probabilidade - Gran Cursos Presencial

MATEMÁTICA GERAL
PROF. RONILSON MENDES
“A persistência é o menor caminho do êxito.”
Charles Chaplin
Aula 4
PROBABILIDADE
São todos os casos favoráveis a um experimento aleatório.
Exemplos:
1) No lançamento de dois dados determine o evento sair
números iguais nas faces voltadas para cima.
E = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
n(E) = 6
Probabilidade é à parte da matemática que estuda
problemas aleatórios.
2) No lançamento de um dado, determine o evento sair número:
a) sair número maior que 4.
2 – ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
Exemplos:
a) Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
b) sair número maior que e menor que 5.
S = {1,2 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
b)
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
A face que ficará para cima poderá ser cara ou coroa.
n(S) = 2
c)
lançar um dado e uma moeda e observar a face voltada
para cima.
D/M
C
k
por:
1
C,1
K,1
2
C,2
K,2
3
C,3
K,3
4
C,4
K,4
5
C,5
K,5
6
C,6
K,6
1
2
3
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)
(4,1) (4,2) (4,3)
(5,1) (5,2) (5,3)
(6,1) (6,2) (6,3)
n (S) = 36= 6.6
4
5
6
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
RESUMO DOS PRINCIPAIS CASOS:
CASO
ESPAÇOSAMOSTRAL(S)
Lançamento de (cara, coroa) – (c, k)
uma moeda
Lançamento de [(c,c)], (c,k), (k,c), (k,k)]
duas moedas
Lançamento de n moedas
Lançamento de (1, 2, 3, 4, 5, 6)
um dado
Lançamento de n dados
Lançamento de n dados e m moedas
Concepção de (homem, mulher) – (h,m)
um embrião
Concepção de n embriões
N (S)
2
2.2=4
2n
6
6n
2n . 6m
2
2n
e)
Sair número par e ímpar
Eventos mutuamente exclusivos
São eventos que se completam, não possuindo elemento em
comum.
Ex: números pares e números ímpares
4 – DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
Probabilidade = n° de casos favoráveis
n° de casos possíveis
n( E )
n( S )
Onde:
n(S) = número de elementos do espaço do amostral. espaço
evento.
A probabilidade de um evento pode vir expressa em:
Fração
1/4
número decimal
0,25
porcentagem
25%
A probabilidade é um valor que está compreendido entre:
0 e 1, inclusive, ou entre 0% e 100%, inclusive.
Exercícios
3) No lançamento de um dado qual é a chance de obtermos na
face voltada para cima um n° par?
e)Determinar o espaço amostral, retirar duas bolas sem
reposição de uma urna que contém 10.
n(S) = C10,2 = 45
Sair número par o ímpar
P=
n(S) = 2.6 = 12
d) O espaço amostral no lançamento de dois dados é dado
D2
D1
1
2
3
4
5
6
Logo:
d)
4) No lançamento de 2 dados qual é a probabilidade que as
faces voltadas para cima apresentem o mesmo número?
05 – PROBABILIDADE DA SOMA(ou)
Dados dois eventos, a probabilidade de que ocorram A
ou B é igual a:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(A
 B)
Se os eventos são mutuamente exclusivos, então
teremos:
P(AB) = P(A) + P(B)
5) No lançamento de um dado qual é a probabilidade de
obtermos:
a) um número ímpar e menor do que 4.
3 – EVENTOS (E):
E-MAIL: [email protected]
1
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Usando a regra:
b)Um número par ou maior do que 4.
9 – PROBABILIDADE CONDICIONAL
Está relacionado a eventos que para ocorrerem, estão
condicionados a ocorrência de um outro evento.
c)Um número par ou ímpar.
d)Um número par e ímpar.
P(B/A) =
e)Um número maior que 6.
06 – PROBABILIDADE DA MULTIPLICAÇÃO
Dados dois eventos, a probabilidade de que ocorram A
e B é igual a:
P(A

B) = P(A) . P(B/A)
Eventos independentes
Dois eventos, A e B, são independentes quando ocorrência de
um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Quando A e B são eventos independentes, a probabilidade de
que ocorram A e B fica igual a:
P(A

B) = P(A) . P(B)
Exemplo:
6) Uma urna possui 10 B.V e 8 BA. Jurubira pretende retirar
duas bolas dessa urna, então responda:
a) Qual é a probabilidade de que as bolas retiradas sem
reposição sejam verdes.
b) Qual é a probabilidade de que as bolas retiradas com
reposição sejam verdes.
7 – PROBABILIDADE DE EVENTOS COMPLEMENTARES
Se os eventos são mutuamente exclusivos, então
teremos:
(probabilidade de ocorrer B tendo ocorrido A)
Exemplo:
10-Uma escola tem 1000 alunos. 400 alunos gostam de
matemática; 800 gostam de português; 300 das duas. Ao
escolhermos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que
ele:
a) goste apenas de matemática.
Resolução:
c) goste de matemática sabendo que ele gosta de português.
MAIS QUESTÕES COM PROBABILIDADE
11 – (CESGRANRIO) Beraldo espera ansiosamente o convite
de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para
participarem de um jogo de futebol. A probabilidade de que
Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de
que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de
50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente
independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja
convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol
é:
a) 12,5%
b) 15,5%
c) 22,5%
d) 25,5%
e) 30%
12-(ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5
anos é
P(A) + P(B) = 100%
Exemplo:
7) Pardoca tem 20% de chance de não estar vivo daqui a 40
anos. Qual é a probabilidade de que ele esteja vivo.
é
8 – DISTRIBUÍ ÇÃO BINOMINAL
Se a probabilidade dos eventos A e B forem,
respectivamente, P(A) = a e P(B) = b, então a probabilidade de
ocorrer o evento A exatamente p vezes em n tentativas será
dada por:
P(A) = Cn,p. (a)p.(b)n - p
Exemplo:
9 -Lance uma moeda 7 vezes, qual é a probabilidade de saírem,
exatamente 4 coroas?
Resolução:
3
. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos
5
4
. Considerando os eventos independentes, a probabilidade
5
de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a)
8) A chance de Vitória ser convidada por Pedro para uma festa é
de 30% e a chance dela ser convidada por Carlos é de 20%.
Qual é a chance de que ela não seja convidada por nenhum dos
dois?
P( A  B)
P( A)
2
25
b)
e)
8
25
c)
2
5
d)
3
25
4
5
13-(CESGRANRIO) São lançadas 4 moedas distintas e não
viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras
e 2 coroas?
a) 25%
b) 37,5%
c) 42%
d)
44,5%
e) 50%
14-( ESAF) Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é
viciado de modo que, quando lançado, a probabilidade de
ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a
probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. Em dois
lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram
exatamente uma face par e uma face impar (não
necessariamente nesta ordem) é igual a:
15 – (ESAF) – Em um grupo de cinco crianças, duas delas não
podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para
E-MAIL: [email protected]
2
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duas diferentes crianças desse grupo ( uma caixa para uma das
duas crianças). A probabilidade de que duas caixas de doces
sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem
comer doces é:
a) 0,10
b)0,20 c)0,25
d)0,30
e)0,60
Resolução:
acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade
de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada
ao jogador, ser amarela é igual a:
a)
1
6
16-Uma caixa contém 20 bolas numeradas de 1 a 20.
Sorteando-se uma delas, qual é a chance de que ela tenha um
numero múltiplo de 5?
a)1/5
b)1/3
c)1/2
d)1/7
e)1/20
b)
1
3
17- Um dado é jogado e a face de cima é observada. Qual é a
probabilidade de que ocorra um numero maior que 4?
a) ½
b)1/3
c)20% d)30% e) 2
18- Um globo contém 10 bolas numeradas de 1 a 10.
Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade de que ela
tenha um número que seja múltiplo de 2 ou 3?
a)2/3
b)3/4
c)7/25 d)7/10
e)1/10
18– Uma escola tem 500 estudantes. 80 estudam Matemática,
150 estudam Geografia e 10 estudam as duas disciplinas. Um
aluno é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que ele
estude Geografia, mas não estude matemática?
a)5/3
b)3/4
c)4/5
d)7/10
e)1/10
19 - Uma escola tem 500 estudantes . 80 estudam matemática,
150 estudam direito e 10 estudam as duas disciplinas. Um aluno
é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que estude
direito, sabendo-se que ele estuda matemática?
a)5/3
b) ¼
c)3
d)1/8
e)1
20 – Um globo contém 5 bolas verdes e 3 bolas azuis. Duas
bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. Qual é a
probabilidade de que as duas bolas sejam azuis?
a) 1/7 b)1/14 c)2/5
d)2/21 e)3/28
21 - Seis moças, entre elas Maria e Paula, são dispostas em fila
ao acaso. Qual a probabilidade de Maria e Paula ficarem uma ao
lado da outra?
a)1/3
b)2/5
c)1/2
d)3/4
e)5/7
22- Uma moeda é jogada 6 vezes. Qual é a probabilidade de
que ocorram exatamente 3 coroas?
a)5/11 b)1/16 c)3/8
d)3/5
e)5/16
23 – Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de
nascerem dois meninos e duas meninas é:
a)
3
8
b)
1
2
c)
6
8
d)
8
6
e)
8
3
c)
2
3
d)
4
5
e)
5
6
26 - (ESAF) em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro
importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao
acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7das
pessoas selecionadas possuem carro importado é:
a) (0,1)7 (0,9)3
b) (0,1)3 (0,9)7
c) 120 (0,1)7 (0,9)3
d) 120 (0,1) (0,9)7
e)
120 (0,1)7 (0,9)
27 – (CESGRANRIO)Num sorteio concorrem 50 bilhetes com
números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo
de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:
a) 15%
b) 5%
c) 10%
d) 30%
e) 20%
28-(FUNIVERSA – 2009) Dados do DETRAN/DF, mostram que
, em 2008, das 1.063 vítima de acidentes envolvendo ônibus,
1.013 tiveram apenas ferimentos e 50 perderam a vida, sendo
45 homens e 5 mulheres.
De acordo com os dados apresentados, escolhendo-se uma
vítima fatal, qual é a probabilidade de que ela seja mulher é de:
a)1/9
b) 1/10
c) 9/10
d) 1/1.013
e) 1/ 1.063
29- (CESEPE – TCU)
24-(CESGRANRIO) Em uma sala de aula estão 10 crianças
sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas
para participarem de um jogo. A probabilidade de as três
crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 35%
25 -(FCC) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um
é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho
de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz
retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao
E-MAIL: [email protected]
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MATEMÁTICA GERAL
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34- CESGRANRIO – EPE – 2009)
30 –( IADES -2010) Na Copa do Mundo de 2010 da FIFA, o
Brasil ficou no grupo G junto com as seleções da Corea do
Norte, Costa do Marfim e Portugal. Analisando o resultado de
jogos anteriores entre Brasil e Portugal, um torcedor concluiu
que a chance do Brasil ganhar é três vezes maior do que a
chance do perder e que a chance de empatar é metade da
chance do Brasil perder. Para aquele torcedor a probabilidade de
o Brasil perder um jogo jogando com Portugal é:
a)1/9
b)2/9
c)3/9
d)4/9
31-(CESGRANRIO-CAIXA – 2008)
32- (CESGRANRIO-BNDES-2010)
(35-REFAP – 2007-CESGRANRIO)
33- (CESGRANRIO-BNDES-2009)
E-MAIL: [email protected]
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