MB 5 – Expressões Algébricas

MATEMÁTICA BÁSICA 5
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS - EQUAÇÕES
A expressão numérica é aquela que apresenta uma sequência de operações e de números.
Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para representar números desconhecidos
ou para generalizar propriedades e fórmulas, por exemplo.
As expressões algébricas e as letras são as variáveis.
Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo
Em linguagem matemática, essa proprieade pode ser escrita da seguinte maneira: x . 1 = x
Onde x representa um número natural qualquer.
Veja o Exemplo:
Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará, após alguns
dias de trabalho, podemos escrever a expressão algébrica: 20 . X
Onde x representa o número de dias trabalhados.
Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00
Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00
Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa, por meio da multiplicação
da variável x pelo número de dias trabalhados.
Observações:
1 - Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplicação, veja:
2 . X se escreve 2x
a . B se escreve ab
2 - Podemso ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda sem variável:
2xy
Expressão com duas variáveis: x e y
5abc
Expressão com três variáveis: a,b e c
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Expressão sem variável
Valor Númérico
Quando substituímos as variáveis de uma expressão por números e efetuamos as operaçãos indicadas,
o resultado encontrado é o valor numérico da expressão.
O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por exemplo é:
5.2 + 4 = 10 + 4 = 14
Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda qual a área da figura para as
dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm.
a
O valor numérico de ab é:
2,5 x 4 = 10
Logo, a área do retângulo é 10 cm
b
As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre os números e as variáveis, são
chamadas de monômios. Por exemplo: 6x, 3x2y2 , ab, 10 etc.
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A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada por letras é a parte literal.
De acoedo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e parte literal de cada monômio:
6x
coeficiente: 6
parte literal: x
2 2
3x y
coeficiente: 3
parte literal: x2 y2
ab
coeficiente: 1
parte literal: ab
10
coeficiente: 10
parte literal: não tem
Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes diferentes são chamados de
monômios semelhantes.
Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso contrário, a adição e a subtração
serão apenas indicadas e não efetuadas.
A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios:
4xy + 7xy - 5xy = (4 + 7 - 5)xy = 6xy
Veja outro exemplo:
No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De acordo com a figura, vamos
determinar a expressão algébrica mais simples (com menos termos) que representa o perímetro desse
retângulo.
x-3
2x + 1
O perímetro de um retângulo é calculado somando-se as medidas de seus lados:
2(2x + 1) + 2(x - 3) =
Propriedade distributiva da multiplicação
4x + 2 + 2x - 6
Propriedade comutativa da adição
4x + 2x + 2 - 6
Efetuando-se as operações dos monômios semelhantes
Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro do retângulo é 6x - 4
Polinômios
Uma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamada de polinômio (poli = muitos)
Uma expressão como 4a2 - 7ab + b2 - 2a2 - ab - b2 é um polínômio formado por seis monômios ou
termos. Como existem termos semelhantes nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações
indicadas na sequência:
4a2 - 7ab + b2 - 2a2 - ab - b2
2
2
2
2
4a - 2a - 7ab - ab + b - b
2
2a - 8ab + 0
2
2a - 8ab
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A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois os termos restantes não
podem mais ser efetuados.
Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos semelhantes.
2
2
2
2
Somando o polinômio 3x - 4xy + y com - x - 2xy + 4y , temos:
(3x2 - 4xy + y2) + (-x2 - 2xy + 4y2) =
Retirar os parênteses
2
2
2
2
3x - 4xy + y - x - 2xy + 4y =
Aplicar a propriedade comutativa
3x2 - x2 - 4xy - 2xy + y2 + 4y2 =
Reduzir os termos semelhantes
2
2
2x - 6xy + 5y =
Somar os dois polinômios
No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo:
(-14ab + 7a) - (-12ab + 6a) =
Retirando os parênteses e trocam os sinais do 2° polinô
-14ab + 7a + 12ab - 6a =
-14ab + 12ab + 7a - 6a =
-2ab + a
Diferença dos dois polinômios
EQUAÇÕES
É preciso que você saiba o significado de:
equação
incógnita de uma equação
membros de uma equação
termos de uma equação
A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a resolução de certos problemas. Vejamos:
Exemplo 1
Dois pacotes juntos pesam 22kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a amis que o menor?
Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidas usando a álgebra.
Neste caso, temos:
Pacote menor = x
Onde x representa o peso do pacote menor.
pacote maior = x + 6
Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22
Efetuando as devidas equações:
x + (x + 6) = 22
x + x + 6 = 22
2x + 6 = 22
2x + 6 - 6 = 22 - 6
2x = 22 - 6
2x = 16
2x = 16
2
2
x = 16
2
x=8
Eliminar os parênteses
Somar os termos semelhantes
Subtrair 6 nos dois membros
Efetuar a divisão por 2, nos dois membros
Desse modo, o peso do pacote menor é de 8kg e do pacote maior é de
8 + 6 = 14kg.
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A equação e a operação inversa
Na prática, não costumamos resolver uma equação pensando numa balança, nem fazendo todas as
operações.
Observe que quando subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima, zeramos o 6 que estava no
primeiro membro:
2x + 6 - 6 = 22 - 6
0
2x = 22 - 6
Por isso, dizemos simplesmente que o 6 passa para o outro lado e muda de sinal.
Da mesma forma, costumamos dizer que o 2 que está multiplicando um termo no primeiro membro,
passa para o segundo membro dividindo.
2x = 16
x = 16
x=8
2
É importante observar que nessa regra de "passar para o outro lado", está embutido um conceito matemático chamado operação inversa.
A operação inversa da adição é a subtração:
+ 6 virou - 6
A operação inversa da multiplicação é a divisão:
x 2 virou : 2
Vejamos outro exemplo, que faz uso do conceito de operação inversa, para resolver a equação:
Exemplo 2
Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra
qual é esse número.
Um número:
x
Quádruplo do número:
4x
Equação correspondente:
4x + 9 = x + 6
Resolução:
4x + 9 = x + 6
4x - x = 6 - 9
3x = -3
x= -3
3
x= - 1
Portanto o número procurado é -1.
passar + 9 para o segundo membro (fica -9) e + x para o primeiro
membro (fica - x).
como a operação inversa de : 3 é x 3, temos:
A VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO
A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a
verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja:
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4x + 9 = x + 6
4(-1) + 9 = -1 + 6
- 4 + 9 = -1 + 6
5=5
substituindo x por -1
Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x + 9 = x + 6 verdadeira. Experimente substituir x por outro
valor, e veja o que acontece.
A raiz de uma equação
A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática,
de raiz da equação.
x = -1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6
EXEMPLO 3
Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias
juntas custam R$ 64,00?
Equacionando o problema:
Preço da cadeira: x
Preço da estante: 3x
Equação correspondente: x + 3x = 64
Resolução:
x + 3x = 64
4x = 64
x= 64
4
x = 16
VERIFICAÇÃO DA RAIZ
16 + 3 . 16 = 64
16 + 48 = 64
64 = 64
A estante custa R$ 48,00
Fontes:
Telecurso Matemática – Ensino Médio – Volume I e II – Rio de Janeiro - Fundação Roberto
Marinho, 2008
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