gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
MATEMÁTICA – 1ª SÉRIE – AULA DE APOIO
COORDENAÇÃO: COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
LISTA DE TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO - GABARITO
1. Sabendo que um triângulo retângulo os ângulos agudos são A e B, a hipotenusa mede 5cm e que
o valor de sen B = 2sen A, encontre as medidas dos catetos.
Solução.
b
5
i)
a
senA 
5
senB 
ii)
iii)
52  b 2  a 2
25  (2a) 2  a 2  5a 2  25  a   5
senB  2senA
b 2a

 b  2a
5 5
Resposta: a =
5 e b = 2 5.
2. Dado um triângulo ABC onde C = 2 , o ângulo A = 60º e C= 45º . Calcule o lado a e b.
Solução.
sen60º 
i)
h
h
3
 h  2.
2
2
6
.
2
6
h
2
sen 45º   2 
a
a
2
ii)
2 6
6
a 2 
 3.
2
2
Repare que h = x
(lados do triângulo isósceles).
cos 60º 
iii)
bx
1
2
 b  x  2. 
2
2
2
b  (b  x)  x 
6
2
6 2


2
2
2
Resposta: a =
3 eb=
6 2
.
2
3. Calcular a altura de um poste visto sob um ângulo de 60º por um observador com 1,80m de altura
que se encontra a 10m do poste.
Solução.
x
 x  10. 3  10.1,7  17m
10
h  x  1,80  17  1,80  18,80m
tg 60º 
1
4. Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe essa rampa inteira se eleva verticalmente de quanto?
Solução.
sen30º 
h
1
 h  20.sen30º  h  20.  10m
20
2
5. Dados AB = 4 cm, BH =
12 cm e AC =
2 12
cm, calcule a tangente do ângulo B e C.
3
Solução.
2
h 2  ( AB) 2  ( BH ) 2  h 2  16  ( 12 ) 2
i)
h 2  16  12  4
ii)
h   4  2.
 2 12 
  h2
x 2  ( AC ) 2  (h) 2  x 2  

3


4.12
48  36 4
x2 
4

9
9
3
4
2
2 3
2 3
x



.
3
3
3
3 3
tgB 
h
2
2. 12
2 12
12




BH
12
6
12
12 . 12
iii)
tgC 
h
2
3
3 3

 2.

 3
x 2 3
2 3
3 3
3
6.
Sabendo que AB = 3cm, ângulo A = 30º e B = 60º, determine h.
Solução.
tg 60º 
h
 h  3x
x
tg30º 
h
3
 h  (3  x).
3 x
3
3
3 x
x
3
3
Igualando os valores de h, temos:
. Logo, h  3.1,5  2,55cm
3
3x  x  3  x   1,5
2
3 x  (3  x).
2
7. Seja um quadrado ABCD, cujo lado mede L e a diagonal d. Calcule o valor da diagonal por
trigonometria.
Solução.
Observe no desenho que a diagonal divide o quadrado em dois triângulos isósceles. Logo
os ângulos são de 90º, 45º e 45º.
sen 45º 
d
L
2 L
2L

 d 
d
2
d
2
2 L. 2
2. 2

2 L. 2
 L. 2
2
8. Uma escada está encostada na parte superior de um prédio de 50m de altura, e forma com o solo
um ângulo de 60º. Determine o comprimento da escada.
Solução.
Observe o desenho e o triângulo retângulo que é
representado na figura. O comprimento da escada é a
hipotenusa desse triângulo.
sen60º 
x
50
3 50
100

 x
x
2
x
3
100 3 100. 3

 56,6m
3
3. 3
9. Um navio encontra-se a 100 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do navio sob um ângulo de
30º e desprezando a altura do navio, calcule a altura do farol.
Solução. Observe pelo desenho que utilizaremos a tangente de 30º.
h
3
h


100
3 100
100. 3
h
 56,6m
3
tg30º 
3
10. Para alcançarmos o 1º andar de um edifício, subimos uma rampa de 6 m que forma com o solo um
ângulo de 45º. Qual é a altura desse 1º andar?
Solução. Pelo desenho, utilizaremos o seno de 45º.
sen 45º 
h
h
2 h


6
2 6
6. 2
 3 2  4,23m
2
11. Calcule o valor de x e y em cada item.
Solução. Aplicação direta das relações trigonométricas no triângulo retângulo em cada caso.
Triângulo retângulo isósceles
sen 45º 
x
2 x


4
2
4
4. 2
 2 2  2,82m
2
y  x  y  2,82m
x
7 3
 tgx  3
7
x  arctg 3  60º
tgx 
y  (7 3 ) 2  7 2  49.3  49 
 49.4  7.2  14
12. Se a base de um triângulo isósceles mede 14 cm e seu lado mede 25 cm, quanto mede sua
altura?
Solução. A altura de um triângulo isósceles em partindo do ângulo diferente divide o lado oposto ao
meio.
252  7 2  h 2  h 2  625  49
h  576  24m
4