Artimética dos restos. Prof. Alberto Cunha

Aritmética dos
Restos
Professor Alberto Cunha
PROFMAT – UFPI
Seduc - Ce
Motivação
O resto da divisão de 1212 por 5 é?
Qual o algarismo da unidade do número 799999?
Qual é o número que deixa restos 2, 3 e 2 quando
dividido, respectivamente, por 3, 5 e 7?
Algoritmo da Divisão
Divisão Euclidiana: Sejam a e b dois números
naturais com 0 < a < b. Existem dois únicos números
naturais q e r tais que
b = a · q + r, com r < a.
O número b é chamado dividendo, o número a
divisor, os números q e r são chamados,
respectivamente, quociente e resto da divisão de b
por a.
Divisibilidade
Dados dois números naturais a e b com
,
diremos que a divide b, escrevendo a|b, quando
existir c natural tal que b = a · c. Neste caso,
diremos também que a é um divisor ou um fator de b
ou, ainda, que b é um múltiplo de a.
Congruências
Seja m um número natural diferente de zero.
Diremos que dois números naturais a e b são
congruentes módulo m se os restos de sua
divisão euclidiana por m são iguais. Quando os
inteiros a e b são congruentes módulo m,
escreve-se
Congruências
Relação de equivalência.
Compatibilidade com a soma;
Compatibilidade com produto;
Potência;
Cancelamento com relação a adição;
Cancelamento com relação ao produto.
Pequeno Teorema de Fermat
Dado um número primo p, tem – se
que p divide o número
, para
todo
Pequeno Teorema de Fermat
Com a notação de congruências, o Pequeno Teorema
de Fermat se enuncia como se segue:
Se p é número primo e
, então
Além disso, se p não divide a, então
Aplicações
(ENC 98) O resto da divisão de 1212 por 5 é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Aplicações
Ache o resto da divisão 2100 por 11.
Aplicações
Ache o resto da divisão (116 + 1717 )21 por
8.
Aplicações
Ache o resto da divisão por 17 do número
S = 116 + 216 + 316 + ... + 8516.
Aplicações
Sabendo que 74 = 2401, ache os
algarismos da dezena e da unidade do
número 799999.
Teorema Chinês dos Restos
No primeiro século da nossa era, o matemático
chinês Sun-Tsu propôs o seguinte problema:
Qual é o número que deixa restos 2, 3 e 2 quando
dividido, respectivamente, por 3, 5 e 7?
Aplicações
Quando um macaco sobe uma escada de dois
em dois degraus, sobra um degrau, quando
sobe de três em três degraus, sobram dois
degraus e quando sobe de cinco em cinco
degraus, sobram três degraus. Quantos degraus
possui a escada, sabendo que o número de
degraus está entre 150 e 200 ?
Aplicações
Dispomos de uma quantia de x reais menor do
que 3000. Se distribuirmos essa quantia entre 11
pessoas, sobra um real; se a distribuirmos entre 12
pessoas, sobram dois reais, e se a distribuirmos
entre 13 pessoas, sobram 3 reais. De quantos
reais dispomos?
 Sugestão: Pode ser útil utilizar o seguinte fato: c é solução da
congruência ay b mod m se, e somente se, c é solução da
congruência ry b mod m, onde r é o resto da divisão de a por m .
“Quando chegar ao seu
limite integra para DEUS,
porque Dele tudo
deriva.”
Obrigado pela atenção!