título todo em letras maiúsculas no estilo

DECOMPOSIÇÃO ELETRÔNICA DA SÉRIE DE FOURIER
TADEU G, DA SILVA
Engenharia Elétrica, Faculdades Santo Agostinho
Av. Osmane Brabosa, 937 Bairro: JK - Montes Claros MG CEP.: 39404-006
E-mails: [email protected]
JOÃO B, TEIXEIRA
Engenharia Elétrica, Faculdades Santo Agostinho
Av. Osmane Brabosa, 937 Bairro: JK - Montes Claros MG CEP.: 39404-006
E-mails: [email protected]
Abstract This article aims to form a periodic signal, such as "square wave", from the sum of a series of sinusoidal signals and cosinusoidais with frequencies, amplitudes and phases defined by the expressions developed by Fourier and demonstrate how an
electronic circuit can perform this task using a simulation software .
KeywordsResistor, adder, inverter, Operational Amplifier, Signal,
scope, Gain, Key Switch Simulator, Fourier, Fourier Serie’s.
Signal
Generator, Source
Voltage,
Phase,
Oscillo-
Resumo Este artigo se propõe a formar um sinal periódico, tipo “onda quadrada”, a partir da soma de uma série de sinais senoidais e
cossenoidais com freqüências, fases e amplitudes definidos a partir das expressões elaboradas por Fourier e demonstrar como um circuito
eletrônico pode executar esta tarefa usando um software de simulação.
Palavras-chaveResistor, Somador, Inversor, Amplificador Operacional, Gerador de Sinal, Fonte de Tensão, Fase, Osciloscópio,
Ganho, Chave de comutação, simulador, Séries de Fourier.
T
1
ao 
2
f (t )dt ,
T 0
an 
2
f (t ). cos(nwot )dt
T 0
bn 
2
f (t ).sen(nwot )dt
T 0
Introdução
Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, 21 de
março de 1768 — Paris, 16 de maio de 1830) foi
um matemático e físico francês, celebrado por iniciar a
investigação sobre a decomposição de funções
periódicas em séries trigonométricas convergentes
chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos
problemas da condução do calor. A Transformada de
Fourier foi designada em sua homenagem.
Este artigo se propõe a formar um sinal periódico,
tipo “onda quadrada”, a partir da soma de uma série de
sinais senoidais e cossenoidais com freqüências, fases e
amplitudes definidos a partir das expressões elaboradas
por Fourier e demonstrar como um circuito eletrônico
pode executar esta tarefa usando um software de
simulação. O “MULTISIM” da National Instruments, é
um software típico para isto.
2 A Série de Fourier
A Série de Fourier é válida para sinais periódicos
do tipo f(t)=f(t+T) e é definida como:


1
f (t )  ao   an. cos( nwot )   bn.sen (nwot ) (1)
2
n 1
n 1
Onde “ao”, “an” e “bn” são os coeficientes de Fourier e
são definidos como:
(2)
T
(3) e
T
(4)
Onde:
“n” é um número inteiro a partir de 1 até infinito.
“T” é o período do sinal fundamental.
“ o ” é a velocidade angular, ou 2
T
Como a Série de Fourier é a soma dos senos e cossenos
definidos em (1), pode-se escrever:
f (t )  (1 / 2)ao  a1cos(1wot )  a 2 cos( 2wot )  a3 cos(3wot )  ...
b1sen (1wot )  b 2 sen (2 wot )  b3sen (3wot )  ...
(5)
Os pontinhos (...) significam que a série de somas de
senos e cossenos continuam até o infinito. Neste caso
se limita até o valor de “n” onde seja satisfatório para a
composição do sinal fundamental que se deseja obter.
3 A Série de Fourier de um sinal quadrado
f(t) = 1 se 0 < t < 1 e f(t)= 0 se 0 < t < 2
e
f(t) = f(t + T)
A0/2 é o valor médio da tensão do sinal fundamental e
é uma componente de tensão contínua presente na
função.
O valor da tensão contínua é a metade da tensão
desejada para o degrau, como se segue:
Vmédio = 1 V /2 = 0,5 V
(7)
Os demais termos são os componentes senoidais como
se segue:
v (t ) 
Figura 1 – Sinal Quadrado
Calculando os coeficientes de Fourier conforme as
fórmulas (2), (3) e (4) obtemos:
a0  1 ,
(8)
Considerando que a tensão de pico do sinal senoidal
ocorre a 90º ou em

2
teremos Vp  2 , pois o seno
n
de 90º é 1.
an  0 ,
bn 
2 sennt
(
)
n

Desta forma os demais termos senoidais têm a tensão
de pico calculada como sendo:
2 para “n” impar e
n
Vpn 
bn  0 para “n” par.
2sen( / 2).1V
n
(9)
Este sinal quadrado pode ser composto, ou construído,
tendo como princípio a Série de Fourier definida em
(5).
Seguindo o raciocínio, para n=1 tem-se Vp=0,636 V,
para n=3 tem-se Vp=0,212 V e assim por diante, até
quantos termos se desejar somar para a composição do
sinal.
Substituindo na equação (5) os coeficientes de Fourier
obtidos anteriormente tem-se a série:
A freqüência fundamental é dada por
de cada termo é dada por:
f (t ) 
1
2 sen1t
sen3t
sen5t
(1) 
(


 ...)
2

1
3
5
(6)
Obs.: Os termos cossenoidais foram anulados, pois
an=0.
Nota-se que só são somados os termos senoidais com
“n” impar, pois “n” par faz bn=0.
fn  nt ,
t
e a freqüência
(10)
Neste caso, para o sinal escolhido de 1 kHz, cada
termo terá freqüência igual a:
fn  n.1kHz
(11)
Ou seja, para n = 1, fn = 1kHz, para n = 3, fn = 3kHz, e
assim por diante, até quantos termos se desejar somar
na Série de Fourier.
4 A composição eletrônica do sinal quadrado
Indo ao que se propõe este artigo, a definição dos
termos de sinais senoidais para a composição de um
sinal quadrado com as características:
Tensão do degrau = 1 Volt
Freqüência fundamental = 1 kHz
Cada um dos termos da série de Fourier é obtido da
expressão (6) da seguinte maneira:
A fase dos sinais em cada termo é 0º, pois os sinais são
senoidais e devem ser sincronizados.
Agora está tudo pronto para a composição do sinal
quadrado da Série de Fourier eletronicamente no
simulador MULTISIM, que dará origem ao sinal
quadrado de 1 Volt de degrau e freqüência fundamental
de 1 kHz.
5 A simulação do circuito somador de Fourier
A figura 1 mostra o a interface do simulador
MULTISIM com o circuito do Somador.
O circuito eletrônico do somador proposto é composto
basicamente por um amplificador operacional montado
na configuração “Somador Inversor” de ganho unitário.
Um segundo amplificador operacional é usado na
mesma configuração com a finalidade de se inverter
novamente o sinal. Nesta simulação soma-se o valor
médio de “ao”, que é um sinal de tensão contínua igual
a 0.5 V, e nove sinais senoidais calculados para cada
termo subseqüente, com seus respectivos valores de
Fase (0°), Tensões de pico Vp equivalentes conforme
expressão ( 9) e Freqüências equivalentes conforme
expressão (11). Os sinais senoidais são gerados por
fontes independentes, porém sincronizadas pelo
simulador.
Cada sinal de entrada do somador é conectado através
de uma chave de comutação manual (key), de modo
que se pode estudar o sinal de saída do circuito para a
adição de cada termo na série.
Para analisar o funcionamento do circuito usa-se um
osciloscópio de quatro canais. Assim pode-se analisar o
sinal de saída (Sinal composto de Fourier) em função
da somatória dos termos na entrada do circuito.
Figura 1 – Interface do Simulador com o circuito do Somador de Fourier.
6 Análise do sinal composto para até 4 termos de
sinais de entrada.
Agora a formação do sinal de saída do somador com a
adição seqüencial dos três primeiros sinais (termos) da
série de Fourier para o sinal quadrado que desejamos
compor.
A figura 2 mostra a tela captura pelo osciloscópio do
sinal de saída do somador em função do sinal “a0” de
0.5 V. Observa-se que o sinal de saída no osciloscópio
é uma linha contínua no tempo e de valor igual a 0.5
Vcc.
Figura 2 – Saída do somador para a0=0.5 V
A figura 3 mostra a tela de captura pelo osciloscópio do
sinal de saída do somador em função da adição do
segundo sinal (termo) da série. Nota-se que este sinal é
senoidal, de freqüência igual a 1 kHz e amplitude igual
a 0.636 Vp, conforme calculo a partir da expressão (9).
É importante notar que este sinal senoidal se soma ao
valor médio “a0”.
Figura 5 – Sinal de saída com seis termos da Série de
Fourier adicionados.
Na figura 6 o sinal de saída do somador com a adição
de dez termos da Série de Fourier.
Figura 3 – Sinal de saída com o segundo termo
Na figura 4 o sinal de saída na tela do osciloscópio já
começa a se modificar com a adição do sinal (termo)
três da série de Fourier e tende a transformar o sinal de
saída senoidal para quadrado.
Figura 6 – Sinal de saída com dez termos da Série de
Fourier adicionados.
7 Conclusão
Figura 4 – Sinal de saída com o terceiro termo
Na figura 5 o sinal de saída com o quarto, quinto e
sexto sinais (termos) adicionados à série.
Observa-se na figura 1 que o décimo termo é um sinal
senoidal de amplitude de 0.037 vp e freqüência de 17
kHz. É um sinal pouco expressivo em relação ao termo
fundamental. Isto indica que, à medida que se calculam
novos termos para a Série de Fourier, estes termos se
tornam cada vez menos expressivos para a composição
do sinal de saída. Partindo do princípio de que estes
termos podem assumir amplitudes cada vez menores e
freqüências cada vez maiores, Considera-se que não é
necessário incluir infinitos termos na série para a
obtenção do sinal quadrado aproximado do desejado.
Portanto, um sinal quadrado real apresenta infinitos
harmônicos em função de seus infinitos termos.
Aplicando a Série de Fourier em sistemas de
transmissão de dados é possível economizar recursos e
melhorar o desempenho de transmissão em termos de
velocidade de tráfego dos dados e eficiência da
transmissão.