Progressão Aritmética

Nome: ______________________________
Nº ____
Curso: Integrado
Disciplina: Matemática II
2°Ano
Prof. Leonardo
Data:__ /__ /2017
Capítulo 01 – Progressão Aritmética
1.1 - Sequências
Observe a sequência dos anos em foram realizadas Olimpíadas, a partir de 2004:
(𝟐𝟎𝟎𝟒, 𝟐𝟎𝟎𝟖, 𝟐𝟎𝟏𝟐, 𝟐𝟎𝟏𝟔, . . . )
Os parênteses sugerem que estamos trabalhando com um conjunto de números colocados numa certa
ordem. Esses elementos são chamados de termos da sequência. Costuma-se representar cada termo de uma
sequência por uma letra qualquer, normalmente a, acompanhada de um índice que dá a sua posição ou
ordem.
(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , 𝒂𝟒, 𝒂𝟓 , … , 𝒂𝒏 , … )
Por exemplo, na sequência (2004, 2008, 2012, 2016, . . . ), temos:
 Primeiro Termo = 𝒂𝟏 = 𝟐𝟎𝟎𝟒
 Segundo Termo = 𝒂𝟐 = 𝟐𝟎𝟎𝟖
 Terceiro Termo = 𝒂𝟑 = 𝟐𝟎𝟏𝟐
 Quarto Termo = 𝒂𝟒 = 𝟐𝟎𝟏𝟔
e assim sucessivamente.
O enésimo termo 𝑎𝑛 pode representar qualquer termo da sequência. Por exemplo, se 𝑛 = 50, temos
𝑎𝑛 = 𝑎50 e estamos nos referindo ao 50º termo da sequência.
1.2 - Definição de sequência
Matematicamente, denomina-se sequência qualquer função 𝑓 cujo domínio é ℕ∗ .
Exemplo 1
𝑓: ℕ∗ → ℝ definida por 𝑓 (𝑛) = 2𝑛
Substituindo-se 𝑛 pelos números naturais 1,2,3, ... temos:
𝒇(𝟏) = 𝟐. 𝟏 = 𝟐
𝒇(𝟐) = 𝟐. 𝟐 = 𝟒
𝒇(𝟑) = 𝟐. 𝟑 = 𝟔
…
𝒇(𝒏) = 𝟐𝒏
Portanto, a sequência pode ser escrita como (𝟐, 𝟒, 𝟔, … , 𝟐𝒏, … ).
Perceba que há uma lei de formação dos termos de uma sequência. A partir de agora, vamos estudar duas
formas diferentes de definir uma sequência: pelo termo geral e por recorrência.
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1
1.2.1 - Sequência definida pelo termo geral
Cada termo 𝒂𝒏 é calculado em função de sua posição 𝑛 na sequência.
Exemplo 1
Os três primeiros termos da sequência cujo termo geral é 𝑎𝑛 = 𝑛 + 7 são:
𝒂𝟏 = 𝟏 + 𝟕 = 𝟖
𝒂𝟐 = 𝟐 + 𝟕 = 𝟗
𝒂𝟑 = 𝟑 + 𝟕 = 𝟏𝟎
Assim, a sequência que tem como termo geral 𝒂𝒏 = 𝒏 + 𝟕 , é (𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, … ).
1.2.2 - Sequência definida por recorrência
Cada termo da sequência é calculado em função do termo anterior.
Exemplo 1
Na sequência definida por 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 3 em que 𝑎1 = 4, cada termo, exceto o primeiro, é igual ao anterior
adicionado a 3.
𝒂𝟏 = 𝟒
𝒏 = 𝟏 ⇒ 𝒂𝟏+𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝟑 ⇒ 𝒂𝟐 = 𝟒 + 𝟑 ⇒ 𝒂𝟐 = 𝟕
𝒏 = 𝟐 ⇒ 𝒂𝟐+𝟏 = 𝒂𝟐 + 𝟑 ⇒ 𝒂𝟑 = 𝟕 + 𝟑 ⇒ 𝒂𝟑 = 𝟏𝟎
𝒏 = 𝟑 ⇒ 𝒂𝟑+𝟏 = 𝒂𝟑 + 𝟑 ⇒ 𝒂𝟒 = 𝟏𝟎 + 𝟑 ⇒ 𝒂𝟒 = 𝟏𝟑
Portanto, a sequência pode ser escrita como (𝟒, 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, . . . ).
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - Sequências
01. (Fei 1996) Os termos da sequência1,3,6,10, ... são definidos por: 𝑎1 = 1 e 𝑎𝑛 = 𝑛 + 𝑎𝑛−1 para qualquer
𝑛 > 1. A diferença 𝑎30 − 𝑎28 vale:
𝑎) 2
𝑏) 5
𝑐) 30
𝑑) 58
𝑒) 59
02. (Unesp 2002) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere
uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por a n o número de
casais adultos desta colônia ao final de 𝑛 meses. Se 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1 e, para 𝑛 ≥ 2, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 , o
número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será
𝑎) 13.
𝑏) 8.
𝑐) 6.
𝑑) 5.
𝑒) 4.
GABARITO - SEQUÊNCIAS
01
E
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02
D
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2
1.3 - Progressão Aritmética
Observe a sequência dos números naturais ímpares:
(𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, ...)
Note que cada termo, exceto o primeiro, equivale ao anterior adicionado a um número fixo:2.
Sequências como essa são chamadas de progressões aritméticas.
Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, a partir do segundo,
é igual ao anterior somado a uma constante 𝑟, denominada razão da progressão aritmética.
Exemplos
(2,5,8,11,14, ...) é uma PA de razão 3;
(10,8,6,4,2, ...) é uma PA de razão −2.
Uma sequência (𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , 𝒂𝟒, 𝒂𝟓 , … , 𝒂𝒏 , … ) é uma PA quando :
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒓
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝒓
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 + 𝒓
…
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒓
…
Genericamente:
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒓, 𝒏 ∈ ℕ∗
Note que em uma PA, subtraindo-se de cada termo o seu antecessor, obtemos a razão 𝑟:
𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒓 − 𝒂𝟏 = 𝒓
𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒓 − 𝒂𝟐 = 𝒓
𝒂𝟒 − 𝒂𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝒓 − 𝒂𝟑 = 𝒓
…
𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 = 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 = ⋯ = 𝒂𝒏 − 𝒂𝒏−𝟏 = 𝒓
Genericamente:
Assim, para descobrimos qual é a razão de uma PA, basta subtrairmos um termo qualquer de seu antecessor:
Exemplo 1
Qual a razão da PA (6,
11
2
9
, 5, 2) ?
Resolução:
A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Vamos calcular a diferença entre o
3º e o 2º termos:
𝟏𝟏
𝟏
𝒓=𝟓−
=−
𝟐
𝟐
1
Portanto, a razão dessa PA é − 2.
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3
Exemplo 2
3
2
Determine 𝑥 na PA (𝑥, , − ).
2
3
Resolução:
A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Sendo assim, fazemos:
𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 = 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐
𝟑
𝟐 𝟑
𝟑 𝟐 𝟑
𝟐𝟐 𝟏𝟏
−𝒙= − − ⇒𝒙 = + + ⇒ 𝒙=
=
𝟐
𝟑 𝟐
𝟐 𝟑 𝟐
𝟔
𝟑
11
Logo, 𝑥 = 3 .
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Definição de uma Progressão Aritmética
01. (G1 - ifal 2016) Considere que o número de países que passaram a participar dos Jogos Olímpicos em
um dado período de tempo obedeça à seguinte sequência (11, 𝑎, 29, 𝑏, 47) que é uma progressão
aritmética, então a soma 𝑎 + 𝑏 é igual a
𝑎) 49
𝑏) 58
𝑐) 67
𝑑) 76
𝑒) 85
02. (Pucrj 2015) Os números 𝑎1 = 5𝑥 − 5, 𝑎2 = 𝑥 + 14 e 𝑎3 = 6𝑥 − 3 estão em PA. A soma dos 3 números
é igual a:
𝑎) 48
𝑏) 54
𝑐) 72
𝑑) 125
𝑒) 130
03. (Esc. Naval 2014) O quinto termo da progressão aritmética 3 − 𝑥; −𝑥; √9 − 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ é
𝑎) 7
𝑏) 10
𝑐) − 2
𝑑) − √14
𝑒) − 18
1
04. (Udesc 2009) Sejam 𝑥, 𝑦, 𝑧, números reais tais que a sequência (𝑥, 1, 𝑦, 4 , 𝑧) forma, nesta ordem, uma
progressão aritmética, então o valor da soma 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 é:
3
𝑎) −
8
21
8
21
𝑐)
8
𝑑) 2
19
𝑒) −
8
𝑏)
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GABARITO - DEFINIÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
01
03
B
C
02
04
B
C
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – DEFINIÇÃO DE UMA PA com GEOMETRIA PLANA e LOGARITMOS
01. (G1 - ifal 2016) As medidas dos lados de certo triângulo são expressas por (𝑥 + 2) ,(2𝑥 + 1) e (𝑥 2 − 10)
e nessa ordem formam uma progressão aritmética. O perímetro desse triângulo mede
𝑎) 15
𝑏) 21
𝑐) 28
𝑑) 33
𝑒) 40
02. (G1 - ifsul 2015) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por 𝑥 + 1 , 3𝑥 e 𝑥 + 3 estão em
PA nessa ordem. O perímetro do triângulo mede
𝑎) 4
𝑏) 9
𝑐) 14
𝑑) 19
03. (Mackenzie 2016) Se log 2, log(2𝑥 − 1) e log(2𝑥 + 3) nessa ordem, estão em progressão aritmética
crescente, então o valor de 𝑥 é
𝑎) 2
𝑏) 𝑙𝑜𝑔2 3
𝑐) 𝑙𝑜𝑔2 5
𝑑) 23
𝑒) 25
GABARITO - DEFINIÇÃO DE UMA PA com GEOMETRIA PLANA e LOGARITMOS
01
D
02
B
03
C
1.4 – Notação Especial de uma Progressão Aritmética
Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação
com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.
i) P.A de três termos
Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma: (𝑥 – 𝑟 , 𝑥 , 𝑥 + 𝑟)
Exemplo 1
A soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?
Resolução:
Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (𝑥 – 𝑟 , 𝑥 , 𝑥 + 𝑟),comparandoa com as informações do enunciado teremos:
𝒙 – 𝒓 + 𝒙 + 𝒙 + 𝒓 = 𝟕𝟐
𝟑𝒙 = 𝟕𝟐
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5
𝟕𝟐
𝟑
𝒙 = 𝟐𝟒.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o 𝑥, podemos dizer que será igual a 24.
Levando em consideração a segunda informação, teremos:
𝒙 =
(𝒙 – 𝒓) . (𝒙 + 𝒓) = 𝟓𝟔𝟎
𝒙𝟐 – 𝒓𝟐 = 𝟓𝟔𝟎
𝟐𝟒𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟓𝟔𝟎 (−𝟏)
−𝟓𝟕𝟔 + 𝒓𝟐 = −𝟓𝟔𝟎
𝒓𝟐 = − 𝟓𝟔𝟎 + 𝟓𝟕𝟔
𝒓𝟐 = 𝟏𝟔
𝒓 = 𝟒
Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (𝟐𝟎, 𝟐𝟒, 𝟐𝟖).
ii) P.A de quatro termos será escrita da seguinte forma: (𝒙 – 𝟑𝒚 , 𝒙 – 𝒚 , 𝒙 + 𝒚 , 𝒙 + 𝟑𝒚), com 𝒓 = 𝟐𝒚
Exemplo 1
Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a
razão da P.A?
Resolução:
Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (𝑥– 3𝑦 , 𝑥 – 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 , 𝑥 +
3𝑦), com 𝑟 = 2𝑦, comparando-a com as informações do enunciado teremos:
(𝒙 – 𝟑𝒚) + (𝒙 – 𝒚) = 𝟎
𝒙 + 𝒙 – 𝟑𝒚 – 𝒚 = 𝟎
𝟐𝒙 – 𝟒𝒚 = 𝟎
e
(𝒙 + 𝒚) + (𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟖𝟎
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟖𝟎
Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
𝟐𝒙 – 𝟒𝒚 = 𝟎
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟖𝟎
𝟒𝒙 = 𝟖𝟎
𝒙 = 𝟐𝟎
e
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟎
𝟐 . 𝟐𝟎 − 𝟒𝒚 = 𝟎
𝟒𝒚 = 𝟒𝟎
𝒚 = 𝟏𝟎
Como a razão é o dobro do valor de 𝑦: 𝒓 = 𝟐𝟎.
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6
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Notação Especial de uma Progressão Aritmética - Objetivas
01. (Uff 2011) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento
matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos
documentos que resgatam essa história.
Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que
um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.”
Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de
115
𝑎)
𝑝ã𝑒𝑠.
3
55
𝑏)
𝑝ã𝑒𝑠.
6
𝑐) 20 𝑝ã𝑒𝑠.
65
𝑑)
𝑝ã𝑒𝑠.
6
𝑒) 35 𝑝ã𝑒𝑠.
02. (Ufscar 2002) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero.
Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa sequência vale
𝑎) 0.
𝑏) 1.
𝑐) 2.
𝑑) 3.
𝑒) 4 .
03. (Ufpi 2000) Se em uma Progressão Aritmética de razão positiva o produto dos três primeiros termos é
384 e a soma é 24, então o quarto termo é:
𝑎) 0
𝑏) 4
𝑐) 8
𝑑) 12
𝑒) 16
GABARITO – NOTAÇÃO ESPECIAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA - OBJETIVAS
01
A
02
A
03
E
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Notação Especial de uma Progressão Aritmética - Discursivas
01.(G.1) Em uma PA de três elementos, a soma de todos os termos resulta em 54, enquanto o produto do
primeiro pelo segundo termo é 180. Determine os três termos que compõem essa PA.
02.(G.1) Em uma PA de cinco termos, a soma dos dois primeiros termos é sete e a soma dos dois últimos é
25. Determine o primeiro e o último termo da PA.
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7
03.(G.1) Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
GABARITO – NOTAÇÃO ESPECIAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA - DISCURSIVAS
01
𝟏𝟎, 𝟏𝟖, 𝟐𝟔
𝒂𝟏 = 𝟐 /𝒂𝟓 = 𝟏𝟒
02
03
𝟏, 𝟒, 𝟕
1.5 - Propriedades das Progressões Aritméticas
1ª propriedade (Termos Eqüidistantes dos Extremos)
Numa P.A. finita, de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exemplo:
Seja a P. A. (8, 10, 12, 14, 16). Observa-se que:
Os termos 𝑎2 = 10 e 𝑎4 = 14 estão eqüidistantes dos extremos 𝑎1 e 𝑎5 , respectivamente.
Note que: 10 + 14 = 8 + 16 = 24 .
2ª propriedade
Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética entre os extremos.
Exemplo:
Na P. A. (2, 4, 6, 8, 10), temos:
𝒂𝟏 = 𝟐, 𝒂𝟑 = 𝟔, 𝒂𝟓 = 𝟏𝟎
𝒂𝟑 =
𝒂𝟏 + 𝒂𝟓
𝟐 + 𝟏𝟎
⇒ 𝒂𝟑 =
⇒ 𝒂𝟑 = 𝟔
𝟐
𝟐
1.6 - Classificação de uma PA
Uma PA pode ser:
Classificação
Razão
Exemplo
Crescente
𝒓 > 𝟎
Decrescente
𝒓 < 𝟎
(𝟕, 𝟒, 𝟏, −𝟐, −𝟓, . . . )
Constante
𝒓 = 𝟎
(𝟓, 𝟓, 𝟓, 𝟓, 𝟓, 𝟓, . . . )
(𝟏, 𝟓, 𝟗, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, . . . )
𝒓=𝟒
𝒓 = −𝟑
𝒓=𝟎
1.7 - Fórmula do termo geral de uma PA
Já sabemos que numa PA:
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒓
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝒓
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 + 𝒓
…
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒓
…
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8
Note que podemos escrever todos os termos de uma PA em função de e r:
𝒂𝟏
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒓
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝒓 = 𝒂𝟏 + 𝒓 + 𝒓 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒓
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 + 𝒓 = 𝒂𝟏 + 𝒓 + 𝟐𝒓 = 𝒂𝟏 + 𝟑𝒓
…
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓
…
Portanto, o termo geral da PA será dado pela fórmula:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓, 𝑛 ∈ ℕ∗ ,
𝒂𝟏 = Primeiro termo, 𝒂𝒏 = Enésimo termo, 𝑟 = Razão e 𝒏 = número de termos
Exemplo 1
Determine o termo geral da PA (−19, −15, −11, . . . ):
Resolução:
𝒂𝟏 = −𝟏𝟗 𝑒 𝒓 = −𝟏𝟓 − (−𝟏𝟗) = 𝟒
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓 ⇒ 𝒂𝒏 = −𝟏𝟗 + (𝒏 − 𝟏)𝟒
𝒂𝒏 = −𝟏𝟗 + 𝟒𝒏 − 𝟒 ⇒ 𝒂𝒏 = 𝟒𝒏 − 𝟐𝟑
O termo geral da PA (−𝟏𝟗, −𝟏𝟓, −𝟏𝟏, . . . ) é 𝒂𝒏 = 𝟒𝒏 − 𝟐𝟑.
Exemplo 2
Determine o 16º termo da PA (3, 9, 15, . . . ):
Resolução:
𝒂𝟏 = −𝟏𝟗 , 𝒓 = 𝟗 − 𝟑 = 𝟔 𝑒 𝒏 = 𝟏𝟔
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏𝟔 =?
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓 ⇒ 𝒂𝟏𝟔 = 𝟑 + (𝟏𝟔 − 𝟏). 𝟔
𝒂𝟏𝟔 = 3 + 15.6 ⇒ 𝒂𝟏𝟔 = 𝟗𝟑
Portanto, o 16º termo da PA (𝟑, 𝟗, 𝟏𝟓, . . . ) é 𝟗𝟑.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - Termo Geral de uma PA/Classificação de uma PA/Propriedades de uma PA
01. (G1 - ifce 2016) Numa progressão aritmética de razão 3, o sexto termo vale 54 . O septuagésimo sexto
termo dessa sequência é o número
𝑎) 284
𝑏) 264
𝑐) 318
𝑑) 162
𝑒) 228
02. (Eear 2016) A progressão aritmética, cuja fórmula do termo geral é dada por 𝑎𝑛 = 5𝑛 − 18 tem razão
igual a
𝑎) 5
𝑏) 8
𝑐) 5
𝑑) 8
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9
03. (Ueg 2016) No primeiro semestre de 2015, a empresa “Aço Firme” fabricou 28000 chapas metálicas
em janeiro; em fevereiro sua produção começou a cair como uma progressão aritmética decrescente, de
forma que em julho a sua produção foi de 8000 chapas. Nessas condições, a produção da empresa nos
meses de maio e junho totalizou
𝑎) 33600 𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠
𝑏) 32400 𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠
𝑐) 37200 𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠
𝑑) 24400 𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠
𝑒) 22600 𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠
04. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Suponha que, em certo país, observou-se que o número de exames
por imagem, em milhões por ano, havia crescido segundo os termos de uma progressão aritmética de razão
6, chegando a 94 milhões/ano ao final de 10 anos. Nessas condições, o aumento percentual do número de
tais exames, desde o ano da observação até ao final do período considerado, foi de
𝑎) 130%
𝑏) 135%
𝑐) 136%
𝑑) 138%
05. (Ufrgs 2014) Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois pontos adjacentes, na horizontal ou vertical,
encontram-se a distância de 1 centímetro.
Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da
vigésima etapa, em cm2 é
𝑎) 100.
𝑏) 200.
𝑐) 400.
𝑑) 800.
06. (Uftm 2012) Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma P.A. crescente
de 12 termos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é 𝑅$ 500,00 e o da 12ª é 𝑅$ 2.150,00, pode-se concluir
que o valor da 10ª prestação será igual a
𝑎) 𝑅$ 1.750,00.
𝑏) 𝑅$ 1.800,00.
𝑐) 𝑅$ 1.850,00.
𝑑) 𝑅$ 1.900,00.
𝑒) 𝑅$ 1.950,00.
07. (Acafe 2012) Em janeiro de 2010, certa indústria deu férias coletivas a seus funcionários, e a partir de
fevereiro recomeçou sua produção. Considere que a cada mês essa produção cresceu em progressão
aritmética, que a diferença de produção dos meses de abril e outubro de 2010 foi de 420 itens, e que em
outubro a produção foi de 1.120 itens. Desta forma, pode-se concluir que o número de itens produzidos em
agosto de 2010 foi:
𝑎) 1.040
𝑏) 910
𝑐) 820
𝑑) 980
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10
08. (Unicamp 2011) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou
4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida
por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e
cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura,
podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contém
𝑎) 76 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠.
𝑏) 156 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠.
𝑐) 112 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠.
𝑑) 148 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠.
09. (Unemat 2010) Dado uma PA cujo 𝑎1 é o quádruplo de sua razão e 𝑎20 é igual a 69, sua razão será:
𝑎) 2
𝑏) 6
𝑐) 4
𝑑) 5
𝑒) 3
GABARITO – TERMO GERAL DE UMA PA/CLASSIFICAÇÃO DE UMA PA/PROPRIEDADES DE UMA PA
01
04
07
B
B
D
02
05
08
C
D
D
03
06
09
C
C
E
1.8 – Interpolação Aritmética
Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabelecer uma P.A. que possui determinado o 1º termo
(𝑎1 ) e o último termo (𝑎𝑛 ). Para interpolar os termos precisamos estabelecer a razão da P.A., para que
assim possamos construí-la. Observe:
Exemplo 1
Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que 𝑎1 = 7 e 𝑎8 = 42.
Resolução:
Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 – 1). 𝑟
𝑎8 = 7 + (8 – 1). 𝑟
42 = 7 + 7𝑟
42 – 7 = 7𝑟
35 = 7𝑟
35
𝑟 =
7
𝑟 = 5
A progressão aritmética será (𝟕, 𝟏𝟐, 𝟏𝟕, 𝟐𝟐, 𝟐𝟕, 𝟑𝟐, 𝟑𝟕, 𝟒𝟐) .
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11
Exemplo 2
Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401?
Resolução:
Sabemos que a sequência dos múltiplos de 4 é uma P.A. de razão 4, (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, . . . ). O que
vamos analisar é essa sequência entre 101 e 401.
O primeiro múltiplo de 4 maior que 101 é o 104, então consideraremos 𝑎1 = 104.
O último múltiplo de 4 pertencente ao intervalo é o 400, portanto 𝑎𝑛 = 400.
De acordo com a expressão do termo geral de uma P.A., temos:
𝑎𝑛 = 400
𝑎1 = 104
𝑟 = 4
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 – 1). 𝑟
400 = 104 + (𝑛 – 1). 4
400 = 104 + 4𝑛 – 4
400 + 4 – 104 = 4𝑛
300 = 4𝑛
300
𝑛 =
4
𝑛 = 75
Podemos concluir que entre 101 e 401, existem 75 números múltiplos de 4.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Interpolação Aritmética - Objetivas
01. (Uefs 2016) A soma de todos os números inteiros de 1 a 1000 que não são múltiplos de 9 é igual a
𝑎) 444556
𝑏) 444889
𝑐) 445333
𝑑) 445722
𝑒) 446329
02. (Unisc 2015) A quantidade de números pares existentes entre 18 e 272 é
a)124
a)125
a)126
a)127
a)128
03. (Pucrj 2015) A soma dos números inteiros compreendidos entre 100 e 400, que possuem o algarismo
das unidades igual a 4, é:
𝑎) 1200
𝑏) 2560
𝑐) 4980
𝑑) 6420
𝑒) 7470
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04. (Pucrj 2014) A soma de todos os números naturais pares de três algarismos é:
𝑎) 244888
𝑏) 100000
𝑐) 247050
𝑑) 204040
𝑒) 204000
05. (G1 - utfpr 2013) A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos números
3 e 4 ao mesmo tempo é:
𝑎) 3.
𝑏) 4.
𝑐) 5.
𝑑) 13.
𝑒) 17.
06. (Unioeste 2012) Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000?
𝑎) 65.
𝑏) 80.
𝑐) 69.
𝑑) 49.
𝑒) 67.
GABARITO – INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA - OBJETIVAS
01
04
A
C
02
05
C
B
03
06
E
C
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Interpolação Aritmética - Discursivas
01. (Pucrj 2015)
a) Quantos múltiplos de 13 há entre 100 e 200?
b) Quantos múltiplos de 17 há entre 1000 e 2000?
GABARITO – INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA - DISCURSIVAS
𝒂) 𝟖 e b) 59
01
1.9 - Soma dos Termos de uma P.A finita
Dada a PA (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛−2 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 ), que possui 𝑛 termos, observe que o primeiro termo é 𝑎1 , o segundo
é 𝑎2 , …, o penúltimo é 𝑎𝑛−1 e o último é 𝑎𝑛 .
Representando a soma desses termos por 𝑆𝑛 , teremos a seguinte expressão:
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de
termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique
abaixo do segundo e assim por diante.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + … + 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1
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13
Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
+ 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + … + 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1
2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) + (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) + … + (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) + (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) + (𝑎𝑛 + 𝑎1 )
Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos
do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a 1 + an). Observe:
2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + . . . + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 )
Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui
exatamente os 𝑛 termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de
uma mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes
de somá-los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por 𝑛, que é o número
inicial de termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida:
2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + . . . + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 )
2𝑆𝑛 = 𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛 )
(𝑎1 + 𝑎𝑛 ). 𝑛
𝑆𝑛 =
2
Exemplo 1
Qual a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, . . . ) ?
Resolução:
𝒂𝟏 = 𝟏 , 𝒓 = 𝟑 𝑒 𝒏 = 𝟏𝟎
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏𝟎 =?
Primeiramente, temos de descobrir qual é o 10º termo dessa PA:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓 ⇒ 𝒂𝟏𝟎 = 𝟏 + (𝟏𝟎 − 𝟏). 𝟑
𝒂𝟏𝟎 = 𝟏 + 𝟗. 𝟑 ⇒ 𝒂𝟏𝟎 = 𝟐𝟖
Conhecendo o valor do 10º termo, podemos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa PA:
(𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ). 𝒏
(𝟏 + 𝟐𝟖). 𝟏𝟎
𝑺𝒏 =
⇒ 𝑺𝟏𝟎 =
⇒ 𝑺𝟏𝟎 = 𝟏𝟒𝟓
𝟐
𝟐
Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, . . . ) é 145.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Soma do termos de uma Progressão Aritmética
01. (Fatec 2016) Em 2015, um arranha-céu de 204 metros de altura foi construído na China em somente
19 dias, utilizando um modelo de arquitetura modular pré-fabricada. Suponha que o total de metros de
altura construídos desse prédio varie diariamente, de acordo com uma Progressão Aritmética (PA), de
primeiro termo igual a 12,5 metros (altura construída durante o primeiro dia), e o último termo da PA igual
a 𝑥 metros (altura construída durante o último dia). Com base nessas informações, o valor de 𝑥 é,
aproximadamente,
𝑎) 7,5
𝑏) 8,0
𝑐) 8,5
𝑑) 9,0
𝑒) 9,5
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14
02. (G1 - ifal 2016) Em uma apresentação circense, forma-se uma pirâmide humana com uma pessoa no
topo sustentada por duas outras que são sustentadas por mais três e assim sucessivamente. Quantas
pessoas são necessárias para formar uma pirâmide com oito filas de pessoas, da base ao topo?
𝑎) 8
𝑏) 16
𝑐) 28
𝑑) 36
𝑒) 45
03. (Puccamp 2016) Um jogo de boliche é jogado com 10 pinos dispostos em quatro linhas, como mostra a
figura abaixo.
fosse inventado um outro jogo, semelhante ao boliche, no qual houvesse um número maior de pinos,
dispostos da mesma forma, e ao todo com 50 linhas, o número de pinos necessários seria igual a
𝑎) 1125
𝑏) 2525
𝑐) 2550
𝑑) 1625
𝑒) 1275
04. (G1 - ifsul 2016) A sequência (−30, −27, −24, −21, … ) mantém esse padrão de comportamento para
um determinado número de termos n. A soma destes n termos vale zero. Qual é esse número de termos?
𝑎) 19
𝑏) 20
𝑐) 21
𝑑) 22
05. (Imed 2016) Em uma determinada Universidade, o cronograma de matrícula aos estudantes calouros é
organizado de acordo com a classificação no curso da graduação. No primeiro dia, são matriculados oito
estudantes calouros, no segundo dia, 11, no terceiro, 14 e assim sucessivamente, formando uma progressão
aritmética. Nessa situação, ao final do sétimo dia, o número total de novos estudantes matriculados até o
momento é igual a:
𝑎) 119
𝑏) 164
𝑐) 225
𝑑) 239
𝑒) 343
06. (Upe-ssa 2 2016) Brincando de construir sequências numéricas, Marta descobriu que em uma
determinada progressão aritmética, a soma dos cinquenta primeiros termos é 𝑆50 = 2550 . Se o primeiro
termo dessa progressão é 𝑎1 = 2 , qual o valor que ela irá encontrar fazendo a soma 𝑆27 + 𝑆12 ?
𝑎) 312
𝑏) 356
𝑐) 410
𝑑) 756
𝑒) 912
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15
07. (G1 - ifpe 2016) Na fabricação de mesas de reunião, uma fábrica trabalha com vários modelos e
tamanhos. As mesas redondas são todas acompanhadas com uma certa quantidade de poltronas a depender
do tamanho da mesa, conforme a figura abaixo:
O primeiro modelo acompanha 3 poltronas, o segundo modelo acompanha 6 poltronas, o terceiro,
9 poltronas e assim sucessivamente, isto é, sempre um modelo de mesa acompanha 3 poltronas a mais em
relação ao modelo anterior. Um cliente adquiriu uma unidade de cada um dos 10 primeiros modelos de
mesa circular. Como todo patrimônio da sua empresa é identificado a partir de uma etiqueta adesiva,
quantos adesivos devem ser confeccionados para que cada uma das mesas e poltronas adquiridas seja
devidamente etiquetada?
a) 165
b) 175
c) 30
d) 40
e) 10
08. (G1 - ifsul 2016) A soma dos doze primeiros termos de uma Progressão Aritmética formada por números
reais é 243 .Considerando que o sétimo termo é 22 a razão 𝑟 ,com 𝑟 ∈ ℝ será
a) 1 < 𝑟 < 2
b) 2 < 𝑟 < 3
c) 3 < 𝑟 < 4
d) 4 < 𝑟 < 5
09. (Pucpr 2015) Um consumidor, ao adquirir um automóvel, assumiu um empréstimo no valor total de
𝑅$ 42000,00 (já somados juros e encargos). Esse valor foi pago em 20 parcelas, formando uma progressão
aritmética decrescente. Dado que na segunda prestação foi pago o valor de 𝑅$ 3800,00 , a razão desta
progressão aritmética é:
a) −300
b) −200
c) −150
d) −100
e) −3500
10. (Unesp 2013) A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3𝑛2 − 2𝑛, onde
𝑛 é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente,
𝑎) 7 𝑒 1.
𝑏) 1 𝑒 6.
𝑐) 6 𝑒 1.
𝑑) 1 𝑒 7.
𝑒) 6 𝑒 7.
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16
11. (Espcex (Aman) 2013) Em uma progressão aritmética, a soma 𝑆𝑛 de seus n primeiros termos é dada pela
expressão 𝑆𝑛 = 5𝑛2 − 12𝑛 , com 𝑛 ∈ ℕ∗ . A razão dessa progressão é
𝑎) – 2
𝑏) 4
𝑐) 8
𝑑) 10
𝑒) 12
12. (Udesc 2012) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela expressão
𝑆𝑛 = 93𝑛 − 4𝑛2 , então a sua razão e o seu terceiro termo são iguais, respectivamente, a:
𝑎) − 8 𝑒 73
𝑏) 8 𝑒 105
𝑐) − 8 𝑒 243
𝑑) 8 𝑒 81
𝑒) 81 𝑒 251
GABARITO – SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
01
04
07
10
D
C
B
B
02
05
08
11
D
A
C
D
03
06
09
12
E
E
B
A
1.10 – Progressão Aritmética de 𝟐ª Ordem
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência na qual as diferenças entre cada par de
termos ∆𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 formam, entre si, uma progressão aritmética não estacionária.
EXEMPLO 1
A sequência (𝑎𝑛 ) = (1,3,6,10,15,21, … )
é uma progressão aritmética de
segunda ordem porque a sequência das diferenças entre seus termos ∆𝑎𝑛 = (2,3,4,5,6, … ) é uma
progressão aritmética não estacionária.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Progressão Aritmética de 𝟐ª Ordem - Objetivas
01.(G.1) “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma
de triângulos equiláteros. E conveniente definir 1 como o primeiro numero triangular. Apresentamos a
seguir os primeiros números triangulares. Se 𝑇𝑛 representa o 𝑛-ésimo número triangular, então
𝑇1 = 1 , 𝑇2 = 3, 𝑇3 = 6, 𝑇4 = 10, e assim por diante. O valor de 𝑇100 é igual a:
𝑎) 5050
𝑏) 4950
𝑐) 2181
𝑑) 1458
GABARITO – PROGRESSÃO ARITMÉTICA DE 𝟐ª ORDEM - OBJETIVAS
01
A
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17
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Progressão Aritmética de 𝟐ª Ordem - Discursivas
01.(G.1) Dada a sequência 1, 5, 13, 25, 41. .. determine o valor do termo geral 𝑎𝑛 em função de 𝑛.
GABARITO – PROGRESSÃO ARITMÉTICA DE 𝟐ª ORDEM - DISCURSIVAS
01
𝒂𝒏 = 𝟐𝒏𝟐 − 𝟐𝒏 + 𝟏
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - ENEM
01. (Enem 2ª aplicação 2016) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a sincronia de movimentos dos
alunos de uma de suas turmas, um professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e
C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2𝑠 os alunos do
grupo B deveriam bater palmas a cada 3𝑠 e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4𝑠.
O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando ele registrou 1𝑠 . Os
movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 60𝑠.Um estagiário anotou no papel a sequência
formada pelos instantes em que os três grupos bateram palmas simultaneamente.
Qual é o termo geral da sequência anotada?
a) 12𝑛, com 𝑛 um número natural, tal que 1 ≤ 𝑛 ≤ 5.
b) 24𝑛, com 𝑛 um número natural, tal que 1 ≤ 𝑛 ≤ 2.
c) 12(𝑛 − 1), com 𝑛 um número natural, tal que 1 ≤ 𝑛 ≤ 6.
d) 12(𝑛 − 1) + 1, com 𝑛 um número natural, tal que 1 ≤ 𝑛 ≤ 5.
e) 24(𝑛 − 1) + 1, com 𝑛 um número natural, tal que 1 ≤ 𝑛 ≤ 3.
02. (Enem 2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um
edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1,3,5,7 e assim sucessivamente, de dois em
dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1,4,7,10 e assim sucessivamente, de três em
três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o
mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da
execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por
João e Pedro.Qual é o número de andares desse edifício?
𝑎) 40
𝑏) 60
𝑐) 100
𝑑) 115
𝑒) 120
03. (Enem 2ª aplicação 2016) Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários
quadrados diferentes, dispostos em sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura.
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 𝑐𝑚 o segundo quadrado tem lado medindo 2 𝑐𝑚 o
terceiro 3 𝑐𝑚 e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado
da sequência excede a área do quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição 𝑛 , na sequência,
foi representada por 𝐴𝑛 . Para 𝑛 ≥ 2, o valor da diferença 𝐴𝑛 − 𝐴𝑛−1 , em centímetro quadrado, é igual a
𝑎) 2𝑛 − 1
𝑏) 2𝑛 + 1
𝑐) − 2𝑛 + 1
𝑑) (𝑛 − 1)2
𝑒) 𝑛2 − 1
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18
04. (Enem PPL 2014) Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da seguinte maneira:
no primeiro dia, pedalará 60 𝑘𝑚 no segundo dia, a mesma distância do primeiro mais 𝑟 𝑘𝑚 no terceiro dia,
a mesma distância do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância
do dia anterior mais 𝑟 𝑘𝑚. No último dia, ele deverá percorrer 180𝑘𝑚 completando o treinamento com um
total de 1560𝑘𝑚 . A distância 𝑟 que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em 𝑘𝑚 é
𝑎) 3
𝑏) 7
𝑐) 10
𝑑) 13
𝑒) 20
05. (Enem PPL 2013) Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário:
correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar
seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos.
Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser
colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados. Se esse
atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá
armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?
𝑎) 7
𝑏) 8
𝑐) 9
𝑑) 12
𝑒) 13
06. (Enem 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012– 2021, em uma determinada
região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro
apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de
acordo com essa projeção.
Ano
Projeção da produção (t)
2012
50,25
2013
51,50
2014
52,75
2015
54,00
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de
𝑎) 497,25.
𝑏) 500,85.
𝑐) 502,87.
𝑑) 558,75.
𝑒) 563,25.
07. (Enem 2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência,
que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma
carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim
sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas
não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é
𝑎) 21.
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19
𝑏) 24.
𝑐) 26.
𝑑) 28.
𝑒) 31.
08. (Enem 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano
passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em
março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
𝑎) 38 000
𝑏) 40 500
𝑐) 41 000
𝑑) 42 000
𝑒) 48 000
09. (Enem 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante
para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada
figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das
figuras está representada a seguir.
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
𝑎) 𝐶 = 4𝑄
𝑏) 𝐶 = 3𝑄 + 1
𝑐) 𝐶 = 4𝑄 – 1
𝑑) 𝐶 = 𝑄 + 3
𝑒) 𝐶 = 4𝑄 – 2
10. (Enem 2ª aplicação 2010) O trabalho em empresas de exige dos profissionais conhecimentos de
diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos
na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal.
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150
linhas.
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta:
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas.
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas.
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas.
Funcionário IV: aproximadamente 22 500 estrelas.
Funcionário V: aproximadamente 22 800 estrelas.
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20
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
11. (Enem 2ª aplicação 2010) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no
assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros
benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento
financeiro.
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e
aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa
atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta
cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos,
pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente,
𝑎) 12 𝑑𝑖𝑎𝑠.
𝑏) 13 𝑑𝑖𝑎𝑠.
𝑐) 14 𝑑𝑖𝑎𝑠.
𝑑) 15 𝑑𝑖𝑎𝑠.
𝑒) 16 𝑑𝑖𝑎𝑠.
GABARITO - ENEM
01
04
07
10
D
C
B
B
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02
05
08
11
D
B
D
C
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03
06
09
12
A
D
B
D
21