UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO PRO

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
PRO-REITORIA DE EXTENSÃO E CULTURA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS
V OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMATICA
Preparação para a 3ª Fase: Lista de Exercícios
NÍVEL III
1. Seja {an} uma seqüência na qual cada termo é definido como o dobro da
soma dos algarismos do termo anterior, mais uma unidade. Por exemplo, se
an = 234, então an 1 = 2(2 + 3 + 4) +1. Se, a1 = 1 qual é o valor de a31 +
a32 + a33 + a34 + a35?
2. Sejam a, b e c números tais que:
a2 – ab = 1
b2 – bc = 1
c2 – ac = 1
Qual é o valor de abc(a + b + c)?
3. Rafael tem 10 cartões. Cada um tem escrito um dos números 3, 8, 13, 18, 23,
28, 33, 48, 53, 68, e todos os dez números aparecem. Qual o menor número
de cartões que Rafael pode escolher de modo que a soma dos números nos
cartões escolhidos seja exatamente 100?
4. No triângulo PQR isósceles, com PQ = PR = 3 e QR = 2, a tangente à sua
circunferência circunscrita no ponto Q encontra o prolongamento do lado PR
em X. Qual é o valor de RX ?
x  y 1
5. Qual o número de soluções reais do sistema x | x |  y | y | 1 e     ,
x
onde   representa a parte inteira de x?
6. Numa cidade, 28% das pessoas têm cabelos pretos e 24% possuem olhos
azuis. Sabendo que 65% da população de cabelos pretos têm olhos castanhos
e que a população de olhos verdes que têm cabelos pretos é 10% do total de
pessoas de olhos castanhos e cabelos pretos, qual a porcentagem, do total de
pessoas de olhos azuis, que tem os cabelos pretos?
7. Considere o conjunto P   4 , 8 , 9 , 16 , 27, 32 , 64 , 81 , 243  . Determine o número
total de valores distintos que se pode obter multiplicando-se dois elementos
distintos desse conjunto.
8. Na sala de computação o número de alunos é três vezes o número de alunas.
Se quatro meninos e quatro meninas deixam a sala, o número de alunos é
sete vezes o número de alunas. Quantos estudantes estavam na sala de
computação?
9. Qual número é maior:
ou
?
10. Um supermercado vende sabão em pó em caixas de três tamanhos diferentes:
pequena, média e grande. A caixa de tamanho médio é 50% mais cara que a
de tamanho pequeno, e contém 20% menos sabão em pó que a grande. A
grande é 50% mais pesada que a menor, e 25% mais cara que a de tamanho
médio. Qual caixa é mais econômica?
Respostas:
1) Os primeiros termos dessa seqüência são: 1, 3, 7, 15, 13, 9, 19, 21, 7, 15,..., de
onde vemos que ela tem período 6 a partir do 3º termo. Assim,
a31  a25  a19  a12  a7  19 , a32  a8  21 , a33  7 , a34  15 e a35  13 . A soma
tem valor 19 + 21 + 7 + 15 + 13 = 75.
2) Como nenhum deles pode ser igual a zero, temos a forma equivalente:
1 1 1
1
1
1
  0
bc 
ca 
a,
b,
c , somando as equações teremos a b c
ab  bc  ca
 0  ab  bc  ca  0
abc
.
a b 
2
2
2
Em outra forma equivalente: a  1  ab , b  1  bc , c  1  ac . Multiplicando
2 2 2
as equações: a b c  1  ab1  bc1  ca 
a 2 b 2 c 2  1  ab  bc  ca  a 2 bc  ab 2 c  abc 2  a 2 b 2 c 2  0  1  a 2 bc  ab 2 c  abc 2
 abc a  b  c   1
3) Note que todos os cartões deixam resto 3 na divisão por 5. Então, para que a
soma dos cartões seja 100, que é múltiplo de 5, precisamos de pelo menos cinco
cartões. Rafael pode escolher 3, 13, 23, 28 e 33, assim a resposta é 5.
4) Sejam XR = x e XQ = t. Veja que XQR = QPR = ½ (arco QR). Portanto, os
triângulos XRQ e XQP são semelhantes. Escrevendo a razão de semelhança para
esses
triângulos,
x
t
2


t x3 3 .
obtemos:
2
x
t
x
4
12
 2

  
 x 
t x 3  3
x3 9
5 .
P
3
3
2
R
Q
t
x
X
Daí,
5) Se x < 0 e y < 0 temos x  x  0 e y  y  0 , de modo que x  x  y  y  0 e não
há soluções.
Se x < 0 e y > 0 temos x  x  y  y   x 2  y 2  ( y  x)( y  x)  1 . Como y – x > 0,
temos x + y > 0; considerando ainda que y – x > y + x, temos
( x  y) 2  ( x  y)( y  x)  1  x  y  1  x   y   1 e novamente não há
soluções. Por simetria, se x > 0 e y < 0, também não temos soluções.
Se x > 0 e y > 0 temos x  x  y  y  x 2  y 2  1 , o que implica 0 < x < 1 e 0 < y <
1, de modo que x    y   0 e novamente não temos soluções.
Finalmente, falta considerar o caso em que x ou y é igual a zero. Substituindo x
por zero, obtemos das duas equações que y = 1; analogamente, obtemos a
solução (1,0).
Deste modo, o sistema admite duas soluções: (0,1) e (1,0).
6) 18,2% cabelos pretos e olhos castanhos
1,82% cabelos pretos e olhos verdes
28-(18,2+1,82)=7,98% cabelos pretos e olhos azuis
7) Fica mais fácil de ver se você escreve esse números como potência de 2 e de 3
4  2 2 ,8  2 3 ,16  2 4 ,32  2 ,64  2 6 ,9  3 2 ,27  3 3 ,81  3 4 ,243  3 5 ,
8) 6 meninas e 18 meninos.
9) 2003100
10) a menor
o número total é: 30