Modelos Matematicos de Sistemas Introdução; Equações Diferenciais de Sistemas Físicos; Aproximações Lineares de Sistemas Físicos; Transformada de Laplace; Função de Transferência de Sistemas Lineares; Modelos em Diagrama de Blocos; Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinais; Analise Computacional de Sistemas de Controle; Exemplo de Projetos. Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 1 Equações Diferenciais de Sistemas Físicos As Equações Diferenciais que descrevem o desempenho de um sistema dinâmico de um sistema físico são obtidas utilizando-se as Leis físicas do processo. Ta (t ) − Ts (t ) = 0 Variável-Através w(t ) = ws (t ) − wa (t ) Variável-Sobre (a) Sistema de Torção Massa-Mola (b) Elemento Mola Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 2 Resumo das Variáveis Através e Sobre para Sistemas Físicos Sistema Variável de Elemento Através Variável Através Integrada Variável de Elemento Sobre Variável Através Integrada Elétrico Corrente i Carga q Diferença de Tensão v21 Enlace de Fluxo 821 Mecânico em Translação Força F Quantidade de Movimento P Diferença de velocidade v21 Diferença de deslocamento y21 Mecânico em Rotação Torque T Momento cinético h Diferença de velocidade angular T21 Diferença de deslocamento angular 221 Momento de Pressão (21 Fluido Vazão Volumétrica Q Volume V Diferença de Pressão P21 Térmico Fluxo Térmico q Energia Térmica H Diferença de Temperatura T21 Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 3 Sistema Massa-Mola-Amortecedor (a) Sistema MassaMola-Amortecedor (b) Diagrama Corpo Livre 2 d y (t ) dy (t ) M +b + ky (t ) = r (t ) 2 dt dt Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 4 Circuito RLC t v(t ) dv(t ) 1 +C + ∫ v(t )dt = r (t ) R dT L0 Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 5 Solução da Equação Diferencial Métodos Clássicos: 1. Fatores de Integração 2. Método dos coeficientes a determinar 3. Transformada de Laplace y (t ) = K1e −α1t sen( β1t + θ1 ) v(t ) = K 2 e −α 2t sen( β 2t + θ 2 ) Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 6 Aproximações Lineares de Sistemas Físicos Os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares. A Transformada de Laplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares. Técnica de Linearização de sistemas não-lineares Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 7 Modelo Oscilador Tipo Pendulo L → comprimento do pêndulo; M → massa do pêndulo; f → força que atua no pêndulo; g → gravidade. A equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo L d 2 θ( t ) . = − sen θ( t ) 2 g dt Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 8 Série de Taylor df f (θ) = f (θ0 ) + dθ d2f .(θ − θ0 ) + 2 ( θ= θ0 ) dθ (θ − θ0 ) 2 . +...... ( θ=θ0 ) 2! Se a variação “q - θ0” é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de Taylor. Isto resulta em: df f ( θ) ≅ f ( θ 0 ) + f(θ) = sen θ dθ ( θ = θ0 ) . (θ − θ 0 ) , e: sen θ = sen θ0 + { cos θ0 }.( θ − θ0 ) Como, o pêndulo mostrado, opera na região em que , pode-se linearizar a função em torno do ponto . sen θ ≅ 0 + 1. ( θ − 0 0 ) ∴ senθ ≅ θ Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng L d 2 θ( t ) . = −θ( t ) 2 g dt 9 Transformada de Laplace Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 10 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A FTLTIde um Time LTIInvariant é definida como sendo a relação – Linear - Sistema Linear Invariante no Tempo entre de d Laplace saída d y(t ) asd Transformadas y(t ) dy(t ) x(t ) d x(tda ) dx(t ) e da a +a ... + a + a . y(t ) = b +b ... + b + b .x(t ) dt dt dt dt dt entrada, com todasdt as condições iniciais nulas. n−1 n 0 n 1 n−1 m−1 m n−1 n 0 m 1 m−1 m−1 m Onde: n≥m x(t) ⇒ entrada (função excitação) e y(t) ⇒ saída (função resposta) Aplicando-se a transformação de laplace, temos: (a 0 .S n + a 1S n − 1 + ....+ a n − 1 .S + a n ) Y ( s ) = ( b 0 .S m + b 1 .S m − 1 + ....+ b m − 1 .S + b m ) X ( s ) b 0 . S m + b1 . S m − 1 + .... + b m − 1 . S + b m Y (s) G (s) = = X (s) a 0 . S n + a 1 . S n − 1 + .... + a n − 1 . S + a n Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng Função de Transferência Sistema de ordem n 11 COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A FT de um sistema é uma propriedade que independende da natureza e da magnitude da entrada; Possibilitar um sistema dinâmico ser representado por expressões algébricas da variável complexa “S”; A FT não fornece informações a respeito da estrutura física do sistema. A FT de sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas; Se a FT de um sistema é conhecida, a resposta do mesmo pode ser analisada para diferentes formas de excitação (entrada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportamento do sistema; Se a FT pode ser obtida experimentalmente pela introdução de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as respostas obtidas. A FT fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema. Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng 12