SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Exemplo 1: Determine x e y, sabendo-se que os
triângulos são semelhantes .
R
1. INTRODUÇÃO:
A
⇒ A palavra semelhante significa:
em geral  parecido

em geometria  parecido em relação a
 forma, ou seja, têm a mesma forma.

☞ Observe os triângulos ABC e RST da figura:
B
T
5
C S
x
x 6
30
  3x  30  x 
 x  10
5 3
3
A
6cm
7cm
3cm
S
y
4
Solução:
⇒ Os triângulos são semelhantes:
R
B
6
3
3,5cm
4cm
8cm
y 6
24
  3 y  24  y 
 y 8
4 3
3
C
T
 AB é paralelo a RS


 BC é paralelo a ST


 AC é paralelo a RT
2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA:
⇒ Se uma reta paralela a um dos lados de um
triângulo intercepta os outros dois lados em
pontos distintos, então o triângulo que ela
determina é semelhante ao primeiro.
A
D
☎ Comparando esses dois triângulos, dá para
percebermos que eles têm a mesma forma,
sendo um deles uma ampliação ou uma redução
do outro. Em geometria, dizemos que eles são
triângulos semelhantes. Assim:
☞ Dois triângulos são semelhantes quando têm:
♣ Os ângulos respectivamente congruentes;
♣ Os lados correspondentes (são os lados opostos
ao mesmo ângulo) proporcionais;
☞ A razão de semelhança do menor triângulo para
o maior é:
3 4 3,5
1
 
ou seja
(Razão de semelhança)
6 8
7
2
☞ Se a razão de semelhança de dois triângulos é
igual a 1, os triângulos são congruentes.
E
B
☞ Como DE é paralelo a
C
BC , temos:
 
 A  Acomum
 
 D  Bcorrespondentes 
 
 E  C correspond entes

☞
Portanto, os triângulos ADE
semelhantes, o que implica:
e
ABC
são
AD DE AE


AB BC AC
Exemplo 1: Na figura, temos
valor de x.
A
Triângulos semelhantes
Lados proporcionais
DE // BC . Qual o
Exemplo 1: Calcular x:
D
x
12
6
D
A
E
4
E
C
x
3
B
C
B
y
Solução:
⇒ Cálculo de x:
Solução:
☞ Temos que:
x  4 12  6

 12. x  4  x.12  6 
x
12
 12 x  48  18 x  18 x  12 x  48 
48
6 x  48  x 
 x8
6



C  C o. p.v 
  ABC  EDC


A  E reto  
3
6

4
x
 3x  24  x  8
⇒ Cálculo de y:
12  6
y

 12. y  18  16 
12
16
288
y
 y  24
12
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3. CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇA:
⇒ Se dois triângulos possuem dois ângulos
correspondentes congruentes, então eles são
semelhantes.
A
R
B
C



S

Os terceiros ângulos
Serão obrigatoriamente
congruentes
Então:
Resp: 20, 5 metros
T
A  R e B  S  ABC  RST
1. (FRANCO) Uma rampa de inclinação constante,
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais
alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota
que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa
está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.
Calcule quantos metros a pessoa ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da
rampa.
2. (FRANCO) Um edifício projeta uma sombra de 30
m, ao mesmo tempo que um poste de 12 m projeta
uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício,
sabendo que o edifício e o poste são
perpendiculares ao solo ?
Resp: 90 m
semelhante
3. (FRANCO) Calcule o valor de x.
Dois ângulos congruentes
a)
b) 163
c) 204
d) 306
D
136
16
50
x
A
3
3
3
C
EC ?
valor de
E
AB . Qual o
EC paralelo a
4. (FRANCO) Seja
3
75
B
Resp: 8
a)
b)
c)
d)
b)
2
3
4
5
E
15
4
A
6
C
12
x
x
5. (FRANCO) Seja DE paralelo a
lado DE mede:
a)
b)
c)
d)
8
24
7
Resp:
D
4
6
8
12
BC . Então, o
A
4
10
E
D
TESTES
B
1. (FRANCO) Os lados de um triângulo medem,
respectivamente, 7,9 e 14dm. Qual é o perímetro
do triângulo semelhante ao dado cujo lado maior
é de 21dm?
a) 45dm
75dm
b) 55dm
c) 60dm
d)
20
C
6. (FRANCO) Na figura ao lado,
o valor de x é:
B
a)
b)
c)
d)
3
6
9
4, 5
AB// CD . Então,
x
D
3
2. (FRANCO) Na figura ao lado, os triângulos
são semelhantes. Então, o valor de x é:
C
A
12
A
a)
b)
c)
d)
8
10
12
16
4
7. (FRANCO) Na figura ao lado, o valor de x é:
D
15
a)
b)
c)
d)
18
10
x
12
16
18
12,5
4
8
x
2
B
E
F
C
3
3. (FRANCO) Na figura ao lado os segmentos AB
e
CD são paralelos. Quanto mede o segmento
AE ?
a) 136
B
8. (FRANCO) O perímetro do triângulo ABC é:
A
a) 13,25m
b) 14,50m
3m
3,5m
c) 14,55m
d) 15,75m
M
N
4m
a) 12m
7,2m
1,5m
B
C
9. (FRANCO) A medida, em metros, do segmento
AD da figura abaixo é :
a)
b)
c)
d)
10.
4
6
8
10
C
3
A
4
B
Na
figura
c) 2,40m
8
10
8,5
9,5
D
E
C
B
11. (FRANCO) Na figura abaixo a medida de x vale:
A
a) 11,25
10
b) 11,75
c) 12,25
15
d) 12,75
15
x
B
C
20
12. (FRANCO) Dada a figura, sendo o segmento
PQ paralelo ao segmento AB e a medida do
segmento AC igual a 16, calcular x e y.
A
a) x  6 e y  10
x
y5
c) x  3 e y  5
d) x  7 e y  9
b) x  2 e
Q
y
3
B
5
P
C
13. (FRANCO) A sombra de uma árvore mede 4,5m.
À mesma hora, a sombra de um bastão de
0,6m, mantido na vertical, mede 0,4m. A altura da
árvore é:
b) 5m
G A B A R I T O
AC  4cm ,
AB // DE , a
abaixo,
A
14.
b) 1,80m
D
(FRANCO)
a) 3m
6,75m
c) 72m
c) 4,8m
d)
(FRANCO) A sombra de um poste vertical,
projetada pelo sol sobre um chão plano, mede
12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um
bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. A
altura do poste é:
d)
15. (FRANCO) Certa noite, uma moça de 1,50m de
altura estava a 2m de distância de um poste de
4m de altura. O comprimento da sombra da moça
no chão era de:
a) 1,20m
3,20m
2
CE  3cm e BC  5cm . Se
soma DC  AB em centímetros é igual a:
a)
b)
c)
d)
b) 20m
1. A
6. C
11. A
2. C
7. C
12. A
3. C
8. D
13. D
4. D
9. B
14. B
5. C
10. C
15. A
d)