Introdução Teórica

Introdução Teórica
No circuito RLC em série excitado com fonte de tensão alternada senoidal, a análise se
torna mais simples quando se utiliza a técnica dos fasores, onde a impedância total do
circuito é dada por:
1
1
 R  j (L 
)
C
C
1 

 L 

2
1 
C 


2
Z  R   L 
 arctg
C 
R

Z  R  jL  j
L
V
C
R
A corrente no circuito pode ser obtida utilizando a lei de ohm na forma fasorial:
I
V
Z
V
ou I 
1
R  j ( L 
)
C
V
.
VR  R 
1
R  j (L 
)
C
Na
experiência
VR  V 
é
possível
, e a tensão no resistor é portanto VR  R  I ,
obter
o
módulo
do
fasor
VR
dado
por:
R

1 

R   L 

C


2
2
Uma vez que no circuito RLC série o único elemento que dissipa potência é o resistor, se a
sua tensão é máxima, isto implica que a potência dissipada no circuito é máxima, e temos
uma condição portanto de máxima transferência de potência do gerador para o circuito,
durante a condição de ressonância.
Por este motivo esta condição é denominada ressonância de energia.
Para a tensão no capacitor, usando uma fórmula de divisão de tensão na forma fasorial,
VC  Vg 
j
1
C
R  jL  j
1
C
1
C
VC  V g 

1 

R   L 

C


2
2
1
LC
VC  V g 
2 R 2
L2
VC  V g 
2

1 

   2 
L
C


1
LC
4 
2 2  2 R 2



LC
L2
L2 C 2
Abaixo pode-se ver a representação gráfica de |VR ()| e |VC()| obtidos no MATHCAD.
Pode-se observar a ressonância em energia (ponto dse máximo em VR ) ocorrendo em 10
rad/s e a ressonância em amplitude (ponto de máximo em VC ) ocorrendo em uma
freqüência menor que 0 .

0  0.1  40
R
4 L
Z(  )
 máx
R
0.5
C
0.02
1
 C
j  (  ) L
2
R
2
0
2 L
2
V
20
V R(  )
R
V
Z(  )
1
j 
 C
V
Z(  )
V C(  )
0
 máx  8.246
30
V R(  )
20
V C(  )
10
0
0
10
20

30
40
1
LC
 0  10
Ressonância
Na condição de ressonância, temos:
 a impedância Z é mínima, puramente resistiva e igual a R
 ângulo de fase é igual a zero
 a tensão na resistência é igual à própria tensão do gerador V
 a corrente do circuito é máxima e igual a V/R
Do que foi exposto acima a freqüência de ressonância 0 é obtida impondo que a parte
imaginária da impedância Z seja igual a zero, ou seja, fazendo as reatâncias indutiva (X L) e
capacitiva (XC) iguais:
L 
1
C
f0 

0 
a freqüência de ressonância é
1
LC
ou
1
2 LC
Pode-se verificar, portanto, que a freqüência de ressonância depende dos valores de L e C.
Fator de Qualidade
O fator de qualidade ou índice de mérito pode ser dado através da relação:
Q  2 
energia máxima armazenada
energia total dissipada por ciclo
Demonstra-se que as expressões abaixo podem ser utilizadas indiferentemente para o
cálculo do fator de qualidade para uma combinação RLC em série:
Q=
XC
1
ou

R 2 f 0 CR
Q=
X L 2 f 0 L

R
R
ou
Q=
1 L
R C
A freqüência de meia potência é definida como sendo a freqüência em que:
 a potência no resistor cai pela metade: queda de 3dB
 a corrente no circuito cai 2 vezes o seu valor máximo
 a tensão VR cai 2 vezes o seu valor máximo
 a impedância do circuito aumenta e passa a ser igual a R2
O módulo da impedância se torna

1 
R 2  R   L 

 C

2
2
(1)
Resolvendo a equação acima em função de  chega-se à expressão:
2
1
R
 R 
 c1, 2  

 
LC 2 L
 2L 
(2)
ou
f c1, 2 
2
1   R 
1
R
 


 
2   2 L 
LC 2 L 


(3)
Esta expressão pode ser manipulada algebricamente, de forma a ser escrita apenas em
função do fator de qualidade Q e da freqüência de ressonância 0 .
0 L
R

largura de faixa = B = c2  c1 
R 0

L Q
Dados:
0 L 
1
0C
e
Q=
largura de faixa = B = f c2  f c1 
Apenas quando 4Q²>>1
tornam
c1, 2  0 
e Q
0 (7)
2Q
f
R
 0
2L Q
c1, 2 
(5)
(6)
(na prática isto ocorre quando Q >5 )
ou
c1, 2  0 
:
R
(8)ou
2L


0
1  4Q ²  1
2Q
(4)
(em radianos)
(em hertz)
as equações (4), (5) e (6) se
 c1, 2   0 
B
2
(9)
0
B
Portanto, quanto maior o fator de qualidade, mais estreita a curva de resposta de freqüência,
e mais seletivo o circuito. Circuitos com fator de qualidade > 5 têm as freqüências de meia
potência simétricas em relação à freqüência de ressonância 0.