Geometria Plana

s
i
n
g
u
l
a
r
Geometria Plana
1º EM - Vespertino
2015
Professora: Liana
1
ÍNDICE
Revisão – Área das Figuras Planas: Quadrado,Retângulo,Paralelogramo,Losango,Triângulo,Trapézio e Círculo
1 – Ângulos
1.1 – Definição
1.2 – Ângulo agudo
1.3 – Ângulo obtuso
1.4 – Ângulos opostos pelo vértice
1.5 – Ângulos suplementares
1.6 – Ângulos complementares
1.7 – Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal
2 – Triângulos
2.1 – Definição
2.2 – Elementos
2.3 – Classificação
2.4 – Soma dos ângulos de um triângulo
2.5 – Ângulo externo
2.6 – Teorema do ângulo externo
2.7 – Bissetriz de um ângulo
2.8 – Altura
3 – Congruência de triângulos
3.1 – Definição
3.2– Casos de congruência
4 – Polígonos
4.1 – Definição
4.2 – Nomenclatura
4.3 – Polígono Convexo
4.4 – Ângulos de um polígono convexo
4.5 – Ângulos internos
4.6 – Ângulos externos
4.7 – Polígono regular
4.8 – Ângulos num polígono regular
5 – Ângulos na circunferência
5.1 – Ângulo central
5.2 – Ângulo inscrito
5.3 – Ângulo de vértice interno
5.4 – Ângulo de vértice externo
5.5 – Ângulo de segmento
6 – Quadriláteros
6.1 – Definição e elementos
6.2 – Soma de ângulos interno
6.3 – Classificação
6.3.1– Paralelogramo
6.3.2– Trapézio
7 – Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo
7.1 – Mediana de um Triângulo
7.2 – Bissetriz
7.3 – Altura
7.4 – Mediatriz
7.5 – Teorema de Tales
7.6 – Teorema da bissetriz interna
7.7 – Teorema da bissetriz externa
8 – Semelhança de triângulos
8.1 – Definição
8.2 – Razão de semelhança
9 – Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2
Revisão – Área das figuras planas
a) Quadrado
A = a.a = a2
a
a
b) Retângulo
A = a.b
a
b
c) Círculo
A = π.r2
r
d) Paralelogramo
A = b.h
h
.
b
e) Losango
d
A = D.d
2
D
f) Trapézio
b
A = (B + b) . h
2
h
.
B
3
g) Triângulo
A = b.h
2
h
.
b
R1) Determine a área dos polígonos nos casos abaixo, sendo o metro a unidade das medidas indicadas.
a) quadrado
b) retângulo
c) paralelogramo
5
5
6
8
d) losango
3
6
e) quadrado
f) losango
5
8
5
8
4
6
g) trapézio
h) paralelogramo
i)
4
6
5
5
3
6
4
10
8
2
j)
k)
l)
8
5
5
6
6
2
10
6
4
R2) A área de um retângulo é de 40cm2 e sua base excede em 6cm sua altura. Determine a altura do
retângulo.
R3) Um retângulo tem 24cm2 de área e 20cm de perímetro. Determine suas dimensões.
R4) Abase de um retângulo é o dobro de sua altura. Determine suas dimensões, sendo 72cm 2 sua área.
R5 ) As bases de um trapézio isósceles medem, respectivamente, 4cm e 12cm. Determine a área desse
trapézio, sabendo-se que o semiperímetro do trapézio é igual a 13cm.
R6) Uma das bases de um trapézio excede a outra em 4cm. Determine as medidas dessas bases, sendo
40cm2 a área do trapézio e 5cm a altura.
R7) Determine o lado de um quadrado, sabendo-se que, se aumentarmos seu lado em 2cm sua área
aumenta 36cm2.
R8) Determine a área do círculo e o comprimento da circunferência nos casos:
a)
b)
c)
12m
d
5m
5
5
1 – Ângulos
1.1 – Definição
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo
ponto.
A
.
O
Indica-se:

A O B ou α
α
.
.
B
Em que:
OA e OB são os lados do ângulo
“O” é o vértice do ângulo.
Ângulos importantes:
Medida
Ângulo
Figura
.
..
O
Graus
B
Reto
Raso
90º
π/2
180º
π
360º
2π rad
rad
A
.
.
.
A
O
B
.
de uma volta
Observação:
.
Radianos
O
A
.
B
rad
1º = 60’ (1 grau = 60 minutos)
1’ = 60” (1 minuto = 60 segundos)
1) Simplifique as seguintes medidas:
a) 30º70’=
b) 110º58’300” =
c) 45º150’ =
d) 30º56’240” =
e) 65º39’123” =
2) Determine as somas:
a) 30º40’ + 15º35’ =
b) 10º30’45” + 15º29’20” =
3) Determine as diferenças:
a) 20º50’45” – 5º45’30” =
b) 31º40’ – 20º45’ =
c) 90º15’20” – 45º30’50” =
d) 90º - 50º30’45” =
4) Determine os produtos:
a) 2 x (10º35’45”) =
b) 5 x (6º15’30”) =
6
5) Determine as divisões:
a) (46º48’54”) ÷ 2 =
b) (31º32’45”) ÷ 3 =
c) (52º63’45”) ÷ 5 =
1.2 – Ângulo agudo
É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto.
α
1.3
– Ângulo obtuso
É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso.
α
1.4
– Ângulos opostos pelo vértice
São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro.
vértice têm medidas iguais,
γ
α
ou seja, são congruentes.
1.5
α e γ são opostos pelo vértice
β
Dois ângulos opostos pelo
θ
β e θ são opostos pelo vértice
– Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
α + β = 180º
β
1.6
α
– Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
α + β = 90º
β
.
α
7
6) Determine o valor de x nos casos:
a)
50º
30º
x
b)
.
35°
x
c)
30º
x
.
d)
4x - 25°
.
x
e)
4x + 30°
2x
7) Determine o valor de x nos casos:
a)
2x – 10°
40°
8
b)
2x – 10°
x + 20°
8) Calcule o complemento dos seguintes ângulos:
a) 25°
b) 47°
9) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos:
a) 72°
b) 141°
10) Dado um ângulo de medida x, indique:
a)
b)
c)
d)
e)
Seu complemento;
Seu suplemento;
O dobro do seu complemento;
A metade do seu suplemento;
O triplo do seu suplemento;
f) A sétima parte do complemento;
g) A quinta parte do suplemento;
h) O complemento da sua terça parte;
i) O triplo do suplemento da sua quinta parte.
11) Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.
12) Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.
13) Calcule o ângulo que vale ao quádruplo do seu complemento.
14) Calcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36°.
15) Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 76°?
16) O triplo do complemento de um ângulo, aumentado em 50°, é igual ao suplemento do ângulo.
Determine a medida do ângulo.
17) Determine as medidas de dois ângulos suplementares, sabendo que o dobro de um deles, somado com
a sétima parte do outro, resulta em 100°.
18) A soma de um ângulo com a terça parte do seu complemento resulta em 46°. Determine o suplemento
desse ângulo.
9
1.7
– Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por
uma transversal
Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim
denominados:
t
b
r
c
β
γ

a
d
α
s
θ
Ângulos correspondentes: a e α , b e β , c e γ , d e θ ;
Ângulos alternos internos: c e α , d e β ;
Ângulos alternos externos: a e γ , b e θ ;
Ângulos colaterais internos: c e β , d e α ;
Ângulos colaterais externos: a e θ , b e γ .
Propriedades
Ângulos alternos internos são congruentes
Ângulos alternos externos são congruentes
Ângulos correspondentes são congruentes
Ângulos colaterais internos são suplementares
Ângulos colaterais externos são suplementares
19) Determine o valor de x e y, sendo r // s.
70º
r
y
4x
s
3x
20) Calcule o valor de x, sendo r // s.
r
40°
112°
x
s
21) Se r // s, calcule α.
r
30°
110°
s
α
10
22) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule α.
A
r
3α
100°
B
2α
s
C
23) Na figura, calcule a medida do ângulo α, sendo r // s.
r
30°
80°
α
s
50°
24) Na figura, AB é paralelo a CD . Sendo C D̂ B = 150º e A B̂ C = 25º, calcule C B̂ D.
C
D
A
B
2 – Triângulos
2.1 – Definição
Dados três pontos A, B, C não colineares, a reunião dos segmentos
triângulo ABC.
, AC e BC chama-se
Indicação: Triângulo ABC = ΔABC = AB  AC  BC
A
c
B
b
a
C
2.2 – Elementos
Vértices: os pontos A, B e C são vértices do ΔABC.
Lados: os segmentos
(de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os lados
do triângulo.






Ângulos: os ângulos BAC ou A , ABC ou B e ACB ou C são os ângulos do ΔABC (ou
ângulos internos do ΔABC).
  
Diz-se que os lados BC , AC e
e os ângulos A , B e C são, respectivamente, opostos.
11
2.3 – Classificação
Quanto aos lados, os triângulos se classificam em:
Eqüiláteros se, e somente se, têm os três lados congruentes;
Isósceles se, e somente se, têm dois lados congruentes;
Escalenos se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes.
ΔABC equilátero
ΔRST isósceles
ΔMNP escaleno
R
A
C
B
N
S
T
M
P
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo
oposto à base é o ângulo do vértice.
Notemos que todo triângulo eqüilátero é também triângulo isósceles.
Quanto os ângulos, os triângulos se classificam em:
Retângulos se, e somente se, têm um ângulo reto;
Acutângulos se, e somente se, têm os três ângulos agudos;
Obtusângulos se, e somente se, têm um ângulo obtuso.
ΔABC retângulo em A
ΔRST obtusângulo
ΔDEF acutângulo
C
D
R
.
A
E
B
S
F
T
O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é sua hipotenusa e os outros dois lados
são os catetos do triângulo.
2.4 – Soma dos ângulos de um triângulo
A soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos.
A
  
A  B  C  180 º
B
C
2.5 – Ângulo externo


Dado um ΔABC e sendo CX a semi-reta oposta à semi-reta CB , o ângulo e  ACX é o ângulo



externo do ΔABC adjacente a C e não aos ângulos A e B .
A
O ângulo ê é o suplementar

adjacente de C .
e
B
C
.
X
12
2.6 – Teorema do ângulo externo
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não
adjacentes a ele.
A
e
B

e é ângulo externo adjacente a C
  
e  AB
C
25) No triângulo ABC, calcule a(s) incógnita(s):
A
A
a)
b) AB  AC
80°
150°
x
B
y
125º
B
C
x
C
A
c)
x+10º
2x-30º
C
B
2x+10º
26) Calcule x no triângulo ABC da figura:
A
5x
4x
3x
B
C
27) Na figura, o triângulo ABC é isósceles de base BC . Calcule o valor de x.
A
80º
C
B
2x
28) Calcule x e y indicados na figura abaixo:
B
55º
30º
y
x
A
40º
E
C
13
2.7 – Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos
congruentes.
β
β
α
Bissetriz
α
2.8 – Altura
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado
oposto e é perpendicular a esse lado.
Na figura AH é uma altura do ΔABC.
A
A
.
.
B
H
H
C
.
B
C
29) A figura mostra um triângulo ABC, isósceles, de base BC . Sendo BD bissetriz de A B̂ C e CD
bissetriz de A Ĉ B, calcule o valor de x.
A
80º
D
x
C
B
30) Se AH é a altura relativa ao lado BC do ΔABC, determine B̂ e Ĉ .
A
50°
20°
B
H
C
31) No triângulo ABC da figura, se AH é altura e BS é bissetriz, determine B Ŝ C.
Dados: B Â H = 30º e A Ĉ B = 40º.
A
30°
S
x
40°
B
H
C
14
32) Da figura, sabemos que AH é a altura e AS é a bissetriz relativas a BC do triângulo ABC. Se B̂ =70º
e H Â S = 15º, determine Ĉ .
A
B
S
H
C
33) Na figura, calcule o valor de x.
x
2
.
.
40°
34) Na figura, calcule o valor de x.
.
2x
.
40°
35) Na figura, determine o valor de x, β e γ.
D
α
C
.
130°
F
β
γ
.
A
B
E
36) No triângulo ABC da figura abaixo, B̂ = 60º e Ĉ =20º. Qual o valor do ângulo H Â S formado pela
altura AH e a bissetriz AS ?
A
x
.
60°
B
H
20°
S
C
15
3– Congruência de triângulos
3.1 – Definição
Um triângulo é congruente (símbolo  ) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma
correspondência entre seus vértices de modo que:
 Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e
 Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.
A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.
A’
A
B
B’
C
C’
 AB  A' B '
Aˆ  Aˆ '

ˆ  Bˆ '
ABC  A' B' C'   AC  A' C ' e B

Cˆ  Cˆ '
 BC  B ' C '
3.2– Casos de congruência
A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que
dois triângulos sejam congruentes. Essas condições (seis congruências: três entre lados e três entre
ângulos) são totais. Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. São os
chamados casos ou critérios de congruência.
1º Caso – LAL – postulado
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo
compreendido, então esses triângulos são congruentes.
A’
A
B
C
C’
B’
Esquemado 1º caso:
AB  A' B'
   LAL
A  A '   ABC  A' B' C' 

AC  A ' C'
 
 B  B'

BC  B' C'
  
 C  C'
16
2º Caso – ALA
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a
ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.
A’
A
B
C
C’
B’
Esquemado 2º caso:
 
AB  A' B'
B  B' 
  
 ALA
ABC  A' B' C'   A  A'
BC  B' C'
   

C  C' 
AC  A' C'

3º Caso – LLL
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses
triângulos são congruentes.
A’
A
B
C
B’
C’
4º Caso – LAAO
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado,então esses triângulos são congruentes.
Caso especial:
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a
hipotenusa,então esses triângulos são congruentes.
17
37) Considere os triângulos T 1, T2, ..., etc, abaixo. Assinale os pares de triângulos congruentes e indique o
caso de congruência:
2
3
T3
70°
60°
35°
3
4
1
1
4
3
35°
8
T2
T1
3
T4
25°
3
T7
T6
T5
10
T8
70°
60°
35°
8
2
6
4
6
20º
5
3
T9
5
T12
T10
80º
T11
4
35º
25º
80°
20º
10
38) Nos casos a), b) e c) abaixo, selecione os triângulos congruentes e indique o caso de congruência:
a)
4
4
60º
I
60º
II
III
6
6
4
6
b)
80º
I
5
45º
80º III
5
II
45º
80º
c)
5
5
.
II
I
45º
13
5
13
60º
.
III
5
13
.
39) Determine o valor da incógnita (segmentos com “marcas iguais” são congruentes).
a)
b)
c)
x
100º
25º
x
x
18
d) AB = AC
e)
A
f)
65º
x
x
x
B
C
4 – Polígonos
4.1 – Definição
Seja (P1, P2, ..., Pn) um conjunto ordenado de n pontos de um plano, n  3 , de modo que três
pontos consecutivos quaisquer, P1P2P3, P2P3P4, ..., Pn-1PnP1 e PnP1P2 sejam não-colineares, e considere os
segmentos P1P2 , P2 P3 , ... Pn 1Pn e Pn P1 .
Chama-se polígono P1P2...Pn à união dos segmentos e P1P2 , P2 P3 , ... Pn 1Pn e Pn P1 os quais são
chamados de lados do polígono, enquanto os pontos são os vértices do polígono.
Assim, cada figura abaixo representa um polígono, e cada um deles corresponde a um conjunto
ordenado de cinco pontos (P1, P2, P3, P4, P5).
P1
P1
P1
P5
P5
P4
P3
P4
P4
P2
P3
figura 1
P2
P3
P2
figura 2
P5
figura 3
Um polígono é também chamado de contorno poligonal fechado.
Dois lados de um polígono são consecutivos quando têm uma extremidade comum. Por exemplo:
P1 P2 e P2P3, ou P1P2 e PnP1.
Um polígono é simples, se quaisquer dos lados não-consecutivos não se interceptam.
Assim, as figuras 1 e 2 representam polígonos simples.
A figura 3 não representa um polígono simples. Esse tipo de polígono é chamado de polígono
estrelado ou polígono entrelaçado.
O nosso estudo limita-se apenas aos polígonos simples, que serão daqui por diante chamados
simplismente de polígonos.
Num polígono, o número de vértices é igual ao número de lados.
Perímetro é a soma das medidas dos lados do polígono.
19
4.2 – Nomenclatura
De acordo com o número de lados, alguns polígonos recebem nomes especiais.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
20
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Tridecágono
Icoságono
4.3 – Polígono Convexo
Um polígono é convexo se sua região poligonal é um conjunto convexo de pontos, ou seja, o
segmento que liga dois pontos quaisquer desse conjunto está contido nele.
Assim o polígono ABCDE da figura é um polígono convexo.
A
E
D
B
C
Caso contrário, é chamado de não-convexo. Assim, o polígono FGHLM é um polígono nãoconvexo.
L
F
M
G
H
20
4.4 – Ângulos de um polígono convexo


Ângulo interno de um polígono é convexo é um ângulo formado por dois lados consecutivos
do polígono.
Ângulo externo de um polígono convexo é um ângulo adjacente a um ângulo interno desse
polígono.
E
D
A
C
B
Na figura, o ângulo ADC é um ângulo interno, e o ângulo CDE é um ângulo externo do
quadrilátero ABCD.


Decorre dessas definições que ADC  CDE  180 º .
4.5 – Ângulos internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é n  2  180 º .
Unindo um dos vértices aos outros n – 3, convenientemente escolhidos, obteremos n – 2
triângulos. A soma das medidas dos ângulos internos do polígono é igual a soma das medidas dso ângulos
internos dos n – 2 triângulos.
Portanto:
Si = (n – 2) . 180º
Assim, um quadrilátero é decomposto em 2 triângulos, um pentágono, em três triângulos, e assim
por diante.
P1
P7
i7
i1
P2
i2
i6
i3
P3
P6
i5
i4
P5
P4
4.6 – Ângulos externos
Em todo polígono convexo, tomando-se um ângulo externo para cada vértice, a soma de suas
medidas é 360º.
P1
P2
i1
P7
i7
i2
e2
P3
e7
e1
e6
i6
P6
i3
e3
P4
e5
i5
i4
e4
P5
21
Como cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente, a soma dos ângulos
internos com os ângulos externos dá 180º. n . Subtraindo a soma dos ângulos internos, que é (n – 2) . 180º ,
resulta que a soma dos ângulos externos é 2 . 180º, ou seja, 360º.
Conclusão:
Se = 360º
4.7 – Polígono regular
Um polígono é equilátero se possui os lados congruentes entre si, e equiângulo, se possui os
ângulos congruentes entre si.
Assim, o quadrilátero da figura 1 é equilátero e o da figura 2 é equiângulo.
A
B
A
D
B
C
D
C
figura 1
figura 2
Um polígono convexo é regular se ele é equilátero e equiângulo.
A
B
A
D
B
C
C
Observação:
Num polígono regular existe um ponto que dista igualmente dos vértices; ele é chamado centro
do polígono.
4.8
– Ângulos num polígono regular

Ângulo interno
Um polígono regular é equiângulo. Sendo ai a medida de um ângulo interno, como ele é
suplementar do ângulo externo, temos:
ai =

Si
n

ai 
(n  2)  180 º
n
Ângulo externo
Os ângulos externos têm medidas iguais. Sendo ae a medida de um ângulo externo, temos:
ae 
360 º
n
22

Diagonal
A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices nãoconsecutivos desse polígono.
Nas figuras abaixo, os segmentos AD e CE são diagonais dos polígonos ABCDE.
A
E
B
A
D
E
B
C
C

D
Número de diagonais
Se um polígono tem n lados, então ele possui
n.( n  3)
diagonais
2
Na figura, tem-se um polígono de 7 lados e suas 14 diagonais.
A
G
B
F
C
E
D
Nota:
Nessa fórmula, o número (n-3) representa o número de diagonais que partem de um vértice.
40) Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais
de um hexágono. Ache:
a)
b)
c)
d)
e)
O polígono;
O total de diagonais;
A soma dos ângulos internos;
A soma dos ângulos externos;
A medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.
41) Calcule a soma dos ângulos internos de um eneágono.
42) Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono.
43) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.
44) Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1800º?
45) Calcule o número de diagonais de um decágono.
23
46) Calcule o número de diagonais de um icoságono.
47) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.
48) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.
49) Determine o polígono que tem 9 diagonais distintas.
5 – Ângulos na circunferência
5.1 – Ângulo central
É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.
B
O
.
α = AB
α
A
A medida de um ângulo central é igual a medida do ângulo que ele enxerga.
5.2 – Ângulo inscrito
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são cordas.
A
V
.
α = AB
2
α
B
A medida de um ângulo inscrito é igual a metade da medida do arco que ele enxerga.
24
Observação:
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
A
.
ΔABC é retângulo
.
B
C
O
5.3 – Ângulo de vértice interno
B
C
.
α
V
D
.
A
O
α = AB + CD
2
A medida de um ângulo de vértice interno a circunferência é igual a semi-soma das
medidas dos arcos determinados pelos seus lados.
5.4 – Ângulo de vértice externo
B
C
.
α = AB – CD
2
α
V
D
A
A medida de um ângulo de vértice externo a circunferência é igual a semidiferença
das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.
25
5.5 – Ângulo de segmento
VB
A
.
α = AB
2
α
O
A medida de um ângulo de segmento é igual a metade da medida do arco por ele
determinado.
50) Nas figuras, calcule o valor de x:
a)
b)
C
A
D
A
2x
30º
140º
3x
C
B
B
51) Determine o valor do ângulo x nos casos:
a)
b)
c)
x
50º
x
150º
120º
70º
d)
e)
f)
x
110º
165º
100º
65º
50º
x
x
x
26
52) Calcule x nas figuras:
a)
b)
c)
C
D
A
D
B
x
P
60º
B
O
A
140º
A
B
136º
O
x
C
x
32º
D
C
53) Na figura, o arco CMD é igual a 100° e o arco ANB mede 30°. Calcule o valor de x.
C
A
M
N
x
B
D
54) Na figura, sendo ABC = 260°, calcule o valor de α.
C
P
α
O
B
A
27
P
6 – Quadriláteros
6.1 – Definição e elementos
Quadrilátero é o polígono de quatro lados.
d
D
A
a

D

A

B
B

C
b
Elementos principais

c
C
vértices: são os pontos A, B, C,e D;
lados: são os segmentos
, BC , CD e DA ;
  

ângulos internos: são os ângulos A , B , C e D ;
ângulos externos: são os ângulos a, b, c e d;
diagonais: são os segmentos AC e BD .
6.2 – Soma de ângulos internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.
D
A

D

A
   
A + B + C + D = 360º

B
B

C
C
6.3
– Classificação
Os quadriláteros podem ser classificados como: paralelogramo, trapézio ou quadrilátero
qualquer.
28
6.3.1 – Paralelogramo
É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
D
C
M
A
B
Valem as seguintes propriedades:
1ª) Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
AB  DC e BC  AD
2ª) Os ângulos opostos são congruentes.
Aˆ  Cˆ e Bˆ  Dˆ
3ª) As diagonais cortam-se no ponto médio.
AM  MC e DM  MB
Paralelogramos notáveis
Retângulo
D
Losango
B
C
.
.
A
Figura
.
.
A
B
.
.
Quadrado
D
.
.
.
.
C
C
D
AB  BC  CD  DA
A
B
e
AB  BC  CD  DA
Definição
Propriedade
É o paralelogramo que tem
os quatro ângulos
congruentes e de medida
igual a 90º.
É o paralelogramo que tem
os quatro lados congruentes
entre si.
É o paralelogramo que tem
os quatro lados e os quatro
ângulos congruentes entre
si.
As diagonais são
congruentes.
As diagonais cortam-se
perpendicularmente e são
bissetrizes dos ângulos de
seus vértices.
As diagonais são
congruentes, cortam-se
perpendicularmente e são
bissetrizes dos ângulos de
seus vértices.
29
6.3.2 – Trapézio
É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si.
C
D
AB // CD
AB é denominado base maior
CD é denominado base menor
.
A
DH é denominado altura
H
B
Propriedade:
D
ponto médio
N
M
A
B
Escaleno
D
Figura
MN = AB + CD
2
C
ponto médio
Isósceles
C
D
Retângulo
C
D
.
C
.
A
B
A
B
AD  BC
Possui o par de lados
Propriedade opostos não-paralelos não
congruentes entre si.
Os lados não-paralelos são
congruentes entre si.
A
B
AD  AB
AD  CD
Um doa lados opostos
não-paralelos é
perpendicular às bases.
55) Determine a base e a altura de um retângulo, sabendo que o perímetro vale 288 metros e que a base
excede em 4m o triplo da altura.
56) Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz de ângulo agudo do
trapézio um ângulo de 110°. Determine o maior ângulo do trapézio.
57) A soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a
5
da soma dos outros dois ângulos
13
opostos. Determine-os.
58) A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual a terça parte de um reto.
Determine os quatro ângulos do losango.
30
59) Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo-se que o seu perímetro mede 84m e que a soma dos
2
lados menores representa da soma dos lados maiores.
5
60) Determine as medidas dos ângulos de um paralelogramo, sabendo que a diferença entre dois
1
consecutivos é igual a da soma dos seus ângulos.
9
61) A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de 55º. Determine o
valor dos ângulos agudos.
62) A base maior de im trapézio isósceles mede 12cm e a base menor 8cm. Calcule o comprimento dos
lados não paralelos, sabendo-se que o perimetro é de 40cm.
63) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40cm, sabendo-se que a base excede a altura
em 4cm.
7-Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo
7.1 – Mediana de um triângulo
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado
oposto.
Na figura, AM é uma mediana do ΔABC.
A
B
C
M
Um triângulo tem três medianas.
As três medianas cruzam-se num ponto G, denominando baricentro do triângulo.
A
M3
B
2

AG  3 AM1
AG = 2GM1  

GM  1 AM
1
1

3
M2
G
M1
C
7.2 – Bissetriz
A bissetriz do ângulo  intercepta o lado oposto no ponto D. O segmento AD denomina-se bissetriz
interna relativa ao vértice A.
A
B
D
C
31
As três bissetrizes de um ângulo cruzam-se num mesmo ponto I, denominado de centro do
triângulo.
A
E
F
I
C
B
D
O ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
7.3 – Altura
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado
oposto e é perpendicular a esse lado.
Na figura AH é uma altura do ΔABC.
A
A
.
.
B
H
H
C
.
B
C
Um triângulo tem três alturas e o ponto de encontro das alturas é o ortocentro.
A
.
.
O
.
C
B
7.4 – Mediatriz
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de AB .
m
.
A
M
B
32
Mediatriz de um triângulo é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto
médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado BC do ΔABC.
A
m
.
B
C
M
Um triângulo tem três mediatrizes.
O centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, isto é, o ponto de
encontro das mediatrizes.
A
P
N
O
B
C
M
64) Sendo G o baricentro do triângulo ABC, determine x, y, z.
A
AG = 10
BG = y
CG = 14
x
6
y
G
z
B
C
65) Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de AB , determine x.
M
A
DP = 16
PM = x
B
x
P
D
C
66) Sendo H o ortocentro de um triângulo ABC e B Ĥ C = 150º, determine Â.
67) Sendo H o ortocentro de um triângulo isósceles ABC de base BC e B Ĥ C = 50º, determine os ângulos
do triângulo.
68) Se P é o incentro de um triângulo ABC e B P̂ C = 125º, determine Â.
33
69) Sendo o ΔABC retângulo em A e M o ponto médio de BC , calcule x e y.
a)
b)
A
C
3x
y
M
12
x
20º
B
c)
A
C
M
d)
C
B
C
Bissetriz
60º
y/3
Altura
y
M
M
x
y
x
A
20º
A
B
B
70) Na figura, Q é o ponto médio de AB . QP é paralelo a BC . Sendo AC = 30cm, determine PO .
C
P
O
A
B
Q
71) Na figura, ABCD é retângulo, M é o ponto mádio de CD e o triângulo ABM é equilátero. Sendo AB =
15, calcule AP .
M
D
C
P
A
B
34
7.5 – Teorema de Tales
Um feixe da paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são
proporcionais.
t1
t2
D
r1
A
E
r2
B
F
r3
C

r1 // r2 // r3
t1 e t2 são transversais
AB = DE
BC EF
72) Determine o valor de x em cada caso abaixo, sendo r, s, e t retas paralelas:
a)
b)
r
r
x
4
6
9
s
s
6
8
8
x
t
t
c)
d)
r
r
s
t
s
x
x
3
4
9
t
4
6
x
35
73) Nas figuras, as retas r, s, e t são paralelas. Determine os valores de x e y.
a)
4
r
c)
s
4
x
s
6
r
b)
r
5
3
2x + 3
t
7
5
2
t
s
t
x
y
6
5x - 1
74) Na figura, MN é paralela à base BC do triângulo ABC. Calcule o valor de x.
A
30
x
N
M
12
10
B
C
75) Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5cm, 6cm e 9cm,
respectivamente. Determine os comprimentos dos seguimentos que esse mesmo feixe determina sobre uma
outra transversal, sabendo que o seguimento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede
60cm.
7.6 – Teorema da bissetriz interna
Considere o ΔABC e a bissetriz interna ao vértice A.
A
B
Da figura, temos:
D
C
BD = AB
DC AC
A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos
proporcionais aos outros dois lados.
36
76) Se AS é a bissetriz de Â, calcule x nos casos:
a)
B
b)
A
A
6
x
S
6
B
c)
8
8
3
x
x
S
C
C
12
A
B
5
4
3
S
C
7.7-Teorema da bissetriz externa
77) Se AP é bissetriz do ângulo externo em A, determine x.
a)
b)
A
A
8
12
B
6
6
12
x
C
P
P
12
B
x
C
78) Na figura, AD é bissetriz externa do ângulo Â. Calcule x.
A
3
B
2
4
C
x
D
37
8-Semelhança de triângulos
8.1-Definição
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os
lados homólogos proporcionais.
A
A
’
B
C
B
’
ABC ~ A' B' C' 
C
’
Aˆ  Aˆ '
AB
AC
BC


Bˆ  Bˆ ' e
A' B' A' C' B' C'
Cˆ  Cˆ '
~:Semelhante
Dois lados homólogos (homo = mesmo,logos = lugar)são tais que um deles está em um dos triângulos e
ambos são opostos a ângulos congruentes.
8.2 – Razão de semelhança
Sendo k a razão entre os lados homólogos,
AB
A' B'

AC
A ' C'

BC
B' C'
= k, é chamado razão de
semelhança de triângulos.
Se k = 1, os triângulos são congruentes.
79) Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. Determine x e y.
Q
A
10
8
28
x
R
B
20
C
y
P
38
80) Se o ΔKLM é semelhante as ΔFGH, determine x.
K
F
18
12
L
G
M
42
H
x
81) Se DE é paralelo a BC , determine x nos casos:
a)
b) x = AD
E
A
C
6
36
E
D
27
8
3
B
C
x
10
D
A
B
82) Se α = β, determine x e y nos casos:
a)
b)
α
β
x
12
α
8
x
6
y
8
8
4
6
β
y
2
83) Determine x e y nos casos:
a)
b)
C
4
α
5
6
y
y
4
α
x
5
5
α
α
A
x
B
39
84) Na figura abaixo, determine o valor de x.
A
5
α
S
10
x
R
α
C
B
8
85) Nas figuras, determine x.
a)
b)
x
15
α
8
x
4
α
5
10
C
17
86) Dada a figura, determine o valor de x.
A
10
D
15
15
x
C
B
E
20
87) Na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados x, 6 e 9. Determine o perímetro do quadrado de
lado x.
9
6
x
88) Determinar a medida do lado do quadrado da figura abaixo:
C
D
E
4
A
B
F
6
40
9-Relações Métricas no Triângulo Retângulo
89) Complete durante a aula:
a) x.y =
b) u.v =
c) y2 =
d) v.z =
e) x2+y2 =
y
x
w
v
u
z
90)Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A. A alternativa correta é:
a) h = 36; x = 45 e y = 60
b) h = 1,2; x = 1,5 e y = 2
c) h = 12; x = 15 e y = 20
d) h = 3,6; x = 4,5 e y = 6
e) h = 10; x = 8 e y = 6
A
y
x
h
9
16
B
C
91)(MAUÁ) No ΔABC retângulo em A, o cateto AB vale 5m. Sua projeção BH sobre a hipotenusa vale
25
m. Calcular o valor da hipotenusa BC e do cateto AC .
13
A
5
B
25
13
C
H
92)(PUC) Na figura abaixo, os segmentos são medidos em m. O seguimento de x vale:
a) 11m
b) 105m
c) impossível, pois 43 não tem raiz exata
d) 7m
e) n.d.a.
B
13
8
x
C
4
A
93)(PUC) Sabendo-se que o triângulo ABC é retângulo e AH = h é a medida da altura do triângulo, quais
das relações são válidas:
A
a) x = b.c
b) x2 = h.c
c) x2 = b.d
d) x2 = b.c
e) n.d.a.
x
d
h
B
C
b
c
41
Geometria Plana – Gabarito
R1)
2
b) 40m2
h) 12m2
c) 18m2
i) 18m2
R2)
R3)
R4)
R5)
R6)
R7)
a) 36m
g) 40m2
4cm
4cm, 6cm
12cm, 6cm
24m2
10cm, 6cm
8cm
R8)
a) 25π m2, 10π m
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
a) 31º 10’
b) 111º3’
a) 46º 15’
b) 26º 5’
a) 15º 5’
b) 10º 55’
a) 21º 11’ 30” b) 31º 17’ 30”
a) 23º 24’ 27” b) 10º 30’ 55”
a) 20º
b) 55º
a) 25º
b) 30º
a) 65º
b) 43º
a) 108º
b) 39º
Em classe
60º
67º 30’
72º
36º
83º
70º
40º e 140º
156º
x = 10º e y = 150º
72º
100º
52º
100º
5º
a) 110º
b) 55º,70º
15º
65º
x = 70º e y = 125º
130º
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
B̂ = 70º e Ĉ = 40º
110º
40º
80º
70º
x = 40º, β = 50º, γ = 40º
20º
Em classe
a) Não há caso de congruência
a) 30º b) 55º c) 80º d) 36º
Em classe
1260º
1440º
3240º
Dodecágono (12 lados)
35
b) 36π m2, 12π m
d) 24m2
j) 15m2
c)
e) 32m2
k) 21m2
f) 40m2
l) 24m2
d 2
, πd
4
c) 47º30’
d) 31º
e)65º41’3’’
c) 44º 44’ 30”
d) 39º 29’ 15”
c) 10º 36’ 45”
c) 60º
d) 23º
e) 25º
c) 70º
b) I = III (ALA)
e) 105º f) 25º
c) I = III (Caso especial)
42
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
170
Eneágono (9 lados)
Undecágono (11 lados)
Hexágono (6 lados)
a) 35º b) 10º
a) 35º b) 100º c) 60º
a) 80º b) 90º c) 52º
35º
80º
109cm e 35cm
130º
50º, 130º, 50º, 130º
60º, 120º, 60º, 120º
30m e 12m
70º, 110º, 70º, 110º
70º, 110º, 70º, 110º
10cm
12cm e 8cm
x = 7, y = 12, z = 5
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
76)
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
Trace a diagonal BD e P é o baricentro do triângulo ABD, x = 8
30º
25º, 25º, 130º
70º
a) x = 40º e y = 20º
b) x = 4º e y = 36º
c) x = 30º e y = 15º
Em classe
10, note que P é baricentro do triângulo ACD
a) 3
b) 12
c) 15
d) 6
a) x = 10/3
b) x = 25/6
c) x = 10/3 e y = 18/5
25
x = 15cm, y = 18cm e z = 27cm
a) 4
b) 15
c) 20/3
a) 12
b) 4
8
16, 14
28
a) 12
b) 40
a) 9, 32/3
b) 7, 10
a) 6, 10/3
b) 15/2, 5
4
a) 8/3
b) 21
45/4
16
12/5
Em classe
90)
91)
92)
93)
94)
a) 12
C
BC = 13m
D
D
d) 25º
b) 7
e) 50º
f) 20º
d) x=50º e y=70º
c) 2 11
AC = 12m
43