ANÁLISE COMBINATÓRIA

ANÁLISE COMBINATÓRIA
PROFESSOR JAIRO WEBER
FATORIAL
Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal
que:
-
Para
Para
Para
Para
Para
Para
n=0:
n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
0!=1
1!=1
2!=21=2
3!=321=6
4!=4321=24
5!=54321=120
Generalizando:
n! = n  (n-1)  (n-2)  (n-3)  ...  2  1, sendo n
pertencente ao conjunto dos números naturais {0, 1,
2, 3 ...}.
NÚMERO BINOMIAL
n
n!
 
 p  p!(n  p)!
(n é o numerador e p é a classe do número binomial).
  9  do
(n é o numerador e p é a 9classe
Números
binomiais
iguais: Se,  5    x 
número
binomial).
x5
então: 
ou

x  5  9  x  4

NÚMEROS BINOMIAS E TRIÂNGULO
DE PASCAL
0
 
0
 1  1
  
 0  1
 2  2  2 
   
 0  1  2 
ou
 3  3  3  3 
    
 0  1  2  3 
 4  4  4  4  4 
     
 0  1  2  3  4 
... ... ... ... ... ...
 n  n  n  n 
n
...
    
 
 0  1  2  3 
n
1
1
1 1
1 1
+1
1 2 1
1 3 3 1
onde
2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 4 +6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 6 15 20 15 6 1
BINÔMIO DE NEWTON
Toda potência da forma (x+y)n, sendo n um número natural, é conhecido como
binômio de Newton. Abaixo temos alguns casos comuns.
x  y  1
1
x  y  x  y
2
 x  y   x 2  2xy  y 2
3
 x  y   x3  3x 2 y  3xy 2  y 3
0
(x  y)4  x 4  4x 3 y  6x 2 y 2  4xy 3  y 4
x  y
n
n
n
n
   x n0 y 0    x n1y1    x n 2 y 2 
0
1
 2
 n  2 n 2  n  1 n1  n  0 n


x y
x y  x y
n  2
 n  1
n
EXEMPLO
5
5
(2x  3y 2 )5     2x  3y 2
0


0
1
5
5
4
3
    2x  3y 2     2x  3y 2
 1
 2




2
:
5
2
    2x  3y 2
3
(2x  3y 2 )5  32x 5  240x 4 y 2  720x 3 y 4  1080x 2 y 6  810xy 8  243y10


3
5
1
    2x  3y 2
 4


4
5
0
    2x  3y 2
5


5
TERMO GERAL DO BINÔMIO DE
NEWTON
...para (x  y)n , o desenvolvimento de apenas um dos
termos pode ser feito pelo termo geral a seguir...
 n  n p p
Tp 1=   x y
p
BINÔMIO DE
NEWTON /
EXERCÍCIOS.
ANÁLISE COMBINATÓRIA / PERMUTAÇÃO
SIMPLES



Pn  n!
Exemplo: Cinco amigos desejam ocupar cinco
cadeiras consecutivas no estádio municipal.
Mudando apenas de ordem, quantas são as
possibilidades existentes nessa situação?
Exemplo: Supondo que entre os cinco amigos
exista um casal e eles não abrem mão de sentarse juntos. Quantas possibilidades existem?
Exemplo: João é um dos cinco amigos, ele não
abre mão de sentar-se no início da fila. Dessa
forma, quantas possibilidades existem?
EXERCÍCIOS / PERMUTAÇÃO SIMPLES
1. Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra LIVRES?
(A) 90
(B) 720
(C) 360
( D)321
(E)125
2. Quantos anagramas, que começam com a letra S, podemos formar a partir da palavra LIVRES?
(A) 120
(B)320
(C) 330
( D)329
(E)328
3. Quantos anagramas, que começam com a letra S e terminam com a letra I, podemos formar a partir da
palavra LIVRES?
(A) 24
(B)25
(C)26
( D) 27
(E)28
4. Quantos anagramas, que começam com uma vogal, podemos formar a partir da palavra LIVRES?
(A) 120
(B) 240
(C)480
( D)720
(E)422
5. Quantos anagramas, que começam e terminam com vogais, podemos formar a partir da palavra
LIVRES?
(A) 12
(B) 48
(C) 36
( D)56
(E)120
6. Quantos anagramas, que começam e terminam com consoantes, podemos formar a partir da palavra
TRAPO?
(A) 36
(B) 42
(C) 44
( D)54
(E)58
7. Quantos anagramas, que começam mantém as letras I e V juntas, podemos formar a partir da palavra
LIVRES?
(A) 440
(B) 360
(C) 240
( D)120
(E)60
8. Quantos anagramas, que mantém as letras IV juntas e nessa ordem, podemos formar a partir da
palavra LIVRES?
(A) 120
(B)32
(C)142
( D)523
(E)520
9. Sem repetir algarismos, quantas senhas diferentes podemos formar com seis dígitos, 0,1,2,3,4 e 5?
(A)889
(B)990
(C) 908
( D)909
(E) 720
10. O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam com vogais é:
(A) 32
(B)43
(C)66
( D)45
(E) 48
QUESTÃO ENEM - 2011
O setor de recursos humanos de uma empresa vai
realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma
vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir
a cada candidato um número, colocar a lista de
números em ordem numérica crescente e usá-la para
convocar os interessados. Acontece que, por um
defeito do computador, foram gerados números com 5
algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram
dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que
tiver recebido o número 75 913 é
A) 24.
B) 31.
C) 32.
D) 88.
E) 89.
ENEM - 2013
Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores:
vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma
liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado
com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham
sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por
esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas
pelas pedras
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão
poderá obter?
A.
6
B.
12
C.
18
D.
24
E.
36
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
P(n) ,  , 
n!
 !  ! !....
Exemplo: Qual é o número de anagramas que podemos
formar com as letras da palavra URUGUAI?
(A)840
(B)124
(C)543
( D)235
(E)849
1. Qual é o número de anagramas que podemos formar
com as letras da palavra URUGUAIANA?
(A)108870
(B)34990
(C)43000
( D) 100.800
(E)54000
2. Qual é o número de anagramas que podemos formar
com as letras da palavra PÁSSARO?
(A) 1230
(B)2309
(C)4890
( D)100800
(E)1.260
3. Qual é o número de anagramas que podemos formar
com as letras da palavra ARARA?
(A) 3
(B) 4
(C) 12
( D) 42
(E)10
4. A partir da palavra AMADA, o número de anagramas
formado é:
(A) 20
(B)30
(C) 40
( D) 50
(E)60
ARRANJO SIMPLES
Exemplo. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos
do conjunto {2,3,5,7,9} ?
(A)20
(B)60
(C)30
( D) 89
(E)N.d.a.
Exemplo. Dos números possíveis no exemplo anterior, quantos são maiores que 500?
1. Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos
três, que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas
maneiras pode ser feita a escolha?
(A)3200
(B) 3360
(C)3400
( D) 5300
(E)5390
2. Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em
cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta?
(A) 890
(B)1234
(C) 89021
( D) 6720
(E)N.d.a.
3. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos
algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9?
(A) 678
(B)840
(C) 422
( D) 9098
(E)1024
4. Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos
algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9?
(A)4321
(B) 3262
(C) 360
( D)623
(E)620
5. Quantos números impares de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos
algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9?
(A) 480
(B) 9078
(C) 2521
( D) 5322
(E)6433
6. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos
algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9 que comecem com 4?
(A)24
(B) 120
(C) 720
( D)64
(E)243
7. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos
algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9 que comecem com 3 e terminem com 9?
(A) 20
(B)10
(C) 2!
( D) 42
(E)120
COMBINAÇÃO SIMPLES
Exemplo. Nove professores de matemática se candidataram a quatro
vagas de um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.
(A) 54
(B)56
(C)66
( D)45
(E)126
1. Quantos grupos diferentes de quatro lâmpadas podem ficar acesos
num galpão que tem 10 lâmpadas?
(A)120
(B)345
(C)126
( D)645
(E)210
2. Quantos subconjuntos de 4 elementos possuem um conjunto de
seis elementos?
(A)1
(B)12
(C)24
( D)54
(E)15
3. O número de combinações de n objetos distintos tomados 2 a 2 é
15. Determine n.
(A) 2
(B)4
(C)5
( D)6
(E) 16
4. Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa
assembléia de 12 participantes?
(A)324
(B)235
(C)643
( D)865
(E)792
5. Quantos produtos de 2 fatores podemos obter com os divisores
naturais do número 12?
(A)1
(B)2
(C)4
( D)8
(E)15
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
(UFF - 05) Niterói é uma excelente opção para
quem gosta de fazer turismo ecológico. Segundo
dados da prefeitura, a cidade possui oito pontos
turísticos dessa natureza. Um certo hotel da
região oferece de brinde a cada hóspede a
possibilidade de escolher três dos oito pontos
turísticos ecológicos para visitar durante sua
estada. O número de modos diferentes com que
um hóspede pode escolher, aleatoriamente, três
destes locais, independentemente da ordem
escolhida, é:
 a.8
b.24
c.56
d.112
e.336

(FUVEST - 05) Em uma certa comunidade, dois
homens sempre se cumprimentam (na chegada)
com um aperto de mão e se despedem (na saída)
com outro aperto de mão. Um homem e uma
mulher se cumprimentam com um aperto de mão,
mas se despedem com um aceno. Duas mulheres
só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem
quanto para se despedirem. Em uma
comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram
juntas, todos se cumprimentaram e se
despediram na forma descrita acima. Quantos
dos presentes eram mulheres, sabendo que foram
trocados 720 apertos de mão?
 a.16
b.17
c.18
d.19
e.20

Numa primeira fase de um campeonato de xadrez
cada jogador joga uma vez contra todos os
demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos.
Quantos eram os jogadores?
 a.10
b.11 c.12
d.13 e.14


(UFMG - 05) A partir de um grupo de 8 pessoas,
quer se formar uma comissão constituída de 4
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e
Danilo que, sabe-se, não se relacionam um com o
outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se
que esses dois, juntos, não deveriam participar da
comissão
a
ser
formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas
se pode formar esta comissão?
 a.70
b.35
c.45
d.55 e. n.d.a.
(ENEM) O setor de recursos humanos de uma
empresa vai realizar uma entrevista com 120
candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio,
eles pretendem atribuir a cada candidato um
número, colocar a lista de números em ordem
numérica crescente e usá-la para convocar os
interessados. Acontece que, por um defeito do
computador, foram gerados números com 5
algarismos distintos e, em nenhum deles,
apareceram dígitos pares.
 Em razão disso, a ordem de chamada do
candidato que tiver recebido o número 75 913 é
 A) 24.
B) 31. C) 32. D) 88.
E) 89.
