Lista 1 - Algebra Linear Exercícios

Lista 1 - Algebra Linear
Professor: Jeferson Zappelini Petry
Exercícios
1. Determine o posto e a nulidade das matrizes abaixo:


1 −2 3 −1
(a) A = 2 −1 2 3 ;
3 1 2 3

3 −1 5
0 2
0
2. Dada a matriz A = 
2 0 −1
1 1
2




0 2 2
1 −2
1 1 3 
−2 −1


(b) B = 
(c) C = 
3 −4 2;
 3 −1;
2 −3 1
0
1

0
1
 calcule o determinenante de A utilizando:
3
0
(a) Desenvolvimento de Laplace;
(b) Escalonamento.


1 0
0
3. Dada a matriz A = 0 1 1  determine os valores de λ tal que det(A − λI3 ) = 0
0 −1 −1
4. Determine quais das matrizes a seguir são inversíveis, em caso armativo determine a inversa:

1 0 x
(a) A = 1 1 x2  com x 6= 0
2 2 x2


4 −1 2 −2
3 −1 0 0 

(b) B = 
2 3 1 0 
0 7 1 1



1 1 2
(c) C = 2 4 2
1 3 0
(d) D =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
5. Determine o(s) valor(es) para λ de forma que o sistema a seguir seja possível e indeterminado:

λx + y + z = 0
x + λy + z = 0

x + y + λz = 0
6. Determine os valores de a, b, c e d (ou uma relação entre eles) para que o sistema a seguir seja
possível:

x + y + 2z = a



x+z =b
2x + y + 3z = c



−x + y = d

x+y−w =0



x−z+w =2
7. Considere o sistema
, responda:
y + z − w = −3



x + y − 2w = 1
(a) Calcule o posto da matriz dos coecientes e da matriz ampliada;
(b) Classique este sistema, se possível determine sua solução;
(c) Sendo A a matriz dos coecientes deste sistema, analise o sistema AX = 0, este sistema
possui solução? Quantas?
Respostas:
1. (a) pA = 3, null(A) = 0;
(b) pB = 2, null(B) = 1;
(c) pC = 2, null(C) = 0.
2. det(A) = −12;
3. λ = 0 ou λ = 1;
x+2
 x


x − 2
−1
4. (a) det A 6= 0 logo A é inversível para todos x 6= 0, A = 
 x


 2
− 2
x


−1 −1 4 −2

−3 −4 12 −6

(b) det B = 1 logo B é inversível, B −1 = 
 11 14 −43 22 
10 14 −41 21

(c) det C = 0 n?o é inversível;
(d) det D = 1 logo inversível; C
−1
cos θ − sin θ
=
sin θ cos θ
5. λ = 1 ou λ = −2
6. c = a + b e d = a − 2b
7. (a) pA|B = pA = 4
(b) S.P.D. soluç?o x = 2, y = −3, z = −1, w = −1;
(c) Possui uma única soluç?o x = y = z = w = 0
2
−
x
−x + 2
x
2
x2

1
−
x 


−x + 1 

x 


1 
x2