Qual é a diferença de potencial elétrico entre um ponto da superfície
e o centro da esfera? c) Sendo q positivo, qual desses dois pontos tem maior potencial?
Resposta a) V (r ) = −
qr 2
;
8πε 0 R 3
b) ∆V = V ( R ) = −
q
8πε 0 R
;
c) o centro da esfera.
9. O potencial elétrico dentro de um condutor esférico carregado de raio R é dado por
V=
Q
4πε 0 R
e fora do condutor é dado por V =
Q
4πε 0 r
, sendo r a distância desde o centro da
esfera até o ponto considerado. Calcule o campo elétrico dentro e fora do condutor.
Resposta E = −
Fig. 1
dV
Q
⇒ Eint = 0 e Eext =
dr
4πε 0 r 2
Fig. 2
Fig.3
10. Um capacitor de placas paralelas, com uma área de 40 cm2 e separação entre as placas de 1.0
mm, é carregado sob uma diferença de potencial de 600 V . Determine a) a capacitância, b) o
2
módulo da carga sobre cada placa, c) a energia armazenada no capacitor, d) o campo elétrico
entre as placas e e) a densidade de energia entre as placas.
Resposta a) C = ε 0 A / d = 35.4 pF
b) Q = C∆V = 2.124 x10 −8 C ;
Q2 1
∆V
c) U =
= C∆V 2 = 6.372 x10 −6 J ; d) E =
= 6 x10 5 V / m ; e) σ = ε 0 E = 5.31x10 −6 C / m 2
2C 2
d
11. Um capacitor esférico consiste de uma casca esférica condutora de raio b e carga −Q que é
concêntrica com uma outra esfera condutora de raio menor a e carga +Q (Figura 3). a)
Demonstre que a capacitância é C = 4πε 0
ab
. b) Calcule a energia armazenada no
b−a
capacitor. c) Se o capacitor é prenchido com mica (ke = 5.4) qual é a nova capacitância?
Resposta b) U =
Q 2 Q 2 (b − a)
=
;
2C
8πε 0 ab
c) C ' = k e C = 4πk eε 0
ab
b−a
12. A Terra (cujo raio é R = 6.370 km) pode ser pensada como a placa interna de um enorme
capacitor esférico, sendo que a placa externa é uma esfera de raio infinito. Utilize o problema
anterior para mostrar que a capacitância da Terra é C = 4πε 0 R , e calcule o valor de C.
Resposta:
basta
considerar
que
C = 4πε 0
ab
b−a
sendo
a=R
e
b→∞,
então
C = 4πε 0 R = 7 x10 −4 F
13. Um cabo coaxial, usado numa linha de transmissão, consiste em dois condutores cilíndricos
concêntricos, muito longos. O cilindro interno tem raio a e o externo raio b (figura 4).
Suponha que o cilindro interno está carregado com uma densidade linear de carga +λ e o
externo com – λ. a) Calcule o campo elétrico em função da distância radial r. b) Calcule a
diferença de potencial entre os dois cilindros. c) Calcule a capacitância por metro de cabo. d)
Calcule a energia, por unidade de comprimento, armazenada neste capacitor. e) Supondo que
o espaço entre os condutores seja preenchido com poliestireno (ke = 2.6), quais são os novos
valores dos ítens a), b) c) e d)?
3
r
Resposta a) E = 0 r < a; E =
c)
1 λ
λ
rˆ a ≤ r ≤ b; E = 0 r > b; b) ∆V =
ln(b / a ) ;
2πε 0 r
2πε 0
2πε 0
λ2
U
C
=
; d)
=
ln(b / a ) ;
L ln(b / a)
L 4πε 0
∆V ' =
λ
2πk eε 0
ln(b / a ) ;
e) E ' =
r
1 λ
E
⇒ E=
rˆ a ≤ r ≤ b;
ke
2πk e ε 0 r
C'
C 2πk eε 0 U '
λ2
= ke =
;
=
ln(b / a)
L
L ln(b / a) L 4πk eε 0
14. Considere dois fios condutores muito longos de raio a dispostos paralelamente um ao outro
com seus eixos separados de uma distância D (figura 5). Suponha que as cargas se distribuem
uniformemente nas superfícies de cada fio (condição que é válida quando D >> a), de forma
tal que um deles tem densidade linear de carga +λ e o outro – λ. . a) Calcule o campo elétrico
no ponto P da figura, que se encontra no plano que contém os fios, a uma distância r. b)
Calcule a diferença de potencial entre os fios. c) Mostre que a capacitância por unidade de
comprimento deste sistema de condutores é C / L =
πε 0
ln{( D / a) − 1}
r
1 
λ 1
λ
Resposta a) E (r ) =
ln ( Da − 1)
 +
rˆ ; b) ∆V =
2πε 0  r D − r 
πε 0
Fig. 4
Fig. 5
15. Uma lâmina dielétrica de espessura b e constante dielétrica ke é introduzida entre as placas de
um capacitor de placas paralelas de área A e separação d (b < d). Mostre que a capacitância é
dada por C =
k eε 0 A
.
b + k e ( d − b)
4