AVAL FIS E MAT INTERD 080809_Resolução

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
(QUESTÕES INTERDISCIPLINARES)
– 2o ANO DO ENSINO MÉDIO –
DATA: 08/08/09
PROFESSORES: MALTEZ E EVERTON
QUESTÕES DISCURSIVAS
Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta
está situado a uma distância de 4,0m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0m do solo, conforme
a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma altura de 2,0m do solo. No lançamento, a bola é
lançada com velocidade de 8,0m/s, formando um ângulo α com a horizontal e atinge a cesta após 1s do
lançamento.
α
Determine:
a) A velocidade horizontal da velocidade inicial, em m/s.
O deslocamento horizontal da bola é de 4m. Como ela atinge a cesta em 1s, podemos determinar a
componente horizontal da velocidade inicial por: Vx = DS/Dt = 4/1 = 4m/s
b) O ângulo α, em radianos.
A velocidade inicial do lançamento é 8m/s. Observando a relação trigonométrica no triângulo
retângulo formado pela componente horizontal da velocidade inicial e a própria velocidade inicial,
podemos escrever: cosα = cat. Adjacente/ hipotenusa = 4/8 = 0,5. Logo o ângulo agudo do
lançamento é de 60º = π/3rad
Um navio de massa igual a 1.000 toneladas deve ser rebocado ao longo de um canal estreito por dois
tratores que se movem sobre trilhos retos, conforme é mostrado na figura abaixo.
α
α
Os tratores exercem forças T1 e T2 constantes, que têm mesmo módulo, igual a 10.000N, e formam um
ângulo α com a direção AB do movimento do navio, conforme a figura.
a) Sabendo que o sen α =
3
, determine o cos2 α.
5
Usando a Equação fundamental da trigonometria, temos:
sen²α + cos²α = 1 --- (3/5)² + cos²α = 1 --- cosα = 4/5
cos2α = cos²α - sen²α ---- cos2α = 16/25 – 9/25 = 7/25
b) Determine a aceleração do navio devido à ação conjunta dos dois tratores, em m/s².
A força resultante no navio pode ser determina pela Lei dos cossenos “adaptada para configuração
vetorial verificada na figura”, daí:
Fr² = F1² + F2² + 2.F1.F2.cos2 α
6
6
3
3
Fr² = 100.10 + 100.10 + 2.10.10 .10.10 .7/25
6
6
Fr² = 2.100.10 + 8.10
Fr² = 208.10
6
3
Fr ~ 14,4.10 N (poderia deixar o resultado inscrito na raiz quadrada)
Como Fr = m.a
3
6
14,4.10 = 1. 10 .a
-3
a = 14,4.10 m/s²
Na figura, estão representadas as trajetórias de dois projéteis, A e B, no campo gravitacional terrestre.
O projétil A é solto da borda de uma mesa horizontal de altura H = 0,8m e cai verticalmente; o projétil B
é lançado da borda dessa mesa com velocidade horizontal de 2,0m/s.
(O efeito do ar é desprezível no movimento desses projéteis e a gravidade local é de 10m/s²)
Vx
α
Vy
V
a) Determine o valor do alcance horizontal X, em metros, do projétil B.
O tempo de queda dos dois projéteis são iguais e podem ser determinados pelo movimento
vertical, daí:
S = So + Vo.t + a.t²/2 -- 0 = 0,8 + 0.t – 5t² ---- t = 0,4s
O alcance é o deslocamento horizontal do projétil B, como o movimento horizontal é uniforme,
podemos escrever: DS = Vx.Dt = 2.0,4 = 0,8m
b) Calcule o valor da expressão
cos α − sen α
.
4 . tgα
No instante verificado a componente horizontal da velocidade Vx = 2m/s e a componente vertical da
velocidade pode ser determinada pelo tempo de queda verificado no item a, logo: Vy = 0 + 10.0,4 =
4m/s.
Por Pitágoras, podemos determinar a velocidade resultante, daí: V² = 2² + 4² = 20 --- V = 2 5 m/s
Com as relações trigonométricas no triângulo retângulo, podemos escrever:
senα = Vx/V =
5 /5.
cosα = Vy/V = (2 5 )/5
tgα = senα/cosα = 1/2
Logo o valor da expressão é: ( 5 /5)/ (1/2) = (2 5 )/5
As forças F2 e F3, de intensidades respectivamente iguais a 8N e 6N, agem sobre um corpo, conforme
mostra a figura anterior.
Sabendo que o corpo está em equilíbrio de forças:
a) determine o módulo da força F1, em newton.
Como o corpo está em equilíbrio podemos concluir que a componente horizontal da força F1
equilibra a força F2 e a componente vertical da força F1 equilibra a força F3, daí:
F1x = F2 e F1y = F3
F1x = 8N e F1y = 6N
Por Pitágoras, podemos determinar o módulo da força F1, daí:
F1² = 8² + 6² = 100
F1 = 10N
π

− α  + sen α .
2

b) calcule o valor da expressão sen 
A expressão pode ser reescrita por cosα + senα
Através do triângulo retângulo formado por F1 e suas componentes horizontal e vertical, podemos
concluir que:
senα = F1y/F1 = 6/10
cosα = F1x/F1 = 8/10
Conclusão: cosα + senα = 0,8 + 0,6 = 1,4
α
MATEMÁTICA . FÍSICA
Um pequeno bloco de 0,50kg desliza sobre um plano horizontal sem atrito, sendo puxado por uma força
constante F=10,0N aplicada a um fio inextensível que passa por uma roldana, conforme a figura a
seguir. Despreze as massas do fio e da roldana, bem como o atrito no eixo da roldana.
a) Sabendo que o cos2 α = –0,28, determine o cos α.
cos2α = cos²α – sen²α (fazendo sen²α = 1 – cos²α)
cos2α = cos²α – (1 – cos²α)
cos2α = 2cos²α – 1 , daí:
-0,28 = 2cos²α – 1
0,72 = 2cos²α
0,36 = cos²α
cosα = 0,6
Determine a aceleração do bloco, em m/s².
A força resultante no bloco é a componente horizontal da força F, daí:
Fr = Fx = m.a
F.cosα = m.a
10.0,6 = 0,5.a
6 = 0,5.a
a = 12m/s²