Problemas Resolvidos de Física

Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 7 – TRABALHO E ENERGIA
58. Um regulador centrífugo consiste em duas esferas de 200 g presas mediante hastes leves e
rígidas de 10 cm a um eixo de rotação vertical. As hastes são articuladas de modo que as esferas
se afastam para longe do eixo enquanto giram com ele. Entretanto, quando o ângulo θ é 45o, as
esferas encontram a parede do cilindro dentro do qual o regulador está girando; veja a Fig. 24.
(a) Qual é a velocidade mínima de rotação, em revoluções por minuto, necessárias para as
esferas tocarem na parede? (b) Se o coeficiente de atrito cinético entre as esferas e a parede é
0,35, que potência é dissipada como resultado do atrito das esferas contra a parede quando o
mecanismo gira a 300 rev/min?
(Pág. 140)
Solução.
(a) Forças sobre uma das esferas:
y
T
θ
m
x
P
A velocidade mínima de rotação é obtida quando as esferas estão na iminência de tocar nas paredes
do cilindro (N = 0, onde N é a força normal de contato das esferas com a parede.). Forças em y:
∑F
y
=0
T cos θ − mg =
0
mg
cos θ
Forças em x:
T=
(1)
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Cap. 7 – Trabalho e Energia
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∑F
x
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= max
v2
r
Substituindo-se (1) em (2):
T sen
m
=
θ ma
=
c
(2)
mg
v2
sen θ = m
cos θ
r
v = lg sen θ tan θ
(3)
Cálculo da velocidade angular ω, em rpm:
v
v
ω= =
r l sen θ
Podemos trabalhar diretamente com RPM fazendo a seguinte transformação:
v  rad   60 s   1 rot 

×
×

l sen θ  s   min   2π rad 
30v
ωrpm =
π l sen θ
Substituindo-se (3) em (4):
=
ω
rpm
g
30
30
=
ωrpm =
π l cos θ π
(4)
m/s )
( 9,81=
( 0,10 m ) cos ( 45 )
2

112, 4769 rpm
ωrpm ≈ 1,1×102 rpm
(b) Forças sobre uma das esferas:
y
T
v
θ
m
x
N
Fc
P
A equação (1) ainda é válida para esta situação. Forças em x:
∑F
x
= max
T sen θ + N = mac = m
v2
v2
= m
r
l sen θ
mv 2
− T sen θ
l sen θ
Substituindo-se (1) em (5):
=
N
mv 2
− mg tan θ
l sen θ
A força de atrito cinética vale::
N
=
(5)
(6)
f c = µc N
A potência total dissipada pelo atrito, considerando-se duas esferas, é:
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=
P 2=
f c .v 2 µc Nv
(7)
Substituindo-se (6) em (7):
 mv 2

P 2 µc v 
=
− mg tan θ 
 l sen θ

De (4) temos:
πωrpml sen θ
v=
30
v2 =
(8)
(9)
2
l 2 sen 2 θ
π 2ωrpm
(10)
900
Substituindo-se (9) e (10) em (8):
P
2 µc
πωrpml sen θ 
30
2 2
2
2

m π ωrpml sen θ
− mg tan θ 


900
 l sen θ

2
πµc mωrpml ( sen θ )  π 2ωrpm
l
2
P
P
15
g 
−


cos θ 
 900
(11)
π ( 0,35 )( 0, 200 kg )( 300 rpm )( 0,10 m ) sen ( 45 ) 
15
(
 π 2 ( 300 rpm )2 ( 0,10 m ) 9,81 m/s 2
×
−

900
cos 45

P = 18, 6534 W
( )
2
×
) 


P ≈ 19 W
De acordo com (11), a potência dissipada será igual a zero se:
2
π 2ωrpm
l sen θ
900
= g tan θ
g
π l cos θ
Que é a resposta literal do item (a).
ωrpm =
30
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